八年级数学竞赛例题专题讲解9：二次根式的概念与性质

专题09 二次根式的概念与性质
阅读与思考
0)
a≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1
≥
a、a2一样都是非负数．
2
．
2
＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3
()
()
a a
a
a a
≥
⎧⎪
==⎨
-≤
⎪⎩
揭示了与绝对值的内在一致性．
4
a b
=（a≥0，b≥0）．
5
=（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
6．若a＞b＞0
＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．
例题与求解
【例1】设x，y都是有理数，且满足方程
11
40
2332
x y
ππ
π
⎛⎫⎛⎫
+++--=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，那么x y
-的值是
____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．
【例2】当1≤x≤2
___________．
解题思路：
a≥0的隐含制约．
【例3】若a＞0，b＞0=
的值．
（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．
【例4】若实数x，y，m满足关系式：
199
y x
=--m的值．
（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．
【例5】已知
1
5
2
a b c
+-=-，求a＋b＋c的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.
【例6】在△ABC中，AB，BC，AC
同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC，，
（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n）试运用构图法求出这个三角形的面积．
（咸宁市中考试题）
解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．
能力训练
A 级
1．要使代数式
2
3243
x x x ---+有意义．则x 的取值范围是_____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答． 已知a 为实数，化简3
1a a a
---． 解：原式＝()1
1a a a
a a a a
---=--． （1）若a ＝1，b ＝1，则ab ≤1；
（2）若a ＝
12，b ＝52，则ab ≤32
； （3）若a ＝2，b ＝3，则ab ≤5
2
；
（4）若a ＝1，b ＝5，则ab ≤3．
（黄冈市竞赛试题）
4．已知实数a ，b ，c 满足211
2024
a b b c c c -+++-+=，则a （b ＋c ）的值为_______．
5．代数式12x x x +
-+-的最小值是（ ）．
C
B
A
图1
图2
A．0 B．1C．1 D．不存在
6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．
A B．3和3
C D
（“希望杯”邀请赛试题）
7
2
的结果是（）．
A．6x－6 B．－6x＋6 C．－4 D．4
（江苏省竞赛试题）
8．设a是一个无理数，且a，b满足a b－a－b＋l＝0，则b是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数
C．小于0的无理数D．大于0的无理数
（武汉市竞赛试题）
9
=，其中ab≠0
（山东省中考试颗）
10．已知66-a，b，求ab的值．
（浙江省竞赛试题）11．设a，b，c为两两不等的有理数．
（北京市竞赛试题）
12．设x ，y y =，求y 的最大值．
（上海市竞赛试题）
B 级
1．已知x ，y 为实数，y ，则5x ＋6y ＝_________．
2．已知实数a 满足1999a a -=，则a －19992＝___________．
3．正数m ，n 满足m ＋－4n ＝3
_______．
（北京市竞赛试题）
4．若a ，b 满足5b ＝7，则s =3b 的取值范围是________．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知整数x ，y ＋50，那么整数对（x ，y ）的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
（江苏省竞赛试题）
6．已知
1a a -＝1，那么代数式1
a a
+的值为（ ）
A ．
2 B ．－2
C D ． （重庆市中考试题）
7=
x ，y ，a 是两两不同
的实数．则代数式22
22
3x xy y x xy y +--+的值为（ ） ．
A ．3
B ．
13 C ．2 D ．53
82= ） ． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
9．设a ，b ，c 是实数，若a ＋b ＋c ＝＋＋14，求
()()()a b c b c a c a b +++++的值．
（北京市竞赛试题）
10．已知ax 3＝by 3＝cz 3，1x
＋1y ＋1
z ＝1，求证：22233ax by cz a ++=＋3b ＋3c ．
11．已知在等式
ax b
s cx d
+=+中，a ，b ，c ，d 都是有理数，x 是无理数．求：
（1）当a ，b ，c ，d 满足什么条件时，s 是有理数， （2）当a ，b ，c ，d 满足什么条件时，s 是无理数．
（“希望杯”邀请赛试题）
12．设s ＝222222
111111111122319992000+
+++++⋅⋅⋅+++，求不超过s 的最大整数[s]．
13．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连结AC ，EC ，已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x ．
（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；
（2）请问点C 满足什么条件是AC ＋CE 的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式()
2
2
4129x x ++
-+的最小值．
B
D
E
C
（恩施自治州中考试题）。