吉林大学历届高数考题及答案

2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷

2009年1月12日

一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）

1．2lim 1n

n n n →∞-⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

．

2．设2log y =d y = ．

3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= ．

4．设函数)(x y y =由方程3

3

1,

x t y t t

⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1

d d t y x == ．

5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 ．

6．设()d cos f x x x C =+⎰，则()

()d n f x x ⎰= ．

7．3

1

2

1

1d 1x x x -+=+⎰ ．

1．下列叙述正确的是

（A ）有界数列一定有极限． （B ）无界数列一定是无穷大量． （C ）无穷大量数列必为无界数列． （D ）无界数列未必发散． [ ]

2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n n a a +→∞

=，则 （A ）lim 0n n a →∞=．

（B ）lim 0n n a C →∞

=>．

（C ）lim n n a →∞

不存在．

（D ）{}n a 的收敛性不能确定．

[ ]

3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，则在[,]a b 上有 （A ）()()0f x g x ->．

（B ）()()0f x g x -≥．

（C ）()()()()f x g x f b g b ->-．

（D ）()()()()f x g x f a g a ->-． [ ]

4．设()f x 有三阶连续导数，且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,则下列结论正确的是

（A ）()f x '的极小值为0． （B ）0()f x 是()f x 的极大值．

（C ）0()f x 是()f x 的极小值． （D ）点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．[ ]

5．已知||e d 1k x x +∞

-∞=⎰，则k =

（A ）0．

（B ）－2．

（C ）－１．

（D ）－0.5． [ ]

6．摆线(sin )

(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨

=-⎩

的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积

x V =

（A ）2220(1cos )d[(sin )]a

a t a t t ππ--⎰． （B ）2220(1cos )d a t t π

π-⎰． （C ）2220(1cos )d a

a t t ππ-⎰．

（D ）2220(1cos )d[(sin )]a t a t t π

π--⎰． [ ]

7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，则必有

（A ）-=a b 0． （B ）+=a b 0． （C ）0⋅=a b ． （D ）⨯=a b 0． [ ]

1．设2

1cos ,0,

()0,

0,x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '．

2．求极限 0

lim →x 2

2

20

10

cos d x x t t

x

-⎰．

3．设()f x 的一个原函数为sin x ，求 2()d x f x x ''⎰．

4．计算 12

x ⎰

．

5．若点M 与(2,5,0)N 关于直线4120

:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩

对称，求点M 的坐标．

四、应用题（满分8分）

设曲线2

=->．过点(2,0)

(4)(0)

y a x a

-及(2,0)作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．

五、证明题（共2道小题，每小题5分，满分10分）

1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =．证明在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()()

f f ξξξ

'=-．

2. 设130

d 1sin n n t

x t t

=+⎰，12n n u x x x =+++，证明数列{}n u 收敛．

2008~2009学年第一学期《高等数学B Ⅰ》试卷 答案 2009年1月12日

一、填空题（共7道小题，每小题3分，满分21分）

1．2lim 1n

n n n →∞-⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

3e - ．． 2．设2log y =，则dy =

2

23(1)ln 2

x

dx x -- ．． 3．若00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '= 2 ．

4．设函数)(x y y =由方程3

31,x t y t t

⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，则1t dy dx == 2

3 ．

5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 ．

6．设()d cos f x x x c =+⎰，则()()d n f x x ⎰=cos 2n C x π⎛⎫++

⎪⎝⎭

．

7．31

211d 1x x x -+=+⎰ 2

π ．

二、单选题（共7道小题，每小题3分，满分21分）

1．下列叙述正确的是 （A ）有界数列一定有极限； （B ）无界数列一定是无穷大量； （C ）无穷大量数列必为无界数列；

（D ）无界数列未必发散。

答：C

2．设数列(){}0,1,2,

n n a a n >=满足1

lim 0n n n

a a +→∞=，则 （A ）lim 0n n a →∞

=

（B ）lim 0n n a C →∞

=>