数值分析实验报告2

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告

课程名称： 数值分析 班级： 09数本一班 实验日期： 学 号： 090704020103 82号 姓名： 指导教师： 实验成绩：

一、实验名称

实验二: Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法

二、实验目的及要求

1. 掌握Lagrange 插值的基本思路和步骤.

2. 掌握最小二乘法的基本思路和拟合步骤.

3. 培养Matlab 编程与上机调试能力.

三、实验环境

每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0).

四、实验内容

1. 对函数2

1()1f x x =

+在区间[-5,5]内选取n+1个的等距插值节点,取不同的n,作n 次Lagrange 插值,将对应的插值多项式图像与被插值函数21()1f x x

=+画在同一张图上进行比较.

2.给定数据点

i x -3 -1 0 1 3 5 i y -6 -3 -1 0 1 3

分别用一次,二次和三次多项式曲线,以最小二乘法拟合这些数据点,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?

五、算法描述及实验步骤

1.

（1）分别画出原函数图像与Lagrange 多项式插值图像进行比较。

（2）实验步骤：

a.编写Lagrange 插值M 文件；

b.画出原函数图像；

c.调用Lagrange 插值取n=10画拟合图像；

d.比较观察两个图像。

2.

（1）利用最小二乘法对给定数据点分别画一次，二次和三次多项式拟合曲线。

（2）实验步骤：

a.输入数据点；

b.建立一个划分为四个部分的图像窗口；

c.画一次多项式拟合图像在第一部分；

d.画二次多项式拟合图像在第二部分；

e.画三次多项式拟合图像在第三部分。

六、调试过程及实验结果

七、总结

1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象。

2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好。

3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.

八、附录（源程序清单）

1、（P48 2.13）

M文件：

function cy=Lagrange(x,y,n,cx)

m=length(cx);cy=zeros(1,m);

for k=1:n+1

t=ones(1,m);

for j=1:n+1

if j~=k

t=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));

end

end

cy=cy+y(k).*t;

end

>> x=-5:0.01:5;

>> y=1./(x.^2+1);

>> plot(x,y)

>> n=10;

>> x0=-5:10/n:5;

>> y0=1./(1+x0.^2);

>> cx=-5:0.01:5;

>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);

>> hold on

>> plot(cx,cy)

2、（P48 2.15）

>> x=[-3,-1,0,1,3,5];

>> y=[-6,-3,-1,0,1,3];

>> subplot(2,2,1)

>> scatter(x,y,'filled','r')

>> hold on

>> p1=polyfit(x,y,1);

>> y1=polyval(p1,x);

>> e1=norm(y-y1)

e1 =

1.6087

>> t=-4:0.01:6;

>> pt1=polyval(p1,t);

>> plot(t,pt1)

>> title('一次多项式拟合图象')

>> subplot(2,2,2)

>> scatter(x,y,'filled','r')

>> hold on

>> p2=polyfit(x,y,2);

>> y2=polyval(p2,x);

>> e2=norm(y-y2)

e2 =

0.8405

>> t=-4:0.01:6;

>> pt2=polyval(p2,t);

>> plot(t,pt2)

>> title('二次多项式拟合图象')

>> subplot(2,2,3)

>> scatter(x,y,'filled','r')

>> hold on

>> p3=polyfit(x,y,3);

>> y3=polyval(p3,x)

y3 =

-6.0950 -2.5294 -1.2901 -0.2980 1.2893 2.9231

>> y3=polyval(p3,x);

>> e3=norm(y-y2)

e3 =

0.8405

>> t=-4:0.01:6;

>> pt3=polyval(p3,t);

>> plot(t,pt3)

>> title('三次多项式拟合图像')