delta函数
delta函数与采样信号
Xˆ a
e jnd
10/34
Xˆ a x ne jn n
xn 1
2
Xˆ a
e jnd
1
2
Xˆ a
e jnd 1 2
x m e jme jnd
m
1
xm
e jnmd
2 m
当m=n时：
e jnmd
e j0d
1d 2
当m≠n时，令N=n-m：
n
n
n
A/D采样信号： xˆa t x nT n
xt
xˆ t
xˆa t
T 0 T
Xˆ
1 T
n
X
ns
xˆa
t
dt
0
T 0 T
Xˆ a ?
9/34
按照傅里叶变换的求法：
FT xˆa
t
xˆa
t
e jt dt
nT
x
nT
e jnT dt 0
nT
n
那么我们还能用A/D采样的信号来恢复原来的模拟信号吗？
1 T
sin
ns 2
ns
2
2
s 2
一定时，Cn
的曲线形状如下：
s
m 0 m
s
18/34
t nT
n
1 X
T n
ns
H
xt
A/ D
x ne jn
n
H
X
t nT
n
Cn X ns
n
H
19/34
频谱混叠：
X
m
s
2
s m
0
m s
s
m 0 m
德尔塔计算公式
德尔塔计算公式
1. 二次函数德尔塔有三种情况，分别是，德尔塔大于零，函数与x轴有两个交点；德尔塔等于零，函数与x轴有一个交点；德尔塔小于零，函数与x轴无交点。
2. 二次函数和一元二次方程进行对比。
一元二次方程中德尔塔也有三种情况，分别是德尔塔大于零，方程有两不等实数根。
德尔塔等于零，方程有两相等实数根。
德尔塔小于零，方程无实根。
首先注意到delta函数的定义为
∫−∞+∞δ(x−a)f(x)dx=f(a).
现在把积分重新写为
∫01dz∫01dy∫01dxδ(x+y+z−1)z(1−z)=
∫−∞+∞dz∫−∞+∞dy∫−∞+∞dxδ(x+y+z−1)z(1−z)1[0,1](x)1[0,1](y)1[0,1](z)=
∫−∞+∞dz∫−∞+∞dy∫−∞+∞dxδ(x−(1−y−z))1[0,1](x) z(1−z)1[0,1](y)1[0,1](z).
对于内层关于x的积分,把y和z看作不变的参数,类似于之前的a,运用delta 函数的定义就有
∫−∞+∞dxδ(x−(1−y−z))1[0,1](x)=1[0,1](1−y−z).
把这个结果带入回原来的积分,最终得到
∫01dz∫01dy∫01dxδ(x+y+z−1)z(1−z)=
∫−∞+∞dz∫−∞+∞dyz(1−z)1[0,1](y)1[0,1](z)1[0,1](1−y−z)=
∬{0≤y≤1,0≤z≤1,0≤y+z≤1}dydzz(1−z)= ∫01dz∫01−zdyz(1−z).。
delat函数
delat函数在数学和计算机科学中，"delta" 函数通常指的是克罗内克（Kronecker）delta 函数或者狄拉克（Dirac）delta 函数。
1. 克罗内克（Kronecker）delta 函数：克罗内克delta 函数通常用符号δ(i, j) 表示，其中
i 和j 是整数。
其定义如下：
-当i = j 时，δ(i, j) = 1
-当i ≠j 时，δ(i, j) = 0
在数学和计算机科学中，克罗内克delta 函数通常用于表示矩阵和张量中的特定元素或者进行符号操作。
2. 狄拉克（Dirac）delta 函数：狄拉克delta 函数通常用符号δ(x) 或者δ(t) 表示，其中x 或t 是自变量。
其定义如下：
-当x 或t = 0 时，δ(x) 或者δ(t) = +∞
-当x 或t ≠0 时，δ(x) 或者δ(t) = 0
狄拉克delta 函数在物理学和信号处理中经常用于描述脉冲信号、冲激响应等。
如果你能提供更多上下文或者具体的问题，我可以给出更精确的解释。
delta函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
Delta函数及其性质(精)
（静电场方程）
5
弦的横振动方程
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程
4
静电势的Laplace方程或Poisson方程
由静电场的性质：E , E
E 2 或者:
2
稳定问题
在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：
0
在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：
xl
0.
17
第二类边界条件
(Neumann条件)
第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值，即
u x, y, z, t |rB f r , t n
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中 , 若在一端流入的热流强度为度为
t ,则 u x x, t |x l t
回 顾
1、Delta函数及其性质
x x0 dx 1, x x0 f x dx f x0
2、Laplace变换及其性质
pt L f t F p f t e dt , 0 pt f t L F p f t e dt i 1
解题思路:对偏微分方程(变量 t)进行 Laplace 变换并代 入初始条件，则偏微分方程变为关于 u 的 Laplace 变换的常微 分方程；求解常微分方程得出其通解，再对边界条件进行 Laplace 变换并代入通解中，确定通解中的待定系数；最后对 通解进行 Laplace 反演即得到原问题的解。 变换之后的方程为 p2U x, p pu x,0 u x,0 a2U ；
关于delta函数
可见δ(x)是偶函数。
1 [证明3]因为δ(x)是偶函数，故 ax a x x a
而
(ax) f ( x)dx a x f ( x)dx
1 a 1 a
x f ( x / a )d ) x x f ( x) )dx
16
3 ik x c k d xe f x
2009/12/7
高等电动力学 - 对称性和守恒定律
1 证明： 明 4π ( x ) r
2
2π
3 0
(3)
3 ik x 2 2 ik x 2 2 ik x x d k e k dk d e dk d k e 0 0 2 2 ik x
2009/12/7
高等电动力学 - 对称性和守恒定律
12
Fourier定理 - δ–函数的数学基础 数 数
sin Nx x lim N πx
亦即，对任意函数f(x)
sin Nx f x f 0 lim dx N πx
证明：
sin Nx sin x lim dx f x lim dx f x / N N N πx πx sin x sin x dx lim f x / N dx f 0 f 0 πx N πx
i
(x x ) g ( xi ) ( x xi ) i g ( xi ) g ( xi ) f xi f xi f xi i i
delta函数和高斯函数的卷积
delta函数和高斯函数的卷积
Delta函数和高斯函数的卷积是指在数学中将Delta函数和高斯函数进行卷积运算。
Delta函数是一个在原点处为无穷大，其他位置为零的函数，通常用符号δ(x)表示。
高斯函数则是一种常见的连续概率分布函数，其形状呈钟形曲线，可以用公式G(x) = exp(-
x^2/2σ^2)/(√(2π)σ)表示，其中σ表示高斯函数的标准差。
卷积运算是将两个函数进行某种运算得到一个新的函数的过程。
对于Delta函数和高斯函数的卷积，可以表示为：C(x) =
∫δ(t)·G(x-t)dt。
其中，C(x)表示卷积的结果函数。
通过计算，可以得到Delta函数和高斯函数的卷积结果为：C(x) = G(x)。
也就是说，当Delta函数与高斯函数进行卷积时，结果为原始的高斯函数，且形状保持不变。
这个结果可以解释为，Delta函数在原点处的无穷大部分起到了单位冲击的作用，使得高斯函数在原点处取最大值。
而其他位置的Delta函数都为零，所以对高斯函数没有其他影响，只是将其平移了原点位置。
综上所述，Delta函数和高斯函数的卷积结果是原始的高斯函数。
这个卷积运算在信号处理和图像处理等领域中具有重要应用，可以用于平滑和滤波等操作。
辅助函数 delta函数
辅助函数delta函数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：δ函数（delta function）是一种特殊的数学函数，其定义是在自变量为0处取无穷大值，而其他地方取值为0。
这种函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，在处理信号处理、微分方程、概率论等方面起到重要的作用。
δ函数最早由德国物理学家泡利（Pauli）在20世纪20年代引入，并由英国数学家施瓦茨（Schwartz）在20世纪50年代进行完善和推广。
δ函数的定义形式如下：\delta(x) = \left\{\begin{aligned}& +\infty, && x=0 \\& 0, && x \neq 0\end{aligned}\right.上面的定义只是一种形式上的定义，并不是数学上严格的定义。
在数学上，可以通过一系列趋近于δ函数的函数序列来严格定义δ函数。
可以取一个由函数序列{f_n(x)}构成的函数族，使得当n \rightarrow\infty时，f_n(x)逐渐趋近于δ(x)。
δ函数虽然在自变量为0时取值无穷大，但其积分却是有限的，即\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx = 1。
δ函数是一种质量集中在x=0处的分布函数，可以表示某种单位质量或概率质量。
在物理学和工程学中，δ函数被用来描述冲击、脉冲等瞬时现象，比如在电路中描述瞬间输入的电流或电压信号。
在信号处理中，δ函数也被广泛应用。
卷积运算是一种信号处理中常见的操作，而δ函数在卷积运算中起着重要的作用。
在微分方程求解中，δ函数常常作为绿函数（Green's function）的一部分，用来表示特定的微分方程解。
在泛函分析中，δ函数是一种广义函数（generalized function）的代表，用来描述一些奇异函数、分布函数等。
除了以上的应用之外，δ函数还在概率论和统计学中有着重要的作用。
delta函数与采样信号
(
)
−T
0 T
−ωs
0 ωs
e jω0t + e − jω0t cos (ω0t ) = 2
0处的
e jω0t + e − jω0t 1 FT ( cos (ω0t ) ) = FT = FT e jω0t + FT e − jω0t 2 2 1 = 2πδ (ω − ω0 ) + 2πδ (ω + ω0 ) × 2 = πδ (ω − ω0 ) + πδ (ω + ω0 )
Delta函数与采样信号 Delta函数与采样信号
Delta函数（单位脉冲函数）的定义： Delta函数（单位脉冲函数）的定义： 函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且
∫
+∞
−∞
δ ( t )dt = 1
非常规的函数，“无限变大”、“积分值不为零”，但是又 积分值不为零” 非常规的函数， 无限变大” 是切实存在的，例如： 是切实存在的，例如：
FT δ ( t ) = ∫ δ ( t ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
=1
FT −1 (1) = δ ( t )
FT δ ( t − t0 ) = ∫ δ ( t − t0 ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
第五章 第三节delta函数
(5.3.3)
x dx
b a
a, b 0或a, b 0 a 0 b
(5.3.4)
函数具有量纲 x 1
0
x x0
x0
(一) 函数
x
b
0, ,
x 0 x 0
0, 1,
某种通常函 数的极限
其中
,
lim
0
2 2
0......... 0
......... 0
且
lim
0
2
d lim 2
d 2 0 1 1
1 lim tg 2 2 0
瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间
积分（冲量）是有限的。 为了描述这一类抽象的概念，而引入delta函数
若质量m均匀分布在长为l 的线段[-l/2, l/2]上，则其质量线密度
l x 可表示为
l x
即
0 ml
x l 2 , x l 2
我们对第一个式子做个说明：
1 x lim rect l 0 l l
但是
0, ,
x 0 x 0
1/l
-l/2 0 l/2
x
1 x x x lim rect dx lim rect d l 0 l l 0 l l l
x 0 x 0
由此可以看出质点线密度分布函数的直观图像，它在x=0处
为
，在x≠0处为零。它的积分为m。
δ函数的性质以及相关计算公式
δ函数就是描述物理上一些“点分布”的现象，比如点电荷的体电荷密度，或是面电荷的体电荷分布，还有线电流的体电流密度，反正就是那种在某一点发散而总体有限的物理量用δ函数描述很方便的。
delta(x)在数学上是一个无限狭窄的峰，对全空间积分（即求其曲线所包含的面积）为1。
在物理上，通常用于代表脉冲函数，或者呈点分布的物理量，例如质点、点电荷等；另外，delta函数常用于表示对物理量在某点的抽样，这一点不仅在数学物理方法这样的理论学科中常用，在实际的工程通信中也很常用，这时delta函数被用作采样函数。
定义
狄拉克δ函数的定义为：
性质
狄拉克δ函数有以下性质：
∙δ( -x) = δ(x)
∙
∙δ(ax) = | a | - 1δ(x)
∙
∙f(x) δ(x) = f(0), f(x)δ(x -a) = f(a)δ(x - a)
∙
∙δ(x2 -a2) = (2 | a | ) -1[δ(x + a) + δ(x - a)]
∙
∙
∙
表达式
狄拉克δ函数的表达式：
∙
∙
∙。
Delta函数及其性质(精)
u x, y, z, t |r B f r , t
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中,若在一端的温度为 T0e ,则
t
u x, t |xl T0e
x0
t
又如在两端固定的弦的振动问题中,相应的边界条件为
u x, t
0, u x, t
第七章 数学物理定解问题
3
物理学中常见的数学物理方程
静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 波的传播问题中的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动规律的Schrödinger和Dirac方程 弹性力学中的de Saint-Venant方程组 二阶线性偏微分方程（组）
回 顾
1、Delta函数及其性质
x x0 dx 1, x x0 f x dx f x0
2、Laplace变换及其性质
pt L f t F p f t e dt , 0 pt f t L F p f t e dt i 1
（P159）
21
4
静电势的Laplace方程或Poisson方程
由静电场的性质：E , E
E 2 或者:
2
稳定问题
在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：
0
在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：
可得
utt Yu xx 0
北京大学数学物理方法(上)课件_10 Delta函数
lim δn (x) =
∞ 0
x=0 x=0
(10)
与 Dirac 的 δ 函数原始定义相符. 而最后一例不符合 Dirac 的原定义! 重要的是 δ 函数的积分性质! 下列 δ 函数的性质都应从积分意义下理解 Example 20.5 1. xδ (x) = 0 2. δ (x) = δ (−x) 3. δ (−x) = −δ (x) 4. δ (ax) = 5. g (x)δ (x) = g (0)δ (x) Proof 1.
令 r = a tan θ, 可得上面积分与 a 无关, 且 1 ∇2 dxdy dz = −12π r = −12π
0 π/2 0 π/2
tan2 θ dθ (1 + tan2 θ)3/2 sin2 θ cos θdθ
= −12π ·
1 sin3 θ 3
π/2
= −4π
0
Example 20.7
n δn (x) = √ exp(−n2 x2 ) π
n=7
n=5
n=3 O x
Example 20.3 δn (x) = n 1 π 1 + n2 x2
n = 12
n=8
n=4 O x
2
Example 20.4 δn (x) = sin nx πx
n = 12
n=8 n=4
O
x
Note
前三例函数有
0−
δ (λ)dλ = −2π.
因 F (λ) 在 λ = 0 点连续, 故当
→ +0 时, 上式左端第二项和第三项的积分均趋于0,
0+ →+0
lim F (λ)
0−
= −2π.
德尔塔数学公式
德尔塔数学公式
德尔塔（Delta）是希腊字母Δ的名称，在数学中常用来表示各种含义的量或符号。
下面是一些常见的数学公式和概念中使用到的德尔塔符号：
德尔塔函数（Delta Function）：德尔塔函数是一种特殊的函数，通常用符号δ(x)表示。
它在数学分析和物理学中有广泛的应用，特别是在描述脉冲信号、积分变换和微分方程中。
德尔塔记号（Delta Notation）：德尔塔记号是一种表示差分或变化的符号。
通常用Δ表示，例如Δx表示x的变化量。
在微积分中，Δy表示y的增量或微小变化。
德尔塔序列（Delta Sequence）：德尔塔序列是一种特殊的数列，通常用符号{δn}表示。
它在离散系统、信号处理和滤波器设计中常被使用。
德尔塔符号（Delta Symbol）：在向量和矩阵表示中，德尔塔符号可以用来表示单位向量或单位矩阵。
例如，δij表示单位矩阵中第i行第j列的元素，当i等于j时为1，否则为0。
需要注意的是，德尔塔符号的具体含义和用法可以根据具体的数学领域和上下文而有所不同。
因此，在具体应用中，需要根据具体情况来理解和使用德尔塔符号。
delta函数的卷积性质
delta函数的卷积性质
，可以考虑雅可比积分，卷积变换等内容
卷积（convolution）是数学界应用非常广泛的一种概念，在信号处理，图像处理，物理学等学科有着重要的作用。
可以将积分表达式转化为相关于求解积分的操作，使得计算复杂度更小，效率更高。
在卷积中delta函数也非常重要，它也被称为离散函数，通常用来模拟非常窄的功率谱。
值得注意的是，虽然它只有一个维度，但可以产生很强的卷积性质。
首先，由于delta函数具有离散性，它可以与其他函数相乘，用来模拟功率谱，也可以用来进行卷积运算，用来模拟单窗口的功率谱的卷积特性。
例如，假设两个同采样宽度的函数$f_1$和$f_2$，则它们之间的卷积可以表示为：
$$(f_1 * f_2)(x) = \int_{-\infty}^\infty f_1(t)f_2(x-t)dt $$
若$f_2(x)$为delta函数，则有$f_2(x-t)=1$，即：
$$(f_1 * f_2)(x)=f_1(x)$$
从而可以看出，delta函数在卷积运算中具有一种“保持不变”的作用，它使得原来特定窗口的函数在卷积操作中不再受到改变，从而节省了许多计算时间和空间，使得卷积运算更加有效。
此外，delta函数的卷积性质还可以用来把域内的不同函数之间的卷积运
算结果转换为时域的一维离散序列。
这一特性在信号处理，图像处理，经验模式识别等领域均有广泛应用。
综上所述，delta函数具有非常强的卷积性质，它可以用来表达信号/图像多种有趣的特征，极大的提高了信号/图像的处理效率。
δ函数
§5.3. δ δ
∞
58/67 δ (−∞, ∞) δ( t ) f ( t )d t = f (0) f ( t)
−∞ ∞
δ( t − t 0) f ( t )d t = f ( t 0)
−∞
δ( t )
δ
5.3.3
t=a [ a, b] f ( t) f (τ)dτ dτ t=b
δ
δ f ( t) τ τ + dτ
2π N ω0 (ω
− ω0) →∞
ω − ω0
2π N ω0
A sin − π
2π N ω0 (ω
+ ω0)
ω + ω0
2π N 1 sin ω0 (ω − ω0) 1 sin B(ω) = A lim − A lim N→∞ π N→∞ π ω − ω0 = Aδ(ω − ω0) − Aδ(ω + ω0).
− c)
1 r δ( r
Fourier − c) Fourier
r
(5.2-26)
∞ 1 1 1 F δ( r − c) = δ( r − c)e−i k· rd xd yd z. 3 / 2 r (2π) −∞ r r ∞ π 2π 1 1 1 −i kr cos θ 2 F δ( r − c) = δ ( r − c ) e r sin θd rdθdϕ r (2π)3/2 r=0 θ=0 ϕ=0 r ∞ π 1 = δ( r − c)e−i kr cos θ rd(− cos θ)d r 2 (2π) r=0 θ=0 ∞ 1 1 i kr δ ( r − c ) e − e−i kr d r = 2 (2π) r=0 ik
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德尔塔函数
德尔塔函数
德尔塔函数（单位脉冲函数）：在除了零以外的点都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1.
严格地说，其并不是一个函数。
因为满足上述条件的函数并不存在。
但是却可以用分布的概念来解释。
即德尔塔分布。
在实际应用中，函数或函数分布总是伴随着积分一起出现。
德尔塔分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都和很多数学技巧有关。
德尔塔函数的创始人是狄拉克。
这个符号最直观的意义就是作用在数学中所代表的是经常变化的量，在数学公式上会出现“△”来代替德尔塔，这也是比较简便的一种书写方式。
因此在数学计算中就会出现这种符号，当然在高等数学中其使用的时候更为复杂。
实际上这种符号处于不同作用中在代表的意义上也不同，可以表示为变化量、时间之差、力的变化量等，当然在实际使用的时候还需要与其他成分搭配，所表现出来的意义更清晰。
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补充材料：δ函数 见曾谨言
一、问题的提出
在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。
“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。
”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。
点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。
瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。
……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。
下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答：
二、δ函数的定义
为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。
在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下：
⎩⎨⎧=-∞≠-=-)
0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ⎩
⎨⎧<<=-⎰)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。
但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。
这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=⎰⎰∞
∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。
数学性质上δ函数是很奇异的。
没有一个平常的函数具有此奇异性。
严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。
在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理
例 )(lim 1lim 2
2/0x e e x δπαπσ
αασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 24/x e e x i i δπ
ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4)
)(lim 2
x x δπαα=∞→ (6) )(21lim /0x e x δε
εε==-→ (7) )(lim 220x x πδε
ε
ε=+=→ (8)
δ函数还可用阶梯函数的微商来表示。
设
⎩
⎨⎧<>=0 ,00 ,1)(x x x θ (9) 则
)()(x x δθ=' (10)
δ函数还常如下定义，设)(x f 是任意连续函数，则 )0()()(f dx x x f =⎰∞
∞-δ (11)
三、 δ函数的一些简单性质 (a) )(1)(x a
ax δδ= (12) (b) )()(x x δδ=- (13)
(c) )()()(a f dx a x x f =-⎰∞
∞
-δ (14) (d) )()()(b a dx b x a x -=--⎰∞∞
-δδδ (15) (f) 0)(=x x δ (16)
设方程0)(=x ϕ只有单根，分别记为),3,2,1( =i x i ，即0)(=i x ϕ，但
0)(≠'i x ϕ，则 ∑∑'-='-=i
i i i i x x x x x x x )()()()()]([ϕδϕδϕδ (17) 特例： )b a ( )],b x ()a x ([b
a 1)]
b x )(a x [(≠-δ+-δ-=--δ (18) )]a x ()a x ([a 21)a x (22+δ+-δ=-δ
)]a x ()a x ([x
21+δ+-δ= (19) )()()(222a x a x a x x ++-=-δδδ (20) )()(2x x x δδ= (21)
涉及δ函数的“微商”的积分。
设)(x f 微商连续（或分段连续）
)()()(x f x d x f x x x '-=''⋅-''
∂⎰∞-δ (22) 类似，如)(x f dx
d n n
连续，则 )()1()()]([x f dx d x d x f x x x n
n n n -=''-''∂∂⎰∞+∞-δ (23) δ函数可以用任何一组正交归一完备的函数组)(x n φ来构成 ∑'=-'n
n n x x x x )()()(*φφδ (24)
例 ∑+∞-∞
='--='-m im e )(21)(ϕϕπϕϕδ (25) ∑∞='+='-0
)()(212)( ξξξξδp p (26) 或 ∑∞='+='-0
)(cos )(cos 212)cos (cos θθθθδp p 令 ,0='θ利用1)1(= p ，得
∑∞=+=-0)(cos )12()cos 1(2 θθδp
(27) ∑∞='+-'⋅π=-'δ0n n n )x x (21
n )x (H )x (H e !n 21)x x (22 (28) )(x H n 是Hermite 多项式。
A3 Hermite 多项式
Hermite 方程为
0)1(2=-+-''u zu u λ
(1) 除无穷远点外，方程无奇点。
采用级数解法，在∞<z 范围中，令 ∑∞==0)(k k k z c z u
(2)
代入式(1)，比较同幂项的系数，可得出k c 之间的递推关系， ,2,1,0 ,)
1)(2()1(22=++--=+k c k k k c k k λ (3) 因此，所有偶次项的系数都可用0c 来表示，所有奇次项系数都可用1c 来表示，把 0c 与1c 作为两个任意常数，从而求得方程(1)的两个线性无关的解
+++=+++=553312442201)()(z c z c c z u z c z c c z u (4) 当z 取有限值时，它们都收敛。
下面讨论解在∞<z 时的渐近行为。
由(3)式可知， 当∞→k ，k k c c /2+～k /2。
对于m k 2=（偶），m m c c /22+～m /2。
它与2z e 的 Taylor 展开 ∑∞==0
2!2m n
z m z e 的相邻项的系数之比相同。
因此
当 ∞→z 时，)(1z u ~2x e
类似可以证明
当 ∞→z 时，)(2z u ~2x ze
这样的无穷级数解代入谐振子的波函数（见3.5。