单服务台排队模型

（2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先 服务；
（3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随 机的，服从相同的负指数分布 。
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程， 设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统 （M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：
λ
λ
λ0 1λ ...
Pn
n n!
e
理论频数 100 Pn
( fn 100Pn ) 2 100Pn
0
10
0.1224
12.24
0.4099
1
28
0.2571
25.71
0.2039
2
29
0.2700
27.00
0.1481
3
16
0.1890
18.90
0.4449
4
10
0.0992
9.92
0.0006
5 ≥6
6
0.0416
1 7
（3）服务机构――多服务台且相互独立，服务时间 的长短是随机的，平均服务率相同，服从相同的负 指数分布 。
1、状态概率
C－1
P0＝ k＝0
k1！
k
＋
11
C！1－
C 1
C
Pn＝
n1！
n
P0
C!
1 C n－C
n
P0
OnC
nC
Lq
(c)c c!(1 )2
P0
W L 3 1（0 分钟）
0.3
（6）每个系统的平均等待时间
Wq
Lq
2.25 0.3
7.（5 分钟）
指标
挂号间空闲 的概率
就诊者必须等待 的概率
平均队列长
平均队长
平均逗留时间
平均等待时间
两个模型的比较
（1）M/M/3型
（2）M/M/1型
0.0748
0.25（各子系统）
P(N>3)= 0.57
复习：
顾 客 源
顾客
排队系统
队
列
排队规则
服务 服务完离
机构
开
服务规则
排队系统的三个基本组成部分.
• 输入过程 （有限、无限；单个、成批；确定型、
随机型。
相继到达时间间隔
顾客到达
•排队规则 等待制、损失制、混合制 •服务机构 1、机构形式：单列、多列、服务台的数量 2、服务方式： 单个、成批 3、服务时间：确定型、随机型
（5）平均逗留时间
W L 5 0.2（5 小时） 15（分钟）
20
（6）系统内有n个患者取药的概率
Pn
n (1
)
(1
20) ( 20)n 24 24
n 1, 2,3,L
P1 13.89% P2 11.57% P3 9.65%L
如果医院希望有足够的座位给取药的病人坐，或者说 病人来取药没有座位的概率不超过5%，试问至少应为 病人准备多少座位？
e
n 0,1, 2,L
表示单位时间内到达n个顾客的概率。
容易计算Poisson分布的总体均数与总体方差相等， 均为λ。
2、负指数分布 当顾客到达符合泊松分布时，顾客相继到达的间隔时间 T必服从负指数分布。
fT (t) et (t 0)
顾客服务时间常用概率分布也是负指数分布
f (t) et (t 0)
二、M/M/C模型与C个M/M/1模型的比较
例 某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从
泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时 间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就 诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然 系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/C型的排队服 务模型。求：该系统的运行指标。
（2）队长
L 20 （5 人） 24 20
20人 / 小时 24人 / 小时
（3）等待队长
Lq
2 ( )
202 24 (24 20)
4.16（7 人）
（4）平均等待时间
Wq
Lq
4.167 20
0.208（3 小时） 12.5（分钟）
20人 / 小时 24人 / 小时
0.75
1.7（人） 3.95（人） 4.39（分钟）
2.25（人） （各子系统）
3（人） （各子系统） 10（分钟）
1.89（分钟）
7.5（分钟）
优于
解：C 3, 0.9人 / 分钟， 0.4人 / 分钟， 0.9 3
C 3 0.4 4
1 整个挂号间空闲的概率
P0＝
2.25 0
0！
＋
2.25 1
1！
＋2.25 2
2！
＋
2.25 3
3！
1 1－2.25/
3
1
0.0748
2 等待挂号的平均人数或称队列长
Lq＝
2.
253
3!
3
A — 顾客到达间隔时间概率分布; B — 服务时间的概率分布; C — 服务台数； m — 顾客源总数 N — 系统内顾客的容量
排队系统的常见分布
1、泊松分布 设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们 说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是： (1)平稳性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数 N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。 (2)无后效性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。
2.253
3！1/ 4
0.0748
0.57
如果在上例中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自 排成一队，即排成3队，且进入队列后不离开，各列间 也互不串换，这就形成3个队列，而前例中的其它条件
不变。假设每个队列平均到达率相等且为： λ1＝λ2＝λ3＝0.9/3＝0.3（人/分钟）
这样，原来的M/M/3系统就变成了3个M/M/1型的子系统 。
Wq＝
Lq
2、主要运行指标
L Lq
W
L
＝Wq＋
1
例8-6 某医院康复科有4台超短波理疗仪，患者的到达 服从泊松分布。平均每小时到达12人，每人理疗时间 服从指数分布，每台每小时平均服务4人，患者到达后 排成一列，一次就诊。求：①4台一起同时空闲的概率 ②计算系统的数量指标；③患者到达后必须等待的概率。
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（3）每个系统的平均等待队长
Lq
2 ( )
0.09 0.4(0.4 0.3)
9 4
2.25
（4）每个系统的平均队长
L 0.3 （3 人） 0.4 0.3
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（5）每个系统的平均逗留时间
L 1 WL
Pn n (1 )
Lq
2 (
)
Wq
Lq
例8-2 设某医院药房只有一名药剂员，取药的患者按 泊松分布到达，平均每小时20人，药剂员配药时间服 从指数分布，平均每人为2.5分钟。试分析该药房排 队系统的状态概率和运行指标。
解：这是一个M/M/1/∞/∞系统，单列，FCFS规则 根据题意已知，
现按M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进 行对比分析，结果见表
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（1）挂号间空闲的概率
P0
1
1
1 0.3 0.4
1 0.25 4
（2）就诊者必须等待的概率
P(N 1) 1 P0 1 0.25 0.75
解：3个M/M/1系统，
0.0207
4.16 2.076.23
0.0952
∑
100
1.0000
100
1.3026
2 k ( Ai Ti )2 ,
i1
Ti
k 1 a a为参数的个数
2、计算公式
2 k (Ai Ti )2 1.3026
i1
Ti
k 1 a 611 4
Q
2 0.05(4)
9.488
而 2
μμ
μ
μ
λ
λ
n-1 n
μ
μn+1
状态0： P1 P0
P1
P0
状态n： Pn1 Pn1 ( )Pn
n 1, 2,3,L
n=1： P0 P2 ( )P1
P0
P2
(
)
P0
P2
(
)2
P0
n=2： P1 P3 ( )P2
P0
P3
(
)
2 2
P0
P3
(
)3
P0
类似可得
50
2
30
90
C
18
47
48
43
20
86
D
20
12
60
1
15
95
第八章 排队论
第三节 多服务台M/M/Ｃ排队模型
一、M/M/C/∞/∞ 模型
1、模型条件
（1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到 达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负 指数分布；
（2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先 服务；
其中μ表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服 务率。
例8-1 某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时， 每小时患者到达数n的出现次数如表，问每小时患者的 到达数是否服从泊松分布。
到达 数n
0
出现 次数fn
10
患者在单位时间内到达数的频数分布
1
2
3
4
5
6
≧7
28
29
16
10
6
1
0
x nfn 2.（1 人 / 小时）
Pn
( )n
P0
令uuuuuuuuuuuur Pn
()n P0
由概率性质可知， Pn 1 n0
n0
Pn
( )n P0
n0
1
P0 ( )n
n0
1
P0
1
1
P0 1
其中P0是空闲概率，
Pn
(1
)n
为利用率（服务台处于繁忙的概率）
对于M／M／1/∞/∞模型有如下公式：
P0 1
1.3026
2 0.05(4)
9.488
P 0.05
卡方分布下的检验水准及其临界值
接受假设，即患者到达数的经验分布适合λ=2.1的 泊松分布。
第八章 排队论
第二节 单服务台M/M/1排队模型
M/M/1/∞/∞ 模型
1、模型条件
（1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到 达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从 负指数分布；
100
1、原理 判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T ）
之差是否由抽样误差所引起。
类别或组段 观察频数
理论频数
1
A1
T1
2
A2
T2
…
…
…
k
Ak
Tk
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
注意：理论频数Ti不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！
2、计算公式
到达数(n) 出现次数 f n
n
n
Pk 95% (1 ) k 1 n1 95%
k 0
k 0
n1 5%
解得 n 15.4 16
即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。
例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的 机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4 人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机 型的固定费用C1，操作费C2，服务率µ见表。若每位 就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元， 试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+ 逗留损失费）最低。
(3)普通性 在充分短的时间区间Δt内，到达两个或两
个以上顾客的概率极小，可以忽略不计，即
lim
t 0
n2
Pn
(t
t
)
0
在长为 t 的时间内到达n个顾客的概率为：
Pn
(t)
(t)n
n!
et
(t 0)
n 0,1, 2,L
其中λ表示单位时间平均到达的顾客数，即为到达率。
当t=1时，
Pn
n
n!
２
５
３１
３
顾客
排队系统运行情况的分析，就是在给定输入 与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客) 的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标：
①系统中顾客数(队长)L； ②排队等待的顾客数(排队长)Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)W； ④顾客排队等待时间Wq。
排队模型的符号定义为： A/B/C/m/N
表 8-3 四种机型的使用费用和服务率
机型
固定费用 C1 元/小时
操作费用 C2 元/小时
服务率 人/小时
A
8
60
5
B
10
C
18
75
6
84
7
D
20
120
8
表 8-4 四种机型在 1 小时内的综合费用
机型 固定费用
操作费 C2
L 逗留损失费15L 综合费 f
A
8
0.8
48
4
60
116
B
10
23
20人 / 小时
1/ 2.5分钟 / 人
1 人 / 分钟= 1 60 24人 / 小时
2.5
2.5
20人 / 小时 24人 / 小时
（1）药剂员空闲率
P0
1
1
1
20 24
0.1667
16.67%
若按每天8小时工作时间计算，该药剂员每天的空闲
时间约有8×0.1667=1.33小时。
/
4
0.0748
1.7
人
3 挂号间平均逗留人数或称队长
L＝Lq
1.7
2.25
3.95 人
4 等候挂号的平均时间
Wq
1.7 0.9
1.89
分钟
5 在挂号间平均逗留时间
W＝1.89＋ 1 ＝4.39 分钟
பைடு நூலகம்0.4
6 就诊者到达后必须等待（即系统中就诊
者不少于3人或各挂号员都没有空闲）的概率
PN
3＝