高等数学-函数的求导法则

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二、反函数的求导法则
定理2. 定理 设 y = f ( x) 为 x = f −1 ( y ) 的反函数 ,
−1
f
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f −1 ( y )]′ ≠ 0 ( y) 在 d y 1 f ′( x) = −1 或 = d1x dx [ f ( y )]′
第二章
第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
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思路: 思路
( 构造性定义 ) 本节内容
( C )′ = 0 ( sin x )′ = cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x )′ = x
1 (ln x)′ = x
µ
µ −1
(arcsin x)′ =
1− x 1 (arctan x)′ = 1 + x2
2
(arccos x)′ = −
1
1− x2 1 (arc cot x)′ = − 1+ x2
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2. 有限次四则运算的求导法则
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2) 设 y = a (a > 0 , a ≠ 1) , 则 x = log a y , y ∈ ( 0 , + ∞)
x
1 = = (log a y )′
x
1
1 y ln a
= y ln a
′ = ex 特别当 a = e 时, ( e )
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
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(2) (u v)′ = u ′v + u v′
证: 设 f ( x) = u ( x)v( x) , 则有
f ( x + h) − f ( x ) u ( x + h )v ( x + h ) − u ( x )v ( x ) f ′( x) = lim = lim h →0 h →0 h h
3
3 解: y′ = ( x )′ ( x − 4 cos x − sin 1)
( x 3 − 4 cos x − sin 1)′ + x
2 x 1 y ′ x =1 = (1− 4 cos 1− sin 1) + ( 3 + 4 sin 1) 2 7 7 = + sin 1 − 2 cos1 2 2
cos x + sin 2 x = sec 2 x = 2 cos x − (sin x)′ − cos x ′ 1 = (csc x)′ = = 2 2 sin x sin x sin x
2
= − csc x cot x
类似可证: (cot x)′ = − csc 2 x , (sec x)′ = sec x tan x .
xa
+a
小结: 小结
( arcsin x)′ = ( arctan x)′ =
(a )′ = a ln a
x x
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( arccos x)′ = ( arc cot x)′ =
( e x )′ = e x
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三、复合函数求导法则
定理3. 定理 可导 在点 x 可导, 复合函数 在点 在点 x 可导,
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例7. y =
x +1 − x −1 求 ′ , y . x +1 + x −1
2
2x − 2 x −1 = x − x2 −1 解: Q y = 2 1 x ∴ y′ = 1 − ⋅ (2 x) = 1 − 2 x2 −1 x2 −1
例8. 设 y = x
aa
+a
h →0
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v( x + h) − v(x) u ( x + h) − u (x) v(x) − u (x) h h = lim

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例2. 求证
′ sin x (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x
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例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设
y ∈ (−
π
2
,
π
2
则
) , ∴ cos y > 0 , 则
1 = = (sin y )′ cos y
1 1 − sin y
2
利用 π arccos x = − arcsin x 2 类似可求得
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例5. 设 解:
求
1 = ⋅ (− sin( e x )) ⋅ e x cos( e x )
= −e tan(e )
x x
思考: 若 思考
存在 , 如何求 f (ln cos(e x )) 的导数?
df = f ′( ln cos( e x ) ) ⋅ (ln cos( e x ))′ = L dx
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例4. 求下列导数:
⋅ ( µ ln x)′ 解: (1) ( x µ )′ = (e µ ln x )′ µ ⋅ = µ x µ −1 x
(2) ( x x )′ = (e x ln x )′
⋅ ( xln x)′ = x x ( ln x + 1)
dy = f ′(u ) g ′( x) 且 dx ∆y 证: Q y = f (u ) 在点 u 可导, 故 lim = f ′(u ) ∆ u →0 ∆u ∴ ∆ y = f ′(u )∆u + α ∆u （当 时 ) ∆y ∆u ∆u (∆ x ≠ 0) = f ′(u ) + α 故有 ∆x ∆x ∆x ∆y = f ′(u ) + α dy ∆y ∆u f ′(u ) g ′( x) ∴ = lim = lim = d x ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0
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=
1
( x 3 − 4 cos x − sin 1) + x ( 3 x 2 + 4 sin x )
(3) (
u ′ u ′v − u v′ ) = v v2
u ( x) v( x)
证: 设 f (x) =
, 则有
f ( x + h) − f ( x) f ′( x) = lim = lim h →0 h →0 h
1 2 x +1
2
⋅ 2x
)
x −x
记 arsh x = ln ( x + x 2 + 1 ) , 则 (反双曲正弦)
e −e sh x = 2 的反函数
(arsh x)′ =
1 x2 +1
其它反双曲函数的导数见 P94例16. 例
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 推广 例如,
y
d y d y d u dv = ⋅ ⋅ d x d u dv d x
u v x
= f ′(u ) ⋅ ϕ ′(v) ⋅ ψ ′( x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
u ( x + h) − u (x) v( x + h) + u (x) v( x + h) − v( x) = lim h →0 h h
= u ′( x)v( x) + u ( x)v′( x)
故结论成立.
推论: 推论 1) ( C u )′ = C u ′ ( C为常数 )
初等函数求导问题
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求导法则
其它基本初等 函数求导公式
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一、四则运算求导法则
定理1. 定理
数
的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
( v ( x ) ≠ 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
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(1) (u ± v)′ = u ′ ± v′ 证: 设 f ( x ) = u ( x ) ± v ( x ) , 则 f ( x + h) − f ( x ) f ′( x) = lim h →0 h [ u ( x + h) ± v ( x + h) ] − [ u ( x ) ± v ( x ) ] = lim h→0 h u ( x + h) − u ( x ) v ( x + h) − v ( x ) = lim ± lim h →0 h→0 h h = u′( x) ± v′( x) 故结论成立.
这两个记号含义不同
f ′(u ) u =ln cos(e x )
练习: 练习 设 y = f ( f ( f ( x))) , 其中 f ( x) 可导, 求 y′.
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例6. 设 解:
1 x + x2 + 1
= 1 x +1
2
⋅( 1+
u ( x + h) u ( x ) − v ( x + h) v ( x )
h
v ( x + h )v ( x ) u ′( x) v( x±− ux)v( x( x) ) u ( ( x ) v′ ) 故结论成立. = 2 v) ( xu ( x)v( x + h) u ( x + h )v ( x − ) C ′ − C v′ ) ( C为常数 ) 推论: ( ) = 推论 h v( x + h)v( x2 v v YANGZHOU UNIVERSITY
(u ± v)′ = u′ ± v′ (u v)′ = u′v + u v′
3. 复合函数求导法则
(C u )′ = C u ′ ( C为常数 ) u ′ u′v − u v′ ( v ≠ 0) ( )= 2 v v
说明: 说明 最基本的公式 (C )′ = 0
y = f (u ) , u = ϕ ( x)
dy dy d u = ⋅ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x) dx d u dx
(sin x)′ = cos x
(ln x)′ =
1 x
4. 初等函数在定义区间内可导 由定义证 , 其它公式 初等函数在定义区间内可导, 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数
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2) ( uvw )′ = u ′vw + uv′w + uvw′ ′ ln x = 1 3) ( log a x )′ = ln a x ln a
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例1. y = x ( x − 4 cos x − sin 1) ,
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P94)
(C )′ = 0 (sin x)′ = cos x (tan x)′ = sec 2 x (sec x)′ = sec x tan x (a x )′ = a x ln a
1 (log a x)′ = x ln a 1
( x )′ = µ x (cos x)′ = − sin x (cot x)′ = − csc 2 x (csc x)′ = − csc x cot x ( e x )′ = e x
d y
证: 在 x 处给增量 ∆x ≠ 0 , 由反函数的单调性知 ∆y 1 ∴ = ∆x ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) ≠ 0 , ∆x ∆y 且由反函数的连续性知 ∆x → 0 时必有∆y → 0 , 因此 ∆y 1 1 f ′( x) = lim = lim ∆x = −1 ∆x→0 ∆x ∆y →0 [ f ( y )]′ ∆y
e x − e− x ′ e x + e− x = ch x (3) (sh x)′ = ( )= 2 2 说明: 说明 类似可得 1 ′ = sh x ; (th x)′ = 2 ; (ch x) (a x )′ = a x ln a . ch x sh x e x − e− x x x ln a a =e th x = sh x = ch x 2