单种群生态模型的解析解-sunxiaodan

单种群生态模型的解析解-sunxiaodan

分类号O15

陕西师范大学学士学位论文

单种群生态模型的解析

解

作者单位数学与信息科学学院

指导老师唐三一

作者姓名孙小丹

专业、班级数学与应用数学专业05级3班

提交时间2009年5月

单种群生态模型的解析解

孙小丹

(数学与信息科学学院2005级3班)

指导教师唐三一教授

摘要：单种群模型的解析求解在生物数学中具有非常重要的作用。本文总结了各类可求解的自治和非自治连续、离散单种群模型，分别给出了自治单种群模型与非自治单种群模型的解析解和稳定性分析．自治单种群模型中具有解析解的连续模型有：Logistic模型，Gompertz模型、Rosenzweig模型、反向Rosenzweig模型、Von Bertalanffy增长方程和具有Allee效应的Logistic模型；离散模型有B verton-Holt模型．同时将以上模型的求解过程详细给出．针对以上自治模型分别给出了其对应的非自治模型，以及其解析解的求解过程，最后运用定理分析证明了各个模型周期解的存在性与稳定性．

关键词：单种群模型；解析解；自治模型；非自治模型；周期解

The analytical solution of single species models

SUN xiao-dan

(Class 3, Grade 2005, College of Mathematics and Information

Science)

Advisor: Professor TANG san-yi

重写下面的话

Abstract: In this paper,we give the definition and classification of the single species models at first.Based on whether the parameter is the function of the time t,the models can be classified as autonomous single species model and nonautonomous single species model;based on whether the different generations can be exist at the same time and the number of the population,the models can

be classified as continuous model and difference model.Then the analytical solutions of the autonomous single species models and nonautonomous single species modes are discussed respectively.The autonomous continuous single species models which have analytical solutions including:Logistic model,Gompertz model,Rosenzweig model,Rosenzweig model on contrary,Von Bertal anffy’s growth equation and Logistic model with Allee effect.The autonomous different single species models including ver ton-Holt model.also,how the analytical solutions of the models relationed above are obtained are given in detail.Corresponding to the autonomous models the nonautonomous models are also given respectively,at the same time how the analytical solutions of the models are obtained are given in detail,too.At last,the existence and stability of each model’s periodic solution is proved and analyzed use the theorems.

单种群是组成整个生态系统的基本单元，对任意生物现象的模拟过程都是在一定的假设基础上得到各个研究对象自身的增长规律，然后再考虑环境因素和其他对象对其的影响作用，进而建立相应的生物动力系统。任何数学模型都是建立在单种群模型的基础之上的。由于单种群模型的建立和理论分析能够帮助我们了解复杂模型的整体结构，为分析复杂模型的动态行为和一般规律提供可能，所以常常说单种群模型是生物数学的基石。由于单种群模型的重要性，前人已经建立了许多单种群模型，这些模型可分两类，确定性模型和随机模型．其中确定性模型包括连续单种群模型，离散单种群模型，脉冲和混合单种群模型；随机模型包括生灭型随机模型，随机模拟模型，随机微分和差分方程模型．无论是哪一种单种群模型(如自治和非自治单种群模型，时滞单种群模型，年龄结构单种群模型和空间模型等)，迄今为止都得到系统的理论和应用研究．对于每一类模型的理论分析，自始至终坚持一个主线：模型解析求解→正平衡态的存在性和稳定性→周期解的存在性和稳定性→分支分析→模型应用的理论分析（如最优收获策略等）→随机分析和Bayes统计推断．由于单种群模型表达形式非常简单，所以对于一个给定的单种群模型，首先考虑的是该模型是否能够解析求解，如果能则模型的所有动态行为就迎刃而解，如果不能就转而研究模型的定性行为，如分析平衡态的存在性和稳定性等．由此可见模型的解析解在对整个模型进行分析的过程中起着举足轻重的作用．但并不是每一个模型都具有大家所期望的解析解，有许多重要的具有实际意义的模型无法求出其显式解析解．但究竟哪些模型可以求出解析解，哪些只能用定性的方法进行分析，哪些非自治周期模型具有稳定的周期解，都没有给出系统的研究与分类．本篇文章就在于找出常见的确定性模型中具有解析解的单种群模型，对于自治单种群模型，给出其解析解的具体求解过程，而对于非自治单种群模型在给出解析解的求解过程以后还将进一步分析其周期解的存在性与稳定性，为进一步研究和运用各个模型提供方便．

1．预备知识

单种群模型及其分类

自然界中任何种群都不是孤立的，而是与生物群落中其他种群密切相关的，单种群模型是指只考虑一种生物群落，不考虑其它种群因素对它的影响．在生