02第二讲 解决数学问题的基本方法——化归方法

Rózsa Péter （February 17, 1905 - February 16, 1977）
“现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你 要烧水时，你应当怎样去做呢？” “往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶 上”
“你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改， 即假使水壶里已经装满了水，而所说问题中的其他情 况都不变，试问，此时你应该怎样去做？” 此时被问者一定会大声而颇有把握地说：“点燃煤气， 再把水壶放上去。”
先看一个数学史的例子。
对数计算法
人们进行庞大数字的乘法、除法、乘方、开方 等数值运算时，往往应用对数方法。 对数是英国数学家纳皮尔（Napier）于16世纪 末首先发明的，另一位英国数学家布立格斯于 1624年发表第一张常用对数表，这样，就可利 用对数通过映射与反演形成了一套简化计算量 的数值计算方法——对数计算法。
例子
2.通过语义转换实现化归
形式化是数学的显著特点，从某种意义上讲，学习数 学就是学习一种有特定涵义的形式化语言，以及用这 种形式化语言去表述、解释、解决各种问题。 数学形式化、符号化以后，每一种数学语义或者每一 种数学概念、关系等一般都有一种确定的数学符号表 示，但是数学的符号表示与数学的语义解释之间不是 “一一对应”的，这构成了数学形式化、符号化的一大 特点。
化归思想对中学数学教学的指导意义
正是由于化归思想方法在数学中的普遍意义，所以在 中学数学教学中，化归思想方法在许多学段甚至整门 课程中常常是作为一种指导思想贯穿于教学全过程和 教材始终，起统摄全局的作用。例如，
对于解方程的问题，一般方法总是考虑将分式方程化归为整 式方程、无理方程化归为有理方程、超越方程化归为代数方 程，而解整式方程又常常是将方程化为，因此教材组织这段 内容的次序是：整式方程（低次→高次）→分式方程→无理 方程→超越方程； 处理立体几何问题时，一般可考虑把空间问题化归到某一平 面上（这个平面一般是几何体的某一个面或某一辅助平面）， 再用平面几何的结论和方法去解决； 在解析几何中，其基本的方法是通过建立恰当的坐标系，把 几何问题化归为代数问题去处理。
化归的途径
（或策略）
化归总的方向应是：由未知到已知，由复杂到 简单，由困难到容易。 具体地说，化归有以下几种常用的化归的策略：
1.通过寻找恰当的映射实现化归
这种策略被徐利治（1983）科学地抽象为关系映射反 演方法，简称RMI（Relationship Mapping Inversion） 方法。
化归方法用框图可直观表示为：
待解决问题A 化归 对象 还原 转化 （化归途径） 化归 目标 容易解决的问题B
问题A的解答
问题B的解答
所以化归应包括三个基本要素，即化归对象、化归目 标和化归途径(或化归策略)。
匈牙利著名数学家路莎·彼得（Rozsa Peter）在她的名著《无穷 的玩艺》一书中曾对“化归方法”作过生动而有趣的描述： 如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的， 他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直 至把它转化为已经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点 来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学 家中却是广为流传的：
对数计算法的创立在历史发展中具有重要的意 义。对此，拉普拉斯曾形象地描述到：“对数计 算通过缩短计算的时间，而延长了天文学家的 生命。”伽利略甚至还说：“给我空间、时间及 对数，我即可创造一个宇宙。”
一般来说，如能在两类数学对象或两个数学集 合的元素之间建立某种“对应关系”，则可不必 对原问题直接求解，而是首先通过映射将原问 题A转化为问题A*，在求得问题A*的解答*后， 再通过逆映射（反演）求得原问题的解，这就 是关系映射反演方法。
数学史的发展也表明，如果谁能对一些十分重要的关 系结构，巧妙地引进非常有效且具有能行性反演的可 定映射，那么谁就能对数学的发展作出较重要的贡献， 象古典数学中的纳皮尔对数法与拉普拉斯变换法就可 说是体现RMI原则的最光辉的例子了。 另一方面，又正是由于数学知识体系自身的发展，特 别是它的现代发展，而不断引进新的重要的映射工具， 这就为RMI方法的更广泛、更有效的应用展示了更广 阔的前景。
具有同样类型未知量的问题吗（特别是过去解过的问题）？有 一个具有同样结论的定理吗（特别是过去证明过的定理）？”
另外，从更一般的角度来说，又可考虑：“你知道一个相关的问
题吗？你能设想出一个相关的问题吗？你知道或你能设想出一 个同一类型的问题、一个类似的问题、一个更一般的问题、一 个更特殊的问题吗？” 。
化归的一些例子
笛卡尔的“万能方法”（一般模式）： 第一，把任何问题化归为数学问题；第二，把任何数 学问题化归为代数问题；第三，把任何代数问题化归 为方程式的求解。 由于求解方程问题是已经解决或较为容易解决的，因 此，在笛卡尔看来，就可利用上述方法解决任何类型 的问题，故称其为“万能方法”。 不容置疑，他所阐述的上述化归原则事实上已成为他 赖以创立解析几何的思想方法基础。
RMI方法的概念
徐利治对RMI方法作了更为严格地表述
给定一个含有未知目标原象x的数学关系结构系 统S，如果能找到一个可定映射φ，将S映满S*， 则可从S*通过一定的数学方法把目标映象 x*=φ(x)确定出来，进而通过反演又可把目标 原象x确定出来，这称为RMI方法。
RMI方法的过程可用框图表示如下：
显然，正确有效地应用RMI方法地关键显然在于引进 合乎要求的映射。 一般地，使用RMI方法应满足如下条件：
第一，所采用的映射φ必须是可定映的，即目标映象能通过 确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来。 这里，所谓的“数学手续”指的是：凡是由数值计算、代数计 算、解析计算（包括极限手续等）、逻辑演算以及数学论证 等步骤作成的形式过程都称为数学手续。 第二、相应的逆映射（反演）φ-1必须具有能行性，即通过 目标映象能将目标原象的某种需要的性态经过有限步骤确定 下来。
他确信这样的回答是正确的，但是更完善的回 答应该是这样的： “只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做， 而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉， 问题就化归为前面所说的问题了。”
从这段话可以看出，化归方法已经成为了 数学家们最典型的思维模式了”。
事实上，数学证明一般要归结为某些中间定理上去， 即实质上也是一种化归过程。 这正如英国著名数学家哈代（Hardy G.H）所说：“严 格说来，没有所谓证明这个东西，归根结底，我们只 是指指点点。” 也就是说，数学证明只能是指出待证问题可以归入哪 个问题的证明或由哪些已证定理或成果来证明，而不 可能老老实实从公理、公设、定义出发进行逻辑推理 来证明。如果那样的话，仅勾股定理若要从希尔伯特 的几何公理系统出发证明，就得需要几十页的篇幅。
RMI方法的提出者徐利治先生曾用日常生活中的一个典型事例， 对此形象地进行了阐述： 比如说，一个人对着镜子剃胡子，镜子里照出他脸颊上胡子的 映象，从胡子到映象的关系就是映射。作为原象的胡子与剃刀 两者的关系可以叫做原象关系，这种原象关系在镜子里表现为 映象关系。他从镜子里看到这种映象关系后，便能调整剃刀的 映象与胡子的映象的位置关系，使镜子里的剃刀映象去触及胡 子映象。于是，他也就真正修剃了胡子。这里显然用到了反演 规则，因为，他正是根据镜子里的映象能对应地反演为原象的 这一原理，使剃刀准确地修剃了真实的胡子（原象）。
美国著名的数学家、数学教育家G•波利亚在《数学的发现》一 书中给出了下述解决问题的方法： 在面临所要解决的问题时，我们应当考虑：“这是什么类型的问 题？它与某个已知的问题有关吗？它象某个已知的问题吗？” 具体地说，我们可以从所要追求的具体目标（未知元素、待证 命题）出发来进行考虑：“这里所谓的关键事实是什么？有一个
不同的数学语义表述可能是由同一种数学符号 （式）表示的，也就是说，一种数学符号（式） 可能有多于一种的数学语义解释。
如
绝对值∣a-b∣既表示a与b差的绝对值，又表示数轴上a点 到b点的距离； 分式关系结构(f(x)+a)/(g(x)+b)，从基本的函数观点看， 它表示x的分式函数，从解析的角度看，它又表示过点 (g(x),f(x))和点(-b,-a)的直线的斜率； 关系式∣z-z0∣=r0既表示复数z与z0的差的模等于r0，又表 示z点到z0点的距离等于r0，还表示一个以z0为圆心，r0为 半径的圆； 表示点(a,b)到原点(0,0)的距离，它又可表示复数a+bi的 模，若a,b是正数，它又可表示以a,b为直角边的直角三角 形的斜边。
P4 P5 P1 P3 q P2
显然，随着知识的不断积累，多向结论链会越来越 大，化归途径也就越来越多，化归策略运用起来也 就越来越得心应手，无形中使得化归方法顺理成章 地成为了数学解决问题的一般思想方法。
其二，数学的形式化特征也为化归方法的使用提供 了便利的条件。因为形式的东西变换起来较自由、 容易，形式变换较易明确逻辑关系，即易找到化归 目标和方向，所以，数学的形式化无疑给化归方法 如虎添翼了。
化归在中学中的例子
有理数的四则运算。有理数的四则运算应包含两部分，即绝 对值的计算与符号的确定。而在确定了符号之后，就只需对 有理数的绝对值进行运算，这样就把有理数的运算问题化归 为小学里的算术数的运算问题。 无理方程的解法。解无理方程通常是通过两边平方或换元的 方法去除根号，从而使之化归为有理方程，再解这个有理方 程获得原方程的解。 二次曲线的图象和性质。对于非标准形式的二次曲线，研究 它的方法是，通过坐标平移、旋转公式，将其化为标准形式 的二次曲线来进行研究。
第二讲
解决数学问题的基本方法 ——化归方法
• 不 更 易 ———— Ｇ．波利亞
• 题 题转 为 过 题。
————C.A.雅洁卡娅(莫斯科大学教授)
本讲内容
化归方法的基本思想 化归思想方法的理论基础 化归的目标（或策略）
化归方法的基本思想
所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归 结的意思。 数学方法论中所论及的化归方法，是指数学中 把待解决或未解决的问题，通过转化过程，归 结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题 中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方 法。
其RMI原理框图可概括如下：
在这个例子中，映射的运用是别开生面的：不是直接 求原象关系——繁复的计算问题，而是先求其在某种 映射下的映象——对数关系问题。显然，这里映射方 法的选取是非常成功的。 纳皮尔的贡献就在于他看透了指数运算与真数运算的 对应法则（映射与反演的关系），把后者的计算任务 转化为前者的计算任务，即把乘法和除法运算转化为 加法和减法运算，把乘方和开方运算转化为乘法和除 法运算，从而大大地提高了计算效率。
霍布斯的“思维即计算” 重要思想，
他认为可以把推理看成是词语和符号的加减。他写到： “借推理我意谓计算。计算或者是汇聚那被加在一起的 许多事物的总和，或者是知道当一事物从另一事物被 取走，什么仍然存留。因而推理同于相加和相减。…… 如经常可能的那样，以致所有的推理都可理解为这两 种心智的运算，即相加和相减。” 从历史的角度看，霍布斯的这一思想对于后来的数理 逻辑的发展是具有重大的启示意义的。
源自文库
事实上，这样一种方法原则在现代科技领域里也是普 遍使用的。 例如，某种信息（如影象）经过特定过程（如录象） 转化为适当的信号后，再经过某种技术处理重新反转 为原来的信号而发送出来（如播象）。这一程序就符 合RMI原则，因为信号可以理解为信息（原象）的映 象，从原象转化为信号的过程便是映射，而逆转为信 息的过程就是反演。
化归思想方法的理论基础
化归方法之所以成为数学中解决问题的基本思 想方法，是有其理论上的客观背景的。
其一，数学是一门演绎推理的学科，于是在一个数 学系统的展开中，形成了一系列的多向结论链。特 别地，对于某个命题q，就存在着一个关于q的“模式 多向推理链”，如图所示。那么，如果要证明命题 “∑→q”，就可以在推理链中适当选择一个pi,使之化 归为证明命题“∑→pi ”。