高考数学试题分类汇编集合与逻辑

2009年高考数学试题分类汇编——集合与逻辑
一、填空题
1.(2009年广东卷文)已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和
{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是
【答案】B
【解析】由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.
2.（2009全国卷Ⅰ理）设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I 中的元素共有（A ）
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =
3.（2009浙江理）设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B = ð( )
A ．
{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x > 答案：B
【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B = ð{|01}x x <≤．
4.（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的
5.（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件.
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：C
【解析】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的
6.（2009浙江理）设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B = ð( )
A ．
{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x > 答案：B .
【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B = ð{|01}x x <≤．
7.（2009浙江文）设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B = ð（ ）
A ．
{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x > 1． B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质．
【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B = ð{|01}x x <≤． 8.（2009浙江文）“0x >”是“0x ≠”的（ ）.
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度． 【解析】对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件．
9.（2009北京文）设集合21{|2},{1}2
A x x
B x x =-<<=≤，则A B =
（ ）
A ．{12}x x -≤<
B ．
1
{|1}2
x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤< 【答案】A
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属
于基础知识、基本运算的考查.
∵1{|2},2
A x x =-<<{}2{1}|11
B x x x x =≤=-≤≤， ∴ {12}A B x x =-≤< ，故选A.
10.(2009山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
【解析】:∵{}0,2,A a =,{}2
1,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴216
4
a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故
选D. 答案:D
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的
元素,从而求得答案,本题属于容易题.
11.(2009山东卷文)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
【解析】:∵{}0,2,A a =,{}2
1,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴216
4
a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故
选D. 答案:D
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
12.（2009全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=
(A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7} 答案：C
解析：本题考查集合运算能力。

13.（2009广东卷理）已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和
{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴
影部分所示的集合的元素共有
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 无穷多个
【解析】由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B.
14.（2009安徽卷理）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫
=-<=<⎨⎬-⎩⎭
则A ∩B
是
（A ） 11232
x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩
⎭
或 (B) {}23x x <<（C ） 122
x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
(D)
112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬
⎩
⎭
[解析]集合1{|12},{|3}2A x x B x x x =-<<=<->或，∴1{|1}2
A B x x =-<<- 选D
15.（2009安徽卷文）若集合
，则
是
A ．{1，2，3} B. {1，2} C. {4，5} D. {1，2，3，4，5}
【解析】解不等式得{}1
|32
A x x =-<<∵{}1||5
B x x N x +=∈≤ ∴{}1,2A B = ,选B 。

【答案】B .
16.（2009安徽卷文）“
”是“
且
”的
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+时，则可能有
a d c
b >>且，选
A 。

【答案】A
17.（2009江西卷文）下列命题是真命题的为
A ．若11
x
y
=,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,= D ．若x y <,则 22x y < 答案：A
【解析】由1
1x
y
=得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =义,而x y <得不到22x y < 故选A.
18.（2009江西卷理）已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数为
A ．mn
B ．m n +
C ．n m -
D ．m n - 答案：D
【解析】因为[()()]U U U A B A B = 痧 ，所以A B 共有m n -个元素,故选D 19.（2009天津卷文）设””是“则“x x x R x ==∈31,的.
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】 因为1,1,0,3-==x x x 解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。

【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。

考查逻辑推理能力。

20.(2009
湖
北
卷
理
)
已
知
{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集
合，则P Q =I
A ．｛…1，1‟｝ B. ｛…-1，1‟｝ C. ｛…1，0‟｝ D. ｛…0，1‟｝ 【答案】A
【解析】因为(1,) (1,1)a m b n n ==-+
代入选项可得(){}1,1P Q ⋂=故选
A.
21.（2009四川卷文）设集合S ＝｛x ｜5<x ｝，T ＝｛x ｜0)3)(7(<-+x x ｝.
则T S ⋂＝
A. ｛x ｜－7＜x ＜－5 ｝
B. ｛x ｜ 3＜x ＜5 ｝
C. ｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝
D. ｛x ｜ －7＜x ＜5 ｝.
【答案】C
【解析】S ＝｛x ｜55<<-x ｝，T ＝｛x ｜37<<-x ｝
∴T S ⋂＝｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝
22.（2009四川卷文）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】显然，充分性不成立.又，若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b
即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”
23. （2009全国卷Ⅱ理）设集合{}1|3,|
04x A x x B x x -⎧⎫
=>=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B = A. ∅ B. ()3,4 C.()2,1- D. ()4.+∞
解：{}{}1|
0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫
=<=--<=<<⎨⎬-⎩
⎭
.(3,4)A B ∴= .故选B.
24.（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人
喜爱乒乓球运动，8人对这两项
运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
12 .
解: 设所求人数为x ，则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5x x --=-，
故15530812x x +-=-⇒=. 注：最好作出韦恩图！
25.（2009福建卷理）已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于
A ． { x ∣0≤x ≤2}
B { x ∣0<x<2}
C ． { x ∣x<0或x>2}
D { x ∣x ≤0或x ≤2} 【答案】：A
[解析]∵计算可得{0A x x =<或}2x >∴}{02CuA x x =≤≤.故选A 26.（2009辽宁卷文）已知集合M ＝﹛x|－3＜x ≤5﹜,N ＝﹛x|x ＜－5或x ＞5﹜，则M N ＝
(A) ﹛x|x ＜－5或x ＞－3﹜ (B) ﹛x|－5＜x ＜5﹜ (C) ﹛x|－3＜x ＜5﹜ (D) ﹛x|x ＜－3或x ＞5﹜ 【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.
【答案】A
27.（2009辽宁卷文）下列4个命题
111
:(0,),()()23
x x p x ∃∈+∞<
2:(0,1),p x ∃∈㏒1/2x>㏒1/3x
31
p :(0,),()2x x ∀∈+∞>㏒
1/2
x
411
:(0,),()32
x p x ∀∈<㏒
1/3
x
其中的真命题是
（A ）13,p p （ B ）14,p p （C ）23,p p （D ）24,p p 【解析】取x ＝12
,则㏒1/2x ＝1,㏒1/3x ＝log 32＜1,p 2正确.
当x ∈(0,31
)时,(12
)x ＜1,而㏒1/3x ＞1.p 4正确
【答案】D
28.（2009辽宁卷理）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N=
(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5} 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B
（1） 29.（2009宁夏海南卷理）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,
则N A C B =I
(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7
(C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 解析：易有N A C B = }{1,5,7，选A
29.（2009陕西卷文）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为
（A ）[0，1） （B ）（0，1） （C ）[0，1] （D ）（-1，0] 答案：A.
解析:[0,1],(1,1)M N ==-,则[0,1)M N ⋂=,故选A.
30.（2009四川卷文）设集合S ＝｛x ｜5<x ｝，T ＝｛x ｜0)3)(7(<-+x x ｝.
则T S ⋂＝
A. ｛x ｜－7＜x ＜－5 ｝
B. ｛x ｜ 3＜x ＜5 ｝
C. ｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝
D. ｛x ｜ －7＜x ＜5 ｝ 【答案】C
【解析】S ＝｛x ｜55<<-x ｝，T ＝｛x ｜37<<-x ｝
∴T S ⋂＝｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝
31.（2009全国卷Ⅰ文）设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集 =A B ，则集合［u （A B ）中的元素共有 (A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个. 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。

（同理1）
解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =
32.（2009宁夏海南卷文）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则
A B =
(A) }{3,5 (B) }{3,6
(C) }{3,7 (D) }{3,9
【答案】D
【解析】集合A 与集合B 都有元素3和9，故A B = }{3,9，选.D 。

33.（2009宁夏海南卷文）复数3223i i
+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -
34.（2009天津卷理）命题“存在0x ∈R ，0
2x ≤0”的否定是. （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 0
2x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0
【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。

解析：由题否定即“不存在R x ∈0，使020
≤x ”，故选择D 。

35.（2009四川卷理）设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =
Ａ.{}|75x x -<<-
Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<<
Ｄ.{}|75x x -<<
【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，
考查集合的运算，基础题。

解析：由题)3,7(T ),5,5(-=-=S ，故选择C 。

解析2：由{|55},S x x =-<<{|73}T x x =-<<故{|53}S T x x =-<< ，故选
C ．
36.（2009福建卷文）若集合{}{}|0.|3A x x B x x =>=<，则A B 等于.
A ．{|0}x x <
B {|03}x x <<
C {|4}x x >
D R
解析解析 本题考查的是集合的基本运算.属于容易题.
解法1 利用数轴可得容易得答案B.
解法2（验证法）去X=1验证.由交集的定义，可知元素1在A 中，也
在集合B 中，故选B.
37.（2009年上海卷理）”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程0
12=++ax x 有虚根”的
（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条
件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不
必要条件.
【答案】A
【解析】△＝2a －4＜0时，－2＜a ＜2，因为”“22≤≤-a 是“－2＜a ＜
2”的必要不充分条件，故选A 。

38.（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”
的逆命题是（ ）
A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B ．“若一个
数的平方是正数，则它是负数”
C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D ．“若一个
数的平方不是正数，则它不是负数”
【答案】B
解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此
逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。

二、填空题
1.（2009年上海卷理）已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，
则实数a 的取值范围是______________________ . .
【答案】a ≤1
【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左
边，所以，有a ≤1。

2.（2009重庆卷文）若{U n n =是小于9的正整数}，{A n U n =∈是奇数
}，{B n U n =∈是3的倍数}，则()U A B = ð ．
【答案】{}2,4,8 .
解法1{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，则{1,3,5,7},{3,6,9},A B ==所以{1,3,5,7,9}A B = ，
所以(){2,4,8}U A B = ð
解析2{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，而(){|(){2,4,8}U U A B n U n A B =∈= 痧
3.（2009重庆卷理）若{}3A x R x =∈<，{}21x B x R =∈>，则
A B = ．
【答案】（0，3）
【解析】因为{}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I
4.（2009上海卷文） 已知集体A={x|x ≤1},B={x|≥a},且A ∪B=R ，
则实数a 的取值范围是__________________. .
【答案】a ≤1
【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左
边，所以，有a ≤1。

5.（2009北京文）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A
-∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由
S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
【答案】6
.w 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,
考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻
的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.故所
求的集合可分为如下两类：
因此，符合题意的集合是：{}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共
6个.
故应填6.
6.（2009天津卷文）设全集{}1lg |*<∈=⋃=x N x B A U ，若
{}4,3,2,1,0,12|=+==⋂n n m m B C A U ，则集合B=__________.
【答案】{2，4，6，8}
【解析】}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=⋃=B A U }9,7,5,3,1{=⋂B C A U }8,6,4,2{=B
【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。

.
7.（2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探
究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小
组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同
时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。

答案：8.
解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,,A B C ,则()0card A B C ⋂⋂=. . ()6,()4card A B card B C ⋂=⋂=,
由公式()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ 易知36=26+15+13-6-4- ()card A C ⋂故()card A C ⋂=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.
8.（2009湖北卷文）设集合A=(x ∣log 2x<1), B=(X ∣
21+-X X <1), 则A B = .
【答案】{}|01x x << .
【解析】易得A={}|02x x << B={}|21x x -<< ∴A ∩B={}|01x x <<.
9..(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
【答案】：12
【解析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)830x x x -+-++=，解得3x =，所以1512x -=，即所求人数为12人。

.。