习题2 母函数

习 题 二

2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）：

（1）()⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n α1 ； （2）{ n ＋5 }

（3）{ n (n －1) } ； （4）{ n (n ＋2) }

（解）（1）()x G ＝()∑∞

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-01n n n

x n α＝()∑∞

=-⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n

x n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n n

x n ＝()∑∑∞

=∞=++0

41n n n n

x x n

＝()

x x n n -+'

∑∞

=+1401＝x

x n n -+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞

=+1401

＝x x -+'

⎪⎭⎫

⎝⎛--14111＝()x x -+-14112

＝

()

2

145x x

--

（3）()x G ＝

()∑∞=-01n n

x

n n ＝()∑∞

=--++2

2

2

100n n x

n n x

＝()()∑∞

=++0

212n n

x

n n x

＝()∑

∞

=+"0

2

2

n n x x

＝"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞

=+022n n x x ＝"⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x x 122

＝

()3212x x - （4）()x G ＝

()∑∞

=+02n n

x

n n ＝

()()()∑∑∑∞

=∞=∞

=-+-++0

121n n n n

n n

x x n x

n n

＝

()

()

x x x n n n n --'

-"

∑∑∞

=+∞

=+11

1

2

＝x x x n n n n --'

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=+∞=+110102

＝x x x x x --'

⎪⎭⎫

⎝⎛--"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112 ＝()()x x x -----11111223＝()

3

2

13x x x --

组合数学 2

2-2 证明序列C (n ，n )，C (n ＋1，n )，C (n ＋2，n )，…的母函数为()

111+-n x

（证）已知集合{}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=，，， 21的r-组合的母函数为

()∑∞

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=-0111

r r n

x r r n x 所以序列()n n C ,，()n n C ,1+，()n n C ,2+，……的母函数为

()x G ＝ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r

x n r n x n n x n n x n n 21021 ＝∑∞

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0r r

x r r n ＝()∑∞

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++011r r

x r r n ＝

()

1

11

+-n x

2-3 设S ＝{}4321,,,e e e e ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞，求序列{}n a 的母函数，其中a n 是S 的满足

下列条件的n 组合数：

（1） S 的每个元素都出现奇数次； （2） S 的每个元素出现3的倍数次； （3） e 1不出现，e 2至多出现一次；

（4） e 1只出现1、3或11次，e 2只出现2、4或5次； （5） S 的每个元素至少出现10次。

（解）（1）()x G ＝()

4

5

3

+++x x x ＝

()

4

24

1x x -；

（2）()x G ＝()

4

9631 ++++x x x ＝

()

4

311

x -；

（3）()x G ＝()(

)2

3

211 +++++x x x x ＝

()

2

11x x

-+；

（4）()x G ＝()()()

2

325421131 ++++++++x x x x x x x x x

＝

()

2

16

151********x x x x x x x x x -+++++++；

（5）()x G ＝(

)

4

12

1110

+++x x x

＝

()

4

40

1x x -。

第二章 母函数及其应用 3

2-4 投掷两个骰子，点数之和为r (2≤r ≤12)，其组合数是多少？ 2-5 投掷4个骰子，其点数之和为12的组合数是多少？

2-6 红、黄、蓝三色的球各8个，从中取出9个，要求每种颜色的球至少一个，问

有多少种不同的取法？

（解）设从中取r 个的不同取法有r a 种，那么，数列r a 的母函数为

()x G ＝()

3

832x x x x ++++

＝(

)

16109843278732x x x x x x x ++++++++

()

832x x x x ++++⋅ ＝24

109854335282163x x x x x x x ++++++++

因此所求方案数为

9a ＝28

另法：原问题等价于从集合S ＝{}c b a ⋅⋅⋅888,,中取出9个元素，且每个元素至少取一个。现在先把元素a 、b 、c 各取一个，然后再随意选出6个，则问题转变为从集合1S ＝{}c b a ⋅⋅⋅777,,中取出6个元素，且每个元素个数不限，求重复组合的方案数。又由于每个元素的个数大于6，故从1S 中取6个元素与从集合2S ＝{}c b a ⋅∞⋅∞⋅∞,,中

取出6个元素的组合数一样多，从而知不同的取法为

282

86163==-+C C

2-7 将币值为2角的人民币，兑换成硬币（壹分、贰分和伍分）可有多少种兑换方

法？

（解）这是求正整数n 的分项只能等于1、2、5的分拆数。设n 的分拆数为 n a ，则n a 的母函数为

()x G ＝()()()

+++++++++105422111x x x x x x

＝⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

+⎥⎥⎤⎢

⎢⎡++++++++ n

x n x x x x x 21332215

432 ()

+++⋅1051x x

＝ ++++++++20

54322943221x x x x x x

所以，共有20a ＝29种兑换方法。

2-8 有1克重砝码2枚，2克重砝码3枚，5克重砝码3枚，要求这8个砝码只许

放在天平的一端。能称几种重量的物品？有多少种不同的称法？

（解）设秤r 克重的物体有r a 种秤法，那么数列{{}r a 的母函数是

()()()()

151056422111x x x x x x x x x G +++⋅+++++=

展开后得