边界层理论

高Re
2u 2u 1 2u 2u Re 1, x 2 y 2 1 Re x 2 y 2 ?
平板边界层

Re x 1
15摄氏度标准大气压下的空气：
1 1 Re x
v u
1.225 kg / m 3
*
* H
Cf w 1 2 u e 2
阻力系数： C D D
L 1 2 1 2 ue L w dx ue L 0 2 2

D ue2
Cf 2
d dx
CD
2 L
边界层的积分分析方法
猜测边界层速度型边界层 的积分分析方法u(y)
求解边界层厚度δ
求解位移厚度，动量厚度， 摩擦系数，阻力系数
f j ' ' ' f j f j ' ' 0, j 1,2
ue 2 无穷远处： f () 1, f () ue1
' 1 ' 2
交界面处 f ' (0) 速度条件： 1 交界面处 应力条件：1
f 2' (0) 0, f1 (0) f 2 (0) 0
u1 u2 (0) 2 (0) f1'' (0) k 1/ 2 f 2'' (0), k ( 2 2 / 11 ) y y
ur Anr n 1 cos n r r x ue ur
m
x due n 1 ue dx


2
(Fluid Mechanics by Kundu)
非平板边界层流动
2 0, 1 m 0 : 绕βπ/2的外钝角的流动 2 0, m 0 : 平板流动
du e 0 m 0, f f ( ) dx
ue x f ( )
u ue f ' y
ue v (f ' f ) x x
f ' ' ' 1 ff ' ' 0 2
: f ' 1
边界条件： 0 : f f ' 0
(Blow-off)
楔形区域内的点汇流动
ue K x
m 1
f ' ' ' f '2 1 0
f (0) f ' (0) 0, f ' () 1
数值求解
OR
u 2 2 1 2 f ' 3 tanh tanh ue 3 2
1.81 10 5 kg /(m s )
假设特征速度和特征尺寸：
Re 3.38106
u u x y v v x y
u 50m / s, L 1m
边界层的积分分析方法
位移厚度：
动量厚度： 形状因子： 摩擦系数：
u 1 dy 0 ue u u 1 dy 0 u ue e
连续方程
ve

0
u d d dy udy ue x dx 0 dx vE ue d ve dx
Falkner-Skan变换
y方向变量拉伸 x方向不变
y / ,
ˆx x
u x x y e ue x Re x
u
,v y x
du d 2 (ue ) *ue e w dx dx
d w due 2 ( H 2) dx ue ue dx
裹入（entrainment）方程
d d * vE udy [ u ( )] e 0 dx dx d d d d * (ue ) (ue u )dy (ue ) udy 0 dx dx dx dx 0
u ue , y
x
ue
uy uex
ˆ f (x ˆ, ) uex
Falkner-Skan变换
due u u 2u u v ue 2 x y dx y
due 2 2 3 ue 3 2 y xy x y dx y
（von Karman）动量积分方程
u v 0 x y
due u u 2u u v ue 2 x y dx y
du 1 u 2 (uv) ue e x y dx y

h
0
h due w u 2 dy ue vh ue dy 0 x dx
2 2
2a 1/ 2 2 / 3 16 1/ 2 3 2 J u dy sech a 3 x d 9 a 3 x1 / 3
9J a 16
umax
2
1/ 3
J 1/ 3 0.8255 ( )1/ 6
定义
Width 2 y u 0.01u
max
x2 2 b 21.8 J
1/ 3
通过任一截面 的质量流率
udy 36Jx 1/ 3 3.302Jx 1/ 3 x1/ 3 m


二维尾迹流动
假设
u1 U 0 u U 0
在此边界条件下求解平板边界层动量方程: (Schlichting and Bussmann, 1943)
吸气：边界层变薄，壁面剪切增强。速 度谱线有很强的曲率，边界层很稳定， 延迟了向湍流的转捩 吹气：边界层变厚，速度谱线呈S形， 边界层不稳定，加快了向湍流的转捩
* vw 0.619 u / y 0 @ y 0
边界层理论
薄剪切层流动的特点
厚度很薄
强烈剪切 强烈动量，能量交换 （例如，平板边界层，自由混合层，尾迹流动，射
流，管流）
为什么要单独建立边界层方程
低Re
Du 2 Re p u Dt Du 1 2 p u Dt Re
1 2u 2u 2 1, for Re 1 2 Re x y
99
x

3.4 , Re x ue x / Re x
自由剪切边界层流动
自由混合层，射流，尾迹流动
连续方程：
u v 0 x y
动量方程：
u u 2u u v 2 x y y
p 0 y
自由混合层
uj ue1 ' j y , fj , j 1, 2 jx ue1
u1 2u1 U0 2 x y
大概3L以后的下游完全发展的尾迹
无穷远处： u1 ( x,) 0
u1 交界面处： y
0
y 0
（对称性）
解析解：
u1 BU0 x
*

3
,
2 5 ,H 15 2
边界层的积分分析方法
2 w u
d u dx y

y 0
x

5.5 Re x
*
x

1.83 0.73 0.73 1.46 , ,Cf , CD Re x x Re x Re x Re x
二维不可压层流边界层方程
2
2 d 0.664 0.664 Cf w , C f dx ue2 x Re x Re x 1 L 1.328 C dx 2 C L f f L 0 Re L
CD
Blasius解
CD 1.328 2.3 Re L Re L
(Imai, 1957)
CD
1.328 4.1 Re L Re L
（郭永怀）
非平板边界层流动
相似解：
f f ( )
2
1 f m(1 f ) (m 1) ff 0 2
1/ 2
x due m ue Kx m ue dx
1/ 2
m 1 m 1 引入变换： Y , F 2 2
无穷远处：
f ' () 0 f (0) f ' ' (0) 0
（对称性）
交界面处：
二维平面射流
f ( ) 2a tanh( a )
解析解：
f ' ( ) 2a 2sech2 (a )
确定系数a？
2
(Schlichting, 1933)
非常简单！
通过任一截面的总的动量通量J
0 2,0 m : 绕半顶角为βπ/2的二维无限楔形体的流动
1, m 1 :
,m :
1 2 1 3
二维平面滞止点附近流动 三维轴对称平面滞止点附近流动 楔形区域内的点汇流动
, m 1 :
带壁面吹吸气的平板边界层流动
边界条件：
f ' (0) 0, f ' () 1, f (0) vw / ue / x vw * * Re x f (0) vw Suction-blowing parameter: vw ue
F ' ' ' FF' ' [1 ( F ' )2 ] 0
dp dx
f

2m m 1
（外流压力梯度）
非平板边界层流动
引用无粘势流理论： Irrotational flow at a wall angle（壁面转角处的无旋流动）:
w i Azn /n
连续方程：
u v 0 x y
u u 1 p 2u 动量方程： u v 2 x y x y
p 0 y
边界条件：
u due u 2u u x v y ue dx y 2
y 0 : u v 0 y : u ue
猜测二次多项式形式的边界层速度型：
u * Ay *2 By * C (u * u / ue , y * y源自文库/ )
需要满足的边界条件：
y * 0 : u* 0 * du* * y 1 : u 1, dy* 0
2 y y2 u ue 2
1 ˆ ( f f x f m(1 f ) (m 1) ff x ˆ f x ˆ f ) 2
2
ˆ due x m ue dx
相似解：
f f ( )
1 f m(1 f ) (m 1) ff 0 2
2
Blasius解（平板边界层）
自由混合层
二维平面射流
x f ( )
1/ 2 1/ 3
y 1/ 2 2 / 3 3 x
(Schlichting, 1933)
f ' ( ) u 1/ 3 3x
1 / 2 v 2 / 3 ( f 2 f ' ) 3x
f ' ' ' ff ' ' f '2 0
2a 2 9 1/ 3 3x 3 16
2/3
x 1/ 3
J
2/3
J 0.4543 x
2
1/ 3
双曲函数
(from Wikipedia)
二维平面射流
1/ 3 J 2 2 u umaxsech a umaxsech 0.2752 2 x2 y
级数展开求解或 数值方法求解 (Blasius, 1908)
Blasius解
Blasius解
995 y f '0.995
5.3 x Re x
995

*

0
u * 1.721 1 u dy x / ue 0 1 f ' d 1.721 x / ue x Re e x