正比例函数(2)
课件4：19.2.1正比例函数（2）
则m的取值范围是（ Ｂ）
A. m 1 B. m 1
2. 函数 y 5x , y 2 x ,
C.
y
m
x,
1
y
D.1
m 1
x 中，
7
y随x的增大而增大的是 y 5x , y x
，
y随x的增大而减小的是 y 2x ,
y 1 x 7
.
3.已知正比例函数 y kx (k 2 2) 的图像，
例1：用“两点法”画出函数y 3x 和 y 3x
的图像，并回答下列问题。
图像
（1）函数 y 3x的图像过点（0, 0 ）和
（ 2 ，6），且 y 随x 的增大而 增大 ；
（2）函数 y 3x 的图像过第__二__、__四____象限，
且 y随 x的增大而 减小 。
练习：
1.正比例函数 y (m 1)x 的图象经过一、三象限，
第 十 九 章
一
次 函
数
y 随 x 的增大而减小，求 k 的值。 解：由正比例函数的定义可知：k 2 2 0, k 2
又y 随 x 的增大而减小，故 k<0 所以 k 2 4. 已知正比例函数 y (m 1) x|m|的图象过第
二、四象限，求m的值。 解：由正比例函数的定义可知： | m | 1, m 1
又图像过第二、四象限，故 m 1 0, m 1 所以 m 1
画出正比例函数 y 2x和 y 2x 的图像
画图
解析式
y kx(k 0)
k 0
k 0
图像
图像恒过原点
(0, 0)
性质
⑴图像过一、三象限
⑵ y随 x的增大而
增大（上升趋势）
⑴图像过二、四象限
正比例函数
2、画函数图像的步骤有哪些？
教学流程
一、自主学习
画出下列正比例函数的图像：
（1）、 ， （2） ，
二、合作探究
活动1.观察上题画函数，完成下列问题：
（1）正比例函数是一条，它一定经过。
（2）因为过点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（，）和（，）
（3）当k > 0时，直线经过象限， 随 的增大而
当k〈0时，直线经过象限， 随 的减小而
活动2.既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？
试一试：用最简单的方法画出下列函数的 Nhomakorabea像（1）y=-3x（2）y= x
解：（1）取点和,
（2）描点、连线
三、巩固练习：
例1、在同一坐标系中，分别作出下列函数的图像。
例2、已知函数 是关于 的正比例函数
中学教学设计
课题
19.2.1正比例函数(2)
主备人
审批签字
课时
1
课型
新授
授课时间
学
习
目
标
1、会画正比例函数的图像。
2、根据图像说出正比例函数的性质，渗透数形结合思想。
重点
正比例函数的图像和性质
难点
数形结合思想研究正比例函数的性质
教学内容安排
师生双边活动
新课导入
1、下列式子中，哪些是正比例函数，哪些不是，为什么？ （2） （3） （5）
（1）求正比例函数的解析式。
（2）画出它的图象。
（3）若它的图象有两点 ，当 时，试比较 的大小
课堂小结
正比例函数的性质与k的关系
回答
问题
在平面直角坐标系下画函数图像
正比例函数2(应用)
正比例函数2（应用）一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，是自变量，是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？40．已知y与x﹣3成正比例，当x=4时，y=3．①求这个函数解析式．②求当x=3时y的值．正比例函数2（应用）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用三角形面积公式求出AH得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）设P（t，0），利用三角形面积公式得到•|t|•3=9，然后解关于t的绝对值方程即可．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6，∴•4•AH=6，解得AH=3，∴A（4，﹣3），把A（4，﹣3）代入y=kx得4k=﹣3，解得k=﹣，∴正比例函数解析式为y=﹣x；（2）存在．设P（t，0），∵△AOP的面积为9，∴•|t|•3=9，∴t=6或t=﹣6，∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=﹣2解得，∴正比例函数的解析式是；（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），∴OP=5，∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．【分析】依据正比例函数的定义得到|m+2|=1且m+3≠0，求得m的值即可．【解答】解：依题意有|m+2|=1且m+3≠0，解得m=﹣1．故m的值是﹣1．【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，依据正比例函数的定义列出方程组是解题的关键．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．【分析】设这个正比例函数的解析式是y=kx，再将A （1，3）代入求得k即可．【解答】解：设正比例函数的函数解析式是y=kx，∵A（1，3）在y=kx上，则k=3，∴这个函数解析式是y=3x．【点评】此题主要考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．【分析】（1）根据新运算法则得出3※4的值；（2）分类讨论：当x≥0时和x＜0时，分别写出y与x的关系式，再画出图象．【解答】解：（1）∵4≥0，∴3※4=3×4=12；（2）当x≥0时，y与x的关系式为y=2x；当x＜0时，y与x的关系式为y=﹣2x；列表如下：x…﹣2﹣1012…y…42024…描点、连线，如图所示．【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是：（1）读清题意，掌握新运算法则；（2）分x≥0和x＜0找出y与x的关系式．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y=y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．【解答】解：根据题意设y1=k1x，y2=k2（x﹣2），即y=y1+y2=k1x+k2（x﹣2），将x=﹣1时，y=2；x=3时，y=﹣2分别代入得：，解得：k1=﹣，k2=﹣，则y=﹣x﹣（x﹣2）=﹣x+1．即y与x的函数关系式为y=﹣x+1；画出该函数的图象为【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．【分析】由点A所在的位置即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式，此题得解．【解答】解：∵点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，∴点A的坐标为（2，﹣4）．设正比例函数的表达式为y=kx（k≠0），将点（2，﹣4）代入y=kx中，﹣4=2k，解得：k=﹣2，∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数的表达式是解题的关键．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【分析】（1）根据题意可设y=kx，再把当x=﹣2时，y=4代入可得k的值，进而得到函数解析式；（2）将点的坐标代入正比例函数的解析式求得a的值即可．【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y=kx，∵当x=﹣2时，y=4，∴4=﹣2k，k=﹣2，∴y与x的函数关系式为y=﹣2x，（2）∵点（a，﹣2）在函数关系式为y=﹣2x的图象上，∴﹣2a=﹣2，∴a=1．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数的定义：y=kx（k≠0）．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围．【解答】解：根据y随x的增大而增大，知：3k﹣1＞0，解得k＞．故k的取值范围为k＞．【点评】考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx，把A坐标代入求出k的值，确定出解析式，再将B坐标代入求出a的值即可．【解答】解：设y=kx，把A（﹣2，3）代入﹣2k=3，解得：k=﹣1.5，∴y=﹣1.5x，把B（a，﹣3）代入y=﹣1.5x，解得：a=2．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．【分析】设y=k（x+1），将x=2，y=1代入可求得k的值，继而可得出函数解析式，再将x=﹣3代入可求出y的值．【解答】解：y=k（x+1），将x=2，y=1代入得：1=3k，解得：k=，∴函数解析式为：y=x+，当x=﹣3时，y=﹣3×+=﹣．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，注意掌握待定系数法的运用．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．【分析】（1）利用题意列方程组，然后解方程组求出k1与k2的值，从而得到两个正比例函数的解析式；（2）先计算出自变量为4时所对应的两个函数值，然后计算的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以两正比例函数的解析式分别为y1=x，y2=﹣x；（2）当x=4时，y1=x=7，y2=﹣x=﹣9，所以=﹣=．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．【分析】①利用待定系数法把x=﹣2时y=12代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式；②根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可得出k的值．【解答】解：①∵正比例函数y=kx中x=﹣2时y=12，∴12=﹣2•k，解得：k=﹣6，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣6x；②解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义及待定系数法确定正比例函数的解析式，难度不大，注意基础概念的掌握．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．【分析】直接设正比例函数的解析式为：y=kx，将点，代入求出即可．【解答】解：设正比例函数的解析式为：y=kx，（k＞0），∵正比例函数过点，∴，解得：，∴正比例函数的解析式为：y=6x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用图象上点的性质得出是解题关键．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．【分析】（1）设y=k（x+2），将x=5，y=﹣21，代入可得出y与x之间的函数关系式．（2）令x=0可得出截距．【解答】解：（1）设y=k（x+2），x=5，y=﹣21代入得：﹣21=7k，解得：k=﹣3，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣3x﹣6；（2）令x=0，解得：y=﹣6，∴截距为﹣6．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，难度不大，注意掌握截距的概念．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【分析】（1）根据图象上点的坐标性质，将点（，1）代入正比例函数y=（3m ﹣1）x，求得m值即可；（2）根据m的值，即可得出这个函数的解析式；【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，∴将点（，1）代入正比例函数y=（3m﹣1）x，即：1=（3m﹣1）×，整理得：3m=3，解得：m=1；∴m的值为1；（2）解：∵m的值为1；∴代入y=（3m﹣1）x，即可求出，y=（3×1﹣1）x=2x，∴这个函数的解析式为：y=2x．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式，此题比较简单作题时一定要认真仔细不要犯错．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．【分析】先根据题意设出关系式，将x=3时y=1代入，求得k的值，然后把x=﹣5代入，求出y的值．【解答】解：∵y+4和x成正比例，∴y+4=kx（k≠0），∵x=3时，y=1，∴1+4=3k，k=，∴y=x﹣4．当x=﹣5时，∴y=×（﹣5）﹣4=﹣．【点评】本题考查了正比例函数的定义，已知自变量的值求得函数的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．【分析】首先利用待定系数法求得正比例函数的解析式为y=﹣2x．然后将点Q 的坐标代入该函数的解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．∵它图象经过点P（﹣1，2），∴2=﹣k，即k=﹣2．∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3），∴m+3=2m．∴m=3．【点评】此类题目考查了灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点Q的坐标代入解析式，利用方程解决问题．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．【分析】根据正比例函数的系数≠0，且自变量的次数为1解答．【解答】解：根据题意得：k2﹣3=1①，k2+2k≠0②．由①得：k=±2．当k=﹣2时，k2+2k=0，y不是正比例函数；当k=2时，k2+2k=8，即y=8x是正比例函数，∴当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数．【点评】解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．【分析】设y1=kx2，y2=a（x﹣2），得出y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x=2代入函数解析式，即可得出答案．【解答】解：设y1=kx2，y2=a（x﹣2），则y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得：，k=2，a=﹣3，∴y与x之间的函数表达式是y=2x2﹣3（x﹣2），把x=2代入得：y=2×22﹣3×（2﹣2）=8．【点评】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得k=±2，∵此正比例函数y随x的增大而减小，∴k﹣1＜0，∴k＜1，∴k=﹣2．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式y=﹣x．【分析】因为y与x成正比例，y随x的增大而减小，所以可设y=kx（k＜0），又因其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），所以有﹣m=k，﹣1=mk，进而可利用方程求出m、k，最终解决问题．【解答】解：∵y与x成正比例，y随x的增大而减小，∴设y=kx（k＜0），∵其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），∴﹣m=k且﹣1=mk，∴﹣1=﹣m2，m=1，k=﹣1或m=﹣1，k=1，∵k＜0，∴m=1，k=﹣1，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题，但要注意运用y随x的变化规律确定值的取舍．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．【分析】把P点坐标代入正比例函数y=kx中，即可得到k的值，进而得到正比例函数的解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点P（2，3）∴3=2k，解得k=，∴正比例函数的解析式为：y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．【分析】（1）设解析式为y=kx，再把（﹣3，6）…代入函数解析式即可算出k的值，进而得到解析式；（2）把（a，8）代入（1）计算出的解析式，即可算出a的值，进而得到点A 的坐标．【解答】解：（1）设解析式为y=kx，∵正比例函数的图象经过点（﹣3，6），∴6=﹣3k，解得k=﹣2，∴y=﹣2x；（2）把（a，8）代入y=﹣2x，得8=﹣2a，解得a=﹣4，故点A的坐标是（﹣4，8）．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是图象经过的点，必能满足解析式．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．【分析】设函数解析式为y=kx，将x=6时，y=﹣3代入解析式即可求出k的值，从而得到y与x的关系式．【解答】解：设函数解析式为y=kx，将x=6，y=﹣3代入解析式得，﹣3=6k，k=﹣，则函数解析式为y=﹣x．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，设出正比例函数y=kx是解题的关键．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．【分析】利用待定系数法把（﹣1，2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），∴2=﹣1•k，解得：k=﹣2，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣2x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，题目比较简单，关键是能正确代入即可．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．【分析】设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，求出k的值，得到y与x的函数关系式，再把x=﹣1代入，即可求出对应的y值．【解答】解：设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，得：7﹣1=k（1+2），解得：k=2．∴y﹣1=2（x+2），即y=2x+5．当x=﹣1时，y=2×（﹣1）+5=3．【点评】先设出满足题目条件的解析式，再运用图象上的点与解析式的关系来确定系数是解决本题的关键．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．【分析】根据题意可得y+3=k（x+2），再由y=kx可得3=2k，解方程可得k的值，然后可得正比例函数解析式．【解答】解：∵当x增加2时，y增加3，∴y+3=k（x+2），y+3=kx+2k，∵y=kx，∴3=2k，解得：k=，∴正比例函数解析式为y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式．关键是根据等量关系得到3=2k．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．【分析】首先利用正比例函数的定义求得a的值，从而确定解析式，然后将点的坐标代入求得b值即可．【解答】解：∵y=（a﹣1）是正比例函数，∴a2﹣3=1且a﹣1≠0，解得：a=2或﹣2∵b2+5＞0∴点（﹣2，b2+5）在第二象限∴a=﹣2∴解析式y=﹣3x，过点（﹣2，b2+5），∴b2+5=6∴b=±1【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，图象在一三象限，呈上升趋势，当k＜0时，图象在二四象限，呈下降趋势．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．【分析】（1）分别设出两函数解析式，联立即可；（2）将z=1，x=4代入z=knx，求出kn即可．【解答】解：（1）设y=kx（k≠0），z=ny（n≠0），则有z=knx，故z是x的正比例函数；（2）将z=1，x=4代入z=knx得，1=4kn，解得：kn=，则z=x．【点评】本题考查了正比例函数的定义，列出解析式即可解答．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．【分析】（1）由题意可设y=kx（k≠0）．把x、y的值代入该函数解析式，通过方程来求k的值；（2）把x的值代入（1）中的函数式即可求得相应的y值．【解答】解：（1）由题意可设y=kx（k≠0）．则12=﹣3k，解得，k=﹣4，所以y关于x的函数解析式是y=﹣4x；（2）由（1）知，y=﹣4x，当x=﹣时，y=﹣4×（﹣）=2．即当时的函数值是2．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题实际上是利用代入法求得的系数k的值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？【分析】根据正比例函数的定义可得k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，解得：k=1．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k的值，进而得出正比例函数的解析式，把点（a，4）代入正比例函数的解析式，求出a的值即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4）∴﹣4=2×k，即k=﹣2∴正比例函数解析式为y=﹣2x∵正比例函数的图象经过点（a，4）∴4=﹣2×a，即a=﹣2．【点评】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解．【解答】解：如图所示①在直线y=x上作OP=OA，可得符合条件的P1、P2点，P1坐标为（﹣，﹣），P2（，），②以A为圆心，1为半径作弧交直线y=x于点P3，点P3符合条件，P3坐标为（，），③线段OA的垂直平分线交直线y=x于点P4，点P4符合条件，P4点坐标为（，）．故答案为：P1（﹣，﹣），P2（，），P3（，），P4（，）．【点评】本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，注意分情况进行讨论．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A的纵坐标、点A所在的象限结合△AOH的面积为3，可求出点A的坐标，再根据点A的坐标利用待定系数法，可求出正比例函数的表达式；（2）设点P的坐标为（a，0），根据△AOP的面积为5，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A在第四象限，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．∴点A的纵坐标为﹣2，∴点A的坐标为（3，﹣2）．将点A（3，﹣2）代入y=kx，﹣2=3k，解得：k=﹣，∴正比例函数的表达式为y=﹣x．（2）设点P的坐标为（a，0），则S=|a|×|﹣2|=5，△AOP解得：a=±5，∴在x轴上能找到一点P，使△AOP的面积为5，此时点P的坐标为（﹣5，0）或（5，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据三角形的面积找出点A的坐标；（2）利用三角形的面积找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：根据题意，得：，由①，得：m=2或m=﹣2，由②，得：m≠﹣2，∴m=2，即当m=2时函数y=（m+2）是正比例函数．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．【分析】（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解；（2）把x=﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=代入解析式解答即可．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，∵图象经过点（﹣3，6），∴﹣3k=6，解得k=﹣2，所以，此函数的关系式是y=﹣2x；（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．【分析】根据正比例函数的性质得k＞0，再把（k，k+2）代入y=kx得到关于k 的一元二次方程，解此方程确定满足条件的k的值，则可得到正比例函数解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限∴k＞0，把（k，k+2）代入y=kx得k2=k+2，整理得k2﹣k﹣2=0，解得k1=2，k2=﹣1，∴k=2，∴这个正比例函数的解析式为y=2x．【点评】考查了待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是10kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？【分析】（1）根据函数关系式中自变量与因变量的关系就可以得出G是m的函数进而得出m是自变量，G是因变量；（2）将G=100代入关系式G=10m，求出m的值即可；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，建立方程求出甲的质量，在代入解析式G=10m就可以求出结论．【解答】解：由题意，得（1）重力的表达关系式是G=mg，在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G 是因变量．故答案为：m，G；（2）∵G=10m．∴G=100时，100=10m，∴m=10kg．故答案为：10；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，由题意，得。
上海市八年级数学上册教案之正比例函数概念及图像 (2)
学科教师辅导讲义学员日校：年级：初二课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题正比例函数的认识和图像教学目标正比例函数的认识和图像重点、难点正比例函数的认识和图像考点及考试要求教学内容正比例函数知识精要1. 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零)那么就说这两个变量成正比例.2. 解析式形如y=kx(k是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数3. 一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k 0)的图像是经过原点O(0,0)和点M(1,k)的一条直线.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx4. 正比例函数性质(1)当k>0时,正比例函数的图像经过第一,三象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大.(2)当k<0时,正比例函数的图像经过第二,四象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小.1. 下列各题中的两个变量是否成正比例?(1)某复印社按复印A4纸1张收0.4元计费,变量是复印纸张数x(张)与费用y(元).(2)正方形ABCD 的边长为6,P 是边BC 上一点,变量是BP 的长x 与△ABP 的面积S.(3)圆的面积随半径变化而变化,变量是圆的面积A 与该圆半径r.2. 下列函数中,哪些是正比例函数?(1)5x y -=; (2)x 5y =; (3)x -3y =; (4)2x 2y =3. 已知在函数8k2x )3k (y --=中,当x 为何值时,它是正比例函数?4. 若函数)4m (x )1m 4(y -+-=是正比例函数,那么m=________________5. 已知正比例函数8x y =,那么y 与x 之间的比例系数是_____________6. 如果2个变量y 与x 的比值为k1,这里的k 为常数且不为零,那么y 与x_____正比例.(填”成”或”不成”)7. 已知y 与x 成正比例,当x=4时,y=6,求y 与x 的比例系数.8. 已知3y 与2x 2成正比例,当5x =时,7y =,求y 关于x 的函数解析式.9. 如果)1k 3(kx y -+=是正比例函数,求当y=6时,x 的值.10. 若点P 在直线x 2y -=上,且点P 的横坐标为1,那么点P 的坐标为___________11. 正比例函数图像上有两点A(3,1),B(a,2),则a=__________12. 在同一个直角坐标平面内画出两个函数的图像:(1)x 4y =与x 41y =(2)x 31y -=与x 3y -=13. 已知mn<0,那么函数x nm y =的图像经过第_____________象限. 14. 已知正比例函数x )4a 1(y -=,y 的值随着x 的值增大而增大,求a 的取值范围.15. 函数kx y =(k ≠0)的图像经过点A(21-,5),写出函数解析式,并说明函数图像经过哪几个象限.16. 已知正比例函数x )1k 2(y +=的图像经过第二,四象限,那么k_________17. 若正比例函数x )3m (y -=,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是____________18. 已知点(11y ,x ),(22y ,x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上,当21x x >时,21y y <,那么k 的取值范围是多少?19. 已知y 与x 的正比例函数,且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式;(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像;(3)如果点P(a,4)在这个函数的图像上,求a 的值;(4)试问,点A(6,-2)关于原点对称的点B 是否也在这个图像上?20. 已知y-3与5x 成正比例关系,且当x=2时,y=8,求x=-4时y 的值.21. 已知21y y 2y -=,1y 与3x 成正比例,2y 与5)(x +成正比例,且1x =时, 12y =, 1x -=时,2y -=,求y 与x 的函数解析式巩固练习1. 判断题(1) 当k ≠0时,y=(k-1)x 是正比例函数. ( )(2) 当k ≠1时,y=kx-x 是正比例函数. ( )(3) 如果3n 2x )2n (y --=是正比例函数,那么2n ±=. ( )(4) 如果y 与x+2成正比例,那么y 是x 的正比例函数. ( )2. 正比例函数kx y =(k 为常数,k ≠0)的图像是经过_________和点(1,_____)的一条直线.3. 若正比例函数的图像经过点(-1,3),则这个正比例函数的解析式是______________4. 当a=___________时,)9a (x )3a (y 2-+-=是正比例函数,图像经过第_________象限.5. 如果直线kx y =平分第一,三象限,那么k=_____________6. 正比例函数kx y =的图像经过点)5,21(-,则图像一定经过___________象限. 7. 已知点A(m,-3)在直线x 3y =上,那么m=_________8. 下列函数中，是正比例函数的是 ( )A. 3-x y =B. x 52y -= C. 2x y = D. 7x 2y -=9. 已知y 是x 的正比例函数,且当x=2时,y=2,求y 与x 之间的比例系数,写出函数解析式,并求当y=34时,x 的值.10. 已知正比例函数x )k 25(y -=的图像经过第二,四象限,求k 的取值范围.11. 已知2y-3与4x+5成正比例,且当x=1时,y=15,求y 与x 的函数关系式.12. 函数2)2k (x )2k (y --=是正比例函数,且y 的值随着x 的减小而增大,求k 的值.13. 已知6k k x )2k (y 2-++-=为正比例函数.(1) 求k 的值及函数解析式(2) 当x 取什么值时,函数的值为4314. 一个正比例函数的图像经过点A(-1,3),B(-a ，-a-1),求a 的值.15. 已知点P(2a,3b)且a 与b 互为相反数,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点H,如果15S POH =∆.求: (1)点P 的坐标;(2)直线OP 的解析式.13. 点燃的蜡烛,长度按照与时间成正比例缩短,一支长21cm 的蜡烛,点燃6分钟后,缩短3.6cm.设蜡烛点燃x 分钟后,缩短y cm,求y 的函数解析式和x 的取值范围.14. 已知正比例函数图像过点(-2,5),过图像上一点A 作y 轴的垂线,垂足为B 的坐标为(0,-3);(1) 求函数解析式;(2) 在直角坐标平面内画出函数图像;(3) 求A 点坐标及AOB S ∆.15. 已知直线y=kx 过点(21-,3), A 为y=kx 图像上的一点,过点A 点向x 轴引垂线,垂足为点B,12S AOB =∆ (1) 求函数解析式(2) 在直角坐标平面内画出函数图像;(3) 求A 点,B 点的坐标.16. 已知在正比例函数7m22x )3m 2()x (f --=中,y 随x 的值减小而增大. (1) 求m 的值;(2) 求)32(f ;(3) 在直角坐标平面内画出函数图像,并根据图像说明;当x 取何值时,2y -≤。
正比例函数(2)
∴2k=-6，
k =-3。
∴函数解析式为y=-3x.
总结
一般地，正比例函数 y=kx (k是常数， k0 ) 的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx .当k>0时，直线y=kx经过第 一、三象限，从 左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时，直 线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随 着x的增大而减小．
14.2 正比例函数(2)
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数， 叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
比例系数 X的正比例函数
y = k x
自变量
(k≠0的常数)
记住：自变量的指数为1，比例系数 k≠0
画出正比例函数
y 2 x 与y=-2x的图象：
列表：
x
3 2
1
2
2 0
0 0
1
2
-2
2
3
y=2x 6 4
Y=-2x
4
-4
6
-6
6
4
描Байду номын сангаас： 连线：
y 2 x
的图象．
得出结论： 正比例函数 y=kx (k是常数， k≠0 ) 的图象是一条经过原点的直线，我们 称它为直线 y=kx。
怎样画正比例函数的图像最简单？如何描点最方便？
经过原点与（１，k）的直线是正比例函数y=kx (k是常数,k ≠0)的图象， 由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和 点 (1，k )，过这两点做直线即可.
练一练 画出下列函数的图像
y=1/2x y=-1/2x
观察
比较两个函数的相同点与不同点.
归纳
课件1：19.2.1正比例函数（2）
问题2：这种规律对其他正比例函数适用吗？ 具有一般性吗？
请同学们在同一坐标系内画出
y 1 x 、y 1 x 进行验证。
2
2
总结
一般地正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图 象是一条经过 原点 的直线，我们称它为直线 y=kx．当k>0时，直线y=kx经过第_一__、__三__象限， 从左向右上升，即随着x的增大而__增__大____；当 k<0时，直线y=kx经过第_二__、__四___象限，从左向 右下降，即随着x的增大反而__减__小___．
A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．以上都有可能
第 十 九 章
一
次 函
ห้องสมุดไป่ตู้
数
问题1：经过原点与点（1，3）的直线是哪 个函数的图象？若经过原点与点（1，-4） 呢？你发现什么？
问题2：画正比例函数的图象时，怎样画最 简单？为什么？
试一试：用你认为最简单的方法画出下列正 比例函数的图象：
(1)y=3x
(2) y=-5x
五、课堂总结，发挥潜能 1．正比例函数y=kx图象的画法：过_原__点___与点 (1,k) 的直线即所求图象． 2．正比例函数的性质．
5、若k=2，则直线y=(k-1)x比例系数k-1 > 0(>或 <)从左到右 上升 （上升或下降）
6,若k=-2,则y=(k-1)x的比例系数k-1 < 0(>或<)， 直线y=kx经过第_二__、__四__象限，从左到右 下降 （上 升或下降），即y随x的增大而 减小 （增大或减小）
思考探索
例3：已知正比例函数y=(k-1)x(k是常数，k≠0）
(1)直线y=(k-1)x经过三、一象限，求k的取值范围。 （2）直线y=(k-1)x从左到右上升，求k的取值范围。 （3）直线y=(k-1)x经过二、四象限，求k的取值范围。 （4）直线y=(k-1)x随着x的增大而减小，求k的取值范围。
2020-2021学年人教版八年级数学下册同步复习课件第十九章第6课正比例函数的图象与性质(2)
12. 已知正比例函数y＝kx的图象经过点(3，－6).
(1)求这个函数解析式；
(2)判断点A(－1.5，3)是否在这个函数图象上；
(3)图象上的两点C(－1，y1)，D(
1 2
，y2)，比较y1，y2的大小.
解：(1)将(3，－6)代入y＝kx中得－6＝3k，
∴k＝－2，
(3)当x＝3时，y＝－2×3＝－6. ∴点(3，－6)在函数图象上．
4. 已知正比例函数的图象经过点(－2，－6). (1)求这个函数的解析式； (2)判断点(－1，3)是否在该函数的图象上；
解：(1)设函数解析式为y＝kx，根据题意得－6＝－2k， ∴k＝3， ∴函数解析式为y＝3x. (2)当x＝－1时，y＝3×(－1)＝－3≠3， ∴点(－1，3)不在该函数图象上．
10. 函数y＝kx的图象经过(－1，4)，则k＝___－__4___，这个 正比例函数的解析式是 y 4x ，图象经过第 _二__、__四___象限，y随着x的增大而__减__小____.
第2关 11. 某物体运动的路程s(km)与运动时间t(h)成正比例关系，
它的图象如图所示，则： (1)这个正比例函数的解析式是__s_=_1_5_t __； (2)当t＝3时，物体运动所经过的路程
课堂总结： 用待定系数法求解析式的步骤： ①设一般式 ②把点代入得方程 ③解方程 ④写出解析式
5. (例3)一个函数的图象是一条经过原点和点(6，－2)的直线. (1)求该函数的解析式； (2)若点(x1，y1)和(x2，y2)在该直线上，且x1＜x2，比较 y1，y2的大小.
解：(1)根据题意设函数解析式为y＝kx，将(6，－2)代入
得－2＝6k，
19.2.1 正比例函数 (第2课时) 课件
B.(-1,-2)
C.(2,-1) D.(1,-2)
4.已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大,则函数的图象
经过( B ) A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
5.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象:
(1)y=-������x; (2)y=6x.
������
解:图象略.
例3.在水管放水的过程中，放水的时 间x（分）与流出的水量y（立方米）是 两个变量，已知水管每分钟流出的水量 是0.2立方米，放水的过程持续10分钟， 写出y与x之间的函数解析式，并指出函 数的自变量取值范围，再画出函数的图 像
能力提高：
想一想：
点燃蜡烛，蜡烛长度按照与时间成正比变短，长 为21厘米的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短3.6 厘米，设蜡烛点燃x分钟后变短y厘米，求
(3)如果函数 y= - ax 的图像经过
一、三象限,那么y = ax 的图像经
过 二、四象限
.
(4)已知ab 0 , 则函数 y b x
a
的图像经过哪些象限?
二、四象限
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x
的图像（ B ）
A
B
C
D
y 3x
y x
y 1 x 3
y
y 3x yx
6.如图,三个正比例函数的图象对应的解析式分别是:① y=ax, ②y=bx, ③y=cx, 则a,b,c的大小关系是
(C ) A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.b>c>a
7.对于函数 y=k2x(k 是常数,k≠0)的图象,下列说法中不正
正比例函数(2)课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册
-2
-1
0
-1
2
3
1
3
0
1
1
3
2
2
3
3
…
1
…
新知探究
如图，在直角坐标系中描出表中
y
1
y= x
3
2
1
-2 -1
O
1 2
x
x 和 y 的值对应坐标的点，将这
些点连接起来，得到一条经过原
点和第三、第一象限的直线.它
就是函数
1
y= x
3
的函数图象.
新知探究
例1
画出下列正比例函数的图象.
（3）y=-1.5x
（4）y=-4x
（3）y=-1.5x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选
取 y 与 x 的几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
3
1.5
0
-1.5
-3
-4.5
…
新知探究
y
如图，在直角坐标系中描出表中
y=-1.5x 9
x 和 y 的值对应坐标的点，将这
4
些点连接起来，得到一条经过原
1
点和第二、第四象限的直线，它
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，(3)∵点(1，3)在该函数图象
上，
∴2m＋4＞0，解得m＞－2；
∴2m＋4＝3，
(2)∵y随x的增大而减小，
正比例函数(2) (2)
课题：19.2.1正比例函数（2）【学习目标】１．会画正比例函数图象，能结合图象说出正比例函数性质；２．渗透数形结合的思想，培养学生多途经解决问题的思维方法.【前置学习】一、基础回顾：1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？① x y 2= ② 23x y = ③ x y 4-= ④ 1.5y x =- ⑤ 13-=x y2.用描点法画函数图象的步骤是. 二、自主学习请自学课本P 87“例1”至P 89“练习”以前的内容后，解答下列问题：1.用描点法画出下列正比例函数的图象（1）x y 2= （2） 1.5y x =-2.观察图象回答：正比例函数y =2x 与y =-1.5x 的图象是什么图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？2．对照课本P 88页中的图象，说一说函数13y x =与y =-4x 的图象各有什么特征？3．总结规律：（1）正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过 的 ；我们称它为直线y=kx .（2）当k ＞0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 ；当k ＜0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 .四、 疑难摘要【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一： 1.说一说正比例函数的图象特征及其性质.2.点（0,0）、（1，k ）、（2，2k ）、（3，3k ）是否都在正比例函数y=kx 的图象上？既然正比例函数的图象是一条直线，画正比例函数图象时，怎样画最简单？展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题1.直线5y x =经过第 象限，y 随x 增大而 ；直线x a y )1(2+-=经过第象限，y 随x 增大而 . 2.若直线x k y )32(-=经过二、四象限，则k 的取值范围是 . 3.若直线32)1(-+=m x m y 经过一、三象限，则m =. 三、巩固新知,当堂训练课本P 89练习.四、反思小结本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.画函数0.6y x =-的图象，你认为过 与 两点画直线最简单.2.若函数y ＝k x 的图象经过点（2，－3），则k = ，y 随x 的增大而 .3.关于函数x y 3-=,下列说法正确的是( )(A) 图象必经过点（0，0）和（-1，-3） (B) 图象经过一、三象限(C) y 随x 的增大而减小 (D) 不论x 为何值，总有0<y4.已知点P 1（-2，y 1）、P 2（1，y 2）是正比例函数ax y -=(0<a )图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是 .5.已知关于x 的正比例函数4)92(--=m x m y 的图象经过第二、四象限，则m = .6.一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，-3a ）与 点（a ，-6），求这个函数的解析式.【应用拓展】7.已知y 与x 成正比例，且当x ＝-2时y ＝-4（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）用两点法画出函数图象；（3）如果x 的取值范围是0≤x ≤5，利用图象求y 的取值范围.。
正比例函数(2)
１．正比例函数的一般表达形式： y =kx（k是常数，k≠0） ２．正比例函数的图象和性质： 正比例函数y=kx（k≠0）的图象，是一条经过 原点的直线， 当k＞0时，直线y=kx经过第三、一象限，从 左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从 左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
解： ∵ y 与 x－1成正比例
∴y = k（x-1） （k≠0） ∵ 当 x=8 时，y =6 ∴ 7k = 6，
6 ∴ y与x之间函数关系式是：y= （x-1） 7 6 18 当x=4时，y= ×（4－1）= 7 7 6 24 当x=-3时，y= ×（-3－1）= 7 7
6 k 7
提高题：
小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺 设居室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，用这两种材 料铺设地面的工钱不一样，小亮根据地面的面积，对铺设 居室和客厅的费用（购买材料和工钱）分别进行了预算， 通过列表，并用x(m2)表示铺设地面的面积，用y（元）表 示铺设费用，制成图．
y(元)
4050 2750
(1) 已知 y-1与x+1成正比例，当x= -2时， y= -1；则当x=-1时，y= ?
解: 设 y-1= k(x+1),
把 x= -2,y = -1代入得: ∴ -1-1= k(-2+1) 即 y=2x+3
解得 k=2 y-1= 2(x+1)
当 x= -1 时, y =2(-1) +3 =1
（2）已知：y= y1+ y2，y1与x成正比例，
(１)预算中铺设居室的费用为＿＿＿元／m2， 铺设客厅的费用为－－－元／m2． （２）表示铺设居室的费用（元）与面积（m2） 之间的函数解析式为－－－－，表示铺设客厅 的费用（元）与面积（m2）之间的函数解析式 为－－－－．
正比例函数的图象和性质 (2)
课题正比例函数的图像和性质课型新授课教师网户学校蒿永侠教学目标知识与技能:了解正比例函数的定义、图象及其画法，会选取两个适当的点画正比例函数的图象，能结合图象探究出正比例函数的主要性质。
过程与方法:经历探究正比例函数性质的过程，初步认识图象上的点的坐标与解析式之间的关系。
情感态度与价值观:通过实际操作培养学生观察、比较、分析、归纳概括的能力，向学生渗透数形结合的思想；通过学生在学习活动中获得成功的体验，培养学生的数学交流能力和合作学情分析在这节课之前，学生已经有了平面坐标系的基本知识、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，也形成了较理想的先决条件。
教学重点正比例函数的图象及性质。
教学难点由正比例函数的图象探究出正比例函数的性质。
教学方法讲授法；自主学习法；合作探究教学媒体多媒体课件教学环节教学活动学生活动设计意图预留汇报4ˊ问题出示3ˊ1、正比例函数的定义是什么？并举例2、画函数图象的步骤前面我们学习了函数的基本内容以及正比例函数的概念，今天我们一起来探究正比例函数的性质。
首先，你能根据画函数图像的基本步骤画出以下正比例函数的图像吗？两名学生分别汇报，其他学生完善、纠正、评价。
回顾已学内容，为本节课内容打好基础。
明确学习目标，了解探究方向，启发学生学以致用。
自主探究7ˊ1.在同一坐标系里画正比例函数y=2x y=x31的图象(教师根据学生情况，适当指导 )，观察，这两个函数的图象是有什么共同特征？那么我们猜想一下，正比例函数的图象是否可能都是一条直线？（学生猜想）2、在同一坐标系里画正比例函数 y=-1.5x ，y=-4x的图象观察，这两个函数的图象有什么共同特征？3、我们发现刚才所作的正比例函数图象，它们都是直线几点可以确定一条直线？(两点确定一条直线)所以画正比例函数的图象，我们可以通过确定两点来作直线来画，那么确定怎样的两点合适呢？交流归纳出：计算简单，描点方便（突出原点）两点法画y=x ，y=-x的图象画函数图象观察图像特征思考画正比例函数图像的简便方法用两点法画图象，学以致用在前面探究的基础上,总结正这样的设计，主要是让学生更多熟悉数与形的结合，体会数到形的转变，还为下一步的的探究做好辅垫。
19.2.1 正比例函数（第2课时）课件2021—2022学年人教版数学八年级下册
；（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y
…
6
4
2
0
2
4
6
…
探究新知
②描点；
y=2x
③连线.
同样可以画出
1
函数y=3 的图象.
y=
观察发现：
①这两个图象都是经过原点的 直线 ．而且
都经过第 一、三
象限；
作业
内容
必做题：练习册第2课时正比
例函数的性质基础达标
选做题：练习册第2课时正比
例函数的性质能力提升
解：k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴.
x
O
y =k2 x
y =k1 x
课堂小结
图象：
经过原点的直线.
正比例函数的
图象及性质
性质：
当k>0时，图像经过第一、三象限，y的值随
着x值的增大而增大;
当k<0时，图像经过第二、四象限，y的值随
着x值的增大而减小.
课后作业
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m<0，故m=－2
巩固练习
1.已知正比例函数y=(k+5)x.
k<-5
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.
解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5.
=-8
（2）若函数图象经过点（3，-9），则k_____.