复变函数习题二解答

第二章部分习题解答

1．试证下列函数在z 平面上任何点都不解析。 （1） ()y x z f += （2）()z z f Re =。

证 （1） 1=∂∂x u

，0,0,1=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u ，知()z f 在z 平面上任何点都不解析。

（2） 1=∂∂x u ，0=∂∂=∂∂=∂∂y v x v y u ， 知()z f 在z 平面上任何点都不解析。

2．下列函数何处可导？何处解析？

（1）

()y x xy z f 2

2i +=

解 （1）由于

2y

x u =∂∂，xy y u 2=∂∂，xy x v 2=∂∂，2x y v =∂∂

在z 平面上处处连续，且当且仅当z =0时，u ,v 才满足C-R 条件，故

()y x xy z f 22i +=仅在点0=z 处可导，在z 平面处处不解析。

3．证明：如果函数()iv u z f +=在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么()z f 是常数。 (1) 在

内

；

(2)()z f 在D 内解析。 (3)()||z f 在D 内是一个常数。 解 （1）的证明 由于，故由引理得,根据

条件

即有

。于是

恒为常数, 即

在

内恒为常数。

（2） 若()iv u iv u z f -=+=在区域D 内解析，则

()y v

y v x u ∂∂-

=∂-∂=∂∂， ()x u x v y

u ∂∂=∂-∂-=∂∂ 又()iv u z f +=在区域D 内解析，则

y x ∂=

∂，x y

∂-=∂ 结合（1）、（2）两式，有

0=∂=∂∂=∂∂=∂∂vy v

x v y u x u ，

故v u ,在D 内均为常数，分别记之为 ()为实常数212211,,C C C u C u ==， 则 ()C iC C iv u z f =+=+=21为一复常数。

（3）若()||z f 在D 内为一常数，记为1C ，则2

122C v u =+，两边分别对于x 和y 求

偏导，得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂022022y v v y

u u x v v x u

u

由于()z f 在D 内解析，满足C-R 条件

x

v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,

代入上式又可写得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂00y u u x u v y u v x u u

解得0=∂∂=∂∂y v x u 。同理，可解得0=∂=∂∂vy v x v 故v u ,均为常数，分别记为

21,C v C u ==，则()C iC C iv u z f =+=+=21为一复常数。

4．如果

()v u z f i +=是一解析函数，试证：()z f i 也是解析函数。

证 （1）()(),i ,i v u z f v u z f -=+=()u v z f i i +=,

()i i i -=-=u v z f , ()()z f v u i i -=+ ,

可知()z f i 为一解析函数。

5．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是

θ∂=

∂r r ，θ∂-=∂r r

证 令θθsin ,cos r y r x ==，利用复合函数求导法则和v u ,满足C-R 条件，得

θθsin cos y u

x u r u ∂∂+∂∂=∂∂

()r u r r x u r y u r y v r x v v ∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+-∂∂=∂∂θθθθθcos sin cos sin

即

θ∂∂=∂∂v

r r u 1。又 ()θθθcos sin r y u r x u

u ∂∂+-∂∂=

∂∂

θθθθsin cos sin cos x u y u y v x v r v ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂

θθθ∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=u

r r x u r y u r 1sin cos 1

总之，有

θ∂∂=

∂∂v

r r u 1，θ∂∂-=∂∂u r r

v 1。 6．设iy x z +=，试求

（1）

||2i z

e - （2）||2z

e （3）

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z e 1Re 解 （1）()x y x xy x z e e e e 221i 22i 2i 2i ||||||--+----===

（2）()2222222i i y

x xy y x y x z e e e e -+-+===

（3） Re{e z

1}

⎪⎭⎪⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+-=+-+222222i 1Re Re }Re{y x y y x x

y x iy x iy

x e e e e

⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+2222sin i cos Re 22y x y y x y e y x x

2

2cos

2

2

y x y e y x

x

+=+

7.下列关系是否正确？

（1）z

z e e =； （2）z z cos cos =； （3）z z sin sin =

解（1）z y x x x z e e y y e y y e e ==-=+=-i )sin i (cos )sin i (cos

（2）()

()

z e e e e e e z z z z z

z z cos 21212cos i i i i i i =+=+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=---。

（3）()

()

)

(i 21i 21i 21sin i i i i i i z z z

z z z e e e e e e z --=-=-=---

=()

z e e z z

sin i 21i i =--。

8．试证：对任意的复数z 及整数m 有

()mz m

z e e =

证 对任意的复数z ，当m 为自然数时，

()

mz z z z m

z e e e e e =⋅=

当0=m 时，

()

z z e e 00

1==。

当()为自然数n n m -=时，

()()

()

mz

nz nz

n

z n

z m

z e e e e e e ===

=

=--11

9．找出下列方程的全部解。

（1）01=+z

e ； （2）0cos sin =+z z 解（1）原方程等价于1-=z

e ，于是它的解为：

()()[]()k k z 21i 21arg i |1|ln 1Ln +=+-+-=-=ππ ,2,1,0±±=k

（2）由于

m 个