初中数学平行线等分线段定理专题辅导
数学教案：平行线等分线段定理
数学教案：平行线等分线段定理一、教学目标1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法，并能运用该定理解决实际问题；3.提高学生对平行四边形的认识和理解能力；4.加强学生的空间几何思维和推理能力。
二、教学重点1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法；3.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
三、教学难点1.掌握平行线等分线段定理的证明方法；2.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
四、教学方法1.课堂讲解；2.课堂讨论；3.案例分析；4.课堂练习。
五、教学过程第一步：引入问题老师拿出一支笔和一张纸，向学生展示两个平行线段，要求学生探究两个平行线段之间的关系。
第二步：学生探究学生分组讨论，在讨论的过程中，师生共同发现两个平行线段中间的线段被平分。
第三步：提出结论学生在分组讨论的基础上，提出结论：平行线等分线段定理。
第四步：确立概念老师向学生引入平行线等分线段定理的定义，让学生理解该概念。
第五步：证明定理老师给出定理的证明，让学生观察和理解证明过程。
第六步：实例练习老师让学生在班内分为小组，通过实例练习来加深对平行线等分线段定理的理解。
第七步：课堂讨论老师和学生一起讨论实例练习的解法，帮助学生梳理思路，加深对平行线等分线段定理的理解。
六、教学评估1.学生通过实例练习的成绩；2.学生课堂讨论表现的质量；3.学生对平行线等分线段定理的掌握程度。
七、板书设计1.平行线等分线段定理；2.定义：两个平行线段间的线段被平分。
八、课堂作业1.完成课堂练习；2.思考并总结平行线等分线段定理的证明方法。
九、教学反思通过本节课的教学，学生们进一步了解了平行线等分线段定理，掌握了证明方法，提高了空间几何思维和推理能力，并对平行四边形有了更深的认识。
但是，课堂时间可能会不够充分，需要加强课堂安排。
平行线等分线段定理数学教案
平行线等分线段定理数学教案
标题：平行线等分线段定理数学教案
一、教学目标
1. 让学生理解并掌握平行线等分线段定理的概念和证明方法。
2. 培养学生的空间想象能力，提高他们的几何思维能力。
3. 通过实际操作，使学生能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容
平行线等分线段定理是平面几何中的重要定理之一，它的表述为：如果一条直线与两条平行线相交，那么被截得的两部分长度相等。
三、教学过程
1. 引入新课
教师可以通过展示一些实例或者生活中的场景来引入这个定理，激发学生的学习兴趣。
2. 教学新知
（1）定理的描述：首先，教师要清晰明了地向学生解释定理的内容。
（2）定理的证明：然后，教师需要引导学生一起进行定理的证明。
在这个过程中，教师要注重培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
3. 巩固练习
教师可以设计一些相关的习题，让学生在实践中巩固所学的知识。
四、课堂小结
教师带领学生回顾本节课的主要内容，并强调平行线等分线段定理的重要性。
五、作业布置
教师可以布置一些相关的作业，让学生在课后继续思考和练习。
六、教学反思
教师需要对本节课的教学效果进行反思，以便于改进以后的教学。
相似中考复习平行线分线段成比例定理
F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分 别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直 线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
4.10 平行线等分线段定理
【基础知识精讲】本节内容是平行线等分线段定理及其两个推论，两个推论实际上是定理的特例，也是重要的定理.1.平行线等分线段定理.一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.定理的证明：借助梯形常见的辅助线，把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形，三角形的相关知识进行证明(见教材P180页的证明过程).定理的变式图形：(图4.10-1)2.平行线等分线段两个定理推论推论1 经过梯形一腰中点的直线必平分另一腰推论2 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线平分第三边3.定理及推论的应用任意等分线段通过中点的证明，从而转换为梯形或三角形的中位线进行解题，同时作为三角形、梯形中位线定理证明的根据.【重点难点解析】重点：平行线等分线段定理及推论难点：平行线等分线段定理的证明及变式图形的理解例1 已知线段AB，求作AB的五等分点.分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB 于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等分了.作法：(1)如图4.10-2作射线AM；(2)在射线AM 上截取AA 1＝A 1A 2＝A 2A 2＝A 3A 4＝A 4A 5(3)连结A 5B ，分别过A 1、A 2、A 3、A 4作A 5B 的平行线A 1C 、A 2D 、A 3E 、A 4F ，分别交AB 于C 、D 、E 、F ，那么C 、D 、E 、F 就是所求作的线段AB 的五等分点.例2 如图4.10-3，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，AD ＝12，求BE 的长.分析：本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力. 解：∵ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，BC ＝AD ∵AB ∥DC ，OE ∥AB ∴DC ∥OE ∥AB 又∵AD ＝12 ∴BE ＝EC ＝21BC ＝21AD ＝6例3 求证：直角梯形斜腰中点到直角腰两端点的距离相等.已知：如图4.10-4，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，DE ＝EC.求证EA ＝EB分析 要证EA ＝EB ，实际上只要证E 在AB 的垂直平分线上.故过E 作EM ∥BC.由∠ABC ＝90°，得∠AME ＝90°.再由平行线等分线段定理的推论可知AM ＝MB.这样点E 在AB 的垂直平分线上.问题得证.证明：作EM ⊥BC ，交AB 于M.∵AB⊥BC，∴∠AME＝∠ABC＝90°在梯形ABCD中∵DE＝EC，EM∥BC，∴AM＝MB∴E在AB的垂直平分线上∴EA＝EB【难题巧解点拨】例1 如图4.10-6，已知△ABC，求作BC上两点D、E，使S△ADB＝S△ADE＝S△AEC分析根据等底同高的几个三角形面积相等只需在BC上取三等分点D、E，将等积问题转换为等分线段问题.作法：(1)作射线BN(2)在BN上以任意长顺次截取BF＝ＦＧ＝GH(3)连结CH(4)过G、F点分别作CH的平行线GE、FD，分别交BC于E、D则：D、E为BC的两个三等分点(5)连AD、AE，得△ABD、△ADE、△AEC证明：略注意点：线段的等分点只能运用等分线段定理采用尺规作图，不能用刻度尺来等分线段.例2 如果把矩形ABCD线对折，设折痕为GH，再把点A叠在折痕线，折痕为BE，得Rt △ABE，交折痕GH于P，延长EA交BC于F，则△BEF为等边三角形(图4.10-7)证明：∵G、H为矩形A′BCD的边A′B、CD的中点∴四边形AGHD、GBCH为矩形 A′D∥GH∥BC∴P 、A 分别为BE 、EF 的中点 ∵Rt △A ′BE ≌△Rt △ABE∴∠A ′＝∠EAB ＝90° ∠A ′EB ＝∠BEF ∴PA ＝PE ＝21BF BA 为EF 的垂直平分线 ∴∠BEF ＝∠PAE BE ＝BF ∵GH ∥A ′D ∵∠PAE ＝∠DEF ∴∠A ′EB ＝∠BEF ＝∠DEF∵∠A ′EB+∠BEF+∠DEF ＝180° ∴∠BEF ＝60° ∵BE ＝BF ∴△BEF 为正三角形【命题趋势分析】本节中考热点为平行线等分线段定理的运用.【典型热点考题】例1 如图4.10-5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证AF ＝21CF.分析 本题查考平行线等分线段及推论的应用能力.过D 点作DG ∥BF 交AC 于G 是常规辅助线、通过它可将要求的问题转换成平行线等分线段定理及推论的运用.证明：过D 作DG ∥BF 交AC 于G ∵EF ∥DG ，AE ＝DE ∴AF ＝FG又∵BF ∥DG BD ＝DC ∴FG ＝GC ∴AF ＝FG ＝GC 即：AF ＝21CF 【同步达纲练习】 一、填空题1.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，若DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是 .2.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为DC 中点，EF ∥AD 交AB 于F ，则S △AEF ∶S △BEF ＝ .3.如果一组平行线，在一条线段上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也 .4.在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 交AC 于E ，则CE ＝ AE.5.已知三条直线AB ∥CD ∥EF ，它们之间的距离分别为2cm ，作一直线MN 分别与三条平行线交于30°，且与AB 、CD 、EF 分别交于M 、N 、P ，则MN ＝ cm ，NP ＝ cm.6.如图4.10-8所示，F 为AB 的中点，FG ∥BC ，EG ∥CD ，则AG ＝ ，AE ＝ .7.如图4.10-9，直线 l 过梯形ABCD 一腰AB 的中点E ，且平行于BC ， l 与BD ，AC 、CD 分别交于F 、G 、H ，那么，BF ＝ ，CG ＝ ，DH ＝ .图4.10-8 图4.10-98.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，EF 是AB 的垂直平分线，EF 交AB 于E ，交CD 于F ，则DF ＝ .二、选择题1.如图4.10-10，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，则S △BOE ∶S □ABCD 等于( )A.1∶4B.1∶8C.1∶16D.1∶122.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，DE ∥AB 交AC 于E ，则DE 等于( ) A.BDB.DCC.21AC D.21AD3.在□ABCD 中，AD ＝12，两对角线相交于O ，E 是OC 中点，EF ∥AB 交BC 于F ，则CF 的长为( )A.3B.4C.5D.64.如图4.10-11，AB ∥CD ∥EF ，AO ＝OD ＝DF ，OE ＝6，则BE ＝( )A.9B.10C.11D.125.AD 是△ABC 的高，DC ＝21BD ，M 、N 在AB 上，且AM ＝MN ＝NB ，ME ⊥BC 于E ，NF ⊥BC 于F ，则FC ＝( )A.32BC B.32BDC.43BC D.43BD6.在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DC ∶AB ＝1∶2，E 是AD 的中点，EF ∥AB 交BC 于F ，则EF ∶AB ＝( )A.31 B.21 C.43 D.17.以线段a=16,b=13,c=6为边作梯形，其中a ，c 为梯形两底，这样的梯形( ) A.有一个 B.有二个 C.有三个 D.不存在三、解答题1.将已知线段AB 分成1∶2∶3三部分(写出作法).2.如图4.10-12，直线x ，y 互相垂直，垂足是O ，作出线段AB 关于直线x 的对称图形A 1B 1，关于直线y 的对称图形A 2B 2，证明A 1B 1和A 2B 2关于O 点成中心对称.3.如图4.10-13，已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰AB 、DC 分别与两对角线AC 、BD 垂直，M 、N 分别是梯形两底AD 、BC 的中点，求证：MN ⊥BC.4.如图4.10-14，AD是△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AB交AD于F，CF的延长线交AB于G.求证：AG＝AC5.如图4.10-15，M、N分别为□ABCD中AB、CD的中点，求证：BE＝EF＝FD.【素质优化训练】如图4.10-16，直线l交线段AB于P，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，M是AB的中点，求证：MC＝MD.【生活实际运用】如图4.10-17，先把矩形ABCD对折，折痕为MN，恢复原状后，再把点B折叠到折痕MN 上(如图)设EB的延长线交AD于F.试判断△AEF的形状，并说明理由.【知识探究学习】如图4.10-18，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，∠A＝60°，AB＝AD，M是AB的中点，则△MBC是等边三角形吗?为什么?参考答案一、1.菱形 2.1∶1 3.相等 4.＝ 5.4 4 6.CG DE 7.DF AG HC 8.CF二、1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D三、1.略 2.略 3.提示：连结AN、DN，根据直角三角形性质得AN＝DN，由等腰三角形三线合一定理得MN⊥AD 4.∵E为BC中点，∴F为CG中点，∴AG＝AC 5.证AN∥CM，DF ＝FE，FE＝EB【素质优化训练】提示：过M作MN⊥l，垂足为N.【生活实际运用】∵∠1＝∠3，又PN∥ND，∴∠2＝∠3，而△AEB′ △ABE，∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°，又∠1＝∠2，AB⊥EF，∴AE＝AF.【知识探究学习】提示：过M作MN∥AB交BC于N.。
数学学案：互动课堂第一讲一平行线等分线段定理
互动课堂重难突破一、平行线等分线段定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C 和A′、B′、C′(如图1-1-2），如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1—1—2对于定理的证明，如图1-1—3所示,分m∥n和m不平行于n两种情况证明。
当m∥n时,直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时,利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.图1—1—3定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交,但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.应当注意定理图形的变式：对于三条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图1—1-4）:如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论。
图1-1—4图1—1-5利用本定理可将一线段分成n等份，也可以证明线段相等或转移线段的位置。
平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5。
二、平行线等分线段定理的推论平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点,与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
这两个推论的证明如下:推论1：如图1—1—6（1)，在△ACC′中,AB =BC,BB′∥CC′交AC′于B′点.求证:B′是AC′的中点。
证明:如图1-1—6(2），过A作BB′与CC′的平行线a,分别双向延长线段BB′、CC′,得直线b、c.∵a∥b∥c，AB =BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点。
图1-1-6推论2:如图1—1—7(1),已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′,AB =BC,BB′∥CC′.求证:B′是A′C′的中点。
初二数学平行线等分线段定理知识精讲精练 人教义务几何
初二数学平行线等分线段定理知识精讲精练人教义务几何【学习目标】1．能说出平行线等分线段定理及两个推论，并会运用它们进行有关的证明．2．会根据平行线等分线段定理，按要求等分一条已知线段．【主体知识归纳】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰．3．推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．【基础知识精讲】1．学习时，为了能灵活地掌握和运用定理，可多见识一些定理的变式图形，如图4－85，若已知l1∥l2∥l3，AB＝BC，则由定理就可以直接得到A1B1＝B1C1，应认识到：被平行线组所截两条直线的相对位置，不影响定理的结论．2．平行线等分线段定理及推论，是证明线段相等的重要定理，因此在三角形或梯形中，要注意观察是否符合定理条件．若题目中只给出了三角形一边（或梯形一腰）的中点这个条件，常常过该点作三角形（或梯形）其他边（或底）的平行线，从而构造出推论1、2中的基本图形，这是常用的一种辅助线．【例题精讲】［例1］如图4－86，已知∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝3AC，求证：AD＝DE．剖析：由已知∠1＝∠2，AE⊥BE，易想到延长AC、BE相交于F，构成全等三角形得到BE＝FE，即E是BF的中点，再由推论2想到过E作EG∥BC交AF于G，利用推论2即可得证．证明：延长AC、BE相交于点F，过E作EG∥BC，交AF于G．∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△ABE≌△AFE．∴AB＝AF，BE＝FE．∵AB＝3AC，∴AF＝3A C．∴FC＝2A C．∵BC ∥EG ，∴CG ＝FG ．∴AC ＝CG ＝GF ．∴AD ＝DE ．说明：有效地结合条件，进行补形，并通过添加平行线，利用平行线等分线段定理来证明问题，对于证题思路及证明过程要认真体会．［例2］已知如图4－87，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF ＝31AC ．剖析：要证AF ＝31AC ，只要证AF ＝21F C ．考虑到D 是BC 的中点，故可过点D 作DG ∥BF ，交AC 于点G ，构造出“过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边”的基本图形，从而可得CG ＝GF ＝21FC ，同时还可兼得AF ＝FG ，问题得证． 证明：过点D 作DG ∥BF 交AC 于G ．在△BCF 中，BD ＝CD ，DG ∥BF ，∴CG ＝GF ． 在△ADG 中，AE ＝DE ，EF ∥DG ，∴AF ＝FG ， ∴AF ＝FG ＝GC ，即AF ＝31A C ． ［例3］如图4－88，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AE ＝EB ．求证：CE ＝DE剖析：欲证CE ＝DE ，可构造以CE 、DE 为对应边的两个全等三角形，由已知得E 是梯形一腰的中点，因此由推论1可想到过E 作底的平行线EF ，这样就构造了两个全等三角形．证明：过E 作EF ∥BC 交CD 于F ， ∵AE ＝BE ，EF ∥BC ， ∴DF ＝CF∵∠BCD ＝90°，∴∠DFE ＝∠CFE ＝90° 又∵EF ＝EF ， ∴△ECF ≌△EDF ，∴CE ＝DE ．【同步达纲练习】 1．选择题（1）如图4－89，l 1∥l 2∥l 3，则下列结论中错误的是（ ）A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BCD ．由GH ＝21FH 可得CD ＝DE （2）如图4－90，AD ∥EF ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，且DF ＝4 cm ，则DC 等于（ ）A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm（3）如图4－91，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC ，如果DC ＝31BD ，那么FC 是BF 的（ ）A ．35倍 B ．34倍 C ．23倍 D ．32倍 2．填空题（1）如图4－92，已知AB ∥CD ∥EF ，AF 、BE 相交于点O ，若AO ＝OD ＝DF ，BE ＝10 cm ，则BO ＝_____．（2）已知：D为△ABC的边AB的中点，DE∥BC交AC于E，若AE＝3，则AC＝_____．（3）已知：在△ABC中，AB＝AC，F为BC的三等分点，EF⊥BC交AB于E，若BE＝2，则AB＝_____．（4）如图4－93，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝10 cm，D是AB的中点，DE⊥BC于E，则CE＝_____cm．3．作图题：在已知线段AB上求作一点C，使AC∶CB＝3∶2（不写作法，保留作图痕迹）．4．已知△ABC中，AB＝AC，E是AC中点，EF⊥BC于点F，求证：BC＝4CF．5．如图4－94，已知在△ABC中，AD、BF为中线，AD、BF相交于点G，CE∥FB交AD 的延长线于E．求证：AG＝2DE．6．如图4－95，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD中点，BE延长线交AC于F．求证：CF＝2AF．7．如图4－96，四边形ABCD 是平行四边形，AE ∥DB ，DB 的延长线交CE 于F ． 求证：CF ＝EF ．【思路拓展题】 做一做现要把一块如图4－97所示的直角三角形果园，承包给甲、乙、丙三家村民，已知甲、乙、丙三家人口分别为2人、3人、5人，果园的分配办法按人口比例，并要求每家果园地均有一部分紧靠水渠的一边AB ，C 点处是三家合用的肥料库，所以C 点必须是三家果园地的交界处．用尺规在图中作出各家果园地的分界线（不写作法，保留作图痕迹，并标出户名）．参考答案【同步达纲练习】 1．（1）B （2）D （3）A2．（1）310cm （2）6 （3）3 （4）53．略4．提示：过点A 作AD ⊥BC 于D ．5．提示：先证AG ＝EG ，再证GD ＝ED ． 6．提示：过点D 作DG ∥BF 交AC 于G ．7．提示：连结AC 交BD 于点O ，得O 是AC 的中点，再由AE ∥DB ，即可证之．【思路拓展题】 做一做提示：分AB 为2∶3∶5三部分．。
[特约]初二数学平行线等分线段定理
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初二数学平行线等分线段定理【教学内容与目的要求】教学内容：1．平行线等分线段定理；2．三角形、梯形的中位线；教学目的与要求：1．理解并掌握平行线等分线段定理，并着重掌握两个推论。
2．会利用平行线等分线段定理将一条线段用直尺和圆规进行若干等分。
3．掌握三角形、梯形的中位线的定义。
4．理解并熟练掌握三角形和梯形的中位线定理，并要求能够灵活运用中位线定理解决一些较为综合性的几何题目。
5．建立起利用中点来构造三角形中位线和梯形中位线的观念，以便顺利地添加出某些中位线。
【知识重点与学习难点】1．平行线等分线段定理是三角形、梯形中位线定理的基础，而它本身又是第五章相似形中平行线分线段成比例定理的特殊情况。
所以在学习这一小节内容时要明确此定理在这儿是作为过渡性的工具，起承上启下作用的。
当然平行线等分线段定理自身也有着极其重要的应用，需要大家能够牢固地掌握。
2．三角形的中位线和梯形的中位线可以这么说是三角形和四边形的精华，也是这两章内容的高潮。
它的综合性和灵活性都较强，它较为系统地串联了三角形一章和四边形一章这两章的大部分内容，故而这一小节要作为重中之重，格外重视。
三角形的中位线定理和梯形的中位线定理都告诉了我们两个方面的结论，即位置关系(平行)和数量关系(一半)。
【方法指导与教材延伸】1．平行线等分线段定理实际上是通过平行线将“相等”进行转移。
即“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这一组平行线在其他直线上截得的线段也相等”。
它是将一条直线上的线段相等“转移”到另一条直线上的线段相等。
2．作为“平行线等分线段定理”的两个推论是两种特殊情况。
它们特殊在截线与被截线的位置的特殊，从而得到了两个推论：⑴经过梯形一腰中点与底平行的直线，必等分另一腰；⑵经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
这两个推论都是由平行和相等这两个条件得出相等。
3．三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
第一讲1.1平行线等分线段定理
2．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是( )
解析：根据平行线等分线段定理易知 A、B、D 正确， 只有 C 中 AC 线段被第三条平行线所截，DF 线段只被两 条平行线所截，很明显 AB≠DE，故选 C.
答案：C
3.如图所示，l1∥l2∥l3，直线 AB 与 l1、l2、l3 相交于 点 A、E、B，直线 CD 与 l1、l2、l3 相交于点 C、E、D， AE＝EB，则有( )
(2)由题目条件可得 BF＝FC，而 BF，FC 与 AE，ED 的大小则没有关系，故错误；
(3)由题目பைடு நூலகம்件可知 B1O1＝O1D1，A1O1＝O1C1，故 B1O1－A1O1＝O1D1－O1C1，
即 B1A1＝C1D1，故正确；
(4)因为 EF 不一定与 AB，CD 平行，所以 BF 与 FD 的大小关系不确定，故错误．
经过三角形一边 的中点与另一边 推论 1 平行的直线必平 分第三边
AB′＝B′B
B′C′∥BC
⇒AC′＝C′C
经过梯形一腰的 中点，且与底边平 推论 2 行的直线平分另 一腰
AADE＝∥EBBC⇒ EF∥BC
DF＝FC
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过平行四边形的对角线交点且平行于一组对边的 直线必平分另一组对边．( ) (2)如图所示，若 AB∥EF∥DC，AE＝ED，则 BF＝ FC＝AE＝ED.( )
如下图所示．
归纳升华 求作已知线段 AB 的 n 等分点的一般作法：过线段 AB 的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次截取 n 条相等的线段，然后连接第 n 条线段的末端与已知线段 的另一个端点，过射线上各个分点作所连线段的平行线， 这些平行线与已知线段的交点就是线段 AB 的 n 等分点．
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：九年级《平行线等分线段定理》第四课时平行线等分线段定理教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理教学步骤复习提问1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？引入新课1、由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？2、带学生一起学习课本上的例4（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到如下定理）定理1、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例有上面的定理可推广到一般形式：定理2、（平行线分线段成比例定理）两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。
ABDE=1时，有=1,即，当AB=BC时，有DE=EF,可得在定理二中，当BCEF定理3（平行线分线段定理）两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等由此，我们可以得到几个推论：推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在，由此得出推论2．中，，，则可得到推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线AC ．②在射线上以任意长顺次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4C=任意长．③连结CB ．④过点A1,A2,A3,A4 分别作CB的平行线交AB于点B1,B2,B3,B4B1,B2,B3,B4就是所求的五等分点．课堂练习：课本62页练习课堂小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．布置作业篇二：平行线等分线段定理及证明平行线等分线段定理及证明附图定理内容如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
《平行线等分线段定理》教学设计
《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》是建立在坐标系及其概念的几何定理，它解释了沿着一条平行线分割线段的方法。
定理：沿着一条平行于线段的边的任何一点P，使得被分割的线段的两个部分的和相等。
教学目标：1、让学生了解平行线等分线段定理；2、引导学生学习定理，训练他们实际使用定理；3、培养学生运用新知识去解决实际几何问题的能力；4、让学生形成正确的数学思维，增强学习的主动性。
教学重点：让学生掌握如何通过沿着一条平行线分割线段，计算线段的平分点及两个部分的和是否为等值。
教学步骤：第一步：讲解定理（1）开篇热身：引导学生了解坐标系及线段的概念，把这些概念构建成数学语言（也可使用图片帮助学生理解）；（2）讲解定理：通过讲解让学生熟悉，平行线等分线段定理的概念，并运用概念来证明定理；（3）让学生自行推理：让学生用数学语言和实际图形来分析和运用定理的原理，以帮助完成证明。
第二步：提供例题第三步：让学生探讨此定理的产生原因第四步：引入实际应用：介绍平行线等分线段定理在画图、计算机及机械等领域的实际应用。
第五步：实践操作：让学生按照老师的指令，开展前面知识点的演练；第六步：结束课程，总结：（1）检查学生自我总结：做出当时学习对自己的影响；（2）总结本次学习：学习定理及其应用的关键；（3）撰写总结报告：将前面学习的定理及方法拓展到新的场景中。
总结：本课针对《平行线等分线段定理》，采用“引导—讲解—练习—讨论—实践—总结“的步骤，使学生正确、系统地理解、掌握及灵活运用定理。
通过本课的学习，不仅认识到定理的本质，在实践中让学生尝试运用它，训练学生的解决实际几何问题的能力，以及正确的数学思维，增强学习的主动性。
1.1 平行线等分线段定理 教学课件(人教A版选修4-1)
)．
题型二 平行线等分线段定理的推论 【例 2】 如图所示，已知在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ ADC ＝
90°，点E是AB边的中点，连接ED、EC.求证：ED＝EC.
[ 思维启迪 ] 由 E 是 AB 的中点，作 EF∥BC 交 DC 于 F ，即可得
EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论．
课前探究学习 课堂讲练互动
【变式 1】 如图所示，若 a∥b∥c，那么下列结论中错误的是 ( A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC 1 D．由 GH＝2FH 可得 CD＝DE 解析 由 OB、OG 不是一条直线被一组平行线截得的线段， 故 B 不正确． 答案 B
课前探究学习
课堂讲练互动
∴E是AM的中点． 又在△ABM中， EF∥BM， ∴点F是AB边的中点，
∴AF＝BF.
反思感悟 这部分内容是新增内容，在高考中还未出现过，估计
不会单独命题，仅作为证明几何问题的工具使用．其用途是为下 节课的平行线分线段成比例定理做铺垫的．
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式 3】 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 1 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F，求证：AF＝3AC.
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
课前探究学习
课堂讲练互动
在初中，同学们已经学习了相似图形的概念以及相似三角形 的某些性质，但当时并没有对相似三角形的有关定理进行严格的 证明，第一讲主要内容就是对这些定理进行证明，并应用它们去
解决一些问题，为了证明这些定理、我们引入了平行线等分线段、 平行线分线段成比例的有关内容，以组成一个相对严谨的逻辑体 系．
平行线等分线段定理 课件
图 1-1-4
【自主解答】 过 E 作 EF∥BC 交 DC 于 F，连接 AC，如图所示． ∵AD∥BC，E 为 AB 中点， ∴F 是 DC 中点． ① 又∵DC⊥BC，EF∥BC， ∴EF⊥DC. ② ∴由①②知，EF 是 DC 的垂直平分线， ∴△ECD 为等腰三角形． ③
平行线等分线段定理
教材整理 1 平行线等分线段定理
阅读教材定理以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
如果一组平行线在_一__条__直__线____上截得的线段相等，那么在其他直线上截得
的线段也__相__等__．
2．图形语言
如图 1-1-1，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A，B，
如图 1-1-2，在△ABC 中，AD，BF 为中线， AD，BF 交于 G，CE∥FB 交 AD 的延长线于 E.求证：AG ＝2DE.
【精彩点拨】 AF＝FC， GF∥EC → AG＝GE →
△BDG≌△CDE → AG＝2DE
图 1-1-2
【自主解答】 在△AEC 中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又 BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故 DG＝DE，即 GE＝2DE， 因此 AG＝2DE.
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位线定 理来解决问题．
2．本例在证明 DG＝DE 时也可以过 D 作 EC 的平行线 DH. 因为 BG∥DH∥CE 且 BD＝CD 得 DG＝DE，使用平行线等 分线段定理来证明．
如图 1-1-4 所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC， DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E 为 AB 的中点．求证： △ECD 为等边三角形．
平行线等分线段定理
∵AC⊥AB,DB⊥AB,
∴OE∥AC∥DB.
∵O为CD的中点,
∴E为AB的中点.
又OE⊥AB,∴OA=OB.
反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证
明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 如图,已知在梯形ABCD
(3)连接D5B;
(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别
交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
题型一
题型二
题型三
证明:过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下:
(1)作射线AC(与AB不共线);
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;
(3)连接DnB;
(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
【例3】 如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC.求
证:BC=2EF.
分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角
形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.
题型一
题型二
题型三
证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.
2022年 《拓展了解平行线等分线段定理》优秀教案
平行线等分线段定理一、知识点1 掌握平行线等分线段定理及其推论2 会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题二、例题分析第一阶梯[例1]：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F求证：BF=CF 提示：〔1〕由条件可得几个中点？有几条平行线？〔2〕平行线等分线段定理及推论是如何表达的？〔3〕此题有几种方法证明？请比拟一下其方法之间的联系？参考答案：证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC∴E是AB的中点〔经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边〕又∵EF∥AC，交BC于F∴F是BC的中点，即BF=FC说明：〔1〕在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点〔2〕此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC求证：ED=EC 提示：〔1〕对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？〔2〕在梯形中，假设一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点〔3〕请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？参考答案：证明：过E点作EF∥BC交DC于F∵在梯形ABCD中，AD∥BC∴AD∥EF∥BC∵E是AB的中点∴F是DC的中点〔经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰〕∵∠ADC=90°∴∠DFE=90°∴EF⊥DC于F 又F是DC中点∴EF是DC的垂直平分线∴ED=EC〔线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等〕说明：〔1〕命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形再根据图形，写出和求证〔2〕此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以第二阶梯[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于∵CD是∠ACB 的平分线，AE⊥CE于E∴在△AEC与△MEC中∴△AEC≌△MEC∴AE=EM∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF∴点F是AB边的中点∴AF=BF说明：〔1〕一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△相交就势在必行了〔2〕在三角形中，假设有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线〔3〕△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用第三阶梯[例1]：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F求证：EF=BF提示：〔1〕梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？〔2〕如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢〔3〕此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试参考答案：证明：连结AE交DC于O ∵四边形ACED是平行四边形∴O是AE的中点〔平行四边形对角线互相平分〕∵梯形ABCD∴DC∥AB在△EAB中，OF∥AB 又O是AE的中点∴F是EB的中点∴EF=BF说明：〔1〕证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论〔2〕此题可延长EC，在梯形ABCD内构造平行四边形或以AB、BE、AD的延长线为边构造梯形也可以得证[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点求证：△ECD为等边三角形提示：〔1〕由条件可知，CE是哪个特殊三角形的什么线段？为什么？∠2的度数是多少？〔2〕在梯形ABCD中，有AB边的中点E，如何添加辅线后，得到ED=EC？为什么？〔3〕此题不用平行线等分线段定理，还有别的方法吗？试一试参考答案：证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DE于F∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴AD∥EF∥BC又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点〔经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰〕∵DC⊥BC ∴EF⊥DC∴ED=EC 〔线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等〕∴△EDC为等腰三角形∵AB=BC ∠B=60°∴△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°又E是AB边中点∴CE平分∠ACB∴∠1=∠2=30°∴∠DEF=30°∴∠DEC=60°又ED=EC∴△DEC为等边三角形说明：〔1〕一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE〔或CE〕与底边相交，构造全等三角形〔2〕此题不要AB=BC的条件，保存其它条件构造全等三角形也可得证不访试一试。
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初中数学平行线等分线段定理
平行线等分线段定理有着重要的应用。
平行线等分线段定理内容为：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
如图a//b//c//d ，若AB=BC=CD ，则EF=FG=GH 。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
如图AD//EF//BC ，若AE=BE ，则DF=FC 。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
如图EF//BC ，若AE=EB ，则AF=FC 。
例1. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 平分∠DAB ，当AC 分中位线EF 为8cm 和18cm 两段时，求梯形的周长。
分析：注意这里EH=8cm ，FH=18cm ，于是得到DC=2EH ，AB=2HF 是不对的，因为只知E 、F 为AD 、BC 中点，而H 并不知是AC 中点，必须证明：由中位线可得DC//EF//AB ，E 为中点，利用平行线等分线段可证AH=HC 。
再由AC 平分∠DAB 有∠1=∠2，DC//AB ，∠3=∠1，推∠2=∠3，得AD=DC ，问题得以解决。
解：EF 为梯形ABCD 的中位线，AB//CD ,
DAB AC )cm (36182HF 2AB ),cm (1682EH 2DC ,
AC H ,
EF //CD //AB ∠=⨯===⨯==∴∴∴平分的中点为
cm
16AD BC ),cm (16DC AD ,323
1CD //AB ,21==∴==∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴故
梯形ABCD 的周长)cm (8436163AB BC DC AD =+⨯=+++=。
点拨：该题关键在于证明H 为AC 的中点，才能使用三角形中位线定理，由角平分线、平行线可得等腰三角形，得到相等线段，从而代换出结果。
例2. 证明顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形。
已知：如图，在四边形ABCD 中，BD AC ⊥于点O ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是矩形。
分析：由E 、F 、G ，H 为四边形ABCD 各边的中点，联想到三角形中位线的性质，得到
EF HG ,AC 2
1EF ,AC 21HG //////===于是得，可证四边形EFGH 为平行四边形，又由BD AC ⊥，
易证∠HEF=∠DOC=90°结论成立。
证明：在ABD ∆中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点。
BD 21EH //=∴。
（三角形中位线定理） 同理，BD 2
1GF //=。
GF EH //
=∴，
∴四边形EFGH 是平行四边形。
E 、F 分别是AB 、BC 的中点，
AC //EF ∴，
BD AC ⊥ 于O ， ︒=∠=∠∴90DOC 1，
又EH//BD ，
︒=∠=∠∴901HEF ，
∴四边形EFGH 是矩形。
点拨：顺次连结一个四边形各边的中点能否组成矩形、菱形、正方形，是使用三角形的中位线定理的典型题例，确定各边中点形成的四边形的形状，关键取决于已知四边形的对角线的关系：
若已知四边形的对角线互相垂直，则所得的四边形是矩形。
若已知四边形的对角线相等，则所得到的四边形是菱形。
若已知四边形的对角线相等又互相垂直，则所得到的四边形是正方形。
例3. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC （AD BC >），E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，
求证：)AD BC (2
1
EF -=。
分析：由于E 、F 是BD 、AC 的中点，EF 既不是三角形的中位线，也不是梯形中位线。
故连结AE 并延长交BC 于G ，构造△AGC ，证EF 为△AGC 的中位线，也就是证E 为AG 的中点。
证明：连结AE 并延长交BC 于G ， BG AD ,EG AE ),
ASA (GEB AED ,43,EB DE ,
21,
BC //AD ==∴∆≅∆∴∠=∠=∠=∠∴ 又 又F 为AC 中点，
故EF 是AGC ∆的中位线。
)AD BC (2
1
)BG BC (21GC 21EF -=-==∴。
点拨：这里关键是构造三角形，使EF 为其中位线。
注意这里不能直接应用三角形中位线(或梯形中位线)的性质来解题，以致错误。
例4. 如图所示，ABC ∆中，AC AB >，AD 平分∠BAC ，AD CD ⊥，点E 是BC 的中点，
求证：①AB //DE ，②)AC AB (2
1
DE -=。
分析：由条件E 是BC 的中点，结论DE ∥AB ，联想到三角形的中位线定理。
于是延长CD 交AB 于F ，证明D 是CF 的中点，这易证明。
结论获解决。
证明：①延长CD 交AB 于F 。
DC FD ,AF AC ),
ASA (ADF ADC ,AD AD ,DAF DAC 90ADF ADC ,
CD AD ==∴∆≅∆∴=∠=∠︒=∠=∠∴⊥ 又 又BE=EC ，
CFB DE ∆∴为的中位线，
AB //DE ∴（三角形的中位线定理）。
②由（1）知DE 为CFB ∆的中位线，AC=AF ，
)AC AB (2
1
)AF AB (21BF 21DE -=-==∴。
点拨：在三角形中，若有一边的中点或倍分关系时，常作出三角形的中位线，或证明
为中位线，利用三角形的中位线定理加以解决。