平面向量的分解与坐标运算

3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且
uuur uuur BC =2 AD
,则顶点D的坐标为()
A.(2, 7 ) 2
B.(2,- 1 ) 2
C.(3,2)
D.(1,3)
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uuur
uuur
解析 : 设Dx, y,则AD x, y 2, BC 4,3,
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●三点共线的判断方法 判断三点是否共线, 先求每两点对应的向 量, 然后再按两向量共线进行判定,即已知
uuur
Auuurx1, y1 , Bx2, y2 , C x3, y3 ,则AB x2 x1, y2 y1 , AC x3 x1, y3 y1 , 若x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1 0,则A､B､C三点共线.
uuur uuur
又BC 2AD,
3
4 2x,
2y 2
,
x y
2, 7. 2
答案:A
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4.若平面向量b与向量a 1, 2的夹角是180,
且 b 3 5,则b __________ .
解析
:
设b
x,
y
,
则由题意知
x,
y
x2
k 1, 2
y2 3
k 5,
0
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考点自测
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1.若向量a 1,1, b 1, 1, c 1, 2,则c等于()
A. 1 a 3 b 22
B. 1 a 3 b 22
C. 3 a 1 b 22
D. 3 a 1 b 22
答案:B
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解析 : 设c xa yb,则
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解析:由题知4a=(4,-12), 4b-2c=(-6,20), 2(a-c)=(4,-2), 由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0, 则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0, 即(2,6)+d=0,故d=(-2,-6),选D.
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x1 y1 ,因为x2, y2有可能等于0，所以应表示为 x2 y2 x1 y2 x2 y1 0.同时，a / /b的充要条件也不能错记为： x1 y2 x2 y1 0，x1 y2 x2 y1 0等. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是a=λb,这与x1y2x2y1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.
§5.2平面向量的分解与坐标运算
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高效梳理
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●平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与x轴､y轴平行的两个单位向量i ､j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使 得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其 中x,y分别叫做a在x轴､y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标 表示,相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相等向量.
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●平面向量的坐标运算
(1)已uuu知r 点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),
AB (x2 x1 )2 (y2 y1)2 .
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-
1, 2 x 1,1 y 1, 1 x y, x y,
x y 1,
x
y
2,
x 1, 2
y3 2
,
c
1 2
a
3 2
b.
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2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a､4b-2c､2(a-c) ､d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为() A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 答案:D
=(6,-42).
2Q mb nc (6m n, 3m 8n) 5, 5,
6m n 3m 8n
5, 5,
解得
m
n
1, 1.
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uuuur uuuur uuur
3设O0, 0,Q CM OM OC 3c,
uuuur
uuur
OM 3c OC 3, 24 3, 4 0, 20.
1
6
0,
3
.wk.baidu.com
2
答案 : 3 2
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题型突破
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题型一tixingyi平面向量的坐标运算
【例1】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).
uuur 设AB
uuur =a,BC
uuur =b, CA
uuuur uuur =c,且CM =3c, CN
=-2b.
,
解得k 3,b 3, 6.
答案:(-3,6)
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5.已知点A(1,-2),若点A､B的中点坐标为(3,1)且AuuBur 与向量 a=(1,λ)共线,则λ=__________.
解析:由A､B的中点坐标为3,1,可知B5, 4,
uuur 所以AB
4,
6
,
uuur 又AB
Pa,4
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
uuuur (3)求M､N的坐标及向量 MN的坐标.
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解析:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3·(5,-5)+(-6,-3)-3·(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)
y2),λa=(λx1,λy1),a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.
(3)非零向量a=(x,y)的单位向量为±
a 或 a
1 x, y
x2 y2
(4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b x1=x2且y1=y2.
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●需注意的几点 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成
uuur uuur uuur
M 0, 20.又Q CN ON OC 2b,
uuur
uuur
ON 2b OC 12,6 3, 4 9, 2,
uuuur
N 9, 2.MN 9, 18.
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规律方法:利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点､终点 坐标的关系求解.