3.1 运输问题的模型解析

3 运输问题（TP）两个重要表格
第i个产地
7t A1 A2 A3
运输量 Xij
第j个销地
B1 3t
x11
产 地
4t 9t
x12 x34
单位： 百元/t
B2
6t
Fra Baidu bibliotek
B3 5t
B4 6t
销 地
…
单位运价表
产销平衡表
Xij A1 B1 x11 B2 x12 B3 x13 B4 x14
产量
Cij B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10
7
A2
A3
销量
x21
x31
x22
x32
x23
x33
x24
x34
4
9
12
A2
A3
1
7
9
4
2
10
8
5
3
6
5
6
3 运输问题（TP）
运输问题的数学模型
单位运价表 Cij A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4
单位： 百元/t B3 B4 3 2 10 10 8 5
目
总运费最少
标
Min Z= 3x11 + 11x12 + 3x13 + 10x14 + x21 + 9x22 + 2x23 + 8x24 + 7x31 + 4x32 + 10x33 + 5x34
1 2 3 每件产品运往各商店的费用（元） 1 3 10 1 2 2 5 3 3 3 8 10
能否列出线性最优化模型？ 决策存在什么样的约束条件？ 模型评价涉及什么样的准则？ 有那些决策变量？
15
3.1 运输问题的模型
1、模型建立
决策变量—有待确定的是从每家工厂i（i=1，2，3）运输多少件产品
到每家商店j（j=1，2 ，3）去。因此，方便的办法是用双下标来表示决 策变量即Xij。
试问：应如何安排调运方案，在满足一定要 求的前提下，使总运费最低？
4
3.1 运输问题的模型
根据上述参量的意义列出产量、销量和运价，如表3.1所示
5
3.1 运输问题的模型
表中：ai、bj、cij的单位为吨、千克、件等，即ai, bj, cij的单位类别应该一致（i = 1, 2,…, m；j = 1, 2,…, n）。 表的右下角 åai 表示各产地产量的总和，即总产量 åb j 表示各销地销量的总和，即总销量或 或总发量； 总收量。
17
3.1 运输问题的模型
运输问题模型分析
一般形式： 某种物资有 m 个产地 Ai ，产量（供应量）是 ai （ i=1 ， 2，…，m ），有n个销地 Bj ，销量（需求量）是bj （j=1， 2， …， n）。从运到到的单位运价为 cij （ i=1 ， 2， …， m ； j=1，2，…，n），如何安排运输可使总运费最小？ 产大于销- ai ≥ bj Min Z= CijXij xij≤ai （i=1，2，…，m） xij =bj （j=1，2，…，n） xij≥0 （i=1，2，…，m； j=1，2，…，n） 销大于产- ai ≤ bj Min Z= CijXij xij=ai （i=1，2，…，m） xij≤bj （j=1，2，…，n） xij≥0 （i=1，2，…，m； j=1，2，…，n）
这时有两种可能： åai = åbj总产量=总销量 即产销平衡问题 ≠总销量 即产销不平衡问题 bj åai ¹ å总产量
6
3.1 运输问题的模型
先讨论产销平衡问题，再讨论产销不平衡问题。 令xij表示某物资从发点 Ai到收点Bj的调拨量（运输 量），可以列出产销平衡表，如表3.2所示。
7
3.1 运输问题的模型
第3章 运输问题（TP）
3 运输问题（TP）
学习目标
了解运输问题数学模型及其特点。 掌握产销平衡运输问题的表上作业法。 学会产销不平衡运输问题的转化。 学习表上作业法在物流管理中的典型应用。
2
3 运输问题（TP）
3.1 运输问题的模型 运输问题的表上作业法
3.2
3.3
产销不平衡的运输问题
运输问题的应用案例
3.4
3.5
运输问题的Excel处理
3
3.1 运输问题的模型
有时候为了书写简便，运输问题也被写做 TP（Transportation Problem）。
例：对某种物资，设有m个产地A1, A2,…, Am，称 它们为发点，其对应产量为a1, a2,…, am，称它们 为产量；另有n个销地B1, B2,…, Bn，称它们为收点， 其对应销量为b1, b2,…, bn，称它们为销量。 又知，从产地（发点）Ai运至销地（收点）Bj，该 种物资每单位的运价为ci j（ci j≥0）。
18
3.1 运输问题的模型
产销平衡- ai=bj
Min Z=
i
CijXij
j
xij =ai （i=1，2，…，m） i
xij =bj （j=1，2，…，n） j xij≥0 （i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）
注意！这种模型具有特殊的形式：所有决策变量的约束条件， 其系数均等于1；而且，每个决策变量仅出现于两个约束 条件之中。这些特性表明，解这类线性最优化模型的单纯 形法中有一种特殊的方法可用来解这个问题——这是解这 类模型的特别有效的一种方法。而且上述特性还表明，可 以给这类线性最优化模型以一种象网络模型式的形象化的 说明。
x12 x +22 x32 6
7 4 9
x +21 x31 3
=
x +23 x33 5
=
x +24 x34 6
13
=
=
3
6
5
ij 6 X ≥0
Xij≥0
3.1 运输问题的模型
有三家工厂，都将产品运往三个不同的商店（见 下图）。每个工厂以产品件数表示出每周生产能 力见下表1。每家商店平均需求量见下表2。
21
数 Min Z= ∑cij xij
函
产销平衡表 Xij A1 A2 A3
销量
产量约束
B2 B3 B4
产量
产销平衡表 Xij A1 A2 A3
销量
销量约束
B2
+
B1
B1 x11
+
B3 x13
+
B4 x14
+
产量
x11 + x12 + x13 + x14 = 7 x21 + x22 + x23 + x24 = 4 x31 + x32 + x33 + x34 = 9
约束条件—需要把决策变量的约束条件当作方案生成源。
对工厂1必须有 X11+X12+X13 ≤50 （对工厂1的供应约束） 对工厂2必须有 X21+X22+X23 ≤70 （对工厂2的供应约束） 对工厂3必须有 X31+X32+X33 ≤20 （对工厂3的供应约束）
16
3.1 运输问题的模型
对每家商店来说，也需要一个逻辑关系式来说明每个星期运到的产品 总数应等于每周的需求量。 对商店1必须有 X11+X21+X31 =50 对商店2必须有 X12+X22+X32 =60 对商店3必须有 X13+X23+X33 =30 于是，用于解此问题的线性最优化模型是： Min Z = 3X11 + 2X12 + 3X13 + 10X 21 + 5X 22 + 8X 23 + X 31 + 3X 32 +10X33 ì X11 +X12 +X13 £ 50 ï ï X 21 +X 22 +X 23 £ 70 ï X 31 +X 32 +X 33 £ 20 í ï X11 +X12 +X13 = 50 ï X +X +X = 70 ï 21 22 23 î X 31 +X 32 +X 33 = 20 Xij≥0 且为整数 i=1，2，3;j=1，2，3
B4
17
产量（万吨）
50
14
19 30 50
13
20 70 70
19
23 0 30
15
--10 不限
60
50
最高需求（万吨）
20
3.1 运输问题的模型
分析： 这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨， 四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限。根据 现有产量，地区B4每年最多能分配到60万吨，这样最高总 需求为210万吨，大于产量。为了求得平衡，在产销平衡 表中增加一个虚拟的化肥厂D ，其年产量为50万吨。由于 各个地区的需要量包含两部分，如地区B1，其中30万吨是 最低需求，故不能由虚拟的化肥厂D供给，令其相应的运 输价格为M（任意大正数），而另一部分20万吨满足或不 满足均可，因此可以由虚拟的化肥厂D供给，并令其相应 的运输价格为0（没有发生的运输）。对凡是需求分两种 情况的地区，实际上可按照两个地区看待。这样可以建立 这个问题的产销平衡表——
7t A1 B1 3t
产 地
4t
A2
已知： 各个产地 到各个销地 1吨糖果 的运价
B2
6t
销 地
总产量：7t+4t+9t=20t
总销量：3t+6t+5t+6t=20t 总产量=总销量： 产销平衡问题
9t
A3
B3
5t
B4 6t
问题：如何安排调运方案，在满足各销售地点需要的情况 下，使总的运费最少。
11
1.该问题的基变量有m + n −1个。 2.该问题一定有最优解。 3.如果 ai 和 bj 全是整数，则该问题一定有整数
最优解。
10
3 运输问题（TP）
已知: 一家糖果公司有三个加工厂 （A1，A2，A3），公司要把这 三个工厂生产的糖果运往四个销售地区（B1，B2，B3，B4）。 已知每个工厂的产量、每个销售地点的销量、各工厂到各销售地点 1吨糖果的运价（单位运价）。
商店3
工厂1
表1
工厂2
工厂
1
2
3 70 20
表2
供应量（件/周） 50
商店1
商店2
工厂3
商店
1
2
3 60 30
需求量（件/周） 50
14
3.1 运输问题的模型
但是，由于运货距离不同，各个工厂运往各商店的 货物的运输费用是不同的。费用如下表，我们的问 题是确定由哪家工厂运送多少件产品到哪家商店。
由工厂
将表3.1与表3.2合在一起，得到一个新表，这一新 表被称为运输表（或称为产销矩阵表），如表3.3
8
3.1 运输问题的模型
根据产销矩阵表，求上述问题的解等于求下面数 学模型的解。 xij（i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n）
9
3.1 运输问题的模型
从上述这一特殊的线性规划（ LP ）问题，可 以得到下列三条结论。
19
3.1 运输问题的模型
（2）产销不平衡问题——总产量小于总销量的运输问题 例2—有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。等量化肥在这 些地区使用效果相同。相关数据如下表，试分析总运费最 节省的化肥调运方案。
运价：万元/万吨
需求地区 化肥厂 A1 A2 A3 最低需求（万吨）
B1
16
B2
13
B3
22
目标函数—利用运输费用表中的数据，我们希望其值为最小的是：
Min Z=由工厂1运出产品的总费用(3X11+ 2X12+ 3X13) +由工厂2运出产品的总费用(10X21+ 5X22+ 8X23) +由工厂3运出产品的总费用(X31+ 3X32+10X33) 即：MinZ=3X11+2X12+3X13+10X21+5X22+8X23+X31+3X32+10X33