全等三角形证明方法归纳
证明三角形全等的五种方法
证明三角形全等的五种方法
方法一:边边边(SSS)——三条边都对应相等的两个三角形全等。
三角形具有稳定性,三条边都确定了,整个三角形都可以固定下来了。
这样就具有了唯一性,而这样的两个三边都对应相等的三角形,自然就是全等的。
但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等。
方法二:边角边(SAS)——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是课本上直接给出的,同一个角度的有很多,但是确定了夹这个角的两条边的长短,这个就被确定下来了,这是举不出反例的。
方法三:角边角(ASA)——两角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式也是课本上直接给出的,一个角的边可以无限延长,两个角的夹边被确定以后,就无法延长了,另外两条边则肯定会有交点,这样肯定也能将三角形确定下来。
方法四:角角边(AAS)——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是由方法三角边角衍生出来的,只要记住了方法三,这个方法就很好记了。
三角形的内角和是180,如果两个角都确定了的话,另外一个角度也可以确定下来,这样三个角都是固定的了,那条对边无论如何都是夹在其中两个角中间的,所以也就形成了“角边角”。
方法五:斜边直角边(HL)——斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是利用了勾股定理,如果两条边都知道了,那么利用勾股定理很容易就可以确定第三条边了,这样利用方法一边边边,或者是方法二边角边,都是可以得出两个三角形全等的。
但是前提必须是两个直角三角形。
全等三角形证明方法总结
❸由中点想到的辅助线 在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质 (等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。
8
(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1,AD 是 ΔABC 的中线,则 SΔABD=SΔACD= SΔABC(因为 ΔABD 与 ΔACD 是等底同高的)。
成全等三角形
全等
造全等,则 P 是中点
三角形
图中有角平分线,可向两边 图中有角平分线,沿它对折 角平分线加垂线,“三线合 角平分线+平行线,等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中,BP,CP 分别为角平分线且交于点 P,探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
证法二:连接 AD,并延长交 BC 于 F
G
E
D
∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD ∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD
B
F
C
图2 1
即:∠BDC>∠BAC。
注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内 角位置上,再利用不等式性质证明。
分析:因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠
BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于在内角的位置;
证法一:延长 BD 交 AC 于点 E,这时∠BDC 是△EDC 的外角,
A
∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC,∴∠BDC>∠BAC
全等三角形题型归纳(经典完整)
1/3一,证明边或角相等(一)方法:证明两条线段相等或角相等,如果这两条线段或角在两个三角形内,就证明这两个三角形全等;如果这两条线段或角在同一个三角形内,就证明这个三角形是等腰三角形;如果看图时两条线段既不在同一个三角形内,也不在两个全等三角形内,那么就利用辅助线进行等量代换,同样如果角不在同一个三角形内,也不在两个全等三角形内,也是用等量代换(方法是:(1)同角(等角)的余角相等(2)同角(等角)的补角相等,此类型问题一般不单独作一大题,往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等,而且一般是在双垂直的图形中)1.已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。
求证:BE =CD 。
2.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠.3.已知:如图△ABC 中,AB=AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,BD 、CE 交于H 。
求证:HB=HC 。
2、如图, 已知:AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF .求证:AC=EF .二.证明线段和差问题(形如:AB+BC=CD,AB=AD - CD)证明两条线段和等于另一条线段,常常使用截长补短法。
①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条,然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。
②AEDC B654321E D CBAFGE DCBAFMNE 12342/3EDCBA 补短法即为在较短的一条线段上延长一段,使它们等于最长的线段,然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。
证明两条线段差等于另一条线段,只需把差化成和来解决即可。
1.如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB . 2、如图,已知:△ABC 中,∠BAC =90, AB =AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证:BD =DE +CE ;3、如图,AB ∥CD ,DE 平分∠ADC ,AE 平分∠BAD ,求证:AB=AD - CD三.证明线段的2倍或21关系 ( AB CE =2,MN BN =12)1. 利用含30角的直角三角形的性质证明 例1.已知,如图1,∆ABC 是等边三角形,在AC 、BC 上分别取点D 、E ,且AD =CE ,连结AE、BD 交于点N ,过B 作BM AE⊥,垂足为M ,求证:MN BN =12(提示:先证∠=BNE 60)2. 利用等线段代换(充分利用中点)例1.如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE .3.转化为线段和问题,利用截长补短法 例5.P E D CBAFE DCB A3/3已知:如图5,四边形ABCD 中,∠=D 90,对角线AC 平分∠BAD ,AC BC =,求证:ADAB =12四.证明二倍角关系利用三角形外角和定理和等量代换如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠BD CBA。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一:SSS判定法(边边边判定法)该方法基于全等三角形的定义,即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF,若AB=DE,BC=EF,AC=DF,则可以得出两个三角形全等。
证明:假设有两个三角形ABC和DEF,且已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。
通过图形可以发现,若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC,则两个三角形全等。
因此,通过旋转和平移操作,将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配,同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等,而由已知条件可知线段DF与线段AC相等,所以线段DC也与线段AC相等。
因此,可以得出点C与点D重合,即三角形DEF重合于三角形ABC,证明了两个三角形全等。
方法二:SAS判定法(边角边判定法)该方法基于全等三角形的定义,即当两个三角形的两边和夹角分别相等时,它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF,若AB=DE,角A=角D,BC=EF,则可以得出两个三角形全等。
证明:假设有两个三角形ABC和DEF,已知AB=DE,角A=角D,BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等,以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合,即三角形DEF与三角形ABC重合,证明了两个三角形全等。
方法三:ASA判定法(角边角判定法)该方法基于全等三角形的定义,即当两个三角形的两角和一边分别相等时,它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF,若角A=角D,角B=角E,AB=DE,则可以得出两个三角形全等。
证明:假设有两个三角形ABC和DEF,已知角A=角D,角B=角E,AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等,角E与角B相等,以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合,证明了两个三角形全等。
方法四:HL判定法(斜边和高判定法)该方法基于全等三角形的定义,即当两个三角形的斜边和高分别相等时,它们全等。
求证全等三角形的几种方法
求证全等三角形的几种方法求证全等三角形的几种方法课程解读全等三角形是初中数学中的重要内容之一,是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。
典型例题全等三角形辅助线找全等三角形的方法:(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;(3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法:①延长中线构造全等三角形;②利用翻折,构造全等三角形;③引平行线构造全等三角形;④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种:(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
例1:如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。
求证:BD=2CE。
解答过程:证明:延长BA,CE交于点F,在ΔBEF 和ΔBEC中,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。
(2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
全等三角形经典证明方法归类
全等三角形经典证明方法归类1.SSS法则(边边边):给定两个三角形,如果它们的三条边分别相等,那么这两个三角形全等。
2.SAS法则(边角边):给定两个三角形,如果它们的两条边和夹角分别相等,那么这两个三角形全等。
3.ASA法则(角边角):给定两个三角形,如果它们的两条角和一边分别相等,那么这两个三角形全等。
4.AAS法则(角角边):给定两个三角形,如果它们的两条角和另一条边的对应角分别相等,那么这两个三角形全等。
5.RHS法则(直角边和斜边):给定两个三角形,如果它们的一个角是直角,而且两个直角的边分别相等,那么这两个三角形全等。
6.HL法则(斜边和斜边对应的直角):给定两个直角三角形,如果它们的斜边相等,而且其中一个直角边和另一个直角边分别相等,那么这两个三角形全等。
除了以上六种经典的证明方法外,还存在一些其他的证明方法,如:7.余弦定理:如果在两个三角形中,对应的两边和夹角的余弦值都相等,那么这两个三角形全等。
8.正弦定理:如果在两个三角形中,对应的两边和夹角的正弦值都相等,那么这两个三角形全等。
9.星形相等法则:如果两个三角形的对应边分别相等,而且两组对边之间的夹角相等,那么这两个三角形全等。
10.平移法:如果两个三角形中一对边平行且等长,并且另外两对边也分别平行,则这两个三角形全等。
11.旋转法:如果两个三角形中一对边对应相等,并且另外两个角分别相等,则这两个三角形全等。
12.镜像对称法:如果两个三角形对应边的长度相等,并且一个三角形的两个角和对应的另一个三角形的两个角之和都等于180度,则这两个三角形全等。
这些全等三角形的证明方法在几何学中被广泛应用,并且有着重要的理论和实际意义。
通过这些证明方法,我们可以判断两个三角形是否全等,从而在解决几何问题时提供有效的理论依据。
全等三角形证明方法归类
全等三角形证明方法归类1.SSS判定法(边边边法):通过已知三角形的三条边相等来证明两个三角形全等。
这种方法是最直接的证明方法之一,一般需要在已知的三条边相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如,假设有两个三角形ABC和DEF,已知AB=DE,BC=EF,AC=DF,我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据SSS判定法,我们可以得出AB=DE,BC=EF,AC=DF,此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理,如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等,从而得出两个三角形全等。
2.SAS判定法(边角边法):通过已知两边和夹角相等来证明两个三角形全等。
这种方法也是常用的证明方法之一,一般需要在已知两边和夹角相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如,假设有两个三角形ABC和DEF,已知AB=DE,∠BAC=∠EDF,BC=EF,我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据SAS判定法,我们可以得出AB=DE,∠BAC=∠EDF,BC=EF,此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理,如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等,从而得出两个三角形全等。
3.ASA判定法(角边角法):通过已知两角和边长相等来证明两个三角形全等。
这种方法也是常用的证明方法之一,一般需要在已知两角和边长相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如,假设有两个三角形ABC和DEF,已知∠BAC=∠EDF,AC=DF,∠ABC=∠DEF,我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据ASA判定法,我们可以得出∠BAC=∠EDF,AC=DF,∠ABC=∠DEF,此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理,如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等,从而得出两个三角形全等。
4.RHS判定法:通过已知两个直角三角形的斜边和一个锐角相等来证明两个三角形全等。
全等三角形证明方法
全等三角形证明方法1. 引言在初等数学中,全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的三角形。
证明两个三角形全等是数学中的基本技能之一。
本文将介绍三种常用的全等三角形证明方法,包括SSS(边-边-边)、SAS(边-角-边)和ASA(角-边-角)证明方法。
2. SSS证明方法(边-边-边)SSS证明方法是基于三角形的三条边相等来推断两个三角形全等的方法。
2.1 定义与引理在此之前,我们先介绍一些定义和引理: - 定义1:三角形的边是指连接两个顶点的线段。
- 定义2:相等的边是指具有相同长度的边。
- 定义3:全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的三角形。
- 引理1:若两个三角形的对应边相等,则两个三角形的对应顶点所在直线相等。
2.2 SSS证明方法步骤SSS证明方法的步骤如下: 1. 给定两个三角形ABC和DEF,已知三角形ABC的边AB与DEF的边DE相等,边BC与边EF相等,边AC与边DF相等。
2. 根据引理1可得,由AB和DE所在直线,BC和EF所在直线,AC和DF所在直线相等。
3. 推断三角形ABC和DEF的对应顶点A、B、C和D、E、F相等。
4. 结合引理1的推断,得出三角形ABC与三角形DEF全等。
2.3 示例2.3.1 例题1已知三角形ABC与三角形DEF的边长分别如下: - AB =DE = 5cm - BC = EF = 7cm - AC = DF = 9cm我们通过SSS证明方法证明三角形ABC与三角形DEF全等。
证明过程如下: 1. 根据给定边长,可得AB与DE相等,BC与EF相等,AC与DF相等。
2. 由引理1,能够推断出三角形ABC与三角形DEF的对应顶点A、B、C和D、E、F相等。
3.结合引理1的推断,得出三角形ABC与三角形DEF全等。
由此可得,三角形ABC与三角形DEF全等。
2.4 注意事项在使用SSS证明方法时,需要确保给定的边长满足边-边-边的条件,即三条边分别相等。
三角形全等证明方法
三角形全等证明方法三角形的全等证明是数学中非常基础和重要的一个定理。
三角形的全等意味着两个三角形的所有对应的角度和对应的边长都是相等的。
全等证明主要有以下几种方法:SAS(全等边角边)、ASA(全等角边角)、SSS (全等边边边)、AAS(全等角角边)和HL定理(含斜边和斜边的直角三角形)。
1.SAS(全等边角边)方法:假设有两个三角形ABC和DEF,如果它们的一边和夹角对应相等,并且另一边也相等,则可以证明两个三角形是全等的。
证明步骤如下:a)两个三角形的相同边是AC和DF;b)两个三角形的夹角对应相等,即∠ABC=∠DEF;c)两个三角形的另一边也相等,即BC=EF;因此,根据SAS定理,两个三角形全等,即∆ABC≌∆DEF。
2.ASA(全等角边角)方法:假设有两个三角形ABC和DEF,如果它们的两个角和夹角对应相等,并且其夹角对应边也相等,则可以证明两个三角形是全等的。
证明步骤如下:a)两个三角形的夹角对应边是AB和DE;b)两个三角形的两个角和夹角对应相等,即∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF。
c)夹角对应边也相等,即AB=DE;因此,根据ASA定理,两个三角形全等,即∆ABC≌∆DEF。
3.SSS(全等边边边)方法:假设有两个三角形ABC和DEF,如果它们的三条边分别相等,则可以证明两个三角形是全等的。
证明步骤如下:a)两个三角形的边长分别是AB=DE,BC=EF,AC=DF;因此,根据SSS定理,两个三角形全等,即∆ABC≌∆DEF。
4.AAS(全等角角边)方法:假设有两个三角形ABC和DEF,如果它们的两个角和一个边对应相等,则可以证明两个三角形是全等的。
证明步骤如下:a)两个三角形的两个角和一个边分别是∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF和AC=DF;因此,根据AAS定理,两个三角形全等,即∆ABC≌∆DEF。
5.HL定理(含斜边和斜边的直角三角形):假设有两个直角三角形ABC和DEF,如果它们的一条直角边和斜边相等,则可以证明两个三角形是全等的。
证明三角形全等的方法有哪些
证明三角形全等的方法有哪些三角形全等是指两个三角形的对应边相等,对应角相等,即它们的形状和大小完全相同。
证明三角形全等的方法有很多种,下面将介绍其中一些常用的方法。
方法一:SSS全等定理SSS全等定理是指如果一个三角形的三条边分别和另一个三角形的三条边相等,则这两个三角形全等。
证明这个定理的方法是通过计算两个三角形的三条边的长度,如果它们相等,则可以得出这两个三角形全等。
例如,我们有两个三角形ABC和DEF,如果AB=DE,BC=EF,AC=DF,那么根据SSS全等定理,三角形ABC和DEF全等。
方法二:SAS全等定理SAS全等定理是指如果一个三角形的两边和夹角分别和另一个三角形的两边和夹角相等,则这两个三角形全等。
证明这个定理的方法是通过计算两个三角形的两边和夹角的大小,如果它们相等,则可以得出这两个三角形全等。
例如,我们有两个三角形ABC和DEF,如果AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,那么根据SAS全等定理,三角形ABC和DEF全等。
方法三:ASA全等定理ASA全等定理是指如果一个三角形的两个角和夹边分别和另一个三角形的两个角和夹边相等,则这两个三角形全等。
证明这个定理的方法是通过计算两个三角形的两个角和夹边的大小,如果它们相等,则可以得出这两个三角形全等。
例如,我们有两个三角形ABC和DEF,如果∠A=∠D,∠B=∠E,AB=DE,那么根据ASA全等定理,三角形ABC和DEF全等。
方法四:HL全等定理HL全等定理是指如果一个直角三角形的斜边和一个锐角的一条直角边分别和另一个直角三角形的斜边和一个锐角的一条直角边相等,则这两个直角三角形全等。
证明这个定理的方法是通过计算两个直角三角形的斜边和锐角直角边的长度,如果它们相等,则可以得出这两个直角三角形全等。
例如,我们有两个直角三角形ABC和DEF,如果AB=DE,∠A=∠D,那么根据HL全等定理,三角形ABC和DEF全等。
方法五:对顶角相等定理对顶角相等定理是指如果一个三角形的一个角和另一个三角形的一个角相等,且这两个三角形的对应边长相等,则这两个三角形全等。
三角形全等证明方法
D
C
例8
已知,如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD, 求证:AO=BO
A B
O
D
C
(1)文字语言:
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 D
(2)图形语言: (3)几何语言:
在RtΔABC和Rt ΔDEF中, ∠ACB= ∠DFE=90 AB=DE AC=DF ∴ Rt ΔABC≌Δ Rt DEF(HL)
0
A
F
C B
E
例7
已知,如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD, 求证:AD=BC
在ΔABC和ΔDEF中, ∠BAC= ∠EDF AB=DE ∠ ABC=∠DEF ∴ ΔABC≌ΔDEF(ASA)
C B
E
⌒
F
⌒
例4
已知,如图,O是AB中点,∠A=∠B,求证: (1)Δ AOC≌ Δ BOD B C (2)点O是CD的中点
O D
A
3、角角边(AAS)
(1)文字语言:
⌒
),就可以
O
⌒
C
D
例2
如图,AB=AC,AE=AD,∠BAD=∠CAE,求 证:ΔABD≌ΔACE
A
A
D
E C
B
例3如图,AB=AC,AE来自AD,求证:ΔABD≌ΔACE
A
E
D
B
C
2、角边角(ASA)
(1)文字语言:
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
(2)图形语言: (3)几何语言:
A
D
4、边边边(SSS)
(1)文字语言:
三边分别相等的两个三角形全等。
(2)图形语言: (3)几何语言:
三角形全等的判定方法推理过程
三角形全等的判定方法推理过程三角形的全等是指两个三角形的形状和大小完全相同,也就是它们的三个角度和三边的长度都相等。
现在我们来看一下三角形全等的判定方法推理过程。
1. SSS法(边边边):若两个三角形的三边长度分别相等,则这两个三角形全等。
证明:若两个三角形ABC和DEF,它们的三边分别相等,即AB=DE,BC=EF,AC=DF。
要证明这两个三角形全等,我们需要证明它们的三个角度也完全相等。
由正弦定理可知:∠A=arcsin(sin∠A),因此可以得到:sin∠A=sin∠D,因此∠A=D由此可知,两个三角形的三个角度都相等,所以它们全等。
由余弦定理可知:BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠A,因此可以得到:同理,可以得到:cos∠D=(DE²+DF²-EF²)/2DE×DF因为∠A=∠D,所以cos∠A=cos∠D。
因此,(AB²+AC²-BC²)/(2AB×AC)=(DE²+DF²-EF²)/(2DE×DF),即(AB/DE)=(AC/DF),因此∠B=∠E。
由正弦定理可知:sin∠B=BF/AB,sin∠E=EF/DE,因此BF/AB=EF/DE,即BF/EF=AB/DE,因此∠C=∠F。
因此,两个三角形的三个角度都相等,所以它们全等。
综上所述,全等的判定方法主要有四种:SSS法、SAS法、ASA法和AAS法。
这些方法都是基于三角形的三边和三角的关系来推导的,是数学学习中的基本知识点之一。
掌握全等的判定方法不仅有助于理解三角形的性质,还能够帮助我们解决各种数学题目。
全等三角形证明方法总结
敷学培fit 方法*»1-2価明三廊形全箸(舍倦段相著、角相等)的几种方法一、三角形全等的判定:① 三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSSJo 【最简单,考得也最少,考试过程中没有注意点】② 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
【最常考,而且考试就考“角是不是两边夹角”】 r 当题目中得出“2对边及1对角相等”时,一定要检査“角是不是两边夹角“。
i ③ E鬲爲反養美另另航蒔京满不三浦花荃,新忑「① 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)o⑤直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)o F ............................ } j 直角三角形全等的特殊证法。
但当该方法不行时,前面的4种方法也能用来证明直角三角形全等。
: !如何找斜边:斜边是直角所对的边,只要找90。
的角所对的边就能找到斜边: ................................................................................................. J 二、全等三角形的性质: ① 全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
② 全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
①全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
几种常见全等三箱形的基本图形: 【平移】i 题目中只要得出“1对边及2对角相等",那就能证明三角\ ;形全等,唯一要做的就是区分好是ASA 还是AAS三、找全等三痢形的方法:①可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中:②可以从己知条件出发,看己知条件可以确定哪两个三角形相等;③从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;①若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
(完整版)全等三角形题型归纳(经典完整)
1一,证明边或角相等方法:证明两条线段相等或角相等,如果这两条线段或角在两个三角形内,就证明这两个三角形全等;如果这两条线段或角在同一个三角形内,就证明这个三角形是等腰三角形;如果看图时两条线段既不在同一个三角形内,也不在两个全等三角形内,那么就利用辅助线进行等量代换,同样如果角不在同一个三角形内,也不在两个全等三角形内,也是用等量代换(方法是:(1)同角(等角)的余角相等(2)同角(等角)的补角相等,此类型问题一般不单独作一大题,往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等,而且一般是在双垂直的图形中)1.已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。
求证:BE =CD 。
2.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.3.已知:如图△ABC 中,AB=AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,BD 、CE 交于H 。
求证:HB=HC 。
2、如图, 已知:AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF .求证:AC=EF .A ED C B654321E DCBAFGE D CBAFMNE 1234134****70432EDC BA 二.证明线段和差问题 (形如:AB+BC=CD,AB=AD - CD)证明两条线段和等于另一条线段,常常使用截长补短法。
①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条,然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。
②补短法即为在较短的一条线段上延长一段,使它们等于最长的线段,然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。
证明两条线段差等于另一条线段,只需把差化成和来解决即可。
1.如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB .2、如图,已知:△ABC 中,∠BAC =90, AB =AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证:BD =DE +CE ;3、如图,AB ∥CD ,DE 平分∠ADC ,AE 平分∠BAD ,求证:AB=AD - CD三.证明线段的2倍或21关系 ( AB CE =2, MN BN =12) P E D CB A134****704331. 利用含30角的直角三角形的性质证明例1. 已知,如图1,∆ABC 是等边三角形,在AC 、BC 上分别取点D 、E ,且AD =CE ,连结AE 、BD 交于点N ,过B 作BM AE ⊥,垂足为M ,求证:MN BN =12(提示:先证∠=BNE 60)2. 利用等线段代换(充分利用中点)例1.如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE .3.转化为线段和问题,利用截长补短法例5. 已知:如图5,四边形ABCD 中,∠=D 90,对角线AC 平分∠BAD ,AC BC =,求证:AD AB =12四.证明二倍角关系利用三角形外角和定理和等量代换如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B FE DCB ADCBA134****7043 4。
全等三角形证明方法归纳
全等三角形证明方法归纳全等三角形的证明是几何学中的基本内容之一,也是解决三角形相关问题的重要途径之一、全等三角形的证明方法主要通过SAS(边角边),ASA(角边角),SSS(边边边)等几种类似的三角形性质和定理进行推理得出。
下面我们将分别介绍这几种证明方法。
一、SAS(边角边)全等三角形证明方法SAS全等三角形证明方法是基于以下定理:若两个三角形的其中两条边对应相等,并且夹角也相等,则两个三角形全等。
具体步骤如下:1.给定两个三角形ABC和DEF,已知两个三角形的边AB和DE相等。
2.已知两个三角形的边BC和EF相等。
3.由题意或已知条件得出两个三角形的夹角∠ABC和∠DEF相等。
4.根据定理SAS全等三角形的关系可得,三角形ABC全等于三角形DEF。
二、ASA(角边角)全等三角形证明方法ASA全等三角形证明方法是基于以下定理:若两个三角形的两个对应的角相等,并且夹着这两个角的两条边相等,则两个三角形全等。
具体步骤如下:1.给定两个三角形ABC和DEF,已知两个三角形的角∠ABC和∠DEF 相等。
2.已知两个三角形的边BC和EF相等。
3.由题意或已知条件得出两个三角形的夹角∠ACB和∠DFE相等。
4.根据定理ASA全等三角形的关系可得,三角形ABC全等于三角形DEF。
三、SSS(边边边)全等三角形证明方法SSS全等三角形证明方法是基于以下定理:若一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等,则两个三角形全等。
具体步骤如下:1.给定两个三角形ABC和DEF,已知两个三角形的边AB、BC和CA分别与边DE、EF和FD相等。
2.根据已知条件可得出三个小的等边三角形,即三角形ABC的三条边分别与三角形DEF的三条边相等。
3.根据定理SSS全等三角形的关系可得,三角形ABC全等于三角形DEF。
四、其他全等三角形证明方法除了上述的SAS、ASA和SSS三种全等三角形证明方法外,还有一些其他的方法。
1. HL(Hypotenuse-Leg)法则:若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,则两个三角形全等。
三角形全等的证明
三角形全等的证明证明:三角形全等的定义是两个三角形的三个对应边长相等,那么需要证明所有三个对应角度也相等。
(一)SAS 全等法通过已知两个三角形的两边长度和它们夹角的大小相等,可以证明这两个三角形是全等的。
证明过程如下:①已知两个三角形 ABC 和 DEF,它们有两个相等的边 AB=DE,BC=EF,以及它们夹角 ACB 和 DFE 相等。
②在三角形 ABC 和 DEF 的相等边上分别取两个点 M 和 N,使得AM=DN,BM=EN。
③由已知,两个三角形 ABC 和 DEF 的夹角 ACB 和 DFE 是相等的,而且三边长分别相等,所以根据余弦定理有:∠AMB=∠DNE∠CBA=∠FEDBM=EN根据 SSS 准则可以得到三角形 AMB 和 DNE 相等,即AM=DNBM=EN∠AMB=∠DNE因此,两个三角形 ABC 和 DEF 相等。
(二)ASA 全等法通过已知两个三角形的恰好一组对应角度和两边长度相等,可以证明这两个三角形是全等的。
证明过程如下:①已知两个三角形 ABC 和 DEF,它们有角 A 和角 D 相等,以及边AB=DE,AC=DF。
②再假设角 B 和角 E 相等,根据同位角定理,可以得到角 C 和角 F 相等。
③根据已知条件,可以继续得知 BC 和 EF 相等,又因为 AB=DE,所以根据 SSS 准则可以得到两个三角形 ABC 和 DEF 相等。
(三)SSS 全等法通过已知两个三角形的三边长度分别相等,可以证明它们是全等的。
证明过程如下:①已知两个三角形 ABC 和 DEF,它们的三个对应边 AB=DE,BC=EF,AC=DF。
②根据三角形的边长可以得到它们两个的周长相等,即AB+BC+AC=DE+EF+DF③将两个三角形平移重合,将此时 B 点与 E 点重合,AC 与 DF 重合,那么 A 点和 D 点也将重合。
④根据已知条件,可以将三角形 ABC 旋转到与三角形 DEF 相重叠,此时三角形 ABC 和 DEF 完全重合,因此它们是全等的。
全等三角形证明方法总结-关于全等三角形的证明方法
如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,从而得到一个等腰三角形,可总结 为:“延分垂,等腰归”。
5
例题 3:如上右图所示,已知∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD 于 D,H 是 BC 中点。 求证:DH= (AB-AC) 提示:延长 CD 交 AB 于点 E,则可得全等三角形。问题可证。
成全等三角形
全等
造全等,则 P 是中点
三角形
图中有角平分线,可向两边 图中有角平分线,沿它对折 角平分线加垂线,“三线合 角平分线+平行线,等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中,BP,CP 分别为角平分线且交于点 P,探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
8、线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等
9、两全等三角形的对应边相等
10、等于同一线段的两线段相等
数形结合找条件【规律总结】
■已知两边
找另一边→SSS 找夹角→SAS 找直角→HL
■已知两角
找夹边→ASA 找除夹边外的任一边→AAS
■已知一边一角
找与边相邻的另一角A、OB 作垂线,垂足为 E、F,连接 DE、DF。 则有:DE=DF,△OED≌△OFD。
例题 2:如上右图所示,已知 AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180。
(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形。 如下左图所示,从角的一边 OB 上的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF,使之与角的另一边 OA 相交,则截
三角形全等证明方法
三角形全等证明方法在几何学中,全等是指两个或多个几何体的大小、形状以及内部结构完全相同。
对于三角形而言,如果两个三角形的对应边长相等,对应的角度也相等,则它们是全等三角形。
在证明两个三角形全等时,有多种方法可以使用,本文将详细介绍其中的几种方法,并给出说明和举例。
【1. SSS (Side-Side-Side) 全等法】SSS全等法则是指如果两个三角形的三边分别相等,则它们是全等的。
这个证明方法简单直接,可以通过以下步骤来证明:Step 1: 确定两个三角形的三边分别相等;Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形;Step 3: 通过测量确定两个三角形的三边分别相等;Step 4: 通过观察可以得出结论,即两个三角形是全等的。
例如,我们要证明△ABC ≡ △DEF。
我们已知AB = DE,BC = EF,AC = DF。
根据SSS全等法则,根据给定的条件可以得出结论,即△ABC ≡ △DEF。
【2. SAS (Side-Angle-Side) 全等法】SAS全等法则是指如果两个三角形的两个边和夹角分别相等,则它们是全等的。
这个证明方法也是常用的,可以通过以下步骤来证明:Step 1: 确定两个三角形的两个边和夹角分别相等;Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形;Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个边和夹角分别相等;Step 4: 通过观察可以得出结论,即两个三角形是全等的。
例如,我们要证明△ABC ≡ △DEF。
我们已知∠BAC = ∠EDF,AB = DE,AC = DF。
根据SAS 全等法则,根据给定的条件可以得出结论,即△ABC ≡ △DEF。
【3. ASA (Angle-Side-Angle) 全等法】ASA全等法则是指如果两个三角形的两个角和夹边分别相等,则它们是全等的。
这个证明方法也非常常用,可以通过以下步骤来证明:Step 1: 确定两个三角形的两个角和夹边分别相等;Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形;Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个角和夹边分别相等;Step 4: 通过观察可以得出结论,即两个三角形是全等的。
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全等三角形的证明方法归纳总结
全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.寻找对应边和对应角,常用到以下方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.
(3)有公共边的,公共边常是对应边.
(4)有公共角的,公共角常是对应角.
(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).
要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
(2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
(3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.
(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.
构造辅助线办法:
全等三角形
找全等三角形的方法:
(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;
(3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法:①延长中线构造全等三角形;②利用翻折,构造全等三角形;③引平行线构造全等三角形;④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种:(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。