大学高等数学经典课件2-1

t
t
科
技 学 院
当△t→0时,对两边取极限,如果极限存在,我们称为时刻 t0的
数 理
瞬时速度,在高等数学中把瞬时速度称为路程对时间的导数。
系
高 等 2 切线问题
数 学
有很多实际问题与曲线的切线有关, 例如有关运动的方
电 向问题, 有关光线的入射角和反射角问题等. 我们知道圆的
子 教
切线可定义为“与圆只有一个交点的直线”，对于更复杂的
电
M0
M 任取一点M(x,y), 连接这两点的直线称
子 教
为曲线的割线, 此割线的斜率为
案
x0
x
kMM0
y y0 x x0
f (x) f (x0 ) x x0
令M点沿曲线C趋向M0点,这时x→x0,如果极限存在,
武 汉 科
k lim f (x) f (x0 )
技 学
x x0
x x0
院
数 理
学 电
即有 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
子 教
可见函数在x0处的导数值f’(x0)就是导函数f’(x)在点x=x0的
案 函数值
f (x0 ) f (x) |xx0
有了导数的定义后,可以说变速运动的瞬时速度v 是路
武 程函数 s=f(t)对于时间的导数,即v=ds/dt, 导数的实质是
案
R R(q0 q) R(q0 )
于是总收入的平均变化率为 R R(q0 q) R(q0 )
q
q
若极限 MR lim R lim R(q0 q) R(q0 )
武
q q0
q0
q
汉
科 技
存在,则称此极限值为销售量是q0个单位时总收入的变化率.
学
院 数
类似地, 若某产品的总成本C是产量q的函数C(q), 则在产
汉 科
平均变化率的极限, 它反映当自变量变化时,函数变化的
技
学 院
快慢程度，导数大，函数的变化 快；导数小，函数的
数
理 系
变化慢。
高 等
例1 试按定义取函数 y x 的导数。
数 学
解: 一般由定义求导数按下面三个步骤进行;
电 子
(1)求出函数y的增量△y;
教 案
(2)写出增量比△y/ △x;
(3)使△x→0,求增量比的极限.
武 解：(1) y f (x x) f (x) x x x
汉
科
技 学
(2) y x x x
院 数
x
x
理
系
高
等 (3) lim y lim x x x lim x x x
数
x0 x x0
x
x0 x( x x x )
学 电 子
lim
1
1
x0 x x x 2 x
教 案
数
理 系
点x0的右导数与左导数,分别为
高
等 数 学
f ( x0
)
lim
x0
y x
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
电
子
显然, f '(x0) 存在的充分必要条件是 f ' (x0) 都存在, 且
教
案 f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) 如果函数y=f(x)在某区间I上的每一点
我们把过点M0而以k为斜率的直线称为曲线C在点M0的切线.
系
高 3. 现在我们来研究收益对销售量的变化率---边际收益 等
数
若某商品的总收入(收益)R是销售量q的函数, 即 R=R(q)
学 电 (q>0) ，求当销售量为q0个单位时总收益的变化率？
子 教
若销售量q由q0改变到q0+△q,则总收益R取得相应的改变量
案 曲线, 我们把曲线的切线定义为“与曲线只有一个交点的直
线”就不合适. 过p点的直线L是曲线C上的切线, 但不符合
上面的 定义. 下面我们给出切线的定义.
武
汉 科
p
L
技
学
L
院
数 理
c
系
高 等
设曲线C 是函数y=f(x)的图形, M0(x0,y0)
数 学
C
是曲线C上的一点 y0=f(x0)，在曲线C上
都可导(在I的端点上为单侧可导),则称f(x)在区间I上可导。
武 此时，在I上每一个确定的x值，都有函数f(x)的一个确定的
汉
科
技 导数值与它相应, 这样构成的新函数叫做原函数f(x)在区间
学
院
数 理
I上的导函数，有时称为f在 I 上的导数,记作
系
高 等 数
y, y(x), dy , df (x) dx dx
一、引例
学 1.速度的概念
电 子
某一质点沿直线作变速运动,质点所经过的路程S和时间
教 案
t的函数关系为S=f(t), 现在我们研究质点在某一时刻t0的瞬
时速度.取t0到t0+△t这一段时间间隔,在这段时间内，质点
走的路程为 △s=f(t0+ △t)- f(t0) 这一段时间的平均速
度为
武 汉
s f (t0 t) f (t0 )
武
汉 科
△y/ △x, 当△x→0时的限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处
技
学 院
可导, 或称为f(x)在点x0存在导数, 并称此极限值为函数
数
理 系
y=f(x)在点x0处的导数, 记为 f ' ( x0 ) 即
高
等 数
f (x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x) ( x ) 1 2x
f (1 ) ( 4
x ) |x1 4
1 2x
|x1 1 4
武 汉
在理解导数的概念和用导数的定义来求导数时，我们通
科
技 学
过上述例子应该明确下面几点.
理
系 量为q0时的边际成本为
高 等
MC lim C lim C(q0 q) C(q0 )
数
q q0
q0
q
学
由此，我们可以归纳出导数的定义
电
子 二、 导数的定义
教
案 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义, 点
x0+△x也在该邻域内，当自变量在 x0 处取得增量△x时,
相应地函数获得增量△y=f(x0+△x)-f(x0), 如果增量之比
高
等
数
学
电
子 教
Baidu Nhomakorabea(导数与微分)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数 学
第二章 导 数 与 微 分
电
子
教
我们已经研究了函数即变量之间相互依存关系,
案
现在我们进一步研究当自变量变化时，函数变化的
快慢程度，即变化率问题.这就产生导数和微分的
武
汉 科
概念。
技
学
院
数
理
系
高
第一节 导 数 概 念
等 数
学
电 子
y
| x x0
,
y(x0
),
dy dx
| x x0
,
df (x) dx
| x x0
教
案 如果上述极限不存在, 就说函数在点x0处不可导, 或说没
有导 数，
如果上述极限为无穷大, 虽然也是极限不存在，但有时说
武
汉 科
函数 f(x) 在点x0的导数为无穷大, 即有广义导数。
技
学 院
相应地, 如果将上述极限过程为△x→0+, 就是单侧导数,