高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1011 4

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1

x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数；

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数．

【重点知识梳理】

1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义

函数y ＝f(x)在点x0的瞬时变化率lim Δx→0f

x0＋Δx －f x0

Δx

＝l ，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即lim Δx→0f x0＋Δx －f x0

Δx

＝f′(x0)． (2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)． 2．函数f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a ，b)内每一点x 导数都存在，则称f(x)在区间(a ，b)可导．这样，对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a ，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x 、y′)． 3．基本初等函数的导数公式

y ＝f(x) y′＝f′(x) y ＝C y ＝xn y ＝xμ (x>0，μ≠0) y ＝ax (a>0，a≠1)

y ＝ex

y ＝logax(a>0，a≠1，x>0)

y ＝ln x y ＝sin x y ＝cos x

y′＝0

y′＝nxn －1，n 为自然数 y′＝μxμ－1，μ为有理数

y′＝axln a y′＝ex y′＝1

xln a y′＝1x y′＝cos x y′＝－sin x

4

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)⎣⎡⎦

⎤f x g x ′＝f′x g x －f x g′x [g x ]2 (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数

复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u·u′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【高频考点突破】

考点一 利用定义求函数的导数

例1、利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x ＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x ＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．

【方法技巧】求函数f(x)的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝

f x2－f x1

x2－x1

；

(3)计算导数f′(x)＝lim Δx→0Δf

Δx .

【变式探究】利用导数的定义，求： (1)f(x)＝

1

x

在x ＝1处的导数； (2)f(x)＝1

x ＋2的导数．

考点二 导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝ex·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭

⎫x2＋1x ＋1x3；

(3)y ＝sin2⎝⎛⎭

⎫2x ＋π3；

(4)y ＝ln(2x ＋5)． 【方法规律】

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然

后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；

(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 【变式探究】求下列各函数的导数： (1)y ＝11－x ＋1

1＋x ；

(2)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x ；

(3)y ＝(1＋sin x)2； (4)y ＝ln x2＋1.

考点三 导数的几何意义 例3、已知曲线y ＝13x3＋4

3.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．

【探究提高】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：

(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．

(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．

【变式探究】已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．

【真题感悟】

【高考新课标1，文14】已知函数()3

1f x ax x =++的图像在点()()

1,1f 的处的切线过点()2,7，

则a =.

【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．

【高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________. （·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋m

x ，m ∈R.

(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；