导数的简单应用3
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用
导数是微积分中一个非常重要的概念，它在实际生活中有很多应用，例如：
1. 物理学中的运动学问题。
例如，速度和加速度是运动学中的基本概念，它们可以通过对位移和时间的导数来计算。
2. 经济学中的边际效应。
经济学家使用导数来衡量某种经济活动的边际效应，即当增加一单位产量或消费时所产生的额外效果。
3. 工程学中的优化问题。
设计师和工程师使用导数来帮助他们优化设计和工艺，以减少生产成本并提高产品质量。
4. 医学中的生理学问题。
医学家使用导数来研究血压变化、血糖水平变化等生理学问题，以更好地进行治疗。
5. 数据分析中的趋势分析。
数据分析师使用导数来计算数据的变化率和趋势，以帮助企业作出更明智的经营决策。
因此，导数在各个领域都有广泛的应用，它可以帮助我们了解事物的变化规律，优化设计和生产过程，并帮助我们做出更好的决策。
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
《导数在函数中的应用实例》
摘要：导数是高等数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质、解决实际问题等方面具有广泛的应用。
本文将通过几个具体的实例，详细阐述导数在函数中的应用，包括求切线、研究函数的单调性、求极值和最值等。
一、引言导数是函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点的局部性质。
导数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将通过实例，展示导数在函数中的应用，以帮助读者更好地理解导数的概念和意义。
二、导数在求切线中的应用1. 实例一：求函数f(x) = x²在点P(2,4)处的切线方程。
解：首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 2x。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2) = 4。
因此，点P(2,4)处的切线斜率为4。
接下来，利用点斜式方程求出切线方程。
点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m为切线斜率，(x₁, y₁)为切点坐标。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y- 4 = 4(x - 2)，即y = 4x - 4。
2. 实例二：求函数f(x) = ln(x)在点A(1,0)处的切线方程。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 1/x。
将x=1代入f'(x)，得到f'(1) = 1。
因此，点A(1,0)处的切线斜率为1。
利用点斜式方程求出切线方程。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y - 0 = 1(x - 1)，即y = x - 1。
三、导数在研究函数单调性中的应用1. 实例一：研究函数f(x) = x³在区间(-∞, +∞)上的单调性。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 3x²。
由于x²≥0，所以f'(x)≥0。
因此，函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。
导数的应用
导数应用举例
§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
第3讲 导数的简单应用(可编辑PPT)
∴f(x)=x3+x.∴f '(x)=3x2+1.∴f '(0)=1.故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线
方程为y=x.故选D.
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解后反思
求曲线的切线方程需注意的几个问题:
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(1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,需要设出切点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再 将切点代入两者的解析式建立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条 件.
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3.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)若曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线 的斜率为-2,则a= .
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答案 解析
-3 设f(x)=(ax+1)ex,则f '(x)=(ax+a+1)ex.所以曲线在点(0,1)处的
切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2.解得a=-3.
设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f '(x0),再由斜率公式求得切
线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.
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考点二
利用导数研究函数的单调性
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导数与函数单调性的关系
(1)f '(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞, +∞)上单调递增,但f '(x)≥0. (2)f '(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间 内恒有f '(x)=0时,f(x)为常数函数,函数不具有单调性.
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导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。
导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。
导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。
掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。
了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。
在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。
导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。
导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。
通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。
在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。
导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。
在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。
通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数是高中数学中非常重要的一章节，它不仅具有重要的理论
意义，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
以下列举了一些导
数在高中数学中的应用：
1. 极值问题：通过求导数可得到函数的极值，即最值。
在应用
中常常需要求某个量的最大值或最小值，例如对于一个正方形，我
们需要求出其面积的最大值，就可以通过对正方形的边长求导得到。
2. 切线和法线：通过求导数我们可以得到某一点处的切线方程
及其斜率，同时又可以得到该点处的法线方程及其斜率，这对于研
究曲线的性质十分有用。
3. 曲率问题：导数还可以用来求曲线在某一点处的曲率，由此
可以得到曲线的曲率半径等重要参数，同时也可以帮助我们了解曲
线的形状。
4. 泰勒展开：泰勒展开是一种重要的数学工具，它可以利用函
数在某一点处的导数来逼近函数的值，从而在数值计算中起到非常
重要的作用。
总之，在高中数学中学习导数，不仅可以帮助我们深刻理解函
数的性质，同时也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。
例谈导数的几个简单的应用
例谈导数的几个简单的应用王耀辉高中阶段学习导数以后，常常把导数作为研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题等来运用．实际上，它还有其他方面更多的应用．本文就根据高中学过的一些内容，列举了导数的几个简单的应用，供读者学习时参考．1．利用导数的定义求极限 在一些教辅资料、高考题中，出现了一类特殊极限求值问题，最常见的是00型，感觉不好求．若能灵活运用导数的定义，问题便会迎刃而解．例1．求值：（1）0sin lim x x x →，（2）0ln(1)lim x x x→+． 解：（1）根据导数的定义，该式实际上为求函数()sin f x x =在点0x =处的导数． 所以00sin sin sin 0lim =lim x x x x x x→→-00(sin )|cos |cos 01x x x x =='====． （2）根据导数的定义，该式实际上为求函数()ln(1)f x x =+在点0x =处的导数． 所以000ln(1)1lim=[ln(1)]||11x x x x x x x ==→+'+==+． 例2．（2010年全国卷文科21题）设函数2()(1)x f x x e ax =--．若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．解：由已知得()(1)x f x x e ax =--≥0（x ≥0），即1x e ax --≥0（x ≥0）， 当0x =时，a R ∈；当0x >时，分离参数得1x e a x -≤（0x >），令1()x e g x x-=（0x >），求导得21()x x xe e g x x-+'=（0x >），再令()1x x h x xe e =-+（0x >），则()0x h x xe '=>（0x >），∴()1x x h x xe e =-+在(0,)+∞上递增，∴()(0)0h x h >=，∴()0g x '>，∴1()x e g x x-=在(0,)+∞上递增．∴0()lim ()x g x g x →>，所以0lim ()x a g x →≤．因为00001lim ()=lim =lim 0x x x x x e e e g x xx →→→---00()||1x x x x e e =='===，所以1a ≤． 综上所述，实数a 的取值范围为1a ≤．2．利用函数极值点导数为零的性质，在三角函数中求值例3．已知()sin 2cos 2()f x a x x a R =+∈图像的一条对称轴方程为2x π=，则a 的值为（ ）A ．12B C ．3 D ．2 解析：由于三角函数的对称轴与其曲线的交点为极值点，所以由()2cos 22sin 2f x a x x '=-，得()2cos 2sin =0266f a πππ'=-，故3a =． 例4．已知函数()cos f x x x =的图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π解析：设函数()f x 图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后的函数解析式为：()cos())g x x x ϕϕ=++，由于()g x 为偶函数，所以(0)0g '=．又()sin())g x x x ϕϕ'=-+-+，所以sin 0ϕϕ-=，tan ϕ=ϕ的最小值为23π．例5．已知2cos sin x x -=，求tan x 的值．解析：设()2cos sin f x x x =-，则曲线()2cos sin f x x x =-过点(,t ．由于2cos sin )x x x x -=+cos cos sin )x x ϕϕ=+)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==所以函数()2cos sin f x x x =-在点(,t 处取极小值，导数为零．即()2sin cos 0f t t t '=--=，所以1tan 2t =-，从而1tan 2x =-．3．导数在数列求和中的应用例6．已知数列{}n a 的通项为12n n a n -=⋅，求数列{}n a 前n 项的和n S ．解析：令2x =，则11ni i i x -=⋅∑1()n i i x ='=∑12(1)1(1)=1(1)nn n x x n x n x x x +'⎡⎤--++⋅=⎢⎥--⎣⎦所以n S 121(1)22=(12)n n n n +-+⋅+⋅-1=1(1)22n nn n +-+⋅+⋅4．导数在二项式中的应用例7．证明：1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．证明：令012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=+++++…，对等式两边求导，得：1121321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++…， 令1x =，代入上式即得1123223n n n n n n n C C C nC -⋅=+++⋯+，即1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．5．导数在三角恒等变换公式中的应用在三角恒等变换公式中，公式多，不易记，应用导数可以将这些恒等式进行沟通．（1）两角和、差的三角函数公式cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（），①视α为变量，β为常量，对等式①两边求导，得sin()sin cos cos sin αβαβαβ--=-+即sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，②反过来，视α为变量，β为常量，对等式②两边求导，得cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（）故利用上述求导方法有：cos cos cos sin sin αβαβαβ±=（）αα对求导对求导sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（2）二倍角公式 22cos 2cos sin ααα=-αα对求导对求导sin 22sin cos ααα=（3）积化和差公式 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- αα对求导对求导1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-， 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=+-- αα对求导对求导1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=-+--． 当然，导数的应用不只这些，本文只是抛砖引玉，有兴趣的读者还可以继续探索．。
导数的应用
导数的应用三：求函数的最值
设函数f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值
在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的 函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一 个为最小值.
x1 2(1 x)
.
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由
f x
(1x)00解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3) f (x) x ax x2 (a 0);
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四、综合应用:
例1:确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;
解:(1)函数的定义域是R,
f (x)
1 cos x. 2
令
1 2
cosx
0,解得
2k
2
3
是(3a/4,a). 说明: 事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得
导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调 性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定 f(x)在这一区间内是常数函数.
x 2k
2
3
(k Z).
令
1 2
cosx
0,解得
2k
2
3
x 2k
4
3
(k Z).
导数在生活中应用例子
导数在生活中应用例子
导数是微积分中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，比如物体的运动、变化率的计算等。
下面我们就来看一些导数在生活中的应用例子。
首先，导数可以帮助我们理解物体的运动。
比如一辆汽车在高速公路上行驶，我们可以通过对汽车的位置随时间的变化进行求导，来得到汽车的速度。
这样我们就可以通过导数来计算汽车的加速度、减速度等运动状态，从而更好地理解汽车的行驶情况。
其次，导数还可以用来计算变化率。
比如在经济学中，我们可以通过对某一商品的需求量随价格的变化进行求导，来得到需求量对价格的弹性。
这样我们就可以通过导数来计算商品的价格弹性，从而更好地了解市场需求的变化情况。
另外，导数还可以帮助我们优化问题。
比如在工程中，我们可以通过对某一工艺的成本函数进行求导，来得到成本函数的最小值点。
这样我们就可以通过导数来优化工艺成本，从而更好地提高工程效率。
总之，导数在生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解物体的运动、计算变化率、优化问题等，对于我们的生活和工作都有着重要的意义。
因此，学好导数对于我们更好地理解和解决实际问题是非常重要的。
希望大家能够在学习导数的过程中，能够更加深入地理解它在生活中的应用。
专题2函数与导数第3讲导数的简单应用
100%
二阶导数判断
二阶导数大于零的点为曲线拐点 ，表示曲线在该点处由凹变凸或 由凸变凹。
80%
单调性变化
在拐点处，函数的单调性也会发 生变化。
02
导数在研究函数中的应用
单调性判定
总结词
导数可以用于判断函数的单调性，通过导数的正负来判一个函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间内单调递增； 如果导数小于0，则函数单调递减。
在19世纪，数学家们对导 数进行了深入的研究，并 对其性质和应用进行了更 深入的探讨。
现代的应用
在现代数学中，导数被广 泛应用于分析函数的变化 趋势、优化问题、概率统 计等领域。
导数在现代数学中的应用
微分方程
导数在解决微分方程中起 到关键作用，用于研究函 数的动态变化和行为。
最优化问题
导数用于求解最优化问题， 如最大值、最小值等，是 经济、工程等领域的重要 工具。
03 总结词
约束条件下的优化问题
04
详细描述
在许多实际问题中，变量之间存 在一定的约束条件。利用导数， 我们可以构建拉格朗日函数，将 约束条件转化为无约束的最优化 问题，从而找到满足所有条件的 最佳解。
运动规律问题
总结词
导数描述速度和加速度
总结词
瞬时速度和瞬时加速度
详细描述
在研究物体的运动规律时，速度和加速度是非常 重要的参数。导数可以用来描述物体的速度和加 速度的变化规律。通过求导，我们可以得到速度 和加速度关于时间的变化率，进一步分析物体的 运动状态。
利用导数求解最值问题
通过求导数，找到函数的极值 点，从而求解最值问题。
导数与方程根的讨论
1 2
利用导数研究函数的零点
通过求导数，找到函数的极值点，从而确定函数 的零点。
列举三个导数在实际生活中应用的例子
列举三个导数在实际生活中应用的例子1、求导数在投资理财中的应用：随着经济的发展，投资理财变得越来越重要。
求导数在投资理财中的应用非常多，主要有以下几个方面：①帮助投资者分析投资绩效：根据投资者所做投资内容变化，求出投资绩效及相关函数分析，帮助投资者了解投资表现和赚钱效果；②分析投资产品价格：利用导数主要是为了分析投资者入手价格和卖出价格的大小，反映投资者是获利还是亏损；③分析投资组合：在交易中，投资组合的收益可以通过求出投资组合的收益函数的导数的方式被分析，作出有利的投资决策。
2、求导数在量子力学中的应用：求导数也可以用来计算原子模型中的因子和数值，因此它在量子力学中有非常强大的应用。
其主要应用有：①对原子电子结构的求解：根据量子力学，可以将原子电子结构分解成原子能级，求导数能够帮助我们计算原子各能级结构；②对原子分子运动的研究：原子在不同的电势面上处在不同的电子态中，通过求导数可以计算原子的位置和运动轨迹，从而了解原子分子的动态变化及碰撞机制；③应用于定性分析：使用求导数的方法，可以从宏观层面分析原子的性质，确定原子的稳定性或者电性质。
3、求导数在计算机图形学中的应用：计算机图形学涉及到复杂的数学计算，其中也广泛应用求导数进行求解。
其中主要有：①对物体表面曲率的求解：由于计算机图形学需要表示物体的三维表面，所以需要对三维数据进行分析，求其曲率。
求这些曲率需要计算多个参数的梯度，因此就需要求出这些参数函数的导数；②对投影映射的求解：将物体映射到二维表面时，同样需要计算投影映射参数的变化，而这也需要计算函数的导数；③色彩空间和色调映射：计算机图形学中，颜色也涉及到求导数，当需要进行色调映射时，要求变换参数的梯度，因此也需要用求导数的方法进行求解。
列举三个导数在实际生活中的例子
1.加速度：在物理学中，速度的导数是加速度。
在现实生活中，当我们在汽车或自行车上加速或减速时，我们可以感受到加速度的变化。
2.利率变化：在经济学中，利率是一个关键变量，它可以表示为借款利率或存款利率的导数。
当利率上升时，我们可以看到贷款成本增加，投资可能会减少，而存款收益可能会增加。
3.生长速度：在生物学和生态学中，物种数量的变化可以表示为种群增长率的导数。
这个概念被用来研究生物多样性、生态系统的稳定性以及种群的变化。
例如，研究一种鸟类或鱼类的种群增长率，可以了解它们是否正常繁殖或受到威胁。
导数在生活中的应用3则
导数在生活中的应用3则1.导数在股票投资中的应用：投资者通常会关注股票价格的变化趋势，导数可以用来衡量股票价格的变化速率。
如果股票价格的导数为正，表示股票价格在上升；如果股票价格的导数为负，表示股票价格在下降。
投资者可以根据股票价格的导数来作出买卖决策。
2.导数在医学中的应用：医学中，导数可以用来研究身体对药物的反应。
如果身体对药物的反应速率（即血液中药物浓度的变化速率）为正，表示药物的浓度在增加；如果身体对药物的反应速率为负，表示药物的浓度在减少。
医生可以根据身体对药物的反应速率来调整药物的用量。
3.导数在交通工程中的应用：交通工程中，导1.导数在建筑工程中的应用：建筑工程中，导数可以用来计算建筑物的屈服点。
屈服点是指建筑物在外力作用下，开始变形的点。
如果建筑物的弹性模量的导数为正，表示建筑物在受到外力时会变得更加坚固；如果建筑物的弹性模量的导数为负，表示建筑物在受到外力时会变得更加脆弱。
建筑工程师可以根据建筑物的弹性模量的导数来设计建筑物的结构。
2.导数在机械工程中的应用：机械工程中，导数可以用来计算机械设备的运动学参数。
如果机械设备的速度的导数为正，表示机械设备在变速；如果机械设备的速度的导1.导数在经济学中的应用：经济学中，导数可以用来研究经济变量之间的关系。
如果两个经济变量的函数图像的导数之积为正，表示这两个变量呈正相关；如果两个经济变量的函数图像的导数之积为负，表示这两个变量呈负相关。
经济学家可以根据这些信息来预测经济的发展趋势。
2.导数在生物学中的应用：生物学中，导数可以用来研究生物体内的生化反应速率。
如果生化反应速率的导数为正，表示反应速率在增加；如果生化反应速率的导数为负，表示反应速率在减少。
生物学家可以根据生化反应速率的导数来研究生物体的生理过程。
导数的应用
导数的应用
导数是微积分中的重要概念，它有许多应用。
以下是一些常见的导数应用：
1. 切线和法线：导数可以用来确定函数曲线在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线的负倒数。
2. 最值问题：导数可以用来解决最值问题。
例如，对于一个函数，它的局部最大值或最小值出现在它的导数为零的点，或者在导数发生跃变的点。
3. 函数的增减性和凹凸性：导数可以用来研究函数的增减性和凹凸性。
如果函数在某一区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，函数是递减的。
函数的凹凸性则与导数的二阶导数有关。
4. 曲线的弧长：导数可以用来计算曲线的弧长。
通过对曲
线的参数方程或者极坐标方程进行导数运算，可以得到弧
长公式。
5. 高阶导数：导数可以进行高阶运算，即对导数再进行导数。
高阶导数可用于描述函数的曲率、加速度等更高阶的
变化特性。
以上只是导数的一些简单应用，实际上导数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，包括优化问题、速度与加
速度的计算、函数逼近等等。
第3讲 导数的简单应用
本资料分享自千人QQ 群323031380 期待你的加入与分享第3讲 导数的简单应用考点一 导数的几何意义[学生用书P90][典型例题(1)(2020·湖北八校第一次联考)已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．【解析】 (1)因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3.设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧3x 2－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧x 0＝3，a ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A.(2)设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1⎪⎪⎪x ＝x 0＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .【答案】 (1)A (2)y ＝2x求曲线y ＝f (x )的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P (x 0，y 0)，求切线方程 求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率k ，求切线方程设切点为P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点为P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．[对点训练]1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)解析：选C.f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)．经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C.2．已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x 的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( )A ．2B ．1C ．e 2D ．－e 2解析：选B.设直线l 与曲线C 1：y ＝e x 的切点为A (x 1，e x 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －e x 1＝e x 1 (x －x 1)，即y ＝e x 1x －e x 1 (x 1－1) ①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22 ②.因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝12e 2x 2，e x 1（x 1－1）＝14e 2x 22，解得⎩⎨⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l的方程为y＝e2x－e2，令y＝0，可得直线l在x上的截距为1，故选B.考点二利用导数研究函数的单调性[学生用书P91][典型例题]命题角度1确定函数的单调性(区间)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋x（x＋1）2，且1<a<2，试讨论函数f(x)的单调性．【解】函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝x（x－2a＋3）（x＋1）3，x>－1.①当－1<2a－3<0，即1<a<32时，当－1<x<2a－3或x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(－1，2a－3)，(0，＋∞)上单调递增，当2a－3<x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(2a－3，0)上单调递减．②当2a－3＝0，即a＝32时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a－3>0，即32<a<2时，当－1<x<0或x>2a－3时，f′(x)>0，则f(x)在(－1，0)，(2a－3，＋∞)上单调递增．当0<x<2a－3时，f′(x)<0，则f(x)在(0，2a－3)上单调递减．综上，当1<a<32时，f(x)在(－1，2a－3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a－3，0)上单调递减；当a＝32时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a<2时，f(x)在(－1，0)，(2a－3，＋∞)上单调递增，在(0，2a－3)上单调递减．利用导数求函数的单调区间的3种方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导数并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．命题角度2 已知函数的单调性求参数已知x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点． (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋ax ，若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求a 的取值范围．【解】 (1)f (x )＝2x ＋bx ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝2－b x 2＋1x ＝2x 2＋x －bx 2(x >0)．因为x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点， 所以f ′(1)＝0，即2－b ＋1＝0.解得b ＝3，经检验，符合题意，所以b ＝3. 所以f ′(x )＝2－3x 2＋1x ＝2x 2＋x －3x 2，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)． (2)g (x )＝f (x )－3＋a x ＝2x ＋ln x －ax (x ＞0)， g ′(x )＝2＋1x ＋ax 2(x ＞0)．因为函数g (x )在[1，2]上单调递增，所以g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立， 即2＋1x ＋ax 2≥0在[1，2]上恒成立， 所以a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， 所以a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]． 因为在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3， 所以a ≥－3.所以a 的取值范围是[－3，＋∞)．(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解．[对点训练]1．已知函数f (x )＝－ln x ＋12x 2＋5，则其单调递增区间为( ) A ．(0，1] B ．[0，1] C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选D.由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝－ln x ＋12x 2＋5，所以f ′(x )＝－1x ＋x ＝1x (x 2－1)．由⎩⎨⎧f ′（x ）＞0，x ＞0⇒⎩⎨⎧x 2－1＞0，x ＞0⇒⎩⎨⎧x ＜－1或x ＞1，x ＞0⇒x ＞1.故选D. 2．(2020·湖北八校第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，f ′(x )是函数f (x )的导函数，且∀x ∈R ，f ′(x )＞1，f (1)＝0，则( )A ．f (e)＜e －1B ．f (0)＞－1C ．f (0)＜－1D ．f (e)＜f (0)＋e解析：选C.令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＞0，所以g (x )在R 上单调递增，由g (e)＞g (1)得f (e)－e ＞f (1)－1＝－1，所以f (e)＞e －1，故选项A 不正确．由g (0)＜g (1)得f (0)＜f (1)－1＝－1，故选项B 不正确，选项C 正确．由g (e)＞g (0)得f (e)－e ＞f (0)，所以f (e)＞f (0)＋e ，故选项D 不正确．故选C.3．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，则由f ′(x )＝0， 得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．考点三 利用导数研究函数的极值(最值)问题[学生用书P92][典型例题]命题角度1 求函数的极值或最值(2020·高考北京卷改编)已知函数f (x )＝12－x 2.设曲线y ＝f (x )在点(t ，f (t ))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t )，求S (t )的最小值．【解】 因为f ′(x )＝－2x ，则f ′(t )＝－2t ，又f (t )＝12－t 2，所以曲线y ＝f (x )在点(t，f(t))处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋12.若t＝0，则围不成三角形，故t≠0.令x＝0，得y＝t2＋12，记A(0，t2＋12)，O为坐标原点，则|OA|＝t2＋12，令y＝0，得x＝t2＋122t，记B⎝⎛⎭⎪⎫t2＋122t，0，则|OB|＝t2＋122|t|，所以S(t)＝12|OA||OB|＝（t2＋12）24|t|，因为S(t)为偶函数，所以仅考虑t＞0即可．当t＞0时，S(t)＝14⎝⎛⎭⎪⎫t3＋24t＋144t，则S′(t)＝14⎝⎛⎭⎪⎫3t2＋24－144t2＝34t2(t2－4)(t2＋12)，令S′(t)＝0，得t＝2，所以当t变化时，S′(t)与S(t)的变化情况如表：t(0，2)2(2，＋∞)S′(t)－0＋S(t)极小值所以S(t)min利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题(1)不能忽略函数f(x)的定义域．(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．(3)函数的极小值不一定比极大值小．(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．命题角度2已知函数的极值或最值求参数已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x(其中常数a≠0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a的值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2－3x，x>0，f′(x)＝1x＋2x－3＝2x2－3x＋1x，令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝1，当0<x <12时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增； 当12<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)f ′(x )＝2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x ＝（2ax －1）（x －1）x ，令f ′(x )＝0，得x ′1＝1，x ′2＝12a ，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ′2＝12a ≠x ′1＝1， 当12a <0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2.当0<12a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)·12a ＝ln12a －14a －1<0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 当1<12a <e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1<12a <e 矛盾．当12a ≥e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值1在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，不符合题意． 综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.掌握已知函数极值点或极值求参数的2个要领列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性[对点训练]1．(多选)(2020·福建漳州期末)定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，4)上单调递增B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值解析：选ABD.根据导函数的图象可知，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减；在区间(0，4]上，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值．所以A ，B ，D 项均正确，C 项错误．故选ABD.2．函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最大值为________．解析：f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－1x 2＋1x ，可得函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，又f(e)＝1e＜f⎝⎛⎭⎪⎫1e＝e－2，所以函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e上的最大值为e－2.答案：e－23．已知函数f(x)＝a e x－e－x－(a＋1)x(a∈R)，f(x)既存在极大值，又存在极小值．求实数a的取值范围．解：由f(x)＝a e x－e－x－(a＋1)x得f′(x)＝a e x＋e－x－(a＋1)，即f′(x)＝e－x(e x－1)(a e x－1)．由f(x)既存在极大值，又存在极小值，知f′(x)＝0必有两个不相等的实数根．由e x－1＝0得x＝0，所以a e x－1＝0必有一个非零实数根，所以a≠0，e x＝1a，所以1a＞0且1a≠1，所以0＜a＜1或a＞1.所以实数a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)．[学生用书(单独成册)P157]1．若曲线y＝x ne x在点⎝⎛⎭⎪⎫1，1e处的切线的斜率为4e，则n＝()A．2B．3 C．4 D．5解析：选D.由题意得y′＝nx n－1e x－x n e x（e x）2＝nx n－1－x ne x，所以y′⎪⎪⎪x＝1＝n－1e＝4e，所以n＝5.故选D.2．(一题多解)(2020·昆明市三诊一模)设f′(x)是函数f(x) 的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是()解析：选D.通解：因为在区间(－3，－1)和区间(0，1)上f ′(x )＞0，在区间(－1，0)和区间(1，3)上f ′(x )＜0，所以函数y ＝f (x )在(－3，－1)，(0，1)上单调递增，在(－1，0)，(1，3)上单调递减，观察各选项知，只有D 符合题意，故选D.优解：由题图知，y ＝f ′(x )在x ＝－1的左侧大于0，右侧小于0，所以函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极大值，观察各选项知，只有D 符合题意，故选D.3．已知a 为实数，f (x )＝ax 3＋3x ＋2，若f ′(－1)＝－3，则函数f (x )的单调递增区间为( )A ．(－2，2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22C ．(0，2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22 解析：选B.因为f (x )＝ax 3＋3x ＋2，则f ′(x )＝3ax 2＋3.又f ′(－1)＝3a ＋3＝－3，解得a ＝－2，故f ′(x )＝－6x 2＋3.由f ′(x )＞0得－22＜x ＜22，则函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.故选B. 4．(多选)设函数f (x )＝e xln x ，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的定义域是(0，＋∞)B ．当x ∈(0，1)时，函数f (x )的图象位于x 轴下方C ．函数f (x )存在单调递增区间D ．函数f (x )有且仅有两个极值点解析：选BC.由题意知，函数f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，所以A 项错误；当x ∈(0，1)时，e x >0，ln x ＜0，所以f (x )＜0，所以函数f (x )在(0，1)上的图象都在x 轴的下方，所以B 项正确；因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x （ln x ）2＞0在定义域上有解，所以函数f (x )存在单调递增区间，所以C 项正确；令g (x )＝ln x －1x (x ＞0且x ≠1)，则g ′(x )＝1x ＋1x 2(x ＞0且x ≠1)，所以g ′(x )＞0，所以函数g (x )在定义域上单调递增，所以函数f ′(x )＝0只有一个根x 0，使得f ′(x 0)＝0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，所以函数f (x )只有一个极小值，所以D 项错误．5．(多选)(2020·山东临沂期末)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．函数f (x )为奇函数B ．函数f (x )在[0，π)上单调递增C ．函数f (x )恰有4个极大值点D ．函数f (x )有且仅有4个极值点解析：选BD.因为函数f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以函数f (x )是非奇非偶函数，故A 项错误；由f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，得f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，所以当x ∈[0，π)时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，故B 项正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x ，分别作出函数y ＝sin x 与y ＝－1x 在区间[－2π，2π)上的图象，如图，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 项错误，D 项正确．故选BD.6．(2020·西安五校联考)已知函数f (x )＝x 22＋(m ＋1)e x ＋2(m ∈R )有两个不同的极值点，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1e ，－1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e D ．(0，＋∞)解析：选A.函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x ＋(m ＋1)e x .因为函数f (x )有两个不同的极值点，所以f ′(x )＝x ＋(m ＋1)e x 有两个不同的零点，故关于x 的方程－m －1＝x e x 有两个不同的解．令g (x )＝x e x ，则g (x )＝x e x 的图象与y ＝－m －1的图象有两个不同的交点．g ′(x )＝1－x e x ，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以函数g (x )＝x e x 在区间(－∞，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．故g (x )在x ＝1处取得最大值．又当x →－∞时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→0，且g (1)＝1e ，所以0＜－m －1＜1e ，所以－1－1e ＜m ＜－1，故选A.7．(2020·广东省七校联考)已知曲线y ＝1x ＋ln x a在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：因为直线2x ＋3y ＝0的斜率为－23，所以曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线的斜率为32，y ′＝－x －2＋1xa ，因为当x ＝1时，y ′＝32，所以－1＋1a ＝32，可得a ＝25.答案：258．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g （1）≥0⇔－26≤a ≤26或⎩⎨⎧a ≥－4，a ≥－5⇔a ≥－2 6. 答案：[－26，＋∞)9．(2020·深圳市统一测试)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若xf ′(x )＋f (x )＝(1－x )e x ，且f (2)＝0，则f (x )＞0的解集为________．解析：设F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝(1－x )e x ，设F (x )＝(ax ＋b )e x ＋c ，则F ′(x )＝(ax ＋b ＋a )e x，所以⎩⎨⎧a ＝－1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，所以F (x )＝(2－x )e x ＋c ，又F (2)＝2f (2)＝0，所以c ＝0，F (x )＝(2－x )e x ，f (x )＝2－x x e x ，由f (x )＞0，得0＜x ＜2，所以不等式f (x )＞0的解集是(0，2)．答案：(0，2)10．(2020·高考天津卷改编)已知函数f (x )＝x 3＋6ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数g (x )＝f (x )－f ′(x )＋9x 的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝x 3＋6ln x ，故f ′(x )＝3x 2＋6x.可得f (1)＝1，f ′(1)＝9，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝9(x －1)，即y ＝9x －8.(2)依题意，g (x )＝x 3－3x 2＋6ln x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)．从而可得g ′(x )＝3x 2－6x ＋6x －3x 2，整理可得g ′(x )＝3（x －1）3（x ＋1）x 2.令g ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以函数＋∞)；g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值．11．已知函数f (x )＝ln x －x e x ＋ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝1，求f (x )的最大值．解：(1)由题意知，f ′(x )＝1x －(e x ＋x e x )＋a ＝1x －(x ＋1)e x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤(x ＋1)e x －1x 在[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)e x －1x ，则g ′(x )＝(x ＋2)e x ＋1x 2＞0，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2e－1，所以a ≤2e －1.故实数a 的取值范围是(－∞，2e －1]．(2)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x e x ＋x (x ＞0)，则f ′(x )＝1x －(x ＋1)e x ＋1＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －e x . 令m (x )＝1x －e x ，则m ′(x )＝－1x 2－e x ＜0，所以m (x )在(0，＋∞)上单调递减．又m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，m (1)＜0，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1满足m (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，m (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－x 0e x 0＋x 0，因为e x 0＝1x 0，所以x 0＝－ln x 0，x 0e x 0＝1，所以f (x 0)＝－x 0－1＋x 0＝－1，所以f (x )max ＝－1.12．(2020·西安五校联考)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x ，当a ≤0时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增．当a ＞0时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，则g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，则g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由题意知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增． 所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )单调递减，所以f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )单调递减，所以f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。