第5章 张角定理及应用(含答案)

第5章 张角定理及应用
【基础知识】
张角定理 设A ，C ，B 顺次分别是平面内一点P 所引三条射线PA ，PC ，PB 上的点，线段AC ，CB 对点P 的张角分别为α，β，且180αβ+<︒，则A ，C ，B 三点共线的充要条件是：
sin()
PC
αβ+=
sin sin PB PA
αβ
+
． 证明 如图5-1，A ，C ，B 三点共线ABP ACP CBP S S S ⇔=+△△△
β
αC
B
A
P
图5-1
111
sin()sin sin 222PA PB PA PC PC PB αβαβ⇔⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ sin()sin sin PC PB PA
αβαβ
+⇔
=+
． 推论 在定理的条件下，且αβ=，即PC 平分APB ∠，则A ，C ，B 三点共线的充要条件是：2cos PC α=
11
PB PA
+
． 注 若规定角的绕向，逆时针方向为正，否则为负，则上述定理、推论中的点C 可表示在AB 的延长线上的情形．
上述定理把平面几何和三角函数紧密相联，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式．用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以简捷地解决． 【典型例题与基本方法】
1．恰当地选择共一端点的两线段对同一视点的两张角，是应用张角定理的关键
例1 如图5-2，已知ABCD 为四边形，两组对边延长后得交点E ，F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =． （1978年全国竞赛题）
ββ
αG
F
E
D
C
B A
图5-2
证明 以E 为视点，令BEC α=∠，CEG β=∠，分别对B ，C ，F ；A ，D ，F 及A ，C ，G 应用张角定理，得
sin()sin sin EC EF EB αβαβ
+=+
， ① sin()sin sin ED EF EA αβαβ
+=+
， ② sin()sin sin EC EG EA
αβαβ
+=+
．
③
又由BD EF ∥，有BDE β=∠，在△BED 中应用正弦定理，有sin()sin ED EB
αββ
+=
． 由①+②-③-④，得
2sin sin EF EG
αα
=
， ∴ 2EF EG =，即EG GF =．
例2 已知ABC △的顶点A ，B ，C 对应的三边长分别为a ，b ，c ，E 为其内切圆圆心，AE 交BC
于D ．求证：AE b c
ED a
+=
． （1979年广东省竞赛题）
证明 如图5-3，连BE 并延长交AC 于F ，令BAE α=∠，由于E 为内心，则EAF α=∠．以A 为视点，分别对B ，E ，F 及B ，D ，C 应用张角定理的推论，得
F
E
D
C
B
A
图5-3
2cos 11AE AB AF α=+，2cos 11
AD AB AC α=+
． 上述两式相除，得
()()
AC AB AF AD AE AF AC AB +=+， 而
1AD AE ED ED
AE AE AE
+==+
， 从而 ()()AB AC AF ED AB CF
AE AF AC AB AF AB AC
-==⋅++． ①
又BF 平分B ∠，则
AB AF BC CF =，即AB BC
AF CF
=
． 于是，由上式代入①式，得
ED BC AE AB AC =+，故AE b c
ED a
+=
． 例3 如图5-4，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠．在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ．求证：GAC EAC =∠∠． （1999年全国高中联赛题） （G '）
G
F
E
D
C
B
A
图5-4
证明 作CAG CAE '=∠∠，交BC 于G '．只须证G '，F ，D 三点共线，设BAC CAD θ==∠∠，
CAG CAE α'==∠∠．
以A 为视点，分别对B ，F ，E ；B ，G '，C ；C ，E ，D 应用张角定理，有 ()
sin sin sin AF AB AE θααθ
+=
+
， ① sin sin sin()
AG AB AC
θαθα-=+
'， ② sin sin sin()
AE AD AC θαθα-=+
，
③
由①-②+③式，得
sin()sin sin AF AD AG θααθ
+=+
'
． 又以A 为视点，对G '，F ，D 应用张角定理，知G '，F ，D 三点共线． 由此，知G '与G 重合，故GAC EAC =∠∠．
例4 如图5-5，已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，任作一直线顺次交AB ，AC ，AM 于P ，Q ，
N ．求证：
AB AP ，AM
AN
，AC AQ 成等差数列．
（1979年辽宁省竞赛题）
θ
β
αC
B
A M
N P
Q
图5-5
证明 令BAM α=∠，MAC β=∠，AMB θ=∠．以A 为视点，分别对P ，N ，Q 及B ，M ，C 应用张角定理，有
sin()sin sin AN AP AQ
αββα
+=+
， ①
sin()sin sin AM AB AC
αββα
+=+
． ② 又在△ABM 和△AMC 中，由正弦定理，有 sin sin AB MB θα=，sin sin AC MC θβ
=
． 注意到MB MC =，上述两式相除得sin sin AC AB
αβ
=
． 于是②式变为
sin()2sin 2sin AM AB AC
αββα
+==
． 由①式除以上式，得
12AM AB AC AN AP AQ ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
． 故
AB AP ，AM
AN
，AC AQ 成等差数列．
2．找准视点，寻找到与题设条件或结论有关的线段所在的三角形，是灵活应用张角定理的前提．
例5 如图5-6，圆的割线PAB 通过圆心O ，自P 作圆的任一割线PCD 交圆于C ，D ．又在圆上取一点E ，使BE BD =，连CE 交AB 于F ．求证：
211
AB BP BF
=+
．
B
P
图5-6
证明 连AC ，BC ，令1ECB =∠∠，2BCD =∠∠，3ACE =∠∠，4ACP =∠∠，AC a =，BC b =． 由BE BD =，有12=∠∠．
连BD ，由AE AD =，有34ABD ==∠∠∠．
以C 为视点，考察线段AB ，BP ，BF 所在的三角形ABC △和△PBC ，分别应用张角定理，有
sin90sin 1sin 3
CF a b ︒=+
∠∠， sin(904)sin 4sin90a b CP ︒+︒
=+
∠∠． 即 sin 1sin 3cos 3sin 3
ab ab
CF b a b a =
=
++∠∠∠∠， cos 4sin 4cos 3sin 3ab ab
CP b a b a =
=
--∠∠∠∠． 由此，知cos 3sin 30b a ->∠∠． 在△CPB 中，由余弦定理，得 1
2
2
2
2
2cos(903)cos 3sin 3cos 3sin 3ab ab BP b b a b a ⎡⎤⎛⎫=+-⋅
⋅︒+⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∠∠∠∠∠． 因034180<+<︒∠∠，则03490<=<︒∠∠，即cos 30>∠． 于是，(
)1
2
2
2
2
2
cos 3(cos 3sin 3)b a b BP b a 2
⎡⎤⋅+⎢⎥==-⎢⎥⎣⎦
∠∠∠ 同理，在CFP △
中，有BF ．
又在Rt ABC △
中，AB ， 故
211
AB BP BF ==+
． 注 此例结论表示AB 是BP 与BF 的调和平均，亦表示1
PF 调和分割弦AB ． 例6 （第一章例12）任意四边形ABCD 的一组对边BA 与CD 交于M ，过M 作割线交另一组对边所
在直线于H 、L ，交对角线所在直线于H '、L '．求证：
1111
MH ML MH ML +=+
''
． 证明 如图5-7，MBL α=∠，CML β=∠，BMC αβ=+∠， L'
H 'D
C
B
A M
H
图5-7
由张角定理得：
sin()sin sin MH MD MA
αβαβ
+=+
， ① sin()sin sin MH MC MA αβαβ
+=+
'， ② sin()sin sin ML MD MA αβαβ
+=+
'， ③ sin()sin sin ML MC MB αβαβ
+=+
．
④
由①+④-②-③得
sin()sin()sin()sin()
0MH ML MH ML
αβαβαβαβ+++++--=''，
故
1111MH ML MH HL +=+
''
． 注 此例也可运用线段的调和分割来证明，可参见第十一章例9．对于第十一章的例10，也可运用张角定理来证．请看下例：
例7 圆内接四边形ABCD 一组对边DA 、CB 延长线交P 点，过P 点任作直线PF 分别交圆于E 、F ，交AB 、CD 所在直线于N 、M ，求证：
1111
PE PF PN PM
+=+
． 证明 设APM α=∠，BPM β=∠，并分别取AD 、EF 、BC 中点R 、G 、H ，如图5-8，显然P 、R 、G 、H 和圆心O 五点共圆，由托勒密定理可知：PG RH RG PH PR GH ⋅=⋅+⋅．对△RGH 三边用正弦定理代入得：()sin sin sin PG PH PR αβαβ⋅+=⋅+⋅，两边乘2，即()sin()PE PF αβ++= ()()sin sin PB PC PA PD αβ
+++．又PE PF PB PC PA PD ⋅=⋅=⋅，则1
1sin()PE PF αβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
111
1sin sin PB PC PA PD αβ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．由张角定理：sin()sin sin PN PB PA αβαβ+=+，sin()sin sin PM PC PD αβαβ+=+，因此
1111
PE PF PN PM
+=+
． P
F
D
图5-8
当PF 与AB 、DC 的延长线相交同时与圆相交（或相切），如图5-9，例7仍然成立，证法相同．
O
P
R M
N K H G
F
E D
C
B
A 图5-9
当PF 与CA ，BD 相交或与它们的延长线相交，同时也与圆相交（或相切），例题7也成立，证法也相同．如图5-10，相切时
11
PE PF
=
．
P
图5-10
例8 圆内接ABC △，切线C 点交BA 的延长线于P ，过P 任作直线交圆于E 、F ，交AC 、BC 分别
于N 、M ，求证：
1111
PE PF PN PM
+=+
． 证明 设APM α=∠，MPC β=∠，并分别取AB 、EF 中点G 、H ，如图5-11，显然P 、G 、H 、
C 和圆心O 五点共圆，由托勒密定理可知PH GC GH PC PG HC ⋅=⋅+⋅，对△GHC 三边用正弦定理代入得()sin sin sin PH PC PG αβαβ⋅+=⋅+⋅，两边乘2，即()sin()2sin PE PF PC αβα++=⋅⋅+
()sin PA PB β
+．因为2PE PF PC PA PB ⋅==⋅，从而1121
1sin()sin PE PF PC PA PB αβα⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin β．
图5-11
由张角定理，sin()sin sin PN PC PA αβαβ+=+，sin()sin sin PM PC PB
αβαβ
+=+
． 因此
1111
PE PF PN PM +=+
． 【解题思维策略分析】
1．给出著名问题的一种新证法 例9（斯坦纳定理） 在ABC △中，BD ，
CE 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线．若BD CE =，则AB AC =． 证明 如图5-12，令ABD DBC α==∠∠，BCE ACE β==∠∠，分别以B ，C 为视点，对ABC △应用张角定理的推论，有
2cos 11BD AB BC α=+，2cos 11
CE AC BC
β=+
． β
α
β
αE
D C
B
A
图5-12
亦有
2cos 2cos AB BC AC BC BD CE AB BC AC BC αβ
⋅⋅⋅⋅===
++， 亦即
()()
cos cos AB AC BC AC AB BC β
α
+=
+． 对上式应用分比定理，把cos cos βα-化为积，并变形可得 ()2sin
sin
cos 2
2
AC AB BC AB AC BC βα
βα
α
++--=-⋅⋅⋅． ①
显然，α，β，αβ±均只能为锐角． 若AB AC >，则①式左端为正，而右端为负， 若AB AC <，则①式左端为负，而右端为正．
所以AB AC =．
例10（蝴蝶定理） 已知M 是O 的弦AB 的中点，过M 任作两弦CD ，EF ，连CF ，DE 分别交AB 于G ，H ，则MH MG =． 证明 如图5-13，令AMF BME α==∠∠，BMD AMC β==∠∠．以M 为视点，对△M DE 和△MCF 分别应用张角定理，有
G H '
C
图5-13
sin()sin sin MH ME MD
αββα
+=+
， sin()sin sin MG MF MC αββα
+=+
． 上述两式相减，得
()()1
1sin sin sin()MF ME MD MC MH MG ME MF MC MD βααβ⎛⎫+-=
--- ⎪⋅⋅⎝⎭
． 设P ，Q 分别是CD ，EF 的中点，由OM AB ⊥，有 22cos(90)2sin ,
22cos(90)2sin .MD MC MP OM OM MF ME MQ OM OM ββαα-==⋅︒-=⋅⎧⎨
-==⋅︒-=⋅⎩
于是，()1
1sin 0MH MG αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
．
而180αβ+≠︒，知sin()0αβ+≠．故MH MG =．
注 类似地应用张角定理，可证明如图5-8中的AG BH ''=． 2．获得线段倍分关系的一种途径
例11 已知G 是ABC △的重心，过G 作直线分别交ABC △的两边AB ，AC 于E ，F ．求证：2EG GF ≤．
证明 如图5-14，作中线BGM ，CGN ，令MGF BGE α==∠∠，CGF NGE β==∠∠．
β
αG
F
E
C
B
A
M N 图5-14
以G 为视点，分别对△GCM ，△BGN 应用张角定理，有
sin()sin sin GF MG GC αββα+=+，sin()
EG
αβ+=
sin sin BG NG
βα
+
． 注意到，2BG GM =，2GC NG =，则 sin()sin sin 2GF GM GN αββα
+=+
， ① sin()sin sin 2EG GM GN αββα
+=+
．
②
①1
2
⋅
-②，得 ()113sin sin 024GF EG GN ααβ⎛⎫-⋅+=-⋅ ⎪
⎝⎭
≤． 而 ()()sin 0090αβαβ+><+<︒，
故
11
02EG GF
-≥，即2EG GF ≤．
例12 如图5-15，平行四边形ABCD 中，在AB 边上取一点P ，使3AB AP =，在边AD 上取点Q ，使4AD AQ =，且PQ 交AC 于M ．求证：7AC AM =． β
αD
C
B
A
M O
P
Q 图5-15
证明 连BD 交AC 于O ，则1
2
AO AC =
．令DAM α=∠，BAM β=∠，3AB a =，4AD b =．以A 为视点，分别对△APQ 和△ABD 应用张角定理，有 sin()sin sin sin sin b a AM a b ab αβαβαβ
+⋅+⋅=+=
， sin()sin sin 4sin 3sin 3412b a AO a b ab αβαβαβ
+⋅+⋅=+=
． 因ADO ABO S S =△△，则4sin 3sin b a αβ⋅=⋅． 于是，
4sin 3sin 6sin 2
12sin 12sin 9sin 12sin 7
AM b a a AO b a a a αββαβββ⋅+⋅⋅===⋅+⋅⋅+⋅． 故7AC AM =．
例13 如图5-16，筝形ABCD 中，AB AD =，BC DC =．经过AC 与BD 的交点O 任作两条直线，分别交AD 于E ，交BC 于F ，交AB 于G ，交CD 于H ，GF ，EH 分别交BD 于I ，J ．求证：OI OJ =． （CMO -5试题）
δγ
βα
O
I
J H
G
F
E D C
B
A
图5-16
证明 令AOE α=∠，EOD β=∠，DOH γ=∠，COH δ=∠．由题设，知AC 垂直平分BD 于O ，以
O 为视点，考虑分别在OJ ，OI 所在的三角形△FOH 及△GOF 中应用张角定理．
但在△EOH 中，涉及OE ，OH ，于是，又在△AOD ，△COD 及△EOH 中分别应用张角定理，有
sin90sin sin OE OD OA αβ︒=+，sin90sin sin OH OC OD γδ︒=+，sin()sin sin OJ OH OE βγβγ
+=+
． 由上述三式，有
sin()sin sin sin sin sin sin sin sin OJ OC OD OD OA
βγβγβδγαγβ
+⋅⋅⋅⋅=+++
． 同理，在△AOB ，△COB 及△GOE 中分别应用张角定理，有 sin()sin sin sin sin sin sin sin sin OI OC OB OB OA
γβγβγαβδβγ
+⋅⋅⋅⋅=+++
． 注意到OD OB =，则有
11
OJ OI
=
，故OI OJ =． 例14 如图5-17，已知G 是ABC △的重心，过点G 任作一条直线l ，分别交边AB 、AC 于点D 、E ，
若AD xAB =，AE y AC =，求证：11
x y +为定值．
l βα
G
F
E
D
C
B
A
图5-17
证明 当点D 与点B 重合，即1x =时，E 为AC 之中点，即1
2
y =
，此时113x y +=，因此只需证明
11
3x y
+=即可． 如图，延长AG 交BC 于F ，则F 为BC 的中点，设BAF α=∠，FAC β=∠，由D ，G ，E 三点共线，
可得
sin()sin sin AG AE AD αβαβ+=+
，因为2
3
AG AF =，AD xAB =．AE yAC =，所以()3sin 2AF αβ+=
sin sin yAC xAB αβ+，即sin()2sin 2sin 33AF yAC xAB αβαβ
+=+①，由B ，F ，C 三点共线可得()sin sin sin AF AC AB
αβαβ+=+
②，①式减②式可得
sin 2sin 211033AC y AB x αβ⎛⎫⎛⎫
-+-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，因为F 为BC 的中点，所以ABF AFC S S =△△，即
11sin sin 22AF AB AF AC αβ⋅=⋅，即sin sin 0AC AB αβ=≠，所以2211033y x ⎛⎫⎛⎫
-+-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即113x y +=．
3．证明线段比例关系式的一种方法
例15 如图5-18，已知AD ，AE 分别是ABC △的内外角平分线，点D 在BC 边上，点E 在BC 边的延长线上．求证：
112
BE CE DE
+=
． ααb
a
E
D C
B
A
图5-18
证明 设AD a =，AE b =，BAD DAC α==∠∠．以A 为视点，分别对△ADE 和△ABE 应用张角定
理，得sin90sin sin(90)AC b a αα︒︒-=+，sin(90)sin90sin a AB b
αα
︒+︒=+
． 于是 cos sin ab AC b a αα=
+，cos sin ab
AB b a αα
=-．
在△ABE 中，由余弦定理，并注意
cos 0α>，cos sin 0b a αα->（0AB >）， 有
BE =
=
=．
同理，在△ACE 中，求得CE =．
而在Rt △ADE 中，DE =
故
112BE CE DE +==．
注 112
BE CE DE +=
表示DE 是CE 与BE 的调和平均，亦表示DE 被B 、C 或BC 被D 、E 调和分割（即
DB BE
DC CE
=
）．
用张角定理也可以证明如下调和分割问题：
凸四边形ABDF 的两组对边延长相交于点C ，E ，直线AD 交BF 于M ，交CE 于点N ，则112AM AN AD +=或AM MD
AN ND
=
． 事实上，如图5-19，令CAN α=∠，NAE β=∠，以A 为视点，分别对△ABF ，△ABE ，△ACF ，
△ACE 应用张角定理，有
F
E
D
C
B
A
M N
图5-19
sin()sin sin AM AF AB αβαβ+=+，sin()sin sin AD AE AB αβαβ
+=+
， sin()sin sin AD AF AC αβαβ+=+，sin()sin sin AN AE AC αβαβ
+=+
． 上述第一式与第四式相减后减去其余两式，得
1
12sin()sin()AM AN AD αβαβ⎛⎫++=
⋅+ ⎪⎝⎭． 而sin()0αβ+≠，故112
AM AN AD
+=
． 或由
2AD AD AM AN AM AN AM AN +==+得AM MD
AN ND =
． 这个调和分割问题可以参见第九章中的性质2．
例16 如图5-20设I ，H 分别为锐角ABC △的内心和垂心，点1B ，1C 分别为边AC ，AB 的中点．已知射线1B I 交边AB 于点2B （2B B ≠），射线1C I 交AC 的延长线于点2C ，22B C 与BC 相交于K ，1A 为
△BHC 的外心．试证：A ，I ，1A 三点共线的充分必要条件是△2BKB 和△2CKK 的面积相等．
（CMO -18试题）
1
B 2B 1
C 1
C 2
C B
A
H
K 图5-20
证明 首先证明：2260BKB CKK S S BAC =⇔=︒△△∠．
设ABC △的外接圆半径为R ，连IC ，在△ACI 与ABC △中运用正弦定理，有
1sin sin 2
AI AC
AIC C =∠∠ 14sin 12cos 2
AC R B B =
=⋅∠∠，即11
4sin sin 22AI R B C =⋅⋅∠∠． 又 11
sin 2
AB AC R B =
=⋅∠． 在△12AB B 中，注意AI 平分A ∠，以A 为视点，在此三角形中应用张角定理的推论，有
12cos 2A
AI
=∠ 12
11
AB AB +
， 即有 21
11
2cos sin 12211112cos cos cos sin 12222R B C
AB A A B C
AI AB ⋅⋅==⋅--∠∠∠∠∠∠ 11
2cos sin 221sin 2
R B C
A ⋅⋅=
∠∠∠． 同理，211
2cos sin 221sin 2
R C B
AC A ⋅⋅=∠∠∠． 从而 222222BKB CKC ABC AB C S S S S AB AC AB AC =⇔=⇔⋅=⋅△△△△ 1111sin cos sin cos 2222sin sin 11sin sin 22
C B B C C B A A ⋅⋅⇔⋅=⋅
∠∠∠∠∠∠∠∠
2
4sin 12
A
⇔=∠，注意到A ∠为三角形内角60BAC ⇔=︒∠． 其次，再证60BAC A =︒⇔∠，I ，1A 三点共线．
连1BA ，1CA ，在△1ABA 和△1ACA 中分别应用正弦定理，有 1111sin sin A A A B ABA A AB =∠∠，11
11sin sin A A AC ACA A AC
=
∠∠． 因I 为ABC △的内心，A ，I ，1A 共线111A AB A AC ABA ⇔=⇔∠∠∠与1ACA ∠均为锐角，1111sin sin ABA ACA ABA ACA =⇔≠∠∠∠∠（因AB AC ≠）时，111180,,,ABA ACA A B A C
+=︒⇔∠∠四点共圆． 注意到
1A 中圆周角与圆心角的关系，有()1
360236021802BAC BHC A A =︒-=︒-︒-=∠∠∠∠，且1
18060BAC A BAC +=︒⇔=︒∠∠∠． 例17 如图5-21，设O ，I 分别是ABC △的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上，求证：
ABC △的外接圆半径R 等于BC 边上的旁切圆的半径a r ．
（1998年全国高中联赛题）
证明 因BC 边上的旁切圆的半径4sin
cos cos 222a A B C r R =，故只需证明4sin cos cos 1222
A B C
⋅=即可． 由图，易得90OAC BAD B ==︒-∠∠，因为2A BAI CAI ==
∠∠，所以()902
A
DAI OAI B ==-︒-∠∠ 902A B α=
+-︒=，由于点D ，I ，O 共线，由张角定理可得sin 2sin sin AI AO AD ααα=+，即2cos 1
AI AO
α=+
1AD ，即2sin 112A B AI AO AD ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭=+，其中AO R =，sin 2sin sin AD AB B R C B ==． 设ABC △的内切圆半径为r ，则csc
2A AI r =，因为4sin sin sin 222A B C r R =，则4sin sin 22
B C
AI R =⋅，所以有2sin 1122sin sin 4sin sin 22
A B B C R R B C R ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭=+，即4sin cos cos 2sin sin 1222A B C B B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即2sin 2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
cos cos 2sin sin 122B C B C B C +-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即sin sin 2sin cos 2sin sin 2222A A A B C B B B C -⎛⎫⎛
⎫+⋅++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ 1
+，即()3cos cos sin sin 2sin sin 12222B A C A B C B B A B C ++⎛⎫
-+++-+=+ ⎪⎝⎭
，cos cos cos()B C B C ++-= cos()cos()B C B C --+，即cos cos cos 0B C A +-=，即
22cos cos 2sin 10222
B C B C A
+-+-=，即2sin
cos 2sin cos 12222
A B C A B C
-+⋅+=，即
4sin
cos cos 1222
A B C
=． 14．证明三点共线的又一个工具
例18 如图5-22，已知AB 是圆的直径，PA ，PC 是圆的切线，A ，C 为切点．作CD AB ⊥于D ，Q 为CD 的中点．求证：P ，Q ，B 三点共线．
B
A
P
图5-22
证明 以C 为视点，考察线段PQ ，QB 所张的角的情形． 连AC ，BC ，则90ACB =︒∠，令PCA α=∠，则CBA ACD α==∠∠，令PC a =，易知2cos AC a α=⋅，cot 2cos cot BC AC a ααα=⋅=⋅⋅，2sin 2cos CD BC a αα=⋅=⋅，2cos CQ αα=⋅．
所以
2sin sin(90)cos 1
cos cos PCB CQ CQ a a αααα
︒+===
⋅⋅∠， 2sin sin sin 2cos sin cos 2cos cot cos PCQ QCB CB CP a a a a ααααααα+=+=+⋅⋅∠∠
22sin cos 1cos cos a a αααα
+==⋅⋅．
故
sin sin sin PCB PCQ QCB
CQ CB CP
=+
∠∠∠． 由张角定理，知P ，Q ，B 三点共线．
例19 如图5-23，在线段AB 上取内分点M ，使AM BM ≤，分别以MA ，MB 为边，在AB 的同侧作正方形AMCD 和MBEF ，P 和Q 分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于M ，N ．求证：B ，C ，
N 三点共线． （IMO -1试题）
图5-23
证明 连MD ，ME ，NE ，ND ，NM ，则90DNM ENM ==︒∠∠，则D ，N ，E 三点共线，注意454590DME =︒+︒=︒∠．
设DMN NEM α==∠∠
，P ，Q 的半径分别为1r ，2
r ，则MC =，MB ，12cos MN r α=⋅= 22sin r α⋅．对视点M
，考察点B ，C ，N
所在的三角形△MBN ．由 22sin sin sin 902sin CMB CMN MN MB r α︒+=+=∠∠
()
2111sin cos sin cos sin cos 2cos 2cos r r ααααα
α
α
α
+⋅
-+⋅=
=⋅
11cos sin 2r αα
+=
==sin NMB
MC
=
=
∠．
应用张角定理，即知B ，C ，N 三点共线．
例20 如图5-24，在ABC △中，令A α=∠，B β=∠，C γ=∠，且αβ>，AD ，BE ，CF 是它的三条垂线；AP ，BQ 是两条角平分线；I ，O 分别是它的内心和外心．证明：点D ，I ，E 共线当且仅当P ，O ，Q 共线，当且仅当O ，I ，F 共线．
（IMO -38预选题或由1998年全国高中联赛题改编）
I
O
F
E D
C
B
A
P Q
图5-24
证明 由于外心O 有在ABC △内、外、边上三种情形，故须对α分三种情况讨论． （Ⅰ）当α为锐角时．
设ABC △的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，令BC a =，CA b =，AB c =，连CO ，CI ，
则ab
CP b c
=+，ab CQ a c =
+，π2OCQ β=-∠，π
2OCP α=-∠，
cos CD b γ=⋅，cos CE a γ=⋅，sin 2
r CI γ=，OCI ICF =∠∠ π22γβ=
--（或π
22
γα+-）
，π2OCF βγ=--∠（或2πγα+-）． 以C 为视点，分别考察△PCQ ，△DCE ，△OCF ，并应用张角定理． P ，O ，Q 共线sin sin sin OCP OCQ
OC CQ CP
γ⇔
=+
∠∠ []sin ()cos ()cos ab R a c b c γαβ⇔⋅=+⋅++⋅
[]224sin sin sin sin 2sin 22sin (cos cos )R R αβγαβγαβ⇔⋅⋅⋅=+++
22(sin 2sin 2sin 2)[sin 2sin 22sin (cos cos )]R R αβγαβγαβ⇔++=+++
sin 22sin (cos cos )cos cos cos γγαβγαβ⇔=+⇔=+．
D ，I ，
E 共线()sin
sin
sin 22sin cos ab r a b CI CD CE
γ
γ
γγγ⇔
=+⇔⋅=+ ()cos ()()(1cos )cos r a b c r a b a b c γγγ⇔++⋅=+⇔+-=⋅
(sin sin )(1cos )sin cos αβγγγ⇔+-=⋅
2
2cos cos
2sin sin cos 222
γαβ
γ
γγ-⇔⋅⋅=⋅
2sin
cos
cos cos cos cos 2
2
γ
αβ
γγαβ-⇔⋅=⇔=+． O ，I ，F 共线sin sin sin OCF OCI ICF
CI CF CO
⇔
=+
∠∠∠ ()cos cos sin 2222sin sin 22sin sin CI CI a R R γγβββγγββαβ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪
+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⇔=+⇔+=+ ⎪⋅⋅⎝
⎭
2sin
sin sin sin
2
2
r
r R R γ
γ
αβ
+
⋅⋅⋅⋅（注意π2
2γ
β+
≠
，4sin sin sin 222
r R αβγ
=⋅⋅） 12sin 4sin sin 2222cos cos 22
γαββαβ⎛
⎫⇔+=+⋅ ⎪⎝
⎭⋅
4sin cos cos 12sin sin 222γαββαβ⎛
⎫⇔+⋅⋅=+⋅ ⎪⎝
⎭
sin sin sin sin 22222222222αβγβγααβγαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⇔+++++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
1cos()cos()αβαβ=+--+
cos cos 1cos()1cos()cos cos cos cos βααβαβγγαβ⇔+++-=+-+⇔=+．
因此，D ，I ，E 共线⇔P ，O ，Q 共线⇔O ，I ，F 共线．
（Ⅱ）当α为钝角时，注意π
2
OCP α=-∠，依照（Ⅰ）类似证明． （Ⅲ）当α为直角时，易证点D ，I ，E 共线当且仅当ABC △是等腰直角三角形；点P ，O ，Q 共线当且仅当ABC △是等腰直角三角形；点O ，I ，F 共线当且仅当ABC △是等腰直角三角形．综合即证． 注 在ABC △中，可证得：cos cos cos C A B =+∠∠∠，当且仅当ABC △的外接圆半径等于AB 边上的旁切圆半径．因此本例题还等价于ABC △的外接圆半径等于AB 边上的旁切圆半径，此为例17即1998年全国高中联赛平面几何题结论．
5．注意张角定理与斯特瓦尔特定理的等价性
例21 如图5-25，设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点．线段BP ，PC 对点A 的张角分别为α，β，且180αβ+<︒，则B ，P ，C 三点共线的下述两个充要条件等价：
β
αC
B
A E
F P 图5-25
（Ⅰ）
sin()sin sin AP AC AB
αβαβ
+=+
（张角定理）； （Ⅱ）222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅（斯特瓦尔特定理）． 证明
sin()sin sin sin()sin sin AB AC AP AB AP AC AP AC AB
αβαβ
αβαβ+=+⇔⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ sin cos cos sin sin sin AB AC AB AC AP AB AP AC αβαβαβ⇔⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅．
作BE ⊥射线AP 于E ，作CF ⊥射线AP 于F ，则 sin sin AB BE BP k BP
AC CF PC k PC
αβ⋅⋅===
⋅⋅ cos cos AC k BP AB k PC AP k BP AP k PC AP k BC βα⇔⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ 222222
222AC AP PC AB AP BP AP AC BP AP AB PC AP BC AC AP AB AP +-+-⇔⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⇔⋅+⋅=⋅+⋅⋅．
【模拟实战】
习题A
1．在矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，M 为BC 中点，DE ⊥射线AM 于E ，求DE 之长．（用a ，b 表示）
2．ABC △中，AB AC =，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于K ．求证：3AB AK =．
3．已知AC AB ⊥，BD AB ⊥，AD 和BC 相交于点E ，EF AB ⊥于F ．又AC p =，BD q =，EF r =，
AF m =，FB n =．求证：
111p q r
+=．
4．梯形ABCD （AB DC ∥）的对角线AC ，BD 相交于P ，过P 作梯形下底的平行线交两腰AD 于M ，BC 于N ．求证：PM PN =．
5．设XOY ∠的平分线上任一点为P ，过P 作两条任意直线AB ，CD ，分别交OX ，OY 于A ，C ，B ，D ．求证：OC OA BD OB OD AC ⋅⋅=⋅⋅．
6．直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形△ADE ，△AFG ，ABC △，且G ，A ，B 都在直线l 上．设
这三个三角形的边长依次为b ，c ，a ，连GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ．求证：abc
Al ab bc ac =++．
7．在O 中，过弦GH 的中点M 作弦AB ，CD ，
令AMG α=∠，CMG β=∠．求证：sin sin MB MA
MC MD
αβ-=-． 8．在平行四边形ABCD 的CD 边上取一点P ，使12CP PD =∶∶，在对角线上取一点Q ，使13CQ QA =∶∶．求证：B ，Q ，P 三点共线． 习题B
1．已知四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于K ，L ．过K ，L 作直线，对角线AC ，BD 之延长
线分别交KL 于G ，F ．求证：
1KF ，1KL ，1KG
成等差数列． 2．在锐角三角形ABC 中，AC AB >．求证：B ∠的平分线BD 小于C ∠的平分线CE ．
3．在O 内，直径AOB ⊥半径OC ，O '与OB ，OC 相切于D ，E ，并与O 内切于F ．求证：A ，E ，F 三点共线．
4．在Rt ABC △中，90ACB =︒∠，CD AB ⊥于D ，△ADC 和△CDB 的内心分别为1O ，2O ，12O O 与
CD 交于K ．求证：
111
BC AC CK
+=
． 5．设P 为ABC △内任一点，顶点A ，B ，C 与P 的连线分别与BC ，CA ，AB 交于点D ，E ，F ．P '为△DEF 周界上任一点，过P '作PD ，PE ，PF 的平行线分别与BC ，CA ，AB 交于D '，E '，F '．证
明：在比值P D PD ''，P E PE ''，P F PF
''
中必有一个等于另两个的和．
第五章 张角定理及应用答案
习题A
1．延长AM 交DC 延长线于F ，过F 作FG BC ∥交AB 延长线于G ，则BG a =，GF b =．以D 为视
点，对A ，E ，F 应用张角定理，有sin90sin sin αβDE DF DA ︒=+，即1sin sin 2αβ
DE a b ==
．又在Rt ADF △
中，sin α
，sin β=
．于是，求得DE 2．显然AD 是A ∠的平分线，以A 为视点，对C ，D ，B 和C ，M ，K 分别应用张角定理的推论，
有12cos 112A AD AC AB ∠=+，12cos 112A AM AC AK ∠=+．注意到AB AC =，12AM AD =，则12cos 22A
AD AB ∠=，
14cos 112A
AD AB AK
∠=+，故3AB AK =．
3．过E 作AB 的平行线交AC 于G ，交BD 于H ，则GE m =，EH n =，以A 为视点，对B ，E ，C 应
用张角处理，有sin90sin sin αβAE AC AB ︒=+
，即1sin sin αβAE p m n =++．而sin r αEA =，sin m
βAE
=，即有1r m p m n =-+．又以B 为视点，对A ，E ，D 应用张角定理，有1r n
q m n
=-+． 由上面得到的两式相加，得1r r
p q
+=即证．
4．令BPN α∠=，APM β∠=，以P 为视点，分别对B ，N ，C 及A ，M ，D 应用张角定理，有 sin()sin sin αββαPN PB PC +=+，sin()sin sin αββαPM PD PA
+=+． 上述两式相除，有(sin sin )(sin sin )PM PB αPC βPA PD PN PD αPA βPB PC
⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅． ① 在PBA △和PDC △中，由正弦定理，有sin sin sin PB αPA αPA β⋅=⋅=⋅，sin sin PD αPC β⋅=⋅，又PAB PCD △∽△，有PA PD PB PC ⋅=⋅，从而由①式即得PM PN =．
5．令POA POB α∠=∠=，以O 为视点，分别对B ，P ，A 及D ，P ，C 三点，应用张角定理的推论，有2cos 11αOP OA OB =+，2cos 11αOP OC OD =+．上述两式相减，有1111OA OC OD OB
-=-．由此即证． 6．以A 为视点，分别对ABN △和ADG △应用张角定理，有sin sin sin BAN LAN BAL AL AB AN
∠∠∠=+， sin sin sin DAG GAN DAN AN AD AG
∠∠∠=+．注意到60BAL NAL GAN ∠=∠=∠=︒上述两式变为 AN AL a AL a AN ⋅+⋅=⋅，c AN b AN bc ⋅+⋅=，由此解得abc AL ab bc ac
=++． 7．设GH 交AC 于E ，交BD 于F ，由蝴蝶定理知ME MF =，以M 为视点，分别对AMC △和BMD
△应用张角定理，有sin()sin sin αβαβME MC MA +=+，sin()sin sin αβαβMF MD MB +=+，即sin sin sin sin αβαβMC MA MD MB
+=+，亦即1111sin ()sin ()αβMD MC MA MB
-=-．而MA MB MC MD ⋅=⋅，即sin ()sin ()αMC MD βMB MA -=-．由此即证．
8．设3CD =，则1CP =．考虑BQ ，QP 对C 的视角，令DCA α∠=，ACB β∠=．
在ABC △中应用正弦定理，有3sin sin αCB β=，3sin()sin αβCA β+=，3sin()4sin αβCQ β
+=，从而sin sin()4sin 3sin()3
4sin BCP αββαβCQ β
∠+==+． sin sin sin sin 4sin 3sin 13
sin PCQ QCB αββαCB CP β
∠∠+=+=． 故sin sin sin BCP PCQ QCB CQ CB CP
∠∠∠=+．由张角定理，知B ，Q ，P 三点共线． 习题B
1．令KA a =，KB b =，KC c =，KD d =，KF f =，KG g =，KL l =，DKC α∠=，CKG β∠=，以K 为视点，分别对A ，B ，L ；D ，C ，L ；D ，B ，F ；A ，C ，G 应用张角定理，有
sin()sin sin αβαβb l α+=+，①sin()sin sin αβαβc l d
+=+，②sin()sin sin αβαβb f d +=+，③ sin()sin sin αβαβc g a +=+，④ 由①+②-③-④，得2sin sin sin 0αααl f g ==-，即112f g l
+=．即证． 2．以B 为视点，对C ，D ，A 应用张角定理的推论，有12cos 11112B BD BC AB BC AC
∠=+>+（因AC AB >）． 以C 为视点，对A ，E ，B 应用张角定理的推论，有12cos 112C CE BC AC
∠=+．将此式代入前式，得11cos cos 22B C BD CE ∠∠>．又由AC AB >，知B C ∠>∠，而10π2C B <∠<∠<，则11π0224
C B <∠<∠<，
又cos x 在π(0,
)2x ∈为减函数，则11cos cos 022
C B ∠>∠>，于是有CE B
D >． 3．设OD O D O
E r ''===，
中点OO '=，且45O OD '∠=︒，O ，O '，F
OA OF R ==，
由OO R r '=-
，知1)r R =，于是sin 22AOF OF R ∠+=， sin sin sin90sin 45AOE EOF OF OA R R ∠∠︒︒+=+=sin sin sin AOF AOE EOF OE OF OA ∠∠∠=+，故由张角定理，知A ，E ，F 三顶共线．
4．设12O O 的延长线分别与AC ，BC 交于M ，N ，连1CO ，1DO ，2DO ．由Rt Rt ACD CBD △∽△，有12DO AC DO BC
=．又1290O DO =︒，知12O DO ACB △∽△，有21O O D BAC ∠=∠，则1O ，M ，A ，D 共圆，可推知11CMO CDO △∽△，故CM CD =．同理，CD CN =．令BCD α∠=，则90ACD α∠=︒-，有
sin90sin sin(90)ααCK CM CN
︒︒-=+．。