高考数学解三角形：正余弦定理专题(三)

（Ⅰ）单位： 0 的特殊角三角函数值。
A
300
450
600
1200
1350
sin A
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
cos A
3
2
2 2
1 2
1 2
2 2
tan A
3
1
3
3
3
1
（Ⅱ）单位： rad 的特殊角三角函数值。
A
6
4
sin A
1
2
2
2
cos A
3
2
2
2
tan A
3
1
3
2
3
3
3
4
3
3
2
2
2
2
1 2
1 2
2 2
把 b 4 a 代入 b c 2a 得到： 4 a c 2a c 2 a 。
3
3
3
用一条边表示另外两条边： b 4 a ， c 2 a 。
3
3
根据余弦定理得到： cos B
a2
c2 b2 2ac
a2
4 a2 16 a2 99 2a 2 a
1 a2 3 4 a2
1。 4
3
3
（Ⅱ）根据三角函数同角之间的基本关系得到： sin 2 B 1 cos2 B 1 1 15 ， 16 16
sin B 0 sin B
15
。
4
根据三角函数二倍角公式得到：sin 2B 2 sin B cos 2
15 ( 1 )
15
；
44
8
cos 2B cos2 B sin 2 B 1 15 14 7 。 16 16 16 8
3
sin(2B
)
sin
2B cos
sin
cos 2B
15
3 1 ( 7)
6
66
8 22 8
3
5
7
3
57
。
16 16
16
例题二：2017 年高考文科数学天津卷：设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 。
已知 a sin A 4b sin B ， ac 5(a2 b2 c2 ) 。
2m c2
2m
根据余弦定理推导式得到： cos C a2 b2 c2 ， a mc ， b nc 2ab
cos C (mc)2 (nc)2 c2 m2c2 n2c2 c2 (m2 n2 1) c2 m2 n2 1 。
2 mc nc
2mn c2
2mn c2
2mn
次数相加为 2 次。满足边转化为对角正弦的条件。
sin 2 A cos C 2 sin Asin C sin 2 B sin A 。
边角转化二：在方程中，满足①每一项都有内角正弦，②每一项中内角正弦的次数相加相等。
可以把每一项中的内角正弦全部转化为对边，保持次数不变。
例题一： a sin B 2 sin C 3sin A 。
（Ⅰ）求 cos A 的值； （Ⅱ）求 sin(2B A) 的值。
本题解析：（Ⅰ）边角转化： a sin A 4b sin B a a 4b b a2 4b2 a 2b 。
把 a 2b 代入 ac 5(a2 b2 c2 ) 得到： 2bc 5[(2b)2 b2 c2 ]
每一项中都有内角正弦，每一项中内角正弦都是 2 次。注意 sin Asin B 中
sin A ， sin B 都是1次，内角正弦的次数相加为 2 次。
满足内角正弦转化为对边的条件。
a2 b2 ab c2 。
第二部分：题型结构和解法剖析
题型：在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 。
高考数学解三角形：正余弦定理专题（三）
题型：用一条边表示另外两条边。
第一部分：题型使用知识点讲解
题型使用知识点一：余弦定理推导式。
① cos A b2 c2 a2 ； 2bc
② cos B a2 c2 b2 ； 2ac
③ cos C a2 b2 c2 。 2ab
题型使用知识点二：特殊角三角函数值。
解析：方程一共有三wk.baidu.com： a sin B ， 2 sin C ， 3sin A 。
每一项中都有内角正弦，每一项中内角正弦都是1次。
满足内角正弦转化为对边的条件。
a b 2c 3a 。
例题二： sin 2 A sin 2 B sin Asin B sin 2 C 。
解析：方程一共有四项： sin 2 A ， sin 2 B ， sin Asin B ， sin 2 C 。
第三部分：高考真题训练
例题一：2019 年高考数学天津卷理科第 15 题文科第 16 题：ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别
为 a ， b ， c 。已知 b c 2a ， 3c sin B 4a sin C 。
（Ⅰ）求 cos B 的值；
（Ⅱ）求 sin(2B ) 的值。 6
本题解析：（Ⅰ）边角转换： 3c sin B 4a sin C 3cb 4ac 3b 4a b 4 a 。 3
每一项中都有边，每一项中的边都是1次。满足边转化为对角正弦条件 sin A sin B cos C 2sin C 。
例题二： a2 cos C 2ac b2 sin A 。
解析：方程一共有三项： a2 cos C ， 2ac ， b2 sin A 。
每一项中都有边，每一项中的边都是 2 次。注意 2ac 中 a ， c 都是1次，边的
已知： a mc ， b nc 。求解： cos A ， cos B ， cos C 的值。
解法设计：根据余弦定理推导式得到： cos A b2 c2 a2 ， a mc ， b nc 2bc
cos A (nc)2 c2 (mc)2 n2c2 c2 m2c2 (n2 1 m2 ) c2 n2 1 m2 。
3
3
1
题型使用知识点三：边角转化。
1
1500 1 2
3 2
3 3
5 6 1 2 3 2 3 3
边角转化一：在方程中，满足①每一项都有边，②每一项中的边次数相加相等。
可以把每一项中的边全部转化为对角正弦，保持次数不变。
例题一： a b cos C 2c 。
解析：方程一共有三项： a ， b cos C ， 2c 。
2 nc c
2n c2
2n c2
2n
2
根据余弦定理推导式得到： cos B a2 c2 b2 ， a mc ， b nc 2ac
cos B (mc)2 c2 (nc)2 m2c2 c2 n2c2 (m2 1 n2 ) c2 m2 1 n2 。
2 mc c
2m c2