习题讲解Chapter5

习题５.2 p251 在最近邻近似下， 用紧束缚近似导出面心立方晶体s能带 的Es(k)， 并计算能带宽度。
【解】 由对晶体原子s 态电子的一般紧束缚近似方法求出的能量一级 近似：
最近邻
Es( k ) Es A B e
at Rn 0
ik R n
A：微扰势引起的静电势能的平均， B：“加权”交叠积分
第一禁带宽度为
2 | V 1 | 2 a
E g 1 2 | V1 |
－i x

a/2
V ( x )e
- a /2
dx
2 a

d /2 - d /2
－i
2 a
x
V0e
dx
d /2

2V 0 a

d /2 - d /2
V0 2V 0 2 2 d exp i x dx exp i x sin a a d /2 a
ika



f ( x a );
则有 e
ika
1,
o o ka k 2 2 a
√
习题5.13 若一维晶体的电子势能
0 V (x) V 0 na na d 2 d 2 x na d 2 x ( n 1) a d 2
等能面为椭球面
k3
v 1 E k
沿着短轴方向能量变化多 短轴方向能带宽。 短轴
长轴
k2
k1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
k (x a)




f ( x a a )




f x ( l 1) a


f ( x a )


f ( x a )
根据布洛赫定理



f ( x a a ) e
ika
8 a
x 8 )
x k (x) e k (x)
于是 因此得
k 0,
e
ika
1
4 a , 6 a , ...
2 a
,
若只取第一布里渊区内的值： 则有
k 0


a
k

a
（2）
k ( x)



f ( x a ) ( f 是 某 个 确 定 的 函 数 )
对晶格常数为a 的面心立方结构晶体，原点原子有十二个最近邻， Rn 坐标 分别为：
A - 4B
A - 4B
+4B
-12B
16B
[习题 5.6] 已知一维晶体的电子能带可写成
E (k )

2 2
(
7 8
cos ka
1 8
cos ka )
2
ma
其中a为晶格常数， 求: （1） 能带宽度； （2） 电子在波矢k状态的速度； （3） 能带顶和能带底的电子有效质量。
如图5-50所示。用近自由电子模型，求第一个带隙的宽度
图5-50
[解答] 根据式（5-54）知，禁带宽度的表达式：Eg=2|Vn|， 其中Vn是周期势场V(x)傅里叶级数的系数，该 系数可由式（5-28）求得
Vn
2 a
a
2 a
1
a
－i
nx
V ( x )e
0
dx
ex p [ i ] co s i sin
【解】
（1）要求能带宽度，先求能带的极值，
a sin ka (1
1 4
co s ka ) 0
能带底 能带顶
（2）要求电子速度
v
1 E k

ma
sin ka (1
1 4
co s ka )
（3）要求有效质量
co s ka
m 1 4 co s 2 ka
m
* 带底

4 3
l
求电子在这些状态的波矢k(a为晶格常数)。
解答：(2) 由布洛赫定理
k ( x a) e k ( x)
ika
和已知条件 得
K ( x ) i cos
8 a
8 a
πx;
k ( x a ) i co s
i co s 8 a
( x a ) i co s(
m 4 5
k
2 n ' a
m
* 带顶

m
k
( 2 n ' 1) a
思考题-9. 在近自由电子模型中，对于每个k 态，都有一个简并态－k态，为什么只有在 k=nπ/a时，才需要用简并微扰法？
[提示] 只有 –k=k-Gh的态才能进入能量E， 波函数 的表达式。
思考题5.11 如果等能面为椭球面，那么沿什 么方向电子的速度最大？什么方向最小？
第五章习题
习题5.5 ： 利用布洛赫定理，ΨK(x+n a)=ΨK(x) ei k n a的
形式，针对一维周期势场中的电子波函数:
(1 )
K ( x ) sin
π a
x;
8 a
l 为整数）。
√ √
(2)
K ( x ) i cos

πx;
( 3)
K ( x ) f ( x la )( f 为某一确定函数，