自动控制原理第二版课后答案第二章

• 系统的数学模型是描述系统输入、输出 变量以及内部各变量之间关系的数学表 达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实 验法
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并经实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数
U s
Us Rs

Rs
综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符 号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线 的箭头附近标以负号。
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4. 引出点
U s U s
表示同一信号传输到几个地方。
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二、动态结构图的基本连接形式 1. 串联连接
X(s) G1(s)
Y(s) G2(s)
系统的动态结构图由若干基本符号构成。 构成动态结构图的基本符号有四种，即信 号线、传递方框、综合点和引出点。
1. 信号线
表示信号输入、输出的通道。箭头代 表信号传递的方向。
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2. 方框
G(s) 方框的两侧为输入信号线和输出信号线， 方框内写入该输入、输出之间的传递函数 G(s)。
37
3.综合点
18
若 r(t) ar1(t) 时，a 为实数，则方程解
为 c(t) ac1(t) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增加若干倍，系统响应也增
加若干倍，这就是叠加原理。
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2－3 传递函数
传递函数的定义：
d2c(t dt 2
)

dc(t dt
)

c(t
)

r
(t
)
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t) ，而 r(t) r2 (t)时，
方程有解 ，c2 (分t) 别代入上式且将两式相加，则显
然，当
r(t) r1(t) r2时(t)，必存在解为
c(t) c1(t) c2 (t) ，这就是可叠加性。
7
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列写微分方程的一般方法
• 例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。
R
i
ur
C
uc
8
解：由基尔霍夫定律得:
ur
(t
)

Ri(t)

1 C
i(t)dt
uc
(t)

1 C
i(t)dt
(2 11)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变 量i,可得:
RC
duc (t) dt

f K
dy(t) dt

y(t)

1 K
F (t)
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令 T m / K ，2 T f / K 即 f / 2 mK
k 1/ K ， 则式 (2 4) 可写成
T
2
d2 y(t) dt 2

2
T
dy(t) dt

y(t)

kF (t)
(2 1 5)
T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了
26
三、典型元器件的传递函数
1. 电位器
1 2

m
ax

E
Θs
U s
K
U
K E
max
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2. 电位器电桥
1
2
E
K1 p1
K1 p 2
U
Θ 1
s

Θ K1 p
Θ 2
s

U s
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3.齿轮
传动比 i N2 N1
N2L

N1m ,L

1
i
m
L

1 i
m
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
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可得
df y dx |x0
x kx ，简记为
y kx 。
若非线性函数有两个自变量，如 z f (x, y)，则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
z
f xv
|( x0 , y0 )
传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数。
因为 G(s) C(s)／R(s)
当 r(t) (t) 时，R(s) 1 所以
c(t) L1 C(s) L1 G(s)R(s) L1 G(s)
传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义，而且容易实现。
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设任一系统或元件的微分方程如下：
d nct
d n1c t
dt n an1 dt n1

a1
dct
dt

a0ct

dmr t
dt m
bm1
d
m1r (t dt m1
)

b0rt
在零初始条件下对上式进行拉氏变换
(sn an1sn1 a1s a0 )C(s)
U a (s) s[( Ra Las)( Js b) Kb Km ]
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四、典型环节
• 一个传递函数可以分解为若干个基本因 子的乘积，每个基本因子就称为典型环 节。常见的形式有：
①比例环节，传递函数为
G(s) K
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②积分环节，传递函数为 ③微分环节，传递函数为
G(s) 1 s
G(s) s
④惯性环节，传递函数为
G(s)
1
Ts 1
⑤一阶微分环节，传递函数为
G(s) s 1
式中： ，T 为时间常数。
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⑥二阶振荡环节，传递函数为
G(s)
1
T 2s2 2 Ts 1
式中：T 为时间常数， 为阻尼系数。
⑦二阶微分环节，传递函数为
G(s) 2s2 2 s 1
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一、传递函数的概念
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
G ( s ) U c( s ) U r( s )
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一、传递函数的概念
例2-4 求RC 网
络的传递函数 ur
R
i C uo
U o (s) 1/ Cs 1 U r (s) R 1/ Cs 1 RCs
Ur (s)
G(s)
U o (s)
其中弹簧刚度为K，
阻尼器的阻尼系数为f， 质量块的质量为m。
f
K M y(t)
10
解：分析质量块m受力，有
外力F
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
惯性力 md2 y / dt 2
F(t)
由于m受力平衡，所以
Fi 0
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性
f
力。
x f y
|( x0 , y0 )
y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
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叠加原理
叠加原理含有两重意义，即可叠加性和均匀性（或 齐次性）。
例2-3： 设线性微分方程式为
m－K－f 系统的动态关系，它是一个二阶线性定常
微分方程。
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2－2 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
14
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于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性关系的线性化
29
4. 电枢控制的直流电动机
Ra La
ia (t)
,
U a (t)
Ub (t)
if
J：电机转动惯量 f：粘性系数
Ua (s) (Ra La s)Ia (s) Ub (s)
Ub (s) Kb(s) Kbs (s)
Ia
(s)

Ua (s) ( Ra
Kb(s)
La s)
第二章 自动控制系统的数学模型
主要内容
2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数
2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
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1
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
2
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6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
3
• 分析和设计任何一个控制系统，首要任 务是建立系统的数学模型。

uc
(t
)

ur
(t
)
(2 1 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc (t) dt

uc (t)

ur
(t)
(2 1 3)
9
• 例2-2 设有一弹簧-质
量-阻尼动力系统如图
所示，当外力F(t)作用
于系统时，系统将产 生运动，试写出外力
F(t)
F(t)与质量块的位移
y(t)之间的动百度文库方程。
将各力代入上等式，则得
K M y(t)
11
d2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
(2 1 4)
式中：y——质量块m的位移（m）；
f——阻尼系数（N·s/m)；
K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-4)的微分方程标准化
m K
d2 y(t) dt 2
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对图（b）和图（c），当死 区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影 响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
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在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出、输入关系
• 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关；
• 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数（可定义传递函数矩阵，见第九章）；
传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，
分母的阶次满足： n 。m
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一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。
(1)
30
4. 电枢控制的直流电动机
驱动力矩
Tm (s) KmIa (s)
(2)
Tm (s) TL (s) Td (s)
TL (s):负载力矩
(3)
Td (s):干扰力矩
TL (s) Js2 (s) bs (s) (4)
设 Td (s) 0
G(s) (s)
Km
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
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三、系统动态结构图的建立
建立系统动态结构图的步骤： ①建立控制系统各元部件的微分方程，列写微分方程 时，注意相邻元件间的负载效应影响。
②对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并作 出各元件的方框图。
式中： 为时间常数， 为阻尼系数。
此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间
为 ，该环节的传递函数为
G(s) e s
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2－4 动态结构图
动态结构图是一种数学模型，采 用它将更便于求传递函数，同时 能形象直观地表明输入信号在系 统或元件中的传递过程。
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一、动态结构图的概念
(sm bm1sm1 b1s b0 )R(s)
则有
C(s) R(s)

G(s)

sm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
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二、关于传递函数的几点说明
• 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出；
据处理而辨识出系统的数学模型。
5
总结： 解析方法适用于简单、典型、常 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。
6
2-1 控制系统微分方程的建立
基本步骤： 1. 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 2. 建立输入、输出量的动态联系 3. 消去中间变量 4. 标准化微分方程
方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。
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2. 并联连接
G1(s)
X(s)
－ Y(s)
＋
G2(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形
式的连接称为并联连接。
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3. 反馈连接
R(s)
－
线性定常系统在零初始条件下，输出
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
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这里，“初始条件为零”有两方面含义：
一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入
量及其各阶导数，在t= 0 时的值为零。
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
即t= 0 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。