分式线性变换--很好很强大

§2 分式线性变换

一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用

三、教学手段与方法： 讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11

§2 分式线性变换

1、

分式线性变换及其分解

分式线性变换的概念 称变换

d

cz b

az w ++=

(7.3) 为分式线性变换或Möbius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记为 。 规定

时，

， 时， 。

线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也

是线性变换。 线性变换

可分解为以下二种类型变换的复合

(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)

(Ⅱ)反演变换 (当时,)

(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中

具有性质:

，并且对称点

都在过单位圆心

的同一射线

上。把平面上的单位圆周映成

平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。规定圆心 与

为关于单位圆周的对称点。

线性变换的复合仍是线性变换。 几个初等函数的映射性质

1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．

(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．

2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．

(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.z

w 1

=

的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．

(3)将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线）

0)(22=++++D Cy Bx y x A

映射z

w 1=

当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． 分式线性变换的映射性质

（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．

1. 线性变换的保形性

定义 两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的

象曲线在原点处的交角。 定理 7.7 线性变换 在扩充复平面上是保形的。

证 由于

在扩充复平面是单叶的，故只需证其保角。对于(Ⅱ)型变

换，当，

时，，由定理7.4知解析函数在导

数不为处保角,当

,

时，由定义知也是保角的。对于(Ⅰ)型变

换，，,当时是保角的；当时,令,

，则 ，即 ，于是 ，

，

故在处也是保角的。综上所述，即得。

3. 线性变换的保交比性

定义7.4扩充复平面上相异的四个点构成的量称为它们的交比，记为；当四点中有一个为时，包含此点的项用代替，即若，则,也就是先将当作有限的，再令取极限而得。

定理7.8线性变换下，四点的交比不变。

证记，则

，故

若中有一个为，则类似可证。

定理7.9设线性变换得扩充平面上的三个相异点指定变为，则此线性变换被唯一确定，并且可写为

(即三对对应点唯一确定一个线性变换)。

证设,满足。由知，四个常数中至少一个不为,不妨设,则，将代

入，由方程组的理论, 是唯一确定的。

例 试求将点1,0,∞分别映射为点∞,1,0的分式线性变换．

解 令1,0,321==∞=z z z ，∞===321,1,0w w w ，则由（7.11）式得

z

w -=

11

即为所求． 4.线性变换的保圆周性

定理7.10 线性变换将平面上的圆周(直线)变为圆周或直线。 证 1º显然整线性变换(Ⅰ)

将圆周(直线)变为圆周(直线),

对反演变换(Ⅱ)

，将直线 变为

,当

时表示直线,当

时，

表示圆周。同样，将圆周 (

,

) 变为

，当

时表示直线,当

时表示圆周。

2º若将扩充复平面上的直线看作半径无穷大的圆周,则线性变换在扩充复平面上将圆周变换成圆周。

3º要确定线性变换将平面上圆周的内部变换为

平面圆周的内部还

是外部有两种方法。可以再内部取一点

，若

，在的内(外)

部，则变换将

的内部变换成的内(外)部；也可用另一种方法,

在上依次取三点,当观察者绕依

方向进行时，区域若在

的左侧，则在平面上相应依次沿

，

，

绕行

时,

确定的相应区域仍在观察者左侧。

5. 线性变换的保对称点性 定义7.5 关于圆周

对称是指

都在过圆心的同一射线

上，且

；约定 与

对应。

定理7.11 设)(z f w =为分式线性变换，若扩充z 平面上两点1z 与2z 关于圆周c 对称，则)(11z f w =与)(22z f w =两点关于圆周)(c f c ='对称． 定理7.12 设

关于圆周 对称，则

关于

对称。

6. 线性变换的应用

1．求将上半平面保形变换为上半平面的线性变换。

证 由于此变换将实轴变换为实轴，故,均为实数。又取

，则，

即

,故所求变换为 满足均为实数且

。

2. 求将上半平面0Im >z 映射为单位圆1

)0(Im >α映射为点0=w

解 用构造法．依题意，所求映射应将z 平面上的实轴映射为w 平面上的单位圆周1:=w c ．

由于要求将点α=z 映射为点0=w ，而关于z 平面上的实轴与点α对称的点是α，关于w 平面上的圆周c 与点0=w 对称的点是∞，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点α=z 映射为点0=w 外，还应将点α=z 映射为点∞=w ．又因所求映射是分式线性变换，故可构造为

x

O

y

( z )

v

u

O ( w )

α

1 -1

c

●

●