流体力学第七章7--2讲教程文件
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7工程流体力学 第七章通道内的粘性流动
R A
过流断面上流体与
x
过流断面面积
固体壁面接触的周
长，称为湿周
§7-1 通道内流动的一般特性（续6）
h b
R bh b 2h
临界雷诺数的实际大小由实验决定。
流态的判别准则——下临界雷诺数
做系列实验, 每次实验从紊流向层流过渡。
§7-1 通道内流动的一般特性（续7）
改变 d 和 , 发现
Vc
§7-3 圆管内的充分发展层流（续10）
考虑该流体元在圆管轴线方向的受力平衡， 因为：
速度分量Vz沿轴向不变且运动定常，因此 流体元沿轴线方向 无加速度，此时作用在圆柱 体两端面的压强差和作用在圆柱体侧表面的粘 性力平衡。
§7-3 圆管内的充分发展层流（p续1 11）
p2
, 设 圆柱体两端面的压强差为：p p1 p2 圆柱体侧表面切应力为
Vz Vz r
§7-3 圆管内的充分发展层流（续2）
在这些条件下N-S方程可简化为，
0 g sin p
r
-----------------(1)
0 g cos 1 p r
----------------(2)
0
p z
1 r
r
r
Vz r
----------(3)
对方程(1)积分可得：
§7-3 圆管内的充分发展层流（续4）
Vz
1
4
p z
r2
C1
ln r
C2
C1 , C2为积分常数，由边界条件来确定。
p C z
在管中心即： r 0, C1 0
在管壁上即：r R，Vz 0
C2
1
4
p z
R2
流体力学讲义 第七章 孔口及管嘴不可压缩流体恒定流
第七章孔口及管嘴不可压缩流体恒定流本章主要介绍流体力学基本方法和水头损失计算方法在孔口与管嘴出流中的应用，得出了孔口、管嘴出流的基本公式。
概念一、孔口出流（orifice discharge）：在容器壁上开孔，水经孔口流出的水力现象就称为孔口出流，如图7-1。
应用：排水工程中各类取水，泄水闸孔，以及某些量测流量设备均属孔口。
图7-11.根据d/H的比值大小可分为：大孔口、小孔口大孔口（big orifice）：当孔口直径d（或高度e）与孔口形心以上的水头高H的比值大于0.1，即d/H>0.1时，需考虑在孔口射流断面上各点的水头、压强、速度沿孔口高度的变化，这时的孔口称为大孔口。
小孔口（small orifice ）：当孔口直径d（或高度e）与孔口形心以上的水头高度H的比值小于0.1，即d/H<0.1时，可认为孔口射流断面上的各点流速相等，且各点水头亦相等，这时的孔口称为小孔口。
2.根据出流条件的不同，可分为自由出流和淹没出流自由出流（free discharge）：若经孔口流出的水流直接进入空气中，此时收缩断面的压强可认为是大气压强，即p c=p a，则该孔口出流称为孔口自由出流。
淹没出流（submerged discharge）：若经孔口流出的水流不是进入空气，而是流入下游水体中，致使孔口淹没在下游水面之下，这种情况称为淹没出流。
3.根据孔口水头变化情况，出流可分为：恒定出流、非恒定出流恒定出流（steady discharge）：当孔口出流时，水箱中水量如能得到源源不断的补充，从而使孔口的水头不变，此时的出流称为恒定出流。
非恒定出流（unsteady discharge）：当孔口出流时，水箱中水量得不到补充，则孔口的水头不断变化，此时的出流称为非恒定出流。
二、管嘴出流：在孔口周边连接一长为3~4倍孔径的短管，水经过短管并在出口断面满管流出的水力现象，称为管嘴出流。
圆柱形外管嘴：先收缩后扩大到整满管。
流体力学7气体的一维定常流动
（蓝金-许贡纽公式）。
第三节 正激波
气流经过激波时，部 分动能不可逆转变为 热能，气流受到剧烈 加热，温度增高，从 而使压强突跃引起的 密度突跃受到限制。
例题
• 设长管中静止空气参数p1=1.013×105Pa， T1=288K，γ=1.4。用活塞压缩气体以产生 激波，波后压强p2=1.1143×105Pa。求ρ2 ，T2，c2以及vs、vg。
• 激波出现时，另当考虑。
第四节 变截面管流
• 一、气流速度与通道截面的关系
dA dv dr 0 Av r
动量方 rvdv dp 程 c p / r
dp r vdv Ma2 dv
pp
v
p
r
C, dp dr pr
p / r RT , dp dr dT prT
气流加速必然伴随气体压 强、密度和温度的降低。
第三节 正激波
• 二、激波的形成和厚度
由于速度、温度等参数是连续变化的，实际的激波 是有厚度的。
Ma=2时，激波厚度为2.54×10-4mm，只有几个分 子平均自由行程。
第三节 正激波
• 三、正激波的传播速度
连续性方程
r2
r1 Ax
t
r2
Avs
0
vs x t
r2 r1 vs r2vg 0
vcr
ccr
12
2 1
cT
12
11 vmax
RTcr 1 2
2
1
RTT
12
Tcr 2
TT 1
pcr pT
2
1
1
1
rcr rT
2 1
1
第二节 气体特定状态和参考速度
速度系数
气流速度与临界音速之比称为速度系数，用M* 表示，即
第三节 正激波
气流经过激波时，部 分动能不可逆转变为 热能，气流受到剧烈 加热，温度增高，从 而使压强突跃引起的 密度突跃受到限制。
例题
• 设长管中静止空气参数p1=1.013×105Pa， T1=288K，γ=1.4。用活塞压缩气体以产生 激波，波后压强p2=1.1143×105Pa。求ρ2 ，T2，c2以及vs、vg。
• 激波出现时，另当考虑。
第四节 变截面管流
• 一、气流速度与通道截面的关系
dA dv dr 0 Av r
动量方 rvdv dp 程 c p / r
dp r vdv Ma2 dv
pp
v
p
r
C, dp dr pr
p / r RT , dp dr dT prT
气流加速必然伴随气体压 强、密度和温度的降低。
第三节 正激波
• 二、激波的形成和厚度
由于速度、温度等参数是连续变化的，实际的激波 是有厚度的。
Ma=2时，激波厚度为2.54×10-4mm，只有几个分 子平均自由行程。
第三节 正激波
• 三、正激波的传播速度
连续性方程
r2
r1 Ax
t
r2
Avs
0
vs x t
r2 r1 vs r2vg 0
vcr
ccr
12
2 1
cT
12
11 vmax
RTcr 1 2
2
1
RTT
12
Tcr 2
TT 1
pcr pT
2
1
1
1
rcr rT
2 1
1
第二节 气体特定状态和参考速度
速度系数
气流速度与临界音速之比称为速度系数，用M* 表示，即
《流体力学》 第七章 不可压缩粘性流体的流动
应力与应变的关系--------本构关系
du
dy
对照牛顿实验
pyx
斯托克斯假设
(1). 应力与变形速率之间为线性关系(小变 形(各向同性假设) (3). 趋于零时, 应力状态退化为理想流体 的应力状态(当流体处于静止状态时,符合 静止流体的应力特征)
pyz pzy
pzx pxz
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
y x
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
p y x y
pzx z
)
将pxx pyx pzx 的表达式代入, 设不可压, 则有
同理有
ax
fx
1
p x
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
ay
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z 2 )
az
fz
1
p z
pzz
p
2
w z
相 加
1 3
(
pxx
pyy
工程流体力学第7章明渠恒定流动
水力最优断面一般适合于中小型渠道
§7-2 明渠均匀流
2 .允许流速
vmin v vmax
不淤积 不冲刷
其中：vmax为免遭冲刷的最大允许流速，表7-1、7-2给出了 各种渠道免遭冲刷的最大允许流速； vmin为免遭淤积的最小允许流速，一般在0.5m/s左右， 也可采用经验公式计算：
vmin h0.64
断面形状、尺寸及底 坡沿程不变，同时又无弯 曲的渠道，称为棱柱体渠 道（重点掌握）。
§7-1 明渠的分类
按渠底坡度分 ☆平坡渠道 i 0 ☆顺坡渠道 i 0 ☆逆坡渠道 i 0
§7-2 明渠均匀流
一、明渠均匀流的特征及形成条件
v 0 （等速流） 1 .据均匀流定义 s
db dA ( b mh ) h ( m) 0 dh dh d db 2 1 m 2 0 dh dh
db 消去 dh
，则
h
b 2 h
1 m2 m
(h m)h
Rh
h
Ah
(b mh)h b 2h 1 m2
或定义:当i、n、Q一定时，使 A Amin 的渠道断面形状， 称为明渠水力最优断面。 ★说明：上述两种定义是等价的。 ★下面以第1种定义为例，寻求优化目标函数。
§7-2 明渠均匀流
Q Av AC Ri (引入v C Ri ) 1 1/ 6 1 2 / 3 1/ 2 AR i (引入C R ) n n 5/ 3 A 1 A 1/ 2 i (引入R ) 2/3 n
§7-2 明渠均匀流
或 其中
y f R, n 2.5 n 0.13 0.75 R ( n 0.1)
工程流体力学 第六版 第7章 边界层理论
y y
1
2
1+ ? 0
1
? ~ 即：y ,
2 y 2 y y y x
y2 x2 y x
y
x y
x
x
x 2 x 2x
y x2 y2
2
12
1
1ε
1ε
1 1
1
1 12
1
2
简化N-S方程：
x
x x
y
x y
1
p x
v(
2 x x 2
2 x y 2
)
1
11
ε
1
1
1 （2 12
1
7.1.1 边界层概念 7.1.2 边界层内的流态
7.1 边界层概念
边界层：（1904年，第三届国际数学家学会，普朗特第一次提出）
实际流体绕过物体流动时，由于流体粘性的影响在物 体表面附近形成沿面的法线方向速度变化很快的薄层。
常见绕流现象
飞机/汽车阻力、 炮弹/球体飞行、 建筑、叶片绕流...
y 无黏性区
Fsx
p x
(
δ 0
ρυxdy )dx
动量：e
x
(
0
x dy )dx
e 边界层外边界上的速度
平板: υ∞ 曲面:υe(x)
流出动量 -流入动量 =
x
( δ 0
ρυx2dy )dx
υe
x
(
δ 0
ρυxdy )dx
➢ x方向的表面力：
AB面： p
y A
p 1 p dx
dl 2 x
θ
C
d
BD面： τwdx
即：(
p y
0)
，
1
2
1+ ? 0
1
? ~ 即：y ,
2 y 2 y y y x
y2 x2 y x
y
x y
x
x
x 2 x 2x
y x2 y2
2
12
1
1ε
1ε
1 1
1
1 12
1
2
简化N-S方程：
x
x x
y
x y
1
p x
v(
2 x x 2
2 x y 2
)
1
11
ε
1
1
1 （2 12
1
7.1.1 边界层概念 7.1.2 边界层内的流态
7.1 边界层概念
边界层：（1904年，第三届国际数学家学会，普朗特第一次提出）
实际流体绕过物体流动时，由于流体粘性的影响在物 体表面附近形成沿面的法线方向速度变化很快的薄层。
常见绕流现象
飞机/汽车阻力、 炮弹/球体飞行、 建筑、叶片绕流...
y 无黏性区
Fsx
p x
(
δ 0
ρυxdy )dx
动量：e
x
(
0
x dy )dx
e 边界层外边界上的速度
平板: υ∞ 曲面:υe(x)
流出动量 -流入动量 =
x
( δ 0
ρυx2dy )dx
υe
x
(
δ 0
ρυxdy )dx
➢ x方向的表面力：
AB面： p
y A
p 1 p dx
dl 2 x
θ
C
d
BD面： τwdx
即：(
p y
0)
，
工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解
式的连续性方程
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
西北工大875流体力学讲义7-第七章 粘性流体动力学基础
西北工大875流体力学讲义 第七章 粘性流体动力学基础第一节 粘性流体运动的基本方程采用流体力学微元体平衡分析方法可以推导出粘性流体运动的基本方程组，该方法可参考本书的第二章和第三章。
本节将直接由两大守恒定律（质量守恒定律和动量守恒定律）来建立控制流体运动的基本方程组。
首先需要给出空间某点物理量的随体时间导数表达式、雷诺输运方程以及本构关系。
一、随体导数描述流体运动规律有拉格朗日和欧拉两种基本方法。
拉格朗日法着眼于确定的流体质点，观察它的位置随时间的变化规律。
欧拉法着眼于从空间坐标去研究流体流动，它的描述对象是流场。
随体导数的物理意义是：将流体质点物理量q 的拉格朗日变化率以欧拉导数的形式表示出来。
随体时间导数的数学表达式为：()q V tqdt dq ∇⋅+= ∂∂(7-1)式中右边第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成的变化率，叫做当地导数。
第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引起的变化率。
这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。
二、雷诺输运方程雷诺输运方程描述了积分形式的拉格朗日法和欧拉法的时间导数的变换关系。
设封闭系统在t 时刻占有体积()t Ω，如图7-1所示。
其中关于物理量q 的总量的随体时间导数有图7-1 封闭系统输运示意图()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+Ω=ΩΩΩt S t t dS n V q d t qd q dt d ∂∂ (7-2)其中()t S 为封闭体积的曲面，n为曲面的法向向量。
上式表明：封闭系统中，某物理量总和的随体导数等于该瞬间与该系统重合的控制域中该物理量总和的当地时间导数（非定常效应）和通过控制面流出的该物理量的流量（对流效应）之和，此即为流体的雷诺输运方程。
用广义的高斯公式将面积分转换成体积分，上式也可以写成()()()Ω∂∂ΩΩΩd V q tqd q dt d t t ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+=(7-3)三、连续方程连续性方程反映了流体在运动过程中必须满足质量守恒定律。
华中科技大学流体力学第七章-2全解
j
p z
k
dxi
dyj
dzk
PF x
dx
PF y
dy
PF z
dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dPF
dp
定义 如果流体密度只是当地压强的单值函数，即
p
该流体为正压流体。
此时，可以定义一空间函数
PF
dp
p
1
或者
PF
p ρ
PF -- 压强函数
PF
dp
p
PF
1 p ρ
解
L udx vdy L 6ydx 8xdy
在圆 x2 + y2 = 1上,
x cos
y sin
其速度环量为
2
2
0 6sind(cos ) 0 8cosd(sin ) 14
2．旋涡强度
涡量 -- 速度场的旋度
v 2
1 v
2
面积A上的涡通量 -- 涡量在 A 上法向分量的积分 也称为旋涡强度(或涡强)
例 密度是常数的均质不可压缩流体 是 正压流体,
ρC
PF
p
例 等熵流动的均质气体 是 正压流体,
p
1 ρ
p
p
C
PF
1
p
1
p
1 ρ
p
1
1
PF
dp
c
p
dp
1
c p 1
1
1
p
c
p
p 1
例 大气层中的空气 不是 正压流体，因为在大气层中 空气的密度不仅随压强变化，还与温度、湿度有关。
流体力学-第七章讲解[文字可编辑]
![流体力学-第七章讲解[文字可编辑]](https://img.taocdn.com/s3/m/a66d80506bd97f192279e9b5.png)
服从同一自然规律的两个互不相同又不相似的流动。因此，单值条件相似 是现象相似的第二个必要条件。
由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等是现象相似的充分条件。
这是显而易见的，两现象相似，它们的相似准则数必相等，反之，同样可以 证明，相似准则数相等的两个现象必定相似。
第一节 相似概念 第二节 相似定理 第三节 相似准则导出 第四节 模型试验方法 第五节 量纲分析
第七章 相似原理和量纲分析
对于大多数实际流体力学问题，由于流动现象和结构的复杂性（比如 粘性流体的湍流或紊流结构）理论计算尚有一定困难，因此，流体力学实 验起着相当重要的作用，它是近百年来才发展起来的试验力学的一个新的 分支。
kA ?
A' A
l '2 ? l2
?
k
2 l
kV
?
V' V
?
l '3 l3源自?k3 l
第一节 相似概念（3）
二、运动相似 若两个物体的流场所有对应点、对应时刻的流速方向而流速大小成比
例，则对应的速度场相似。流场的几何相似是运动相似的前提。
速度比例
v' v ? kv
时间比例
kt
?
t' t
?
l' l
v' v
?
kl kv
ka
?
a' a
?
v' v
t' t
?
kv kt
?
k
2 v
kl
加速度比例
k?
?
?' ?
?
l '2 l2
t' t
?
k
2 l
kt
由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等是现象相似的充分条件。
这是显而易见的，两现象相似，它们的相似准则数必相等，反之，同样可以 证明，相似准则数相等的两个现象必定相似。
第一节 相似概念 第二节 相似定理 第三节 相似准则导出 第四节 模型试验方法 第五节 量纲分析
第七章 相似原理和量纲分析
对于大多数实际流体力学问题，由于流动现象和结构的复杂性（比如 粘性流体的湍流或紊流结构）理论计算尚有一定困难，因此，流体力学实 验起着相当重要的作用，它是近百年来才发展起来的试验力学的一个新的 分支。
kA ?
A' A
l '2 ? l2
?
k
2 l
kV
?
V' V
?
l '3 l3源自?k3 l
第一节 相似概念（3）
二、运动相似 若两个物体的流场所有对应点、对应时刻的流速方向而流速大小成比
例，则对应的速度场相似。流场的几何相似是运动相似的前提。
速度比例
v' v ? kv
时间比例
kt
?
t' t
?
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v' v
?
kl kv
ka
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t' t
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加速度比例
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?' ?
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l '2 l2
t' t
?
k
2 l
kt
工程流体力学7.2气体一维定常等熵流动
cp c p cV
p p 1
代入
h v2 2
h0
得
p -1
v2 2
h0
c2 v2
-1
2
h0
c K RT
RT -1
v2 2
h0
二、滞止状态
cp
R 1
Ma 2
v2 c2
v2
T
2c p
T0
能量方程的另一种形式
c2
v2
v2 max
c02
1 2 2 1
四、临界状态
ccr
2 1c0
1 1vmax
或者
c
c0
Ma 1
ccr
RTcr
2R 1
T0
Ma 1
ccr
Ma 1
0
vcr
vmax
v
令Ma=1
Tcr cc2r 2
Ma2
2M
2
1
1M
2
用速度系数表示
T T0
c2 c02
1-
-1 1
M
2
p p0
1 -
-1 1
M
2
1
1
0
1
-
-1 1
M
2
1
T0 c02 1
pcr p0
2
1
第七章明渠流动ppt课件
明渠：人工渠道、天然河道以及不满流管道统称为明 渠。 明渠流动：水流的部分周界与大气接触，具有自由表 面的流动，又称为无压流。 明渠流1，明渠流2
特点： 1、有自由表面，各断面表压强都是大气压，重力对流动起 主要作用。 2、明渠底坡的改变对流速和水深有直接影响。坡度增大， 则流速增大 ，水深减小
7.1 明渠的分类
所示，亦就是说，明渠均匀流的水力坡度J 、测
压管线坡度Jp 及渠底坡度i彼此相等，即
J =Jp=i
（7-3）
在图7 - 4 所示均匀流动中取出断面1-1 和 断面2-2 之间的水体进行分析，作用在水体 上的力有重力G 、阻力F 、两断面上的动 水压力P1和P2，写流动方向的平衡方程：
P1+G sinθ-F- P2 =0 (3)明渠均匀流动中阻碍水流运动的摩擦阻力
h
b (h)h
2(
1 m2 m)
（7-10）
由式(7 - 10) 可知，水力最优梯形断面的宽深比βh仅是边坡 因数m 的函数。将上式依次代入A、χ关系式中，可得
R A (b mh)h b 2h 1 m2
由（7-10）式 2 1 m2 b / h 2m
Rh 2
（7-11）
上式说明水力最优梯形断面的水力半径等于水深的一半，且与边坡因数无 关。 对于矩形断面，以m=0代入式(7 - 10) 得βh=2 即b =2h ，说明水力最优矩 形断面的底宽为水深的两倍。
从式(7 - 6) 可以看出，当i，n 及A 给定后，要使渠道的通 过能力Q最大，则必须是水力半径R 最大，或湿周χ最小。 在面积相同的各种几何图形中，圆形具有最小的周界，故 管道的断面形式通常是圆形，对于明渠则为半圆形。但半 圆形断面施工困难，在天然土壤中开挖渠道，一般采用梯 形断面形式。
特点： 1、有自由表面，各断面表压强都是大气压，重力对流动起 主要作用。 2、明渠底坡的改变对流速和水深有直接影响。坡度增大， 则流速增大 ，水深减小
7.1 明渠的分类
所示，亦就是说，明渠均匀流的水力坡度J 、测
压管线坡度Jp 及渠底坡度i彼此相等，即
J =Jp=i
（7-3）
在图7 - 4 所示均匀流动中取出断面1-1 和 断面2-2 之间的水体进行分析，作用在水体 上的力有重力G 、阻力F 、两断面上的动 水压力P1和P2，写流动方向的平衡方程：
P1+G sinθ-F- P2 =0 (3)明渠均匀流动中阻碍水流运动的摩擦阻力
h
b (h)h
2(
1 m2 m)
（7-10）
由式(7 - 10) 可知，水力最优梯形断面的宽深比βh仅是边坡 因数m 的函数。将上式依次代入A、χ关系式中，可得
R A (b mh)h b 2h 1 m2
由（7-10）式 2 1 m2 b / h 2m
Rh 2
（7-11）
上式说明水力最优梯形断面的水力半径等于水深的一半，且与边坡因数无 关。 对于矩形断面，以m=0代入式(7 - 10) 得βh=2 即b =2h ，说明水力最优矩 形断面的底宽为水深的两倍。
从式(7 - 6) 可以看出，当i，n 及A 给定后，要使渠道的通 过能力Q最大，则必须是水力半径R 最大，或湿周χ最小。 在面积相同的各种几何图形中，圆形具有最小的周界，故 管道的断面形式通常是圆形，对于明渠则为半圆形。但半 圆形断面施工困难，在天然土壤中开挖渠道，一般采用梯 形断面形式。
工程流体力学基础(第2版)第7章
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第 7 节 物体阻力与阻力系数
• 黏性流体绕流物体时，物体会受到压力和切向应力的作用，其合力可 分解为两个力，一个是与来流方向一致的作用力FD，由于FD与物体 的运动方向相反，起着阻碍物体运动的作用，故称为阻力；另一个是 与来流方向垂直的力FL ，称为升力。阻力是由于绕流物体所引起的 切向应力和压力差造成的，故阻力可分为摩擦阻力和差压阻力两种。
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第 1 节 不可压缩黏性流体的运动方程
• 3. 法向应力 • 现在来研究一下法向应力之间的关系。对于理想流体（无黏性），在
同一点上各方向的法向应力是相同的，即有 • 而对于黏性流体，由于黏性的作用，流体微团除角变形外，还有线变
形，使法向应力的大小有变化，产生附加的法向应力。应用广义牛顿 内摩擦定律式（ 7 − 3 ）的形式，附加法向应力应等于动力黏度与两 倍的线变形速率的乘积，则有
都是柱坐标 r 、z 、θ 的函数，相应的速度分量为V r、 V θ 和Vz。
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第 2 节 N-S 方程的精确解
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第 3 节 紊流基本方程——雷诺方程
• 紊流流场中的物理量可分为瞬时值、时均值和脉动值，由于瞬时值和 脉动值具有不确定性，很难处理，故采用时均值。时均值所满足的方 程，就是对 N − S 方程进行时均化，所得到的方程就是紊流基本方程， 也称为雷诺方程。
• 摩擦阻力是黏性直接作用的结果，是由流体绕流物体的切向应力所产 生的，所以摩擦阻力是作用在物体表面的切向应力在来流方向上的投 影的总和。压差阻力是黏性间接作用的结果。当流体绕物体流动时， 如果边界层在逆压梯度区发生分离，形成漩涡，破坏了作用在物体上 前后压力的对称性，从而产生物体前后的压力差，形成压差阻力。
工程流体力学 chapter7 缝隙流动HIT版
NQ
pqV
p( b 3 12
p l
b 2
U ) pb( 3 12
p l
U) 2
由于运动平板作用于边界流体上的剪切摩擦力F为
F bl bl du dz z0
F b(Ul p) 2
由剪切摩擦力F引起的功率损失NF为
NF
FU
bU(Ul
p ) 2
总功率损失N为
N
NQ
NF
b( p 23 12l
b l
ux u
uy uz 0
由连续性方程，可得 u 0
x
组成缝隙的平板y向的尺寸较大，u
的，可以忽略不计。
y
则是很小
对于不可压缩流体，忽略质量力时，N-S 方程可简化为
1
p x
2u z 2
0
1
p y
0
1
p z
0
由后两式可看出压力p仅沿x方向变化， 并且u仅是z的函数，由于平板缝隙大 小沿x方向是不变的，因此p在x方向
h AB OB OA r2 (r1 e cos ) 0 e cos 0 (1 cos )
我们在任意角 处取一微小圆弧CB，它对应 的圆弧角为d，则CB＝r1 d，由于CB为一 个微小长度，因而这段缝隙中的流动可近似
看作为平行平板间的缝隙流动，所以流过偏 心圆柱环形缝隙的总流量为
qV
【例】一活塞式阻尼器如图所示，活塞直径为D，长为L，活塞与壳体间半径 间隙为，设活塞与壳体内径均无锥度，当活塞杆上作用F力，活塞将向下以 U速度运动，求F力，设油液粘度为，并认为无偏心 。
这个流量应为活塞下行排挤下腔的流量
Q D 2 U 4
即
D( p3 U) D 2 U
流体力学课件第七章管网计算
01
02
03
04
假设管网中的流体为不可压缩 的牛顿流体；
假设流体在管网中流动时，遵 循牛顿第二定律，即流体受到
的力与加速度成正比；
假设流体在管网中流动时，管 道的长度、直径、粗糙度等因 素对流体流动的影响忽略不计
；
假设流体在管网中流动时，管 道的转弯、分支等对流体流动
的影响忽略不计。
02
管网水力计算
流速
流体在管道内的流动速度， 与管径、流体性质、水力 坡度等因素有关。
关系
水力坡度与流速之间存在 一定的关系，可以通过伯 诺里方程等公式进行计算。
管径选择与流量分配
管径选择
计算方法
根据流量、流速、流体性质等因素选 择合适的管径，以满足流体输送的要 求。
通过试算、经验公式等方法确定管径 和流量分配方案。
常用优化算法
线性规划法
通过线性方程组求解， 适用于管网布局和流量
分配的简单问题。
非线性规划法
遗传算法Biblioteka 模拟退火算法考虑管网中水头损失、 管道弹性等因素，适用
于复杂管网问题。
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多目标、 多约束的管网优化问题。
借鉴物理中退火过程， 适用于解决局部最优解
的问题。
案例分析：某城市管网优化设计
维护效果
经过一段时间的管理与维护，该城市管网的故障率明显降低，提高 了供水保障能力。
THANKS
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物理场的模拟。
ANSYS Fluent
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一款流体动力学仿真软件，适用于各种流体流动和传热问题的
模拟。
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03
一款开源的流体动力学仿真软件，具有强大的计算能力和灵活
工程流体力学 第7章 量纲分析与相似理论
相似的矩形上去。即为：
l h
l h
l*
类似地，对流场也可引入相似准则。在流场几何相似中，
以弦翼长c或c’为特征尺度，即为：
r c
r c
r*, s c
s c
s*
在流场运动相似中，若取来流速度U为特征速度，可得：
v U
v U
v
§7-4 常用的相似准则数
一、Re数（雷诺数）
Re数为纪念英国工程师雷诺而命名，定义为：
二、F而命名，定义为：
三、Eu数（欧拉数）
Fr V gl
Eu数为纪念瑞士数学家欧拉而命名，定义为：
Eu
四、Sr数（斯特劳哈尔数）
p
V
2
Sr数为纪念捷克物理学家斯特劳哈尔（V.Strouhal）而命名
，定义为：
Sr l V
§7-4 常用的相似准则数
工程流体力学 第七章 量纲分析与相似理论
§7-1 量纲分析简介
一、概念
量纲分析是确定相似准则的一种主要方法。它通过揭示物 理量量纲之间存在的内在联系，对物理现象作定性或半定量分 析。量纲分析法不仅用于指导模型实验，而且为理论分析提供 重要信息，是研究新现象、开发新领域中行之有效的分析手段 ，广泛应用于包括流体力学在内的许多学科领域中。
1、几何相似，即所有对应尺度成比例 2、时间相似，即所有对应的时间间隔成比例 3、运动相似，即所有对应点上的速度（加速度）方向一 致，大小成比例 4、动力相似，即所有对应点上的对应力方向一致，大小 成比例。
§7-3 流动相似与相似准则
二、相似准则
相似的矩形具有共同的性质，例如对角线与边的夹角均为
α=arctanhl，只要分析其中一个矩形的性质，就可推广到其他
《高等流体力学》第7章 粘性流体力学基础
1 v2 ∂v + ∇ + Ω × v= f + ∇ ⋅ P ∂t ρ 2
2 P = − pδ + τ = − p + µ∇ ⋅ v δ + 2 µε 3
v2 1 1 ∂v 1 2 + ∇ + Ω × v= f − ∇p − ∇( µ∇ ⋅ v ) + ∇ ⋅ (2 µε ) ∂t ρ ρ 3 ρ 2
对初始条件的极度敏感性目前只解决了低维系统中的几种转捩方式而湍流场是时间与空间的函数对于每一空间点可看成一维混沌所以湍流是无穷维混沌现有的低维系统理论只能对湍流作定性描述说明湍流是ns方程内在特性的表现从理论上证明了ns方程对湍流的适用性
第七章 粘性流体力学基础
主 讲：刘全忠 单 位：能源科学与工程学院 流体机械及工程研究所 Email：liuquanzhong@
Lamb型方程变为
对上式两边取旋度，得到
整理后得到
这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流 体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守 恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。
1 2 1 ∂Ω 1 + ∇ × (Ω × v ) = ∇ × f − ∇ × ( ∇p ) − ∇ × ∇( µ∇ ⋅ v ) + ∇ × ∇ ⋅ (2 µε ) ρ ∂t ρ 3 ρ
λδ ijδ kl + µ (δ ik δ jl + δ ilδ jk ) ε kl τ ij = Cijkl ε kl = = λδ ij ε kk + µ ( ε ij + ε ji = ) λδ ijε kk + 2µε ij
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这表明在满足前述条件下，流动是水平和二维的。这个结论首先
由普鲁德曼(1916)和泰勒(1917)所证明。 普鲁德曼-泰勒定理：不可压缩或正压流体，在有势力作
用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应，其速度将与垂直
坐标无关，即流体趋于二维化。
该定理还可以从涡度方程证得，此处省略。
第7-4 泰勒流体柱
为了了解什么是泰勒流体柱,应用一个实验来说明，实验条件 是：有一容器其底为平面并与转动轴z相垂直，整个容器内盛满流 体均绕z轴以角速度旋转。在容器平底上有一小截或一小直径为 L的固体柱，它在旋转流体中以固定相对速度U朝着转轴横向移动。 具有如图7.2所示。
3. 旋转流体弗劳德数
Fr2L/gLg2L～(旋转惯性力尺度/重力)
(7-20)
它与(3-35)式所示的一般流体的弗劳德数，即 Fr(U2/L)/g ，相比较可知，旋转流体弗劳德数反映了旋转作用和重力作用 的重要性。
4. 旋转流体的特征压力 对于流体压力差，可取两种不同的参考尺度，即 U 2 或 2L2 。由于流体运动的一般特征是流动和压力分布是互为因果相互制 约的。 对于非旋转流体，无量纲特征数为欧拉数，即
,并考虑到连续性方程，则(7-30)式可改写成为：
(k )V 0 或
V 0 z
显然，对于z分量也有 w 0 z
(7-31)
对于在平坦底边界上，有边界条件:
z 0 处， w0
因此，由上述两式可知，在任何高度上恒有 w0
(7-32)
于是式(7-31)可改写为：
u
z
v z
0
(7-33)
w 0
EuUP2//LL1
则P为特征压力差，由此得： P~ U2 若流体静止，则有静力学方程可得特征压力差:
P~gH
(7-21) (7-22)
对于旋转流体，其特征压差值视转动情况而定。如Ro<<1时， 旋转效应较强，特征压差值为 :
P~2L2
(7-23)
将此式与(7-21)式比较，L相当于U。这意味着，流体特征压差
因此，(7-24)式是流体力学和大气动力学作尺度分析时的一个
极其重要的基础公式。
第7-3 普鲁德曼-泰勒定理 前面已指出，导致旋转流体与一般流体运动动力学的本质
差别，是偏向力的作用。为突出这种本质差别，在这里着重讨
论偏向力项的量值远较相对运动的惯性力项和粘性力项为大，
或者在(7-16)式中有下列关系式，即
也取自身值为特征值。对于流体压力差，可取两种不同的参考尺
度，即 U 2 或 2L2 ，考虑到讨论U/L1的极限情况，定 2 L2为压力差的尺度，即以最大有效尺度来度量流体压力差。
这样对式(7-15)进行无量纲化，再考虑到式(7-11)和(7-4)关系，并
以特征偏向力U作为每项的测量单位，以U除以各项，将得:
图7.2 旋转容器中向中心轴移动固体上的泰勒液体
图7.4 进行泰勒柱实验时的装置示意图
以S表示固体柱的侧面积，该园柱体侧面在流体中的延伸柱 面的面积为Se表示。这样，容器底部一小截固体园柱体，以及 上延伸着一个由Se曲面所围的流体柱。并称S+Se曲面之外的流 动为外流，Se之内的流动为内流。当整体的旋转速度增加到使 罗斯贝数变得足够地小，则就满足普鲁德曼-泰勒定理所要求的 条件，于是容器内的流动满足(7-33)式为水平和二维的。由于固 体柱侧面上的流速应满足刚壁条件而等于U，因此按定理结论或 (7-33)式，流体园柱体的Se曲面上的流体也以同样速度U移动。 而且流体园柱体外也出现跟底部固体园柱体完全相同的绕园柱 运动。
流体力学教案
(第七章旋转流体动力学 )
第7-2旋转流体的无量纲方程和罗斯贝数 仿照第三章的处理方法，引入特征量或特征尺度把式(7-15)
改写成无量纲形式的方程，并对无量纲方程中所出现的与旋转有 关的特征无量纲数进行分析讨论。
以L和U分别为流体运动在旋转参考系中所代表的长度和速度
尺度，其参考系旋转的等角速度，取其自身值为特征值。密度
(7-17)
它代表了流体运动的加速度尺度跟偏向力尺度之比，是反映或
衡量旋转效应重要性的一个量。当Ro1时，即流动中惯性力
项比偏向力项小得多，旋转作用对流体运动影响甚大。反之，
当Ro1时，则旋转效应不明显，可忽略不计，跟一般流动情
况相近。一般情况下，在自然界和工程技术中的流体运动，以
及在实验室中的流动，均不计地球旋转效应的影响,仅在大尺度
图7.3 对泰勒液柱实验所摄取的照片
园柱体以上的流体跟着园柱体一起移动，而流体柱以外的 流体从侧绕着流体柱运动，以使得该流体柱简直像固体柱一样！ 这是旋转效应的奇突现象。这种跟小段(短截)固体柱一起移动而 简像整个园柱体一样的流体柱称作泰勒流体柱。
注意：泰勒柱内的流动虽慢，却并非完全静止。并且在横向泰 勒柱内外之间的流体，实际上是可以有些相互交换的。
不但与流速有关，且旋转强烈时，它跟旋转所引起的特征线速度
L有关。若将式(7-21)，当作Ro>>1时的特征压差值表达式，则
P
~
U2,Ro1 2L2,Ro1
(7-24)
与此相应的，(7-16)式的压力梯度项为:
Ro pR1o 1 2r2F 1zr
(Ro1)
(7-25)
Ro1p12r2F1zr
(Ro1)
RoU LTV t V V
R o1p1 2r2F 1rz2kV E k2V
(7-16)
式中T为时间尺度，一般取T=L/U；Ro=U/L称作罗斯贝数；
Ek/L2 为埃克曼数；
Fr2L/g 为旋转流体弗劳德数；
r 为空间距离的无量纲量。以下分析讨论上述出现的特征数。1. 罗斯贝数
RoU/LU 2U /L～(特征惯性力/特征偏向力)
缓慢运动的运动的大气科学中考虑地球旋转效应的影响。
2. 埃克曼数
Ek/L2 U/～L(特征粘性力/特征偏向力)
U
并且， Ek Ro
Re
(7-18) (7-19)
它代表了流体运动的特征粘性力和特征偏向力之比，是反映或衡 量旋转流体中粘性的相对重要性。另外，在大气动力学中，(7-19) 式所示的埃克曼数可化为埃克曼层的厚度和大气厚度之比，因而 大气埃克曼数的大小，可反映出需要考虑粘性作用的粘性层范围 的厚薄。
Ro 0
RoL
UT
0
Ek
Ro Re
0
(7-26)
其中还包含着流动是准定常的 T10 。于是，(7-16)式可改写为:
2k V R 1o p1 2r2F 1zr
(7-27)
由于物理方程不但量纲一致，而且其最高量级的项至少有两项以
上。因此，欲使式(7-27)有意义，必须使
p1 2r2F 1zr Ro *xP ,y,z,t
(7-28)
式中P*x,y,z,t为某一无量纲标量函数。于是，式(7-27)可化为:
2 k V P * 0
(7-29)
对上式取旋度，即有:
(2 k V ) 0
(7-30)
根据矢量计算可知：
a b b a a b a b b a