单服务台排队模型
MATLAB模拟银行单服务台排队模型
MATLAB模拟银行单服务台排队模型银行单服务台排队模型是一种常见的排队模型，主要用于描述在银行等排队服务场所中，只有一个服务员的情况下，客户如何排队等待服务的情况。
1.模型假设在进行银行单服务台排队模型的建模过程中，我们需要进行一些假设，以简化问题的复杂性。
这些假设包括：-客户到达时间服从泊松分布：客户到达时间间隔服从泊松分布，即客户到达服从一个固定的时间间隔。
-服务时间服从指数分布：每个客户的服务时间是独立同分布的，服从指数分布。
-服务台只有一个：我们假设只有一个服务台，客户按照到达的顺序排队等待服务。
-客户不能提前离开：我们不考虑客户在等待期间可能会放弃等待而提前离开的情况。
2.模型参数在建立银行单服务台排队模型时，我们需要定义一些模型参数。
这些参数包括：-平均到达率λ：客户的平均到达率，表示单位时间内到达的客户数量的期望值。
-平均服务率μ：服务员的平均服务率，表示单位时间内服务的客户数量的期望值。
-服务台利用率ρ：服务台的利用率，表示服务台的平均使用率。
-平均等待时间W：客户平均等待服务的时间。
-平均队列长度L：客户平均排队等待的队列长度。
3.模拟过程为了模拟银行单服务台排队模型，我们使用MATLAB编程进行模拟。
以下是一个简单的模拟过程：-生成客户到达时间间隔：使用泊松分布生成客户到达时间间隔。
-生成客户服务时间：使用指数分布生成客户的服务时间。
-计算客户到达时间和服务完成时间：根据客户的到达时间间隔和服务时间，计算客户的到达时间和服务完成时间。
-计算客户的等待时间：根据客户的到达时间和服务完成时间，计算客户的等待时间。
-统计模拟结果：统计客户的等待时间、队列长度等模拟结果。
4.结果分析通过对模拟结果的分析，我们可以得到一些关键的结果，包括：-平均等待时间：通过计算客户的平均等待时间，可以评估服务台的效率和客户的等待体验。
-平均队列长度：通过计算客户的平均排队等待的队列长度，可以评估服务台的负载情况。
CH12 第三节 单服务台负指数分布排队系统
1 ≤ n ≤ m −1
解这个方程组得：
1 P0 = m λ m! ( )i ∑ (m − i)! µ i =0 λ m! ( ) n P0 , Pn = (m − n)! µ
U {(t , t + ∆t )内至少有一个顾客到达}I {(t , t + ∆t )内至少有一个顾客离去} I {N (t + ∆t ) = n} = AU B UC U D
由输入是强度为 λ 的泊松流有：
P([t , t + ∆t )内到达1个顾客) = λ∆t + o(t )
由服务时间是参数为 µ 的负指数分布有：
第三节 单服务台负指数分布排队系统
模型（ 3.1 标准的 M / M / 1 模型（ M
/ M /1 / ∞ / ∞
）
标准的 M / M /1 模型是指适合下列条件的排队系统： （1） 输入过程：顾客源是无限的，顾客的到达是强度为 λ 的泊松流； （2） 排队规则：单队，队长无限制，先到先服务； （3） 服务机构：单个服务台，各顾客的服务时间是相互独立的，服从 相同的负指数分布，参数为 µ ； （4） 顾客到达的时间间隔与服务时间是相互独立的。
λ P0 = µP1 λ Pn −1 + µPn +1 − ( λ + µ ) Pn = 0, n ≥ 1 (12 − 17 ) (12 − 18 )
λ
0
λ
1 …… n-1
λ
n n+1
µ
µ
µ
当ρ =
λ < 1 时，解上方程组可得 µ
P0 = 1 − ρ Pn = (1 − ρ ) ρ n ,
表 12-8 到达的病人数 n 出现次数 f n
MMs等待制排队模型.ppt
n0
n1
1 N n 1 2 N 1 N 1
n 1
1
当 1时，上式 N 1
p0
1
1
N 1
1, N 1
,
1
;
1
pn
1
1
N 1
n
M/M/1/N系统的空间指标
1
Pn
Cn P0
n
m! (m n)!
1
m n1
n
1
m! (m n)!
Pn 0, n m
有效到达率和平均队长
有效到达率（单位时间内损坏的机器数）
m
m
m
m
e nPn (m n)Pn m Pn nPn
(1)工人闲期m 概 3率, 2, 6, 1/ 3
工人忙期概率和每小时修理机床数
工人闲期和忙期概率
P0
3 n 0
(3
3! n)!
1 n
3
1
1 3 31 3 2 32 3 2 1 33 1 0.346
Lq
e
1.39 2.89
0.481(小时) 28.9分钟
三、M/M/1/m/m系统
典型的情况是工厂内的机器待修问题，因此俗称“机 修模型”。
状态转移图为
m (m1)
01
2
(mn1) (mn)
n-1
n
2
m-1
m
这里 为每台机器的平均故障率
系统参数
第3章 排队模型分析法-3-
/(k-1)
求解平稳分布
平衡方程 由正则性条件：
p1 p0 p0 2 p p p 2 2 1 2! 0 k ρ p pk-1 p0 k k k!
ρk 1 pk p0 e ρ p0 k 0 k 0 k! p0 e ρ ρk ρ pk e k! k 0,1,2,
顾客源中单个顾客的到达率为
当系统中有k个顾客的时候，顾客源中有 (m-k)个顾客，到达率为(m-k)
顾客源中的顾客数m-k (m-k)
系统内的顾客数k
0km
最大顾客数m
M/M/1/m/m的状态流图
m 0 1 (m-1) 2 (m-2) 2 m-1 m
列出状态转移平衡方程：
排队越长，进入可能性越小(令 αk＝
1 k 1
)；
顾客所需的服务时间序列{n，n1}独立、服从 参数为(>0)的负指数分布； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此 独立。
2.系统状态分析
仍用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令
pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i}，i,j＝0,1,2,… 则pij(t)的推导有
Wq(t)＝P{Wq≤t}
e (t ) 1 , t0 e 1 k 1 (k 1)! j 0 j!
k 1 j
t
k 1
e 1 平均等待时间为： Wq (e 1)
5.逗留时间
类似地，顾客的逗留时间的分布函数为
W(t ) P{W t} P{Wq 0, t} P{0 W t, Wq 0}
具有工作休假的单服务台排队模型的开题报告
具有工作休假的单服务台排队模型的开题报告
一、研究背景
随着社会经济的不断发展，人们对生活质量的要求也越来越高。
因此，人们经常需要到服务台办理各种业务，如取号、缴费、打印等。
在繁忙的节假日或工作日高峰期，人们需要排队等候，这极大地浪费了人们的时间和精力。
如何提高服务台的效率，减少等待时间，成为了很多服务机构需要解决的问题。
队列理论，是解决排队问题的一种数学方法，可以有效地帮助服务机构进行排队管理。
因此，对于单服务台排队模型的研究非常重要。
二、研究内容及目的
本研究拟以具有工作休假的单服务台排队模型为研究对象，通过对队列理论中的等待时间、服务时间、到达率等指标的研究和分析，设计出一种适合该模型的排队策略，以优化服务台的效率，减少排队等待时间，提高服务质量。
三、研究方法
本研究将采用数学模型的方法，通过理论分析和实验模拟的方式，对具有工作休假的单服务台排队模型进行研究，探讨如何根据实际情况设计出最佳的排队策略，达
到优化服务效率的目的。
四、预计结果
本研究将对具有工作休假的单服务台排队模型进行研究，探讨在该模型下采用何种排队策略可以最大限度地提高服务效率。
通过对等待时间、服务时间、到达率等指
标的分析和实验模拟，预计可以得出相应的排队策略，以优化服务效率，减少排队等
待时间，提高服务质量。
单服务台排队系统仿真报告
单服务台排队系统仿真报告一、模型准备1、 顾客到达特性在该系统中，顾客的到达规模（成批到达还是单个到达）是单个到达，假设顾客到达率Ai 服从均值为 的指数分布，即2、 顾客服务时间顾客服务时间为Si ，服从指数分布，假设均值为，即二、 仿真模型设计1、 元素定义（Define ）本系统的元素定义如表1所示。
2、 元素可视化设置（Display ）本系统中各个元素的显示特征定义设置如图2所示：m in 5=A βAs Ae Af ββ/)(-=)0(≥A min 4=s βSA Se Sf ββ/)(-=)0(≥S图2 各元素的显示特征（1）Part元素可视化设置在元素选择窗口选择customer元素，鼠标右键点击Display，跳出Display 对话框（图3），设置它的Text（图4）、Icon（图5）。
图3 Display对话框图4 Display Text对话框图5 Display Icon对话框（2）Buffer元素可视化设置在元素选择窗口选择paidui元素，鼠标右键点击Display，跳出Display对话框（图3），设置它的Text、Icon、Rectangle（图6）。
图6 Display Rectangle对话框（3）Machine元素可视化设置在元素选择窗口选择Fuwuyuan元素，鼠标右键点击Display，跳出Display 对话框（图3），设置它的Text、Icon、Part Queue（图7）。
图7 Display Part Queue对话框（4）Variable元素可视化设置在元素选择窗口选择Jifen0元素，鼠标右键点击Display，跳出Display对话框（图3），设置它的Text 、Value（图8）。
图8 Display Value对话框（5）Timeseries元素可视化设置在元素选择窗口选择duichang元素，鼠标右键点击Display，跳出Display 对话框（图3），设置它的Text、Timeseries（图9）。
单服务台排队模型
n
n
Pk 95% (1 ) k 1 n1 95%
k 0
k 0
n1 5%
解得 n 15.4 16
即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。
26
例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的 机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4 人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机 型的固定费用C1，操作费C2，服务率µ见表。若每位 就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元， 试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+ 逗留损失费）最低。
过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负 指数分布； （2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服 务； （3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机 的，服从相同的负指数分布 。
17
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程， 设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统 （M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表 示：
40
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（3）每个系统的平均等待队长
Lq
2 ( )
0.09 0.4(0.4 0.3)
9 4
2.25
（4）每个系统的平均队长
L 0.3 （3 人） 0.4 0.3
41
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
30
31
1、状态概率
C－1
P0＝ k＝0
k1！
k
＋
11
C！1－
C 1
C
Pn＝
n1！
n
1 C! C n－C
14.3单服务台指数分布排队系统
二、M/M/1等待制排队系统
1、系统的意义：顾客按泊松流输入、平均 到达率为λ，服务时间服从负指数分布、平 均服务率为μ，1个服务台，系统容量和顾客 源均为无限。当顾客来到系统时，若服务台 忙，则顾客排队等待服务，排队规则为先到 先服务的排队系统。
2、系统的状态转移速度图：
λ 0 μ 1 μ λ 2 μ λ …… μ λ
p2
2
p0 2 p0
继续打开，计算整理得：
pn n p0
，1≤n≤N
N n 0
（ 2）
代入
n 0
N
pn 1
得
n p0 1
于是
1 N N 1 n 1 p0 [ ] 1 n 0 N 1 1
n 0
代入
N
pn 1
n ( ) p0 1 n 0
N
P0为系统空闲的概率，因此系统不空的概率 即服务台忙的概率（系统满的概率 或系统的 损失概率 ） P忙=1-P0 （ 5） ②平均队长（系统中顾客数的期望值）LS和 平均队列长Lq：
（N 1 ）N1 Ls nPn - N1 N1 （6） - - n 0
sprintf('系统空闲的概率为%3f',p0) sprintf('顾客被拒绝的概率为%3f',p(end)) sprintf('系统的状态概率为 \n%3f\n%3f\n%3f\n%3f\n%3f',p) sprintf('顾客平均有效到达率为%3f',lambda_e) sprintf('系统平均顾客数为%3f',L_s) sprintf('系统平均顾客数为%3f',L_ss) sprintf('平均等待队长为%3f',L_q) sprintf('顾客平均逗留时间为%3f',W_s) sprintf('顾客平均等待时间为%3f',W_q) sprintf('系统忙期为%3f',T_b) end
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
D——确定型
Ek——k阶爱尔朗分布
GI——一般相互独立的时间间隔分布
G——一般服务时间分布
四、排队模型的数量指标
1、平均队长(Ls)： 指在系统中的顾客数（包括正被服务的顾客 和排队等待的顾客）的期望值。 2、平均排队长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数的期望值。
Ls=Lq+正被服务的顾客数 3、平均逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间期望值。
λΔt
n
n-2 Pn-2(t) 2
(C)
n-3
…
Pn-3(t) …
3 …
0 P0(t) n
o(Δt)
n n … n
[0, t+Δt ) 概率
Pn(t) ( 1-λΔt+o(Δt)) Pn-1(t)λΔt
o(Δt)
在上述条件下，研究顾客到达数 n 的概率分布 Pn(t+Δt)= Pn(t) ( 1-λΔt+o(Δt)) + Pn-1(t)λΔt + o(Δt)
8 上游河水进入水库 放水，调整水位 水闸管理员
2、排队论的起源与应用领域
1）、20世纪初Bell电话公司为减少用户呼叫， 研究电话线路合理配置问题；
2）、1909年丹麦工程师A.K.Erlang受热力 学统计平衡概念启发发表论文《概率论与电 话交换》，解决上述问题；
3）、应用于：通讯系统、交通运输、机器 维修、库存控制、计算几设计等领域。
Pn(t+Δt)= Pn(t)(1-λΔt )+Pn-1(t)λΔt+ o(Δt) [Pn(t+Δt)-Pn(t)]/Δt =-λPn(t)+λPn-1(t)+[o(Δt)]/Δt
第十五章排队系统分析单服务台模型 30页PPT文档
顾客到达就能理发的概率 相当于理发店内没有顾客
P01 1 N111 (33//44)80.2778
等待顾客数的期望值
Ls1 (N 1 1 )N N 111 33 /4 /418 (3 (3 //44 )8 )82.11
LqLs(1P 0)2.1 1(10.27)7 18 .39 运筹学
Little公式（相互关系）
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls
Lq
运筹学
例15-2：某医院手术室每小时就诊病人数和手术时间的 记录如下：
到达的病人数
n 0 1 2 3 4 5 6 以上 合计
出现次数
un 10 28 29 16 10
6 1 100
完成手术时间
r 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2 以上
平衡方程：
pn 1 p0
n
P nP 1 0 P P n 11 0()P n0
n 0 n 1
求解：令: ，且当 1时
P P0 n 1 (1)n n1
运筹学
关于 的几点说明：
(1) (2)
合计
出现次数
vr 38 25 17 9 6 5 0 100 运筹学
解：2.1,2.5每小时病人平均到达率
到完达成的手病术人时数间
nr 0.0~00.2 0.2~10.4 0.4~20.6 0.6~30.8
出现次数
vur n 3180 2258 1279 19 6
nun 2.1（人/小时）
其中
Cn
单服务台排队系统仿真
单服务台排队系统仿真单服务台排队系统是指在一个服务台只有一个服务员的情况下，客户需要按顺序等待服务的系统。
本文将介绍一个针对单服务台排队系统的仿真模型。
在设计仿真模型之前，我们需要确定一些重要的参数。
首先是服务时间，即每个客户接受服务所需要的时间。
服务时间可以通过实际观察数据或者估算得出。
其次是到达间隔时间，即每个客户到达的时间间隔。
到达间隔时间可以通过实际观察数据或者使用随机数生成器进行模拟。
首先，我们需要创建一个事件队列来模拟客户的到达和离开。
事件队列是一个按照发生时间顺序排序的队列，每个事件都包含两个属性：时间和类型。
接下来，我们创建一个时钟来记录仿真进行的时间。
初始时，时钟指向第一个到达事件的时间。
然后，我们从事件队列中取出第一个事件，并更新时钟指向该事件的时间。
如果当前事件类型是到达事件，我们需要进行如下操作：首先，模拟下一个客户到达的时间，并将该事件添加到事件队列中。
然后，判断当前是否有客户正在接受服务。
如果没有，我们将当前事件类型设置为离开事件，并模拟该客户的服务时间和离开时间，并将该离开事件添加到事件队列中。
如果有客户正在接受服务，我们将当前事件类型设置为到达事件。
如果当前事件类型是离开事件，我们需要进行如下操作：首先，更新服务台的空闲状态。
然后，判断是否还有等待服务的客户。
如果有，我们将当前事件类型设置为离开事件，并模拟下一个客户的服务时间和离开时间，并将该离开事件添加到事件队列中。
如果没有等待服务的客户，我们将当前事件类型设置为到达事件。
重复上述步骤，直到事件队列中没有事件为止。
最后，我们可以根据仿真的结果，比如客户的等待时间、服务时间和系统繁忙率等指标，来评估和优化该排队系统的性能。
通过以上的模型，我们可以对单服务台排队系统进行仿真，并评估其性能。
我们可以通过改变服务时间、到达间隔时间等参数，来探究不同情况下系统的表现和优化方案。
同时，我们还可以根据仿真结果，对系统进行调整和改进，以提高客户的满意度和服务效率。
§3 MMs排队模型
§3 M/M/s 排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则由(1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率)(2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率)(3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)及n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得nn n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n =故有 0nn p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑. 因此 (1)nn p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率 如单位时间,2λ=,5μ=,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.tf t et μλμλ--=-≥分布函数: ()()()1,0.tF t P T t e t μλ--=≤=-≥于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-; (4) 在队列中顾客平均等待时间因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式. 各公式可记忆如下:由λ和μ→服务效率λρμ=, 从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+3. 服务机构的忙期B和闲期I分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ-→忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ-(2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==< (1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时)(2) 列车的平均逗留时间212LW λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,则 0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(1) 修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==< (1) 修理店空闲的概率0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人) (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈ (8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 11101615{10}0.3679P T e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====L 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限;服务规则: FCFS.数据分析 服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u u u r u u u u u r μ1μ2sμs 个设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率,1,2,3,...,,,1,...n n n s s n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s s s ρλρμ==, 则当1s ρ<时, 不至越排越长,称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s n n s n s n C n s s s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 故,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s s s n s s p p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 或(,)1s q sc s L ρρρ=-.(2) 正在接受服务的顾客的平均数10s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n s n p s p n s ρρρ-==+-∑11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:LW λ=, 1qq L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标 模型 s=1 s=2 空闲的概率p 0 0.333 05 有1个病人的概率p 1 有2个病人的概率p 2 0.222 0.148 0.333 0.111 平均病人数L 平均等待病人数L q 2 1.333 0.75 0.083 病人平均逗留时间W 病人平均等待时间W q 1 0.667 0.375 0.042病人需要等待的概率P{T q >0}0.667(=1-p 0)0.167(=1-p 0 -p 1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5} 等待时间超过1小时的概率P{T q>1} 0.4040.2450.0220.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长.结论是两个医生较合适.例4某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟0.9λ=人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率0.4μ=人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型, 其中2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n ss n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人) 平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间1.701.890.9qq L W λ===(min) 平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口30.9λ=0.3λ=0.3λ=每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比较如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.0748 0.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.57 0.75平均排队长Lq 1.70 2.25(每个子系统) 平均队长L 3.95 9.00(整个系统) 平均逗留时间W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。
第六章 排队论模型
4
排队模型及类型
根据顾客到达和服务台数，排队过程可用下列模型表示：
模型1 单服务台排队模型
模型2
单队列多服务台并联的排队模型
5
模型3
多队列多服务台的并联排队模型
模型4
单队多个服务台的串联排队模型
6
模型5
多队列多服务台混联网络模型
纵观上述排队模型，实际上都可由下面模型加以统一描述：
称该统一模型为随机聚散服务系统。由于顾客到来的时刻和服务台提 供服务的时间长短都是随机的，因此任一排队系统都是一个随机聚散 7 服务系统。 “聚”表示顾客的到达,“散”表示顾客的离去。
1修理店空闲的概率2店内恰有3个顾客的概率3店内至少有1个顾客的概率4在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间6等待服务的平均顾客数7每位顾客平均等待服务时间8顾客在店内等待时间超过10min的概率581001594在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间067607每位顾客平均等待服务的时间02678顾客在店内逗留时间超过10min的概率由于逗留时间服从参数的负指数分布即分布函数为1003679注
20
例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS， 则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)； 服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统 等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先 到先服务规则。 某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的 前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解为系 统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务， 单个服务的等待制系统。
11
(2) 等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。 例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
排队模型与模拟方法
第一节 排队系统的基本概念
一、排队系统的组成 二、排队系统的主要研究内容 三、排队系统的符号表示 四、排队系统的常见分布
一、排队系统的组成
• 共同特征：
(1)请求服务的人或者物——顾客 (2)有为顾客服务的人或者物--服务台 (3)顾客到达系统的时刻是随机的，为 每一位顾客提供服务的时间是随机的， 因而整个排队系统的状态也是随机的。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的 问题
• 面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服 务设施，但是增加的数量越多，人力、物 力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费， 如果服务设施太少，顾客排队等待的时间 就会很长，这样对顾客会带来不良影响。 • 如何做到既保证一定的服务质量指标 ， 又 如何做到既保证一定的服务质量指标， 使服务设施费用经济合理。 使服务设施费用经济合理。 • 恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用 大小这对矛盾，就是随机服务系统理论—— 排队论所要研究解决的问题。
令
ρ=
λ ，称为服务强度。 µ
ρ <1 即
λ < µ ，表明服务员有足够的能力完全
接待到来的全体顾客。可以证明排队模型是稳定的。 但这决不是说，每位顾客就不用等待了，因为在 系统运行中随机因素在起作用。
ρ >1 即
λ > µ ，表明服务员没有足够的能力接待到
来的全体顾客，从总的趋势上说，排队的顾客会越来 越多。可以证明排队模型是不稳定的。
排队系统由3 排队系统由3个部分组成
1、输入过程 2、排队规则 3、服务规则
顾客是按怎样的规律到达排 1．输入过程： 输入过程： 队系统的 (1)顾客源 指顾客的来源。 顾客源, (1)顾客源,指顾客的来源。 可以是有限的，也可以是无限的。 可以是有限的，也可以是无限的。 (2)顾客到达方式,描述顾客怎样来到系统。 (2)顾客到达方式,描述顾客怎样来到系统。 顾客到达方式 可以单个到达，也可以成批到达。 可以单个到达，也可以成批到达。 (3)顾客流的概率分布 顾客流的概率分布（ (3)顾客流的概率分布（相继顾客到达时间间 隔的分布） 隔的分布） 有确定的时间间隔， 有确定的时间间隔，也有随机的时间间隔
排队模型2
单队多服务台和多种单队单服务系统旳比较：
模型
指标
• 服务台空闲旳 概率P0
• 顾客必须等待 旳概率
平均队长Lq
• 系统中顾客旳 平均数L
（1）单队多服务台模型
0.0748 P(n≥3)=0.57
1.70 3.95 4.39 (分钟) 1.89(分钟)
（2）单队单服务台模型
M
1
( M 1) M M M1 (1 M1 )(1 )
1
1
(M 1
1) M 1 M 1
1 L M/2
对 (M 1) M1 旳讨论： 1 M1
因为 1, M 0， 所以
( M 1) M1
L
1
1 M1
①其值恒不小于零， 即在队长受限制旳条件下， 系统中旳平均顾客数一定不不小于队长不受限制时旳平均顾客
M S 10, 6, 0.5,
S 6 12 0.5
P0
(12)0 0!
(12)1 1!
(12)2 2!
(12)3 3!
(12)10 10!
1
0.0018
P10
(S )M
M!
P0
(12)10 10!
0.0018
0.3019
P0
(12)0 0!
(12)1 1!
(12)2 2!
( N n)!
N! n
( N n)!
[M/M/1]：[∞ /N/FCFS]系统
P0 N
1
N! n
n0 ( N n)!
可求得系统旳各项指标为
L N (1 P0 )
W N 1
(1 P0 )
不要求不大于1
Pn
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1、状态概率
C－1
P0＝ k＝0
k1！
k
＋
11
C！1－
C 1
C
Pn＝
n1！
n
P0
C!
1 C n－C
n
P0
OnC
nC
Lq
(c)c c!(1 )2
P0
e
n 0,1, 2,L
表示单位时间内到达n个顾客的概率。
容易计算Poisson分布的总体均数与总体方差相等， 均为λ。
2、负指数分布 当顾客到达符合泊松分布时，顾客相继到达的间隔时间 T必服从负指数分布。
fT (t) et (t 0)
顾客服务时间常用概率分布也是负指数分布
f (t) et (t 0)
现按M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进 行对比分析，结果见表
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（1）挂号间空闲的概率
P0
1
1
1 0.3 ห้องสมุดไป่ตู้.4
1 0.25 4
（2）就诊者必须等待的概率
P(N 1) 1 P0 1 0.25 0.75
解：3个M/M/1系统，
1.3026
2 0.05(4)
9.488
P 0.05
卡方分布下的检验水准及其临界值
接受假设，即患者到达数的经验分布适合λ=2.1的 泊松分布。
第八章 排队论
第二节 单服务台M/M/1排队模型
M/M/1/∞/∞ 模型
1、模型条件
（1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到 达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从 负指数分布；
Pn
n n!
e
理论频数 100 Pn
( fn 100Pn ) 2 100Pn
0
10
0.1224
12.24
0.4099
1
28
0.2571
25.71
0.2039
2
29
0.2700
27.00
0.1481
3
16
0.1890
18.90
0.4449
4
10
0.0992
9.92
0.0006
5 ≥6
6
0.0416
1 7
20人 / 小时
1/ 2.5分钟 / 人
1 人 / 分钟= 1 60 24人 / 小时
2.5
2.5
20人 / 小时 24人 / 小时
（1）药剂员空闲率
P0
1
1
1
20 24
0.1667
16.67%
若按每天8小时工作时间计算，该药剂员每天的空闲
时间约有8×0.1667=1.33小时。
２
５
３１
３
顾客
排队系统运行情况的分析，就是在给定输入 与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客) 的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标：
①系统中顾客数(队长)L； ②排队等待的顾客数(排队长)Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)W； ④顾客排队等待时间Wq。
排队模型的符号定义为： A/B/C/m/N
（2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先 服务；
（3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随 机的，服从相同的负指数分布 。
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程， 设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统 （M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：
λ
λ
λ0 1λ ...
100
1、原理 判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T ）
之差是否由抽样误差所引起。
类别或组段 观察频数
理论频数
1
A1
T1
2
A2
T2
…
…
…
k
Ak
Tk
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
注意：理论频数Ti不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！
2、计算公式
到达数(n) 出现次数 f n
0.75
1.7（人） 3.95（人） 4.39（分钟）
2.25（人） （各子系统）
3（人） （各子系统） 10（分钟）
1.89（分钟）
7.5（分钟）
优于
0.0207
4.16 2.076.23
0.0952
∑
100
1.0000
100
1.3026
2 k ( Ai Ti )2 ,
i1
Ti
k 1 a a为参数的个数
2、计算公式
2 k (Ai Ti )2 1.3026
i1
Ti
k 1 a 611 4
Q
2 0.05(4)
9.488
而 2
μμ
μ
μ
λ
λ
n-1 n
μ
μn+1
状态0： P1 P0
P1
P0
状态n： Pn1 Pn1 ( )Pn
n 1, 2,3,L
n=1： P0 P2 ( )P1
P0
P2
(
)
P0
P2
(
)2
P0
n=2： P1 P3 ( )P2
P0
P3
(
)
2 2
P0
P3
(
)3
P0
类似可得
其中μ表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服 务率。
例8-1 某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时， 每小时患者到达数n的出现次数如表，问每小时患者的 到达数是否服从泊松分布。
到达 数n
0
出现 次数fn
10
患者在单位时间内到达数的频数分布
1
2
3
4
5
6
≧7
28
29
16
10
6
1
0
x nfn 2.（1 人 / 小时）
50
2
30
90
C
18
47
48
43
20
86
D
20
12
60
1
15
95
第八章 排队论
第三节 多服务台M/M/Ｃ排队模型
一、M/M/C/∞/∞ 模型
1、模型条件
（1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到 达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负 指数分布；
（2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先 服务；
W L 3 1（0 分钟）
0.3
（6）每个系统的平均等待时间
Wq
Lq
2.25 0.3
7.（5 分钟）
指标
挂号间空闲 的概率
就诊者必须等待 的概率
平均队列长
平均队长
平均逗留时间
平均等待时间
两个模型的比较
（1）M/M/3型
（2）M/M/1型
0.0748
0.25（各子系统）
P(N>3)= 0.57
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（3）每个系统的平均等待队长
Lq
2 ( )
0.09 0.4(0.4 0.3)
9 4
2.25
（4）每个系统的平均队长
L 0.3 （3 人） 0.4 0.3
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（5）每个系统的平均逗留时间
A — 顾客到达间隔时间概率分布; B — 服务时间的概率分布; C — 服务台数； m — 顾客源总数 N — 系统内顾客的容量
排队系统的常见分布
1、泊松分布 设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们 说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是： (1)平稳性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数 N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。 (2)无后效性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。
Wq＝
Lq
2、主要运行指标
L Lq
W
L
＝Wq＋
1
例8-6 某医院康复科有4台超短波理疗仪，患者的到达 服从泊松分布。平均每小时到达12人，每人理疗时间 服从指数分布，每台每小时平均服务4人，患者到达后 排成一列，一次就诊。求：①4台一起同时空闲的概率 ②计算系统的数量指标；③患者到达后必须等待的概率。
(3)普通性 在充分短的时间区间Δt内，到达两个或两
个以上顾客的概率极小，可以忽略不计，即
lim
t 0
n2
Pn
(t
t
)
0
在长为 t 的时间内到达n个顾客的概率为：
Pn
(t)
(t)n
n!
et
(t 0)
n 0,1, 2,L
其中λ表示单位时间平均到达的顾客数，即为到达率。
当t=1时，
Pn
n
n!
Pn
( )n
P0
令uuuuuuuuuuuur Pn
()n P0
由概率性质可知， Pn 1 n0
n0
Pn
( )n P0
n0
1
P0 ( )n
n0
1
P0
1
1
P0 1
其中P0是空闲概率，
Pn
(1
)n
为利用率（服务台处于繁忙的概率）
对于M／M／1/∞/∞模型有如下公式：
P0 1