网络优化的数学模型—2解析
数学建模-网 络 优 化
交通调度
公共交通线路规划
利用数学模型优化公共交通线路，提高线路覆盖率和服务 水平，减少乘客等待时间和出行成本。
01
出租车调度
通过数学模型实现出租车资源的合理调 度，提高车辆利用率和乘客满意度。
02
03
智能交通信号控制
利用数学模型和算法优化交通信号灯 的控制策略，缓解城市交通拥堵现象 。
电力分配
电网优化调度
线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于解决具有线性约束和线性目标函数的 最大化或最小化问题。
线性规划的解法包括单纯形法、对偶理论和分解算法等，这些方法可以应 用于各种实际问题，如资源分配、生产计划和物流优化等。
线性规划的应用广泛，在金融、经济、工程和物流等领域都有重要的应用 价值。
非线性规划
01
06
CATALOGUE
网络优化实际应用
物流配送
物流配送路径规划
利用数学建模和优化算法，为物流配送车辆规划最佳 行驶路径，降低运输成本，提高运输效率。
配送中心选址
通过数学模型分析，确定最优的配送中心选址方案， 以降低运营成本、提高配送效率。
库存管理
通过数学模型预测需求，合理安排库存，避免缺货或 积压现象，提高库存周转率。
车辆路径问题(VRP)
总结词
车辆路径问题旨在为一系列客户分配一组车辆，使得每个客户的需求都能被满足，同时总成本最低。
详细描述
VRP问题需要考虑车辆的装载量限制、客户需求量、车辆行驶成本等因素，可以采用遗传算法、粒子 群优化算法等智能优化算法进行求解。
最小生成树问题(MST)
总结词
最小生成树问题旨在在给定的连通图中找到一棵包含所有顶点的树，使得所有边的权值 之和最小。
网络优化问题建模.
（Introduction to Network Optimization）
虞红芳 博士 副教授
宽带光纤传输与通信网技术重点实验室
本章主要内容
1
4.1网络建模基本方法
2
4.2 建模技巧
容量设计问题
给定网络拓扑G（V，E）和网络业务需求 矩阵D。 这些给定的业务可以在不同的路径上路由。
x x x x h12
12 12 12 32 12 21 12 23
x x x x 0
12 31 12 32 12 13 12 21 12 23
x x x x h12
12 12 12 32 12 23
流量守恒图示
12 x13
12 x31
h12
1
12 x12
12 x32
也可以更一般化的写成：
F e ye e ye
e 1 e E
完整模型
一般化的完整模型
F e ye
x
p
e
dp
hd , d 1, 2,
edp dp
,D
d p
x ye , e ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 2,
,E
x 0, y 0
用Node-Link方式来描述
min F e e ye e ke ue subject to :
链路和路径的关系
我们要得到链路负载，必须清楚链路和路径之间 的关系。他们之间的关系可以用链路-路径（linkpath）的关联系数 edp 表示
edp
1(如果e属于需求d的路径p) 0(如果e不属于需求d的路径p)
一般化的链路容量表示
供应链网络优化的数学模型分析
供应链网络优化的数学模型分析随着全球化的发展和市场竞争的加剧，供应链网络优化成为了企业提高效益和降低成本的重要手段。
供应链网络优化的目标是通过最优的资源配置和流程设计，实现供应链的高效运作和协同发展。
数学模型在供应链网络优化中起到了关键作用，能够帮助企业在复杂的供应链网络中做出合理的决策，提高供应链的效率和灵活性。
一、供应链网络的数学建模供应链网络是一个复杂的系统，涉及到多个环节和参与方。
为了对供应链网络进行优化，需要将其抽象为数学模型，并对模型进行分析和求解。
供应链网络的数学建模主要包括以下几个方面：1. 节点和边的建模：供应链网络可以看作是一个有向图，其中节点表示供应链的各个环节，边表示物流和信息流的流动。
通过对节点和边的建模，可以清晰地描述供应链网络的结构和关系。
2. 资源和需求的建模：供应链网络中的资源包括原材料、设备和人力资源等，需求包括市场需求和内部需求。
通过对资源和需求的建模，可以对供应链网络中的资源分配和需求满足进行量化和优化。
3. 运输和库存的建模：供应链网络中的运输和库存是影响供应链效率和成本的重要因素。
通过对运输和库存的建模，可以确定最优的运输路径和库存策略，实现供应链的快速响应和成本控制。
4. 成本和效益的建模：供应链网络优化的目标是降低成本和提高效益。
通过对成本和效益的建模，可以量化供应链网络的运作成本和效益，为决策提供依据。
二、供应链网络优化的数学方法供应链网络优化的数学方法主要包括线性规划、整数规划、动态规划和模拟等。
这些方法可以根据具体问题的特点选择合适的模型和算法，对供应链网络进行优化。
1. 线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，适用于供应链网络中的资源分配和生产计划等问题。
通过建立线性规划模型，可以确定最优的资源配置方案，实现供应链网络的高效运作。
2. 整数规划：整数规划是一种在线性规划基础上增加整数限制的优化方法，适用于供应链网络中的库存和运输等问题。
通过建立整数规划模型，可以确定最优的库存水平和运输路径，提高供应链网络的响应速度和成本效益。
数学建模提高班第六讲-网络优化模型及案例分析
通过建立网络优化模型，对调度计划进行优化， 提高电力系统的稳定性和可靠性。
分布式能源接入
利用网络优化模型对分布式能源的接入进行优化， 提高能源利用效率，促进可再生能源的利用。
05
网络优化模型发展趋势 与挑战
大规模网络优化问题求解方法
分布式计算
利用多台计算机协同工作，将大规模问题分 解为多个小规模子问题，并行求解，提高计 算效率。
分类
根据不同的标准，网络优化模型可以 分为多种类型，如线性规划、整数规 划、动态规划等。
常见网络优化问题
最短路径问题
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
寻找网络中两个节点之间的最短路径。
最小生成树问题
02
在给定连接的节点中，寻找一棵包含所有节点且边的权值之和
最小的树。
旅行商问题
03
寻找一条旅行路线，使得一个销售代表能够访问所有指定的城
01
多目标进化算法
借鉴生物进化原理，通过种群进化、基 因变异等手段，寻找多目标问题的 Pareto最优解。
02
03
多目标分解法
将多目标问题分解为多个单目标问题， 分别求解，再综合各单目标解得到多 目标问题的近似解。
网络优化模型在人工智能领域的应用
01
路径规划
在网络优化模型的基础上，利用 人工智能技术进行路径规划，实 现最优路径选择和资源调度。
最短路径问题
总结词
最短路径问题是网络优化中的另一经典问题，旨在寻找两个顶点之间的最短路径。
详细描述
最短路径问题在交通、通信、电力等领域有着广泛应用。Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法是最常 用的求解最短路径问题的算法。Dijkstra算法适用于带权重的图，而Floyd-Warshall算法则适用于所 有顶点之间的最短路径。
网络优化模 型与算法-V1
网络优化模型与算法-V1网络优化模型与算法随着互联网技术的不断发展，网络优化问题变得越来越重要。
无论是商业领域还是科研领域，网络优化都在扮演着重要的角色。
本文将重点介绍网络优化模型与算法。
一、网络优化模型网络优化模型是指将网络中的各个元素和关系用数学模型表示出来，并根据所要优化的目标给出相应的优化模型。
常见的网络优化模型有最小生成树模型、最短路模型、网络流模型等。
1. 最小生成树模型最小生成树模型是指在一个网络中找到一棵生成树，使得这个生成树的总权值最小。
在最小生成树模型中，边的权值代表着连接两个节点的代价。
经典的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
2. 最短路模型最短路模型是指在一个网络中找到一条路径，使得这条路径的总权值最小。
在最短路模型中，边的权值代表着从一个节点到另一个节点的距离或代价。
经典的最短路算法有Dijkstra算法和Floyd算法。
3. 网络流模型网络流模型是指在一个网络中找到一种流量分配方式，使得流量的总和最大或成本最小。
在网络流模型中，节点之间的流量代表着信息传递的速度或物质的流动量，边的容量代表着流量的上限。
经典的网络流算法有最大流算法和最小费用最大流算法。
二、网络优化算法网络优化算法是指利用数学模型和算法求解网络优化问题的方法。
不同的网络优化问题需要不同的算法。
本节将介绍一些常见的网络优化算法。
1. Prim算法Prim算法是用于求解最小生成树的一种贪心算法。
它从一个起点开始，每次找到与当前最小生成树距离最近的节点，将这个节点加入最小生成树中。
2. Kruskal算法Kruskal算法是用于求解最小生成树的一种贪心算法。
它将所有边按照权值从小到大排序，依次加入最小生成树中。
如果加入一条边会形成环，则舍弃这个边。
3. Dijkstra算法Dijkstra算法是用于求解最短路的一种贪心算法。
它从起点开始，每次找到距离起点最近的节点，并更新其它与该节点相邻的节点的距离。
网络优化问题建模
我们将业务需求d的路径列表写成下面的形式： P d (P d 1 ,P d 2 , ,P d P d)，每条路径连接需求d的源目节点 需求d在路径p上的数据流表示为：xdp(p1,2, ,P d)
符号说明(Link-path)
标号： d 1, 2, , D 业务需求标号
e 1, 2, , E 网络链路标号
p 1, 2, , Pd 路径标号
常数：
edp
hd
e
Ce 变量：
xdpΒιβλιοθήκη =1，如果路径p经过链路e =0，如果路径p不经过链路e 需求d的大小 链路e的单位使用代价 链路e的容量
业务d在路径p上分配的流量
v 1, 2,
,V d 1, 2,
,D
hd , if v td ,
d xed ye , e 1, 2, , E.
Node-link和Link-path的比较
Link-path Node-link
变量数目
约束个数
PDE PV(V1)1kvO(V2)
2
ED E
1kVV(V1)1kVO (V3)
ye表示链路e上需要配置的容量
路径集合
业务需求d=1只有一条路径P11={2，4}， {2，4}的意思是这条路径包含了标号 为2和4的两条链路P1={P11}。 业务需求d=2有两条路径，P21={5}， P22={3，4}。 业务需求d=3也有两条路径，P31={1}， P32={2，3}。
业务需求约束
e 1, 2, , E 网络链路标号
p 1, 2, , Pd 路径标号 常数：
第九章 网络优化模型
21
7000 6000 2000 1000 0
12
第三节 最短路问题
结点i表示第i年的年初，当i<j时，弧(i,j)表示第i年年初购买 一辆新车并一直用到第j年年初。弧的长度cij表示：如果 第i年年初购买一辆新车并这辆车在第j年年初卖掉更换一 辆新新，从第i年年初到第j年年初期间总的净费用，于是 有cij=(i,i+1,..j-1年的维护费用）＋（第i年年初购买新 车的费用）－（第j 年年初该车的交易费用）
5 B 2 A 2 3 2 C 3 2 D 1 E 5 3 G 2 H F 3 2 4 2 I 2 J
第二节 树
解：本题实质是最小树问题，利用避圈法可求得最短路线， 如下图粗线所示：
5 B 2 A 2 3 2 C 3 2 D 1 E 5 3 G 2 H F 3 2 4 2 I 2 J
最优架设路线如上图粗线所示， 架设电线最短长度为18(百米)。
44 31 21 12 1 7 2 7 12 3 7 12 12 4 7 5 7 6 31 21
21
第三节 最短路问题
c12=2+12-7=7 c13=2+4+12-6=12 c14=2+4+5+12-2=21 c15=2+4+5+9+12-1=31 c16=2+4+5+9+12+12-0=44 c23=2+12-7=7 c24=2+4+12-6=12 c25=2+4+5+12-2=21 c26=2+4+5+9+12-1=31 c34=2+12-7=7 c35=2+4+12-6=12 c36=3+4+5+12-2=21 c45=2+12-7=7 c46=2+4+12-6=12 44 c56=2+12-7=7
数学建模中的网络优化问题
数学建模中的网络优化问题数学建模是一种应用数学方法解决实际问题的过程，而网络优化问题是其中的一个重要研究方向。
网络优化是指在网络中寻找最优解的问题，在数学建模中起到了至关重要的作用。
本文将介绍数学建模中的网络优化问题及其应用。
一、网络优化问题的定义与分类网络优化问题主要涉及在网络中寻找某个目标的最优解。
通常，这些问题可以用图论的方法进行描述和解决。
下面将介绍几种常见的网络优化问题。
1. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个带有权重的连通图中，找到一个树，使得这个树包含了图中所有的节点，并且树的边的权重之和最小。
这个问题在电力、通信等领域中有着广泛的应用。
2. 最短路径问题最短路径问题是指在图中找到一条从起点到终点的路径，使得经过的边的权重之和最小。
这个问题应用广泛，如导航系统中求解最短路径。
3. 最大流问题最大流问题是指在一个网络中，找到一种分配网络中流量的方式，使得从源点到汇点的流量最大。
这个问题在电信、交通等领域有广泛的应用。
4. 任务分配问题任务分配问题是指在一个网络中，将任务分配给不同的资源或工人，使得任务完成时间最短或成本最小。
这个问题在进程调度、工程管理等方面有着重要的应用。
二、网络优化问题的求解方法网络优化问题的求解可以采用多种方法，下面将介绍两种常用的方法。
1. 线性规划线性规划是一种常用的优化方法，可以用来求解网络优化问题。
该方法将问题转化为线性约束条件下的线性目标函数的最优化问题，并通过线性规划求解器来求解最优解。
2. 图算法图算法是一种常用的求解网络优化问题的方法，如最小生成树问题可以使用普里姆算法或克鲁斯卡尔算法进行求解，最短路径问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法进行求解。
三、网络优化问题的应用网络优化问题在各个领域中具有重要的应用价值，下面将介绍其中几个领域的应用。
1. 交通规划网络优化问题在交通规划中有着广泛的应用。
如通过最小生成树问题可以确定最优的道路建设方案，通过最短路径问题可以规划交通路径，通过最大流问题可以优化信号灯的配时方案。
《运筹学》ch09网络优化模型
➢ 一张城市分布图。现在要在各 城市之间架设电话线，应如何架 设，使各城市之间既能通话，又 使总的架设路线最短？
这里我们仅通过Excel电子表格求解，在表格中，我们并不是把每一对连接的点都 输入进去，比如，我们输入了从V7到V10，很明显不需要再输入从V7到V8，从V8到 V10这两对点对，因为他们加起来的距离明显要比前者长。
最优路线为：1－５－４－６－７－10，最短距离是25
目录
图与网络 树 最短路问题
中间节点的平衡值为0，起点为1，终点为-1。各个点的净流量等于平衡值 最短路平衡流
P(6)=8
P(5)=6
P(3)=3
P(1)=0
城市出租车公司在纽约市为出租车司机已经确定了10个搭乘 车站。为了减少运行时间，提高服务质量以及最大化利用公 司的车队，管理方希望出租车司机尽可能地选择最短路线。 使用下面公路与街道的网络图，请说明司机从车站1到车站10 应选择什么样的路线。运行时间如图所示。
3
1
4
1
4
连无顶有弧道通向点连链环向次路子图通图图图
2
3
2
3
由组中少则图连的 示 间 向 都连子个有任果个顶列链每是起称道弧边称点果点环顶数次由环次可通图分何每弧点弧有任称。有通顶顶了可一下点为路成是的时a。向点称:组为顶与以子称图连一恰，为一一意此图点两能个面，一由点一，的以的为分 图 为 。个有则一个序b图接成无个两图运组弧一则点个如一条称是一集图a为，原弧一称个不列a边顶链点为动成顶的个这道果对链此同个的点向点集若每图与个这链连弧和称相间连，点的终弧个路的点链有，链一图与前公一。干一的，通为图弧图和为连至通表之方点的链。中序条的如为个一共序个一如图b ，
第二章 2.3～2.4 平均值不等式(选学) 最大值与最小值问题优化的数学模型 Word版含解析
2．3～2.4平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型[对应学生用书P33][读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)：设a1，a2，…，a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.①推论1：设a1，a2，…，a n为n个正数，且a1a2…a n＝1，则a1＋a2＋…＋a n≥n.且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n＝1.②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，a n为n个正数；则当a1＋a2＋…＋a n＝nC时，a1a2…a n≤C n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.(2)定理2：设a1，a2，…，a n为n个正数，则na1a2…a n≥n1a1＋1a2＋…＋1a n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.(3)定理3：设a1，a2，…，a n为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .推论：设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 (a 1＋a 2＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )≥n 2.2．最值问题设D 为f (x )的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，x ∈D ，则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小)值，x 0称为f (x )在D 上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[对应学生用书P34]利用基本不等式求最值[例1] 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析] 法一：∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．1．求函数f (x )＝－2x 2＋x －3x(x ＞0)的最大值及此时x 的值．解：f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x . 因为x ＞0，所以2x ＋3x ≥26，得－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ≤－26， 因此f (x )≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时，式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62.[例2] 已知x 为正实数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．[思路点拨] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．[精解详析] ∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2＝1－x 2，即x ＝33时取“＝”号． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239.(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x 为正实数，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值． 解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝12×827＝427.当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y max ＝427.利用平均值不等式解应用题[例3] 已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．[思路点拨] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．[精解详析]设圆柱体的底面半径为r ，如图，由相似三角形的性质可得 H －h H ＝rR ， ∴r ＝RH (H －h )．∴V 圆柱＝πr 2h ＝πR 2H2(H －h )2h (0＜h ＜H )． 根据平均不等式可得V 圆柱＝4πR 2H 2·H －h 2·H －h 2·h ≤4πR 2H 2⎝⎛⎭⎫H 33＝427πR 2H . 当且仅当H －h 2＝h ，即h ＝13H 时，V 圆柱最大＝427πR 2H .(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ， 如图可知2h ＋3x ＝3，即h ＝32(1－x )， 所以V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x )＝23×332×x 2×x 2×(1－x )≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1－x 33 ＝13. 当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.[对应学生用书P35]一、选择题1．函数y ＝3x ＋12x 2(x >0)的最小值是( )A ．6B ．6 6C ．9D ．12解析：y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝2时取等号．答案：C2．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12D ．1235解析：∵2x >0,4y >0,8z >0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z ＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z ，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号．答案：C3．设x ，y 为正实数，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：因为x ，y 为正实数，∴4xy ≤x ＋4y2.∴xy ≤x ＋4y4＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2. 答案：D4．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：x ＋a x n ＝···n xn nx x x a++++n n n x 144424443相乘个≥(n ＋1)xn n相乘个＝(n ＋1)n ＋1an n，由推广结论知an n ＝1，∴a ＝n n .答案：A 二、填空题5．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为______． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋2·4x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案：96．若x ，y ∈R ＋且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎫x y ＋y ⎝⎛⎭⎫y x ＋x 的最小值是________． 解析：∵x >0，y >0，xy ＝1， ∴⎝⎛⎭⎫x y ＋y ⎝⎛⎭⎫y x ＋x ＝1＋x 2y ＋y2x＋xy ≥1＋33x 2y 2＝4，当且仅当x 2y ＝y 2x ＝xy ，即x ＝y ＝1时取等号． 答案：47．对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋pcos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为________． 解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t . 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴t ∈(0,1)． 不等式1sin 2x ＋pcos 2x≥16可化为 p ≥⎝⎛⎭⎫16－1t (1－t )， 而y ＝⎝⎛⎭⎫16－1t (1－t ) ＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋16t ≤17－21t·16t ＝9， 当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案： [9，＋∞)8．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S . 则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12. ∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12. ∴(xyz )max ＝1615.当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：1615三、解答题9．已知a ，b ，x ，y 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解：∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx 时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18 ① 又a ＋b ＝10②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2.10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有 A ＝k ·V 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100V 3.设每千米的航行费用为R ，需时间为1V小时，∴R ＝1V ⎝⎛⎭⎫3100V 3＋480＝3100V 2＋480V ＝3100V 2＋240V ＋240V ≥333100V 2·240V · 240V ＝36.当且仅当3100V 2＝240V，即V ＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小． 11.如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比．即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：∵r ＝2cos θ， ∴E ＝k ·sin θcos 2θ4(0<θ<π2)，∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108， 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ即tan 2θ＝12，tan θ＝22时取等号，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2米时，E 最大．。
城市交通网络优化规划的数学模型
城市交通网络优化规划的数学模型随着城市化进程的不断加速，城市交通问题日益突出。
繁忙的交通拥堵、交通事故频发、交通效率低下等问题给城市居民的生活带来了巨大的困扰。
为了解决这些问题，城市交通网络优化规划的数学模型应运而生。
本文将从数学模型的基本原理、应用案例以及未来发展趋势等方面进行探讨。
一、数学模型的基本原理城市交通网络优化规划的数学模型是通过数学方法和技术手段，对城市交通系统进行建模和优化设计的工具。
其基本原理包括以下几个方面：1. 数据采集与处理：通过采集城市交通系统中的各种数据，如车辆流量、道路拥堵程度、交通信号灯状态等，对数据进行处理和分析，得到交通系统的状态信息。
2. 建模与仿真：根据数据分析的结果，利用数学模型对城市交通网络进行建模和仿真，模拟交通系统中的各种交通流动情况。
常用的数学模型包括传统的交通流模型、网络优化模型等。
3. 优化算法与策略：通过运用数学优化算法和策略，对交通网络进行优化设计。
常用的优化算法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
优化策略可以是交通信号灯的优化、路网结构的优化等。
4. 模型评估与调整：通过对优化结果的评估和调整，不断改进和完善数学模型，提高交通系统的效率和安全性。
二、应用案例城市交通网络优化规划的数学模型在实际应用中取得了一系列的成果。
以下列举几个典型案例：1. 交通信号灯优化：利用数学模型对城市交通信号灯进行优化设计，能够减少车辆等待时间、提高交通流量。
例如，通过调整信号灯的时序和周期，可以使交通流动更加顺畅，减少交通拥堵。
2. 路网结构优化：通过数学模型对城市路网进行优化设计，可以减少交通拥堵和交通事故。
例如，通过增加交通节点、改变道路布局等方式，优化路网结构，提高交通系统的通行能力。
3. 公交线路优化：利用数学模型对城市公交线路进行优化设计，可以提高公交系统的效率和服务质量。
例如，通过合理规划公交线路的站点和运行时刻表，减少公交车辆的空驶里程和等待时间。
应用数学建模解决网络优化问题
应用数学建模解决网络优化问题现代社会中，网络已经渗透到了人们生活的各个方面。
随着网络的发展，各种网络优化问题也越来越多地出现，如何高效地解决这些问题成为了亟待解决的难题。
在这个时代，数学建模成为了解决网络优化问题的一个有效途径。
一、数学建模与网络优化问题在网络的优化中，数学建模可以视作从现实问题中抽象出的数学模型，以模拟问题中的各种情况和因素，并运用数学方法解决这些问题。
数学建模可以将真实的问题用数学语言形式化，方便进行分析和解决。
在网络优化中，最为常见的问题就是如何在不影响网络质量的前提下，提高网络资源的利用率。
网络资源的利用率包括带宽、服务器、存储等等，如何在有限的资源下最大化的满足用户的需求成为了网络优化的一个重要目标。
通过数学建模，我们可以将网络优化问题转化为一个数学问题，从而确保网络的有效运行。
二、数学建模在网络优化中的应用1. 带宽优化问题带宽是网络传输数据的速度和能力，优化带宽问题是网络优化的一个重要问题。
在某些情况下，一个网络的封包无法直接传输，必须经过多个路由器的转发，这就导致了传输延迟很大，此时我们可以通过对网络拓扑结构的优化，减少网络的路由器数量，从而提高整个网络的带宽利用率。
基于以上的优化方案，我们可以建立数学模型，采用数学方法进行求解。
我们可以采用线性规划或整数规划等数学方法，求解最小化网络拓扑结构所需要的代价。
2. 服务器分配问题服务器分配问题是指如果服务器架构有多个数据处理单元，如何根据需求分配任务给这些数据处理单元，从而使整个服务器的性能达到最大化。
服务器的分配问题可以通过建立数学模型，综合考虑下列因素进行优化：a) 任务分配：确定每个任务将分配哪个服务器(n)，考虑每个服务器与任务之间的最优关系。
b) 节点考虑：请求发生的时间、处理时间、最长等待时间等。
c) 反馈：对于任务完成后的反馈是必须的，即必须确定任务完成的时间、处理时间等。
通过建立数学模型，我们可以采用线性规划或整数规划等求解方法，求解最优的服务器分配方案。
网络优化模 型与算法(1)
网络优化模型与算法(1)随着互联网的飞速发展，网络优化已成为了企业发展和运营中重要的一环。
网络优化主要包括网络拓扑结构优化、网络时延优化、网络带宽优化以及网络能源优化等方面。
而网络优化模型与算法则成为了实现网络优化的重要手段。
一、网络优化模型网络优化模型是指对网络进行数学建模，描述网络各种特性和规则，以此为基础进行网络优化的研究方法。
在实际应用中，根据网络的不同特性和需求，可以采用不同的网络优化模型，常见的网络优化模型包括图论模型、线性规划模型和动态规划模型等。
1. 图论模型图论模型是指把网络抽象成图的形式进行建模，利用图论中的算法和操作对网络进行分析和优化。
比如一些经典的图论算法，如最小生成树算法、最短路径算法等，可用于网络的拓扑结构优化和网络时延优化等方面。
2. 线性规划模型线性规划模型是指将网络优化问题转化成线性规划模型，并用线性规划的方法求解最优解。
线性规划模型的优势在于对于较为复杂的网络优化问题，能够用较小的时间和资源进行求解，并且求解结果可行可靠。
3. 动态规划模型动态规划模型是指将网络优化问题划分成多个子问题，通过动态规划的方法对每个子问题进行求解，并组合成最终的全局最优解。
动态规划模型适用于需要依赖历史决策或者具有递推关系的网络优化问题。
二、网络优化算法网络优化算法是指针对不同的网络优化模型，通过使用不同的算法进行优化求解的过程。
网络优化算法的种类繁多，适用的场景也不同，常见的网络优化算法包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法和深度学习算法等。
1. 遗传算法遗传算法是指将优化问题转化成基因编码问题，通过模拟生物进化的过程进行搜索最优解的方法。
遗传算法优势在于全局搜索能力强，同时还能够解决离散优化问题和多目标优化问题。
2. 模拟退火算法模拟退火算法是一种进化算法，通过模拟冶金学中的焙烧过程进行最优解搜索。
模拟退火算法在求解连续优化问题时，通过温度参数的调整实现局部搜索与全局搜索的均衡，同时也具有较强的鲁棒性。
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
数学模型在网络流量优化中的应用研究
数学模型在网络流量优化中的应用研究标题：数学模型在网络流量优化中的应用研究摘要：随着互联网的快速发展，网络流量的管理和优化成为了一个日益重要的课题。
本论文通过研究网络流量的特点和现有的问题，探讨了数学模型在网络流量优化中的应用。
首先，介绍了网络流量优化和数学模型的基本概念，并概述了目前的研究状况。
然后，分析了网络流量优化中的一些关键问题，如路径选择、带宽分配和拥塞控制，并提出了相应的数学模型。
最后，结合实际案例，探讨了数学模型在网络流量优化中的应用前景和潜力。
关键词：网络流量优化；数学模型；路径选择；带宽分配；拥塞控制1. 引言1.1 背景与意义随着互联网的快速发展，网络已经成为人们工作和生活中不可或缺的一部分。
然而，随着互联网用户的快速增长以及网络应用的日益复杂化，网络流量的管理和优化成为了一个亟待解决的问题。
网络流量优化是指通过合理的规划和调度网络资源，提高网络性能和用户体验的过程。
而数学模型作为一种科学的工具，可以有效地描述和解决复杂的实际问题，因此在网络流量优化中的应用显得尤为重要。
1.2 研究目的和方法本论文旨在探讨数学模型在网络流量优化中的应用。
具体而言，我们将分析网络流量的特点和现有问题，介绍数学模型在网络流量优化中的基本概念和应用方法，并以路径选择、带宽分配和拥塞控制等关键问题为例，构建相应的数学模型。
通过实际案例分析，我们将评估数学模型在网络流量优化中的应用效果，并讨论其存在的问题和未来的发展方向。
2. 网络流量优化的基本概念2.1 网络流量的特点网络流量是指在网络中通过传输媒介进行数据通信的过程。
它具有以下几个特点：首先，网络流量是动态的，随时变化；其次，网络流量具有突发性和不确定性；再次，网络流量具有时空相关性；最后，网络流量的负载分布不均匀。
这些特点给网络流量的管理和优化带来了很大的挑战。
2.2 数学模型在网络流量优化中的应用数学模型是描述和解决实际问题的工具，也是网络流量优化的关键。
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问题1的分析与求解--最小生成树法
• 利用Kruskal算法，求得最小生成树如下
问题1的分析与求解--最小生成树法
• 对上面的最小生成树分解成三个子树 • 分解原则 • 分解点为O点或尽量接近O点 • 分解得到的子图的顶点数尽可能接近17 • 尽量使得分解得到的子图为连通图 • 尽量使子图与点O的最短路的上点在该子图
1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最 短且各组尽可能均衡的巡视路线.
2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2 小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分 几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
公路边的数字为该路段的公里数.
2) 问题分析：
6) 在第5)步求出的所有H圈中，找出权最小的一个, 此即要找的最优H圈的近似解.
问题一 若分为三组巡视，设计总路程最短且各
组尽可能均衡的巡视路线.
此问题是多个售货员的最佳旅行售货员问题.
即在加权图G中求顶点集V 的划分V1,V2,,Vn，将G
分成 n 个生成子图G[V1], G[V2 ],,
1) 顶点O Vi, i 1,2,3,,n.
G[Vn
2)
]，使得
n Vi V
(G)
.
max | (Ci ) (C j ) |
i1
3) i, j
max (Ci )
，其中Ci 为Vi的导出
i
子图G[Vi ]中的最佳旅行售货员回路，(Ci )为
Ci
的权，i,
n
j
1,2,3,..., n.
4) (Ci ) min
i1
max | (Ci ) (C j ) |
定义 称0 i, j max (Ci )
为该分组的实际
i
均衡度. 为最大容许均衡度.
显然0 0 1，0越小，说明分组的均衡性越
好. 取定一个 后，0与 满足条件 3）的分组是
一个均衡分组. 条件 4）表示总巡视路线最短.
此问题包含两方面：a)对顶点分组, b)在每组中
求(单个售货员)最佳旅行售货员回路.
1) 用图论软件包求出G中任意两个顶点间的最短路,
构造出完全图 G (V , E),(x, y) E,(x, y)
min dG (x, y);
2) 输入图 G 的一个初始H圈； 3) 用对角线完全算法（见[3]）产生一个初始圈;
4) 随机搜索出G中若干个H圈，例如2000个；
5) 对第2)，3)，4)步所得的每个H圈，用二边逐次 修正法进行优化，得到近似最优H圈；
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题. 本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条
经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到 最小的闭链（闭迹）.
如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四 个旅行售货员问题.
众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题， 即求解没有多项式时间算法.
显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此， 一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条 公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所 给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次 再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
网络优化的数学模型(2)
回 停
下
灾情巡视路线 二部图的匹配 网络流问题
回
停 下
问题引入与分析
1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾 情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、 组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政 府所在地的路线.
因单个售货员的最佳旅行售货员回路问题不存
故多
也不
存在多项式时间内的精确算法.
而图中节点数较多，为53个，我们只能去寻求 一种较合理的划分准则，对图1进行粗步划分后,求 出各部分的近似最佳旅行售货员回路的权,再进一 进一步进行调整，使得各部分满足均衡性条件3).
从O点出发去其它点，要使路程较小应尽量走 O点到该点的最短路.
解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大
的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
分析
• 本题显然是一个加权图上求最短回路的问题 • 我们可以借助图论的方法解决 • 主要考虑两个基本的方法 • 最小生成树方法 • 旅行商（TSP）方法
问题1的分析与求解--最小生成树法
• 问题：如何分成相对均衡的三组？ • 先求图的最小生成树，理由如下
问题1的分析与求解--最小生成树法
最佳灾情巡视路线的模型的建立与求解
问题转化为在 给定的加权网 络图中寻找从 给定点O出发, 行遍所有顶点 至少一次再回 回到点O ,使得 总权(路程或时 时间)最小,即 最佳旅行售货 员问题.
近证第因似最能2二)算佳得，边法旅到3逐)求行，较次其售4优修)一货步的正个员分计法近问别算的似题用结结最是三果果优N种. 与P解方—初，法完始来产全圈代生问有替初题关最始,,采故优圈用本解，一算.以种法保 算法一 求加权图的最佳旅行售货员回路近似算法:
内 • 尽量使各子图内部的点在内部形成回路
问题1的分析与求解--最小生成树法
问题1的分析与求解--最小生成树法
• 几个优化原则 • 扩环原则 子图有孤立枝，扩环后权值应减小 • 增环原则 环路上某个顶点有两枝，且有使两枝
成环的边存在，考虑增环，增环后权值应减小
• 换枝原则 环路上某顶点长出一条枝，该枝末梢 和环路另一顶点接近，可考虑换枝
故用软件包求出O点到其余顶点的最短路. 这些最短路构成一棵O为树根的树. 将从O点出发的树枝称为干枝.
准在则由分1 上尽组述量时分使应组同遵准一从则干准，枝则我上：们及找其到分两枝种上分的组点形分式在如同下一：组. 准分则从组2O1点应:（出将⑥发相，到邻①其的）它干，点枝（共上②有的，6点条③分干）在枝，同，（一它⑤组们，；的④名）称 分准分别则组为32尽①:（量，①将②，长，②的③）干，，枝④（与，③短⑤，的，④干⑥）枝. ，分（在⑤同，一⑥组）. 分组1极不均衡,故考虑分组2.