自动控制原理第二版课后答案第二章

U a (s) s[( Ra Las)( Js b) Kb Km ]
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四、典型环节
• 一个传递函数可以分解为若干个基本因 子的乘积，每个基本因子就称为典型环 节。常见的形式有：
①比例环节，传递函数为
G(s) K
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②积分环节，传递函数为 ③微分环节，传递函数为
G(s) 1 s
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对图（b）和图（c），当死 区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影 响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
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在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出、输入关系
其中弹簧刚度为K，
阻尼器的阻尼系数为f， 质量块的质量为m。
f
K M y(t)
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解：分析质量块m受力，有
外力F
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
惯性力 md2 y / dt 2
F(t)
由于m受力平衡，所以
Fi 0
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性
f
力。
m－K－f 系统的动态关系，它是一个二阶线性定常
微分方程。
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2－2 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
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于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性关系的线性化
系统的动态结构图由若干基本符号构成。 构成动态结构图的基本符号有四种，即信 号线、传递方框、综合点和引出点。
1. 信号线
表示信号输入、输出的通道。箭头代 表信号传递的方向。
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2. 方框
G(s) 方框的两侧为输入信号线和输出信号线， 方框内写入该输入、输出之间的传递函数 G(s)。
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3.综合点
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设任一系统或元件的微分方程如下：
d nct
d n1c t
dt n an1 dt n1

a1
dct
dt

a0ct

dmr t
dt m
bm1
d
m1r (t dt m1
)

b0rt
在零初始条件下对上式进行拉氏变换
(sn an1sn1 a1s a0 )C(s)
传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数。
因为 G(s) C(s)／R(s)
当 r(t) (t) 时，R(s) 1 所以
c(t) L1 C(s) L1 G(s)R(s) L1 G(s)
传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义，而且容易实现。
第二章 自动控制系统的数学模型
主要内容
2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数
2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
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基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
d2c(t dt 2
)

dc(t dt
)

c(t
)

r
(t
)
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t) ，而 r(t) r2 (t)时，
方程有解 ，c2 (分t) 别代入上式且将两式相加，则显
然，当
r(t) r1(t) r2时(t)，必存在解为
c(t) c1(t) c2 (t) ，这就是可叠加性。
• 系统的数学模型是描述系统输入、输出 变量以及内部各变量之间关系的数学表 达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实 验法
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并经实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数
U s
Us Rs

Rs
综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符 号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线 的箭头附近标以负号。
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4. 引出点
U s U s
表示同一信号传输到几个地方。
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二、动态结构图的基本连接形式 1. 串联连接
X(s) G1(s)
Y(s) G2(s)
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
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三、系统动态结构图的建立
建立系统动态结构图的步骤： ①建立控制系统各元部件的微分方程，列写微分方程 时，注意相邻元件间的负载效应影响。
②对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并作 出各元件的方框图。
方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。
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2. 并联连接
G1(s)
X(s)
－ Y(s)
＋
G2(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形
式的连接称为并联连接。
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3. 反馈连接
R(s)
－
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
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可得
df y dx |x0
x kx ，简记为
y kx 。
若非线性函数有两个自变量，如 z f (x, y)，则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
z
f xv
|( x0 , y0 )
将各力代入上等式，则得
K M y(t)
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d2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
(2 1 4)
式中：y——质量块m的位移（m）；
f——阻尼系数（N·s/m)；
K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-4)的微分方程标准化
m K
d2 y(t) dt 2
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4. 电枢控制的直流电动机
Ra La
ia (t)
,
U a (t)
Ub (t)
if
J：电机转动惯量 f：粘性系数
Ua (s) (Ra La s)Ia (s) Ub (s)
Ub (s) Kb(s) Kbs (s)
Ia
(s)

Ua (s) ( Ra
Kb(s)
La s)
(sm bm1sm1 b1s b0 )R(s)
则有
C(s) R(s)

G(s)

sm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
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二、关于传递函数的几点说明
• 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出；

f K
dy(t) dt

y(t)

1 K
F (t)
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令 T m / K ，2 T f / K 即 f / 2 mK
k 1/ K ， 则式 (2 4) 可写成
T
2
d2 y(t) dt 2

2
T
dy(t) dt

y(t)

kF (t)
(2 1 5)
T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了

uc
(t
)

ur
(t
)
(2 1 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc (t) dt

uc (t)

ur
(t)
(2 1 3)
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• 例2-2 设有一弹簧-质
量-阻尼动力系统如图
所示，当外力F(t)作用
于系统时，系统将产 生运动，试写出外力
F(t)
F(t)与质量块的位移
y(t)之间的动态方程。
线性定常系统在零初始条件下，输出
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
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这里，“初始条件为零”有两方面含义：
一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入
量及其各阶导数，在t= 0 时的值为零。
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
即t= 0 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
• 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关；
• 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数（可定义传递函数矩阵，见第九章）；
传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，
分母的阶次满足： n 。m
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一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。
(1)
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4. 电枢控制的直流电动机
驱动力矩
Tm (s) KmIa (s)
(2)
Tm (s) TL (s) Td (s)