习题2 母函数
幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ）A ．yx =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-142．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -=B ．3-=x y C ．32x y =D ．13-=x y4．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数8．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ） A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-9． 如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<10． 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数y x=-32的定义域是 .12．的解析式是.13．942--=a ax y是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .14．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m xy mn k∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .1α3α4α2α三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤(共76分) . 15．（12分）比较下列各组中两个值大小 （1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--16．（12分）已知幂函数f x x m Z x y y m m ()()=∈--223的图象与轴，轴都无交点，且关于 轴对称，试确f x ()的解析式.17．（12分）求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.18．（12分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）19．（14分）由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.20．（14分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）.（1）y x x x x y x =++++=---22532221221（）()．参考答案一、CCBAD DCADA 二、11． (,)0+∞； 12．)0()(34≥=x x x f ； 13．5；14．k m ,为奇数，n 是偶数； 三、15． 解：（1）+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴ （2）函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<<.)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即16． 解：由.3,1,13203222⎪⎩⎪⎨⎧∈-=--≤--Z m m m m m m 得是偶数.)(1,)(3140-===-=x x f m x x f m 时解析式为时解析式为和17．解： 显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数； 令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-，其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数. 18．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下： （1）323x x y ==定义域[0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，+∞)是增函数；.),0(16),0(15),0(14),0[3),0[22133223232331上减函数函数，在既不是奇函数也不是偶定义域为）（是减函数；是奇函数，在定义域）（是减函数；是偶函数，在定义域）（是增函数；，是偶函数，在定义域为）（是增函数；，是奇函数，在定义域为）（+∞==+∞==+∞==+∞==+∞==+--+--+-R xx y UR R x x y UR R x x y R x x y R x x y通过上面分析，可以得出（1）↔（A ），（2）↔（F ），（3）↔（E ），（4）↔（C ），（5）↔（D ），（6）↔（B ）.19．解：设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A(1+10x )， 现在卖出个数为B(1－10bx)，现在售货金额为A(1+10x ) B(1－10bx )=AB(1+10x )(1－10bx )，应交税款为AB(1+10x )(1－10bx )·10a，剩余款为y = AB(1+10x)(1－10bx ))101(a -= AB )1101100)(101(2+-+--x b x b a ， 所以b b x )1(5-=时y 最大 要使y 最大，x 的值为b b x )1(5-=.20．解：（1）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.（2）1)2(35--=-x y 的图象可以由35-=x y 图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到.图象略。
组合数学第2章答案
组合数学第2章答案2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x -2.3 已知母函数G （X ）=25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x ---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
习题1排列组合-2母函数
习题11、 基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，312、 加强题：11～12，17，18，21，283、 关联题：10，27，4、 提高题：13，15，20，24～26，30，321-1 在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（解）问题相当于求在相异元素{}9,7,5,3,1中不重复地取1个、2个、…、4个元素的所有排列数，答案为45352515P P P P +++＝5+20+60+120＝2051-2 比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？(1) 每位的数字全不同；(2) 每位数字不同且不出现数字2与7。
（解）（1）分类统计：①一位正整数有919=P 个；②两位正整数有1919P P ⨯＝81个；③三位正整数有2919P P ⨯＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有3914P P ⨯＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有28141P P ⨯⨯＝4×8×7＝224个。
由乘法法则，满足条件的数的总个数为9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），总个数为17P ＋1717P P ⨯＋2717P P ⨯＋3713P P ⨯＋26131P P ⨯⨯＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3 一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
（解）（1）5人在前排就座，其坐法数为 ()58,P ，4人在后排就座，其坐法数为 ()48,P ，还空7个坐位，让剩下的54514=--个人入坐，就座方式为 ()57,P 种，由乘法法则，就座方式总数为()58,P ()48,P ()57,P ＝28 449 792 000 （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。
母函数
G ( x ) ( x )( x )( x )( x i ) x 8 1 4 0 x18 x 28
i i i i 1 i 1 i2 i 4
5
6
7
10
而x 18的 系 数 140就 是 所 求 的分配方案数。
15
例 从 n双 互 相 不 同 的 鞋 取 中 出 r只 （ r n） ， 要 求 其 中 没 有 任 何 两 只成 是对 的 ， 问 共 有 多 少不 种同 的 取法？
于是本题相当于 分 析 ： 令 S {5 e1 ,6 e 2 ,7 e 3 ,10 e 4 }, 多 重 集 S的 18可 重 组 合 问 题 。 其中e 1至 少 出 现 1次 ， 最 多 出 现 5次 ；2e 至 少 出 现 1次 ， 最 多 现 出 6次 ； e 3至 少 出 现 2次 , 最 多 出 现 7次 ；4e 至 少 出 现 4次 ， 最 多 现 出 10次 。 由 推 论 6， 相 应 的 母 函 数为
2 4 2r
1 ） n （ 1 x 2 ）
n
1 2 n 证 G(x) ( 1 x ) 2 n ( 1 x )
n n k 1 2k k 2k ( 1) k x k x k 0 k 0
8
如果多重集 S { n1 e 1, n 2 e 2 ,, n m e m }， 则S的 r可 重 组 合 数 相 当 于 方 程 x 1 x 2 x n r x 1 n1, x 2 n 2 ,, x m n m 的 非负 整 数解 的 个 数相 。应的母函数为 G ( x ) ( 1 x x 2 x n1 ) ( 1 x x 2 x n2 ) ( 1 x x 2 x nm )
母函数
母函数
定义对给定序列构造一个函数，称为序列的母函数。
其中，序列只作为标志用，称为标志函数。
派生1：普通型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称这类母函数为普通型母函数，可记作。
定理1：
设从元集合中取个元素组合，若限定元素出现次数的集合为，则该组合数序列的母函数为:
常用到的普通型母函数有：
例题：求位十进制正数中出现偶数个的数的个数
设表示位十进制正数中出现偶数个的数的个数，表示位十进制正数中出现奇数个的数的个数，不难得出：设序列，的母函数分别为：
由得：
再由得：
由、可得：
更进一步的，
即:
派生2：指数型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称此类母函数为指数型母函数，可记作。
定理2：
从多重集中选区个元素排列，若元素出现的次数集合为，则该排列数序列的母函数为：
所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。
函数中，除以是因为排列中这个相同元素的先后是不考虑的。
常见的指数型母函数（的Tylor展开式）：
例题：求由这个数字组成的位数字的个数（每个数字出现次数可以为，且出现的次数为偶数）。
设满足条件的位数字的数目为（特别地，规定），则序列的母函数为：
故。
附录：
推荐的文档组合数学--母函数与递推朱全民。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
函数中的同构法
同构法（一至四）一、六大基本函数——母函数xx x f e )(1=, x x f x e )(2=, x x x f e )(3= x x x f ln )(4=)(ln 1x f =, x x x f ln )(5=, x x x f ln )(6= 特点：（1）可以互相转化，变化形式较多；（2）导数易求，具有极值点，图像容易画；（3）可以配合变量分离法、切线法、必要条件探路法等使用。
x x x ln e >>（阶数间的关系）,1e +>x x )1ln(+>x x （0>x ）二、例题解析（一）第一组习题例1（2020﹒福建模拟）函数x x x f e )1()(+=的最小值为 .例2（2020﹒惠州期末）函数)0(e )(1>=-x xx f x 的最小值为 .例3（2020﹒韶关期末）函数)0(e )(2>=x xx f x的最小值为 .例4（2020﹒荆州期末）函数x x x x f ln 1)(+=的单调递增区间为 .例5（2020﹒广州越秀月考）函数21ln )(xx x f +=的最大值为 .例6（2020﹒成都二诊）函数xx x f ln )(=，x x x g -⋅=e )(，若存在),0(1+∞∈x ，R x ∈2，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则k x x e )(212⋅的最大值为为 . （二）第二组习题例1（2020﹒武汉模拟）设实数0>λ，若对任意的),0(+∞∈x ，不等式0ln ≥-λλx e x 恒成立，则λ的取值范围是 .例2（2020﹒全国四模）不等式x e mx mx ln 2≥⋅恒成立，则实数m 的取值范围为 .例3（2020﹒贵州调研）设实数0>m ，若对任意的e ≥x ，不等式0ln 2≥-⋅xm mx x x 恒成立，则实数m 的最大值为 .例4（2020﹒衡水期末）已知0x 是方程0ln e 222=+x x x 的实根，则0x 应满足的关系式为 . （0ln 200=+x x ）例5（2020﹒全国四模）对任意的),0(+∞∈x ，0ln )11()1(>+-+x xe k kx 恒成立，则实数k 的取值范围为 .例6（2019武汉调研﹒2020安徽六安模考）若)0()ln(e >+--a a a ax a x ，关于x 的不等式0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .（两种方法）（三）第三组习题（朗博同构）广义朗博：x x x x ln e e +=，a x x a ln e e +=，x x x x ln 22e e +=母函数：01e )(≥--=x x f x （当0=x 时成立）01ln e )(≥---=x x x x g x ，即1ln e ≥--x x x x （当0ln 00=+x x 时成立） 例1（2020﹒江苏期末）函数x x x x f x ln e )(--=的最小值为 .例2（2020﹒镇海中学模拟）若0>x 时，恒有01ln 2)3(e 32≥--+-x x k x x 成立，则实数k 的取值范围为 .（可以数形结合理解）例3（2020﹒湘豫名校联考）不等式1ln e 3+≥--x x a x x 对任意1>x 恒成立，则实数a 的取值范围为 .例4（2020﹒全国模拟考）若函数1ln )e ()(2---=x a x x f x 无零点，则整数a 的最大值是 .例5（2020﹒山东高考原题）已知函数a x a x f x ln ln e )(1+-=-，（1）当e =a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若1)(≥x f ，求a 的取值范围。
考点11 幂函数(练习)(解析版)
考点11：幂函数【题组一 幂函数定义辨析】1．已知函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m = 。
【答案】-1 【解析】函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意，1m =-时，()41f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故1m =-。
2．函数2()(1)n f x n n x =--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数n =_______【答案】﹣1【解析】函数f （x ）＝（n 2﹣n ﹣1）x n 是幂函数，∴n 2﹣n ﹣1＝1，解得n ＝﹣1或n ＝2；当n ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣1，在x ∈（0，+∞）上是减函数，满足题意； 当n ＝2时，f （x ）＝x 2，在x ∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意．综上，n ＝﹣1．故答案为：﹣1．3．2222()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______. 【答案】2【解析】2222()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-. 当2m =时，()2f x x -=，在(0,)x ∈+∞上是减函数，满足；当1m =-时，()f x x =，在(0,)x ∈+∞上是增函数，排除.综上所述：2m =.故答案为：2.4．若幂函数a y x =的图像过点(28)，，则a =__________． 【答案】3 【解析】幂函数a y x =的图像过点()28，，3282,3a a ∴===，故答案为3. 5．幂函数()()22m f x m m x =+在[)0,+∞上为单调递增的，则m =______.【答案】12【解析】由幂函数()()22m f x m m x =+在[)0,+∞上为单调递增的， 所以2210m m m ⎧+=⎨>⎩，解得12m =.故答案为:12. 6．幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为______. 【答案】1,1,3-【解析】由于幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，所以{}2230131,0,1,2,3m m m m --≤⇒-≤≤⇒∈-，又因为函数为偶函数，故分别代入检验可知：1,1,3m =-满足；故填： 1,1,3-7．幂函数()222533m m y m m x+-=-+在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________.【答案】1 【解析】由题意可得22331250m m m m ⎧-+=⎨+-<⎩，解得1m =，故答案为：1 【题组二 幂函数性质】1．幂函数25y x -=的定义域为_________(用区间表示).【答案】()(),00,-∞⋃+∞ 【解析】幂函数25y x -=，20x ∴>，解得0x ≠，∴函数y 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞．故答案为：()(),00,-∞⋃+∞．2．已知幂函数()y f x =的图象过点(,则这个函数的定义域为__________．【答案】[)0,+∞【解析】由题意可知，设()()f x x R αα=∈函数()f x 图象过点((2)2f α∴==即12α=∴()f x =要使得函数()f x =0x ≥，即函数()f x 的定义域为[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞ 3．使(3－2x －x 234)－有意义的x 的取值范围是________.【答案】(－3，1)【解析】()332432x x-⎛⎫--=，要使表达式有意义，必有2032x x -->，解得31x -<<，故答案为()3,1-.4．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______ 【答案】23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】幂函数y x α=，当0α<时是减函数，函数 14y x-=的定义域为()0,∞+， 所以有1320a a +>->，解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 5．若()()1133132a a --+<-，则实数a 的取值范围是______. 【答案】23(,)(,1)32-∞- 【解析】由题得11331111()(),132132a a a a<∴<+-+-，所以110132a a -<+-， 所以321320,0(1)(32)(1)(23)a a a a a a a ----<∴<+-+-，所以(1)(23)(32)0a a a +--<， 所以2332a <<或1a <-,所以a 的取值范围为23(,)(,1)32-∞-.故答案为：23(,)(,1)32-∞- 6．若 1.30.3(0.3)(1.3)>m m ，则实数m 的取值范围是________.【答案】0m <【解析】由题： 1.3000.300.30.31 1.3 1.3<<==<，考虑幂函数()m f x x =，()()1.30.30.3 1.3f f >，根据幂函数的性质，()0,mm f x x >=在()0,x ∈+∞单调递增， ()00,m f x x ==在()0,x ∈+∞为常数函数，()0,m m f x x <=在()0,x ∈+∞单调递减，此题只需()mf x x =在()0,x ∈+∞单调递减，所以0m <.故答案为：0m < 7．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围 .【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 8．不等式()()2233131x x ->+的解为 。
组合数学 第2章 母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx -1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数（二）组合问题（1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j ji x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .定理2.1.1的最大优点在于：● 将无重组合与重复组合统一起来处理；● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
组合数学 第四章2母函数的性质
§4.3 在选优法上的应用
可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区
间的2/3，比如
f (，x1)进一f 步(x2在)
(a, x区2 ) 间上找极值点。若继续用三等分法，
将面对着这一实事即其中 点的x1 试验没发挥其
作用。为此设想在 区间(0的,1)两个对称点
分别x做,l 试 x验。
0 lx x 1
§4.3 在选优法上的应用
__________ __________ ____ ) Fn2 Fn(Fn1 Fn1) FnFn1 Fn1Fn
F12 F 22 Fn2 Fn Fn1
§4.3 在选优法上的应用
设函数 y f (x) 在区间 (a,b) 上有一单峰
极值点，假定为极大点。
所谓单峰极值，即只有一个极值点 ，而且
设保留(0, x) 区间，继续在 (0, x) 区间的下面 两个点 x2, (1 x)x 处做试验，若
x2 1 x
则前一次1 x 的点的试验，这一次可继续使
用可节省一次试验。
x2 x 1 0
x 1 5 0.618 2
0 0.382 (0.618)2 0.618
1
§4.3 在选优法上的应用
______________
F2n F2n2
F1 F3 F5 F2n1 F2n
§4.3 若干等式
3） 证明：
F12
F
2 2
F12 F2F1
Fn2 Fn Fn1
F22 F2 (F3 F1) F2F3 F2F1
F32 F3 (F4 F2 ) F3F4 F2F3
§4.2 母函数的性质
例. A(x) sin x x x3 x5 3! 5!
运用母函数解决问题
运用母函数解决问题母函数是组合数学中一个重要的工具，它能够帮助我们解决一些复杂的组合问题。
在本文中，我们将探讨如何运用母函数来解决一些常见的组合问题。
母函数是一个形式幂级数，它可以表示一类组合对象的生成函数。
对于一个给定的组合对象，我们可以用母函数来表示其不同的可能性。
通过对母函数进行运算，我们可以得到这个组合对象的各个性质。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设我们有三种不同的硬币，分别是1元、2元和5元硬币。
我们想知道用这些硬币凑出10元有多少种方式。
我们可以定义硬币的母函数为：$C(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^5+x^{10}+...)$。
这个母函数表示了每种硬币的不同数量的组合方式。
我们可以将这个母函数进行展开：$C(x)=\frac{1}{(1-x)} \cdot\frac{1}{(1-x^2)} \cdot \frac{1}{(1-x^5)}$。
这个展开式告诉我们，用这三种硬币凑出10元的组合方式总数等于展开式中$x^{10}$的系数。
我们可以通过展开式中$x^{10}$的系数来求解这个问题。
在求解中，我们可以使用迭代法、递归法或其他数学方法来简化计算过程。
最终，我们可以得到用这三种硬币凑出10元的组合方式总数。
这个例子展示了母函数在组合问题中的应用。
通过定义一个合适的母函数，并运用适当的运算方法，我们可以解决一些复杂的组合问题。
除了求解组合问题，母函数还可以用于计算组合对象的期望值、方差等。
例如，我们可以通过求解母函数的导数来计算组合对象的期望值。
这些应用使得母函数成为了一个非常强大的解决组合问题的工具。
在实际应用中，我们还可以将母函数与其他数学方法结合起来，进一步拓展其应用领域。
例如，我们可以将母函数与递推关系、生成函数等结合，以解决更加复杂的组合问题。
总结起来，母函数是一种非常有用的工具，它能够帮助我们解决各种组合问题。
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)
高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：幂函数例1、比较大小例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1．例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性．∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．(2)，．当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).变式训练：1、下列函数是幂函数的是（）A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=2、下列说法正确的是（）A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数3、下列函数中，定义域为R的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=x－14、函数的图象是（）A．B．C．D．5、下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－16、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（）A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a ))8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）A．－2B．－1C．0D．110、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）A．B．(0，1)C．D．11、若幂函数的图象过点，则_____________．12、函数的定义域是_____________．13、若，则实数a的取值范围是_____________．14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．DACAD ABACD9、，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当x<－1时，f(x)<0，当－1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0．则满足f(x)>0的．11、解析：点代入得，所以．12、解：13、解析：，解得．14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．考点二：指数函数例1、若函数y=a x＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（）A.a>1B.a>1且m<0C.0<a<1且m>0D.0<a<1例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．例3、若关于x的方程有负实数解，XX数a的取值范围．例4、已知函数．(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域．例5、如果函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=a x的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a x向下移动．而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．答案：B例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y ∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．小结：当遇到y=f(a x)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．解答：因为方程有负实数根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范围是例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域．解答：(1)，设x1＜x2，则．因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0, ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．(2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．解：设t=a x>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．若a>1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈，∴当t=a时，y max=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈．∴当时，．解得（舍去）．∴所求的a值为3或．变式训练：1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．2、函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3、函数的值域是（）A．B．C．D．4、已知,则函数的图像必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函数的定义域为（）A．B．C．D．6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（）A．B．C．D．7、函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10、下列说法中，正确的是（）①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；③是增函数；④的最小值为1；⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤11、若直线y=2a与函数y=|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__.12、函数的定义域是______________．13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=a x－2＋1的图象恒过定点________．14、函数y=的递增区间是___________.15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值．16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．17、设a是实数，．(1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立．18、已知f(x)＝（a>0且）．（1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性．答案与提示：1-10 DADAD DDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1.4、通过图像即可判断.5、.6、由，由，综合得x>1或x<－1.7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，则函数在上为减函数，故所求区间为.8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.9、可得.10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．11、0＜a＜提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令()x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.当t=即x=1时，y min=1；当t=1即x=0时，y max=2.16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)设，即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=－f(x)．18、解：（1）定义域为R．．．∴值域为（－1，1）．（2），∴f(x)为奇函数．（3）设，则当a>1时，由，得，，∴当a>1时，f(x)在R上为增函数．同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数．考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.（1）若函数f(x)的定义域为R，XX数a的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，XX数a的取值范围.例3、已知的最大值和最小值以与相应的x值. 例4、已知f(x)=log a(a x－1)（a＞0，a≠1）.（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标.例1解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，定义域为 (－1，3)；又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4. ∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）；∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1.∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴为减函数.当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数．即f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在[1，3 ）上为增函数．例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，＋∞），通过对a的讨论即可．解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）.若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.解答：当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.∴当x=2时，y有最小值－.当x=8时，y有最大值2.例4、分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：（1）a x－1＞0得a x＞1.∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞），当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）.（2）令g(x)=a x－1，则当a＞1时，g(x)=a x－1在（0，＋∞）上是增函数.即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=log a x在（0，＋∞）上是增函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)= log a(a x－1)在（0，＋∞）上是增函数；当0＜a＜1时，g(x)=a x－1在(－∞,0)上是减函数.即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=log a x在（0，＋∞）上是减函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)=log a(a x－1)在（－∞，0）上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数．（3）∵ f(2x)= log a(a2x－1)，令y=f(x)= log a(a x－1)，则a x－1=a y，∴ a x=a y＋1，∴ x= log a (a y＋1)(y∈R)．∴ f－1(x)= log a (a x＋1)（x∈R）．由f(2x)=f－1(x)，得log a(a2x－1)= log a(a x＋1)．∴ a2x－1= a x＋1，即(a x)2－a x－2=0.∴ a x=2或a x=－1（舍）．∴ x=log a2.即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=log a2．变式训练：一、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．2、将y=2x的图象（），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位3、函数的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（）A．10x＋3＋1B．10x－3－1C．10x＋3－1D．10x－3＋15、函数的递增区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|log a x|，其中0<a<1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．7、是（）A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（）A．B．C．D．10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（）A．仅当a＞1时有唯一解B．仅当0＜a＜1时有唯一解C．必有唯一解D．必无解二、填空题11、函数的单调递增区间是___________.12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是___________.13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________.14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范围.15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)，(1)求a，b的值；(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围．16、已知函数f(x)=log a(x－3a)（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.（1）写出y=g(x)的解析式；（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围.答案与提示：1-10 DDDDA BBBCC1、当a>1时，y=log a x是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确. ∴应选D.2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D.3、由≥0，得 0<x－1≤1，∴ 1<x≤2.5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A.6、不妨取，可得选项B正确．7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.8、由ab>1，知，故且，故答案选B. 10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，作出y=a x与y=的图象知，两图象必有一个交点.11、答案：（－∞，－6）提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6.当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数，∴在（－∞，－6）上是增函数 .12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴.则函数，∴当时，y最大为11；当时，y最小为7.13、答案：（－∞，] 提示：原方程等价于由③得. ∴当x＞0时，9a≤，即a≤.又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤.14、解：要使f(x)＜0，即.当a＞b＞0时，有x＞；当a=b＞0时，有x∈R；当0＜a＜b时，有x＜.15、解：(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2－x＋b,∴(log2a)2－log2a＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2，又log2f(a)=2，∴log2(a2－a＋b)=2，将a=2代入，有log2(2＋b)=2, ∴b=2；(2)由log2f(x)<f(1)得log2(x2－x＋2)<2,∴x2－x－2<0，解得－1<x<2，由f(log2x)>f(1)得(log2x)2－log2x＋2>0，解得0<x<1或x>2，∴x∈(0，1)．16、解：（1）设Q（x′，y′），则，∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上，∴．（2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立.而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0，∴ 0＜a＜1，且恒成立.∴ 0＜a＜1.由 |f(x)－g(x)|≤1，即∴ r(x)=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数.∴ h(x)=log a(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上是减函数. ∴当x=a＋2时，h(x)max=h(a＋2)=log a(4－4a)，当x=a＋3时，h(x)min=h(a＋3)=log a(9－6a).。
卢开澄《组合数学》习题答案第二章
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版
g ( x) (1 x x ....)( 1 x x ...)
3 6 4 8
(1 x 2 x 4 ....)( 1 x 5 x10 ...) 1 1 1 1 3 2 4 5 1 x 1 x 1 x 1 x
sfsf
15
2.1母函数
n
r C n , r x n 0
例 从n双互不相同的五指袜子中取出r只，要求没有任何两只是 成对的，共有多少种不同的取法？
r r C n , r 2 x 解：生成函数为: G( x ) (1 2 x)
n
n 0
sfsf
17
2.1母函数
例 某班有甲乙丙三个小组，人数分别为5，6，9。把5本相同的 书分给甲、乙、丙3个小组，再发到个人手上，每人最多发一本。 考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被 认为是不同的分法（每个同学最多一本），而且甲、乙两组最 少1本，甲组最多5本，乙组最多6本，丙组最少2本，最多9本， 问有多少种不同的分配方案？ 解：
5 6 9 4 5 6 9 5 6 9 5 6 9 5 1 1 2 x 1 1 3 1 2 2 2 1 2 x 5 6 9 20 5 6 9 x
sfsf
52
2.3指数型母函数
例、求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数（每个数 字可重复出现），要求1、3、7出现的次数一样多，5和9 出现的次数不加限制。求这样的n位数的个数。
sfsf
53
2.3指数型母函数
母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
表2.0.1 条件组合方案数排列方案数对应的集合相异元素，不重复()!!!r n r n C rn -⋅=()!!r n n P rn -={}n e e e S ,,, 21=相异元素，可重复rr n C 1-+rnS ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞ne ⋅∞, }不尽相异元素（有限重复）特例r ＝n1 !!!!m n n n n 21S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝nn k ≣1, (k ＝1,2,…, m )r ＝1mm所有n k ≣r rr m C 1-+rm至少有一个n k 满足1≢n k < r母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
《组合数学》教案 2章(母函数)及课后习题讲解
第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母函数（一）母函数（1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数：()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数：()x G ＝ +++++nx x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个。
● 数列{}n a 与母函数一一对应。
{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++n x x x 20＝xx -1 ● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”。
（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。
理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。
【例2.1.3】设有6个红球，7个黑球，8个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ （解）（1）元素符号化（x ，y ，z ↔红、黑、白球），元素的个数以符号的指数区分。
母函数G (x , y , z ) ＝(1＋x ＋x 2) (1＋y ) (1＋z )＝1＋(x ＋y ＋z )＋(x 2＋xy ＋xz ＋yz )＋(x 2x ＋x 2x ＋xxx )＋( x 2yz )5种情况：① 数字1表示一个球也不取的情况，共有1种方案； ② 取1个球的方案有3种，即红、黑、白三种球只取1个； ③ 取2个球的方案有4种，即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白； ④ 取3个球的方案有3种，即2红1黑、2红1白、三色球各一； ⑤ 取4个球的方案有1种，即全取。
组合数学第二章母函数与递推关系习题解答剖析
II 当n为奇数时
由I的讨论知， ar 比ar3 多了a+b-c=1
的三角形。
而这种三角形可知
a b n1 2
当 n 1 能被2整除时，这种三角形有 n 1
个2
2
当 n 1 不能被2整除时，这种三角形有
2 n 1 个
2
n1
an
an3
n (1) 4
2
(2)
n1
n1
an
an3
[ n (1) 8
x10系数即为所求。
4. 题目 解：A、B、C、D组成的全排列数为
P (1 x x2 )4 1! 2!
e4x
出现A后，其后续字母必为A、B、C、D
中的一个，其概率相等。
P
(1
x
)3
[1
3
x
(
3 4
x)2
]
1!
4
2!
e3x
3x
e4
15 x
e4
AB至少出现一次的排列为
P
P
P
e4x
特征方程为 x2 x 1 0
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
设 Ax1n Bx2n
代入得
A
B
5 5
3
10 3
5 5
10
an
53 10
5 (1 2
5)n 5 3 10
5 (1 2
5)n
20. 题目 解：
设所求为 an
则 an (n 1)an1 (n 1)an2
21. 题目 解：
x
2
1 x 6
ln(G ( x))
ln
组合数学习题集
10．过一个球的中心做n个平面，其中无3个平面过同一直径，问这些平面可把球的部分成多少个两两无公共部分的区域？
11．设空间的n个平面两两相交，每3个平面有且仅有一个公共点，任意4个平面都不共点，这样的n个平面把空间分割成多少个不重叠的区域？
17．在平面直角坐标系中任取5个整点（两个坐标都是整数），证明其中一定存在3个点，由其构成的三角形（包含3点在一条直线上）的面积是整数（可以为0）。
（1）同一单位的代表相邻而坐的方案数是多少？
（2）同一单位的代表互不相邻的方案数又是多少？
10．一书架有m层，分别放置m类不同种类的书，每层n册，现将书架上的图书全部取出整理，整理过程中要求同一类的书仍然放在同一层，但可以打乱顺序，试问：
（1）m类书全不在各自原来层次上的方案数是多少？
（2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数是多少？
20．凸十边形的任意三个对角线不共点，试求这凸十边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？
21．试证一整数n是另一整数的平方的充要条件是除尽n的正整数的数目为奇数。
22．统计力学需要计算r个质点放到n个盒子里去，并分别服从下列假定之一，问有多少种不同的图像？假设盒子始终是不同的。
（1）Maxwell-Boltzmann假定：r个质点是不同的，任何盒子可以放任意个；
12．相邻位不同为0的n位二进制数中一共出现了多少个0？
13．平面上有两两相交，无3线共点的n条直线，试求这n条直线把平面分成多少个区域？
14．证明Fibonacci数列的性质，当 时，
（1）
（2）
（3）
（4）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习 题 二2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）：（1）()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n α1 ； （2）{ n ＋5 }（3）{ n (n －1) } ； （4）{ n (n ＋2) }（解）（1）()x G ＝()∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01n n nx n α＝()∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n nx n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n nx n ＝()∑∑∞=∞=++041n n n nx x n＝()x x n n -+'∑∞=+1401＝xx n n -+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=+1401＝x x -+'⎪⎭⎫⎝⎛--14111＝()x x -+-14112＝()2145x x--（3）()x G ＝()∑∞=-01n nxn n ＝()∑∞=--++222100n n xn n x＝()()∑∞=++0212n nxn n x＝()∑∞=+"022n n x x＝"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=+022n n x x ＝"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 122＝()3212x x - （4）()x G ＝()∑∞=+02n nxn n ＝()()()∑∑∑∞=∞=∞=-+-++0121n n n nn nx x n xn n＝()()x x x n n n n --'-"∑∑∞=+∞=+1112＝x x x n n n n --'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=+∞=+110102＝x x x x x --'⎪⎭⎫⎝⎛--"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112 ＝()()x x x -----11111223＝()3213x x x --组合数学 22-2 证明序列C (n ，n )，C (n ＋1，n )，C (n ＋2，n )，…的母函数为()111+-n x（证）已知集合{}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=，，， 21的r-组合的母函数为()∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-0111r r nx r r n x 所以序列()n n C ,，()n n C ,1+，()n n C ,2+，……的母函数为()x G ＝ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛rx n r n x n n x n n x n n 21021 ＝∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0r rx r r n ＝()∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++011r rx r r n ＝()111+-n x2-3 设S ＝{}4321,,,e e e e ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞，求序列{}n a 的母函数，其中a n 是S 的满足下列条件的n 组合数：（1） S 的每个元素都出现奇数次； （2） S 的每个元素出现3的倍数次； （3） e 1不出现，e 2至多出现一次；（4） e 1只出现1、3或11次，e 2只出现2、4或5次； （5） S 的每个元素至少出现10次。
（解）（1）()x G ＝()453+++x x x ＝()4241x x -；（2）()x G ＝()49631 ++++x x x ＝()4311x -；（3）()x G ＝()()23211 +++++x x x x ＝()211x x-+；（4）()x G ＝()()()2325421131 ++++++++x x x x x x x x x＝()216151********x x x x x x x x x -+++++++；（5）()x G ＝()4121110+++x x x＝()4401x x -。
第二章 母函数及其应用 32-4 投掷两个骰子，点数之和为r (2≤r ≤12)，其组合数是多少？ 2-5 投掷4个骰子，其点数之和为12的组合数是多少？2-6 红、黄、蓝三色的球各8个，从中取出9个，要求每种颜色的球至少一个，问有多少种不同的取法？（解）设从中取r 个的不同取法有r a 种，那么，数列r a 的母函数为()x G ＝()3832x x x x ++++＝()16109843278732x x x x x x x ++++++++()832x x x x ++++⋅ ＝24109854335282163x x x x x x x ++++++++因此所求方案数为9a ＝28另法：原问题等价于从集合S ＝{}c b a ⋅⋅⋅888,,中取出9个元素，且每个元素至少取一个。
现在先把元素a 、b 、c 各取一个，然后再随意选出6个，则问题转变为从集合1S ＝{}c b a ⋅⋅⋅777,,中取出6个元素，且每个元素个数不限，求重复组合的方案数。
又由于每个元素的个数大于6，故从1S 中取6个元素与从集合2S ＝{}c b a ⋅∞⋅∞⋅∞,,中取出6个元素的组合数一样多，从而知不同的取法为28286163==-+C C2-7 将币值为2角的人民币，兑换成硬币（壹分、贰分和伍分）可有多少种兑换方法？（解）这是求正整数n 的分项只能等于1、2、5的分拆数。
设n 的分拆数为 n a ，则n a 的母函数为()x G ＝()()()+++++++++105422111x x x x x x＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎤⎢⎢⎡++++++++ nx n x x x x x 21332215432 ()+++⋅1051x x＝ ++++++++2054322943221x x x x x x所以，共有20a ＝29种兑换方法。
2-8 有1克重砝码2枚，2克重砝码3枚，5克重砝码3枚，要求这8个砝码只许放在天平的一端。
能称几种重量的物品？有多少种不同的称法？（解）设秤r 克重的物体有r a 种秤法，那么数列{{}r a 的母函数是()()()()151056422111x x x x x x x x x G +++⋅+++++=展开后得组合数学 4()1110987654323222332221x x x x x x x x x x x x G +++++++++++=222120191817161514131223242323x x x x x x x x x x x +++++++++++因此，能称1～22克共22种重量的物品，所有不同的称法总数为()1G ＝3×4×4＝482-9 证明不定方程n x x x +++ 21＝r 的正整数解组的个数为 ()11--n r C ,。
（证）问题可以视为将r 个相同的1放入n 个盒子。
由于将i x 之间的值互换，对应不同的解，所以盒子不同。
设共有r a 个解，则由式（2.1.1）知r a 的母函数为()x G ＝()nx x x +++32＝nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-1＝∑∞=-+01r rrr n nx Cx ＝∑∞=+-+01r rn r r n x C ＝∑∞=--01k knk k x C＝∑∞=--011k kn k x C 所以r a ＝()11--n r C ,2-10 求方程z y x ++＝24 的大于1的整数解的个数。
（解）原方程即 ⎩⎨⎧=≥=++.,,,,321224321i x x x x i，令1-=i i x y ()321,,=i ，可得等价方程⎩⎨⎧=≥=++.,,,,321121321i y y y y i 由上题知后者共有()13121--,C ＝190组正整数解，从而知原不定方程的大于1的整数解的个数为190。
2-11 设a n ＝()∑=+n k k k n C 02,，b n＝()∑=++nk k k n C 012,其中a 0＝1，b 0＝0，（1） 试证a n ＋1＝a n ＋b n ＋1， b n ＋1＝a n ＋b n ； （2） 求出{ a n }，{ b n }之母函数A (x )，B (x )。
（解）（1）由序列的定义1+n a ＝∑+=++1021n k k k n C ＝∑+=++++112101n k kk n n C C第二章 母函数及其应用 5＝∑∑+=-++=++++111211201n k k k n n k k kn n C CC＝∑∑=+++=+++nk k k n nk k k n nC CC 0121120＝∑∑+=+++=++112102n k k k n nk kkn C C1+n b ＝∑+=+++10121n k k kn C＝()()112120121+++=++++∑n n nk k k n C C ＝∑∑=++=++n k k k n nk k kn C C1202 ＝n n b a +（2）由母函数的定义及（1）中所知数列n a 和n b 的关系知()x A ＝∑∞=0n nn xa ＝()∑∞=-++110n n n n x b a a＝∑∑∞=∞=--++11111n n n n n n x b x a x＝∑∑∞=∞=++01n nn n nn x b x a x＝()()x B x xA ++1()x B ＝∑∞=0n nn xb ＝()∑∞=--++1110n nn n x b a b ＝∑∑∞=--∞=--++1111110n n n n n n x b x xa x＝()()x xB x xA+组合数学 6即函数()x A 和()x B 满足方程()()()()()()⎩⎨⎧+=++=x xB x xA x B x B x xA x A 1 解之得()x A ＝2311x x x +--，()xB ＝231x x x+- 2-12 设S ＝{}k e e e ⋅∞⋅∞⋅∞,,,21 ，求序列{}n p 的母函数，其中p n 是S 的满足下列条件的n 排列数：（1）S 的每个元素都出现奇数次； （2）S 的每个元素至少出现4次； （3）e i 至少出现i 次（i ＝1,2, …,k ）； （3） e i 至多出现i 次（i ＝1,2, …,k ）。
（解）（1）()x G e ＝kx x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ !!!53153＝kx x e e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2； （2）()x G e ＝kx x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ !!!654654＝kx x x x e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----!!32132；（3）()x G e ＝()()∏=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ki i i i i x i x i x 12121 !!!＝()∏=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------ki i x i x x x e 112121!! ； （4）()x G e ＝∏=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++ki i i x x x 12211!!!2-13 把23本书分给甲、乙、丙、丁四人，要求这四个人得到的书的数量分别不得超过9本、8本、7本、6本，问（1） 若23本书相同，有多少种不同的分法？ （2） 若23本书都不相同，又有多少种不同的分法？2-14 8台计算机分给3个单位，第一个单位的分配量不超过3台，第二单位不超过4台，第三单位不超过5台，问共有几种分配方案？（解）设分配n 台计算机的分配方案有n a 种，则n a 的母函数为第二章 母函数及其应用 7()x G ()()()543243232111x x x x x x x x x x x x ++++++++++++＝1＋876543214171817141063x x x x x x x x +++++++＋12111093610x x xx +++所以分配8台计算机共有8a ＝14种方案。