网格中的三角函数

网格中的锐角三角函数

网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，因为网格中隐含着直角和单位长度，所以具有很强的可操作性．现在新课程标准对学生在数学思考能力和解决问题能力等方面越来越重视。而格点问题主要考查学生的直觉推理能力和问题探究能力。并且格点问题操作性强、趣味性浓，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念。因此格点问题可以通过考试促进教师在教学过程中贯彻新课标的理念。

一、在网格中表示坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．【例1】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为（）．A．(－4，2) B、(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) ．[解析] 根据轴对称的性质，y轴垂直

平分线段AA'，因此点A与点A'的横

坐标互为相反数，纵坐标相等．点A(－

4，2) ，因此A'(4，2)．选D．

练习1.（2014•湘潭）在边长为1的小

正方形网格中，△AOB的顶点均在格

点上，

（1）B点关于y轴的对称点坐标

为；

（2）将△AOB向左平移3个单位长

度得到△A 1O 1B 1，请画出△A 1O 1B 1；

（3）在（2）的条件下，A 1的坐标为 ．

一、在网格中运用勾股定理进行计算． 【例1】如图1是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号）

[解析] 推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距

离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB 、BC 分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=25 二、在网格中求一个锐角的三角函数。

【例2】（2014•贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．

[解析] ∠A 是△ABC 中的一个锐角，而△ABC 不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，

必须先构造直角三角形，使∠A 在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。

图3-1

图3-2

A

B

C

图1

解：如图3-2，作AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ， 由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，

由BC •AD=AB •CE ， 即CE==，

sinA==

=35

，

练习1.三角形在正方形网格纸中的位如图2， 则sin α的值是( ).

[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．

练习2（广州市2014）如图4，在边长为1的小正方

形

组

成

的

网

格

中

，

的三个顶点均

34

4

5

43

B .

； C .

；D .

A. 3

5

α

图2

图4

在格点上，则（）．

（A）（B）

（C）

（D）

练习3 （2014年福州）如图5，在边

长为1个单位长度的小正方形所组成

的网格中，△ABC的顶点均在格点上，

sinB的值是( )

图5

三、在网格中求一个三角的面积

【例2】如图6-1，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单位．

[解析] 如图6-2，在网格中构造不规则三角形的外接矩形，是计算不规则三角形面积常用的办法．容易计算△ABC 的面积为7平方单位

．

解：如图构造△ABC 的外接矩形，则矩形的长=5个单位，宽=4个单位，矩形面积为20平方单位。△DBC 的面=4平方单位，△AEC 的面积=3

2

个平方单位，△AFB 的面积=7.5个平方单位，所以△ABC 的面积S=20-4-1.5-7.5=7（平方单位）

练习4如图7，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高是（

）．

三、分类讨论思想在格点问题中的运用．

34..55

A B C D A

B

C 图7

1

112

3

2

35

ABC AC AC AB BC ABC AC AC C

∆∆这是一道比较复杂的计算题。要借用的面积来计算边上的高。

以、、为斜边的三个直角三角形的面积分别为、、，因此

的面积为；用勾股定理计算边上的

高为

【例9】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为( ) A．3个；B．4个；C．5个；D．6个．Array [解析] 怎样选取分类的标准，才能做到点C的个

数不遗不漏？按照点C所在的直线分为两种情

况：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上

的高为1，AC=2，符合条件的点C有4个；当点C与点B在同一条

直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个．选D．