八年级数学竞赛例题专题讲解9：二次根式的概念与性质

专题09 二次根式的概念与性质

阅读与思考

0)

a≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：

1

≥

a、a2一样都是非负数．

2

．

2

＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．

3

()

()

a a

a

a a

≥

⎧⎪

==⎨

-≤

⎪⎩

揭示了与绝对值的内在一致性．

4

a b

=（a≥0，b≥0）．

5

=（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．

6．若a＞b＞0

＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．

运用二次根式性质解题应注意：

（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；

（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．

例题与求解

【例1】设x，y都是有理数，且满足方程

11

40

2332

x y

ππ

π

⎛⎫⎛⎫

+++--=

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，那么x y

-的值是

____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．

【例2】当1≤x≤2

___________．

解题思路：

a≥0的隐含制约．

【例3】若a＞0，b＞0=

的值．

（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．

【例4】若实数x，y，m满足关系式：

199

y x

=--m的值．

（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．

【例5】已知

1

5

2

a b c

+-=-，求a＋b＋c的值．

（山东省竞赛试题）

解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.

【例6】在△ABC中，AB，BC，AC

同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点

△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC，，

（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．

（3）若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n）试运用构图法求出这个三角形的面积．

（咸宁市中考试题）

解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．

能力训练

A 级

1．要使代数式

2

3243

x x x ---+有意义．则x 的取值范围是_____________．

（“希望杯”邀请赛试题）

2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答． 已知a 为实数，化简3

1a a a

---． 解：原式＝()1

1a a a

a a a a

---=--． （1）若a ＝1，b ＝1，则ab ≤1；

（2）若a ＝

12，b ＝52，则ab ≤32

； （3）若a ＝2，b ＝3，则ab ≤5

2

；

（4）若a ＝1，b ＝5，则ab ≤3．

（黄冈市竞赛试题）

4．已知实数a ，b ，c 满足211

2024

a b b c c c -+++-+=，则a （b ＋c ）的值为_______．

5．代数式12x x x +

-+-的最小值是（ ）．

C

B

A

图1

图2

A．0 B．1C．1 D．不存在

6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．

A B．3和3

C D

（“希望杯”邀请赛试题）

7

2

的结果是（）．

A．6x－6 B．－6x＋6 C．－4 D．4

（江苏省竞赛试题）

8．设a是一个无理数，且a，b满足a b－a－b＋l＝0，则b是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数

C．小于0的无理数D．大于0的无理数

（武汉市竞赛试题）

9

=，其中ab≠0

（山东省中考试颗）

10．已知66-a，b，求ab的值．

（浙江省竞赛试题）11．设a，b，c为两两不等的有理数．

（北京市竞赛试题）

12．设x ，y y =，求y 的最大值．

（上海市竞赛试题）

B 级

1．已知x ，y 为实数，y ，则5x ＋6y ＝_________．

2．已知实数a 满足1999a a -=，则a －19992＝___________．

3．正数m ，n 满足m ＋－4n ＝3

_______．

（北京市竞赛试题）

4．若a ，b 满足5b ＝7，则s =3b 的取值范围是________．

（全国初中数学联赛试题）

5．已知整数x ，y ＋50，那么整数对（x ，y ）的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

（江苏省竞赛试题）

6．已知

1a a -＝1，那么代数式1

a a

+的值为（ ）

A ．

2 B ．－2

C D ． （重庆市中考试题）

7=

x ，y ，a 是两两不同

的实数．则代数式22

22

3x xy y x xy y +--+的值为（ ） ．

A ．3

B ．

13 C ．2 D ．53

82= ） ． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

9．设a ，b ，c 是实数，若a ＋b ＋c ＝＋＋14，求