delta函数

补充材料：δ函数 见曾谨言

一、问题的提出

在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答：

二、δ函数的定义

为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下：

⎩⎨⎧=-∞≠-=-)

0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ⎩

⎨⎧<<=-⎰)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=⎰⎰∞

∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。

数学性质上δ函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理

例 )(lim 1lim 2

2/0x e e x δπαπσ

αασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 24/x e e x i i δπ

ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4)

)(lim 2

x x δπαα=∞→ (6) )(21lim /0x e x δε

εε==-→ (7) )(lim 220x x πδε

ε

ε=+=→ (8)

δ函数还可用阶梯函数的微商来表示。设

⎩

⎨⎧<>=0 ,00 ,1)(x x x θ (9) 则

)()(x x δθ=' (10)

δ函数还常如下定义，设)(x f 是任意连续函数，则 )0()()(f dx x x f =⎰∞

∞-δ (11)

三、 δ函数的一些简单性质 (a) )(1)(x a

ax δδ= (12) (b) )()(x x δδ=- (13)

(c) )()()(a f dx a x x f =-⎰∞

∞

-δ (14) (d) )()()(b a dx b x a x -=--⎰∞∞

-δδδ (15) (f) 0)(=x x δ (16)

设方程0)(=x ϕ只有单根，分别记为),3,2,1( =i x i ，即0)(=i x ϕ，但

0)(≠'i x ϕ，则 ∑∑'-='-=i

i i i i x x x x x x x )()()()()]([ϕδϕδϕδ (17) 特例： )b a ( )],b x ()a x ([b

a 1)]

b x )(a x [(≠-δ+-δ-=--δ (18) )]a x ()a x ([a 21)a x (22+δ+-δ=-δ

)]a x ()a x ([x

21+δ+-δ= (19) )()()(222a x a x a x x ++-=-δδδ (20) )()(2x x x δδ= (21)

涉及δ函数的“微商”的积分。设)(x f 微商连续（或分段连续）

)()()(x f x d x f x x x '-=''⋅-''

∂⎰∞-δ (22) 类似，如)(x f dx

d n n

连续，则 )()1()()]([x f dx d x d x f x x x n

n n n -=''-''∂∂⎰∞+∞-δ (23) δ函数可以用任何一组正交归一完备的函数组)(x n φ来构成 ∑'=-'n

n n x x x x )()()(*φφδ (24)

例 ∑+∞-∞

='--='-m im e )(21)(ϕϕπϕϕδ (25) ∑∞='+='-0

)()(212)( ξξξξδp p (26) 或 ∑∞='+='-0

)(cos )(cos 212)cos (cos θθθθδp p 令 ,0='θ利用1)1(= p ，得

∑∞=+=-0)(cos )12()cos 1(2 θθδp

(27) ∑∞='+-'⋅π=-'δ0n n n )x x (21

n )x (H )x (H e !n 21)x x (22 (28) )(x H n 是Hermite 多项式。

A3 Hermite 多项式

Hermite 方程为

0)1(2=-+-''u zu u λ

(1) 除无穷远点外，方程无奇点。采用级数解法，在∞

(2)

代入式(1)，比较同幂项的系数，可得出k c 之间的递推关系， ,2,1,0 ,)

1)(2()1(22=++--=+k c k k k c k k λ (3) 因此，所有偶次项的系数都可用0c 来表示，所有奇次项系数都可用1c 来表示，把 0c 与1c 作为两个任意常数，从而求得方程(1)的两个线性无关的解