高等数学-函数的求导法则
高等数学2.1 函数的导数
五、可导性与连续性之间的关系
定理1 如果函数 f ( x)在点 x0处可导,则函数在 该点必连续.
证 设函数 f ( x)在点 x0处可导,
即
y
lim x0 x
f ( x0 )
由函数极限存在与无穷小的关系，
y f ( x) 0 (x 0)
x
y f ( x)x x
所以,lim y 0, 函数 f ( x)在点x0连续. x0 上页 下页 返回
得函数相应改变量y f ( x0 x) f ( x0 ),
先求平均变化率y , 再求极限得瞬时变化率 x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
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§2.1 函数的导数
二、导数定义
1.导数定义
定义1 设函数 y f ( x) 在x0的某个邻域内有定义，
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) xn2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( xn ) nxn1
更一般地 ( x ) x1. ( R)
例如
(
x )
1
x
1 2
1
1
( x 0); ( x) x11 1
2
2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
(x
0).
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例9
设
f
(
x)
2sin x, a bx,
确定a与b的值.
x 0 在 x 0 处可导， x0
解 函数在 x 0 处可导，则在 x 0 一定连续，
即满足 lim f ( x) lim f ( x) f (0)
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。
高等数学求导公式
高等数学求导公式高等数学中的求导公式主要包括常数函数的求导、幂函数的求导、指数函数的求导、对数函数的求导、三角函数的求导、反三角函数的求导、双曲函数的求导、双曲函数的求导、复合函数的求导、隐函数的求导以及参数方程的求导等。
1.常数函数的求导：若f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的求导：若f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
3.指数函数的求导：若 f(x) = a^x ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的求导：若 f(x) = loga(x) ，其中 a 是正实数(a ≠ 1)，则 f'(x) =1/(x*ln(a))。
5.三角函数的求导：若 f(x) = sin(x) ，则 f'(x) = cos(x)。
若 f(x) = cos(x) ，则 f'(x) = -sin(x)。
若 f(x) = tan(x) ，则 f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的求导：若 f(x) = arcsin(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。
若 f(x) = arccos(x) ，则 f'(x) = -1/sqrt(1-x^2)。
若 f(x) = arctan(x) ，则 f'(x) = 1/(1+x^2)。
7.双曲函数的求导：若 f(x) = sinh(x) ，则 f'(x) = cosh(x)。
若 f(x) = cosh(x) ，则 f'(x) = sinh(x)。
若 f(x) = tanh(x) ，则 f'(x) = sech^2(x)。
8.反双曲函数的求导：若 f(x) = arcsinh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2+1)。
若 f(x) = arccosh(x) ，则 f'(x) = 1/sqrt(x^2-1) (x > 1)。
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学(第2版)课件：函数的求导法则
2
4
即 3x 4 y 8 3 0.
问题 : y xsin x的导数?
对数求基导本法信则息
1. 幂指函数： 形如 y f (x)g(x)的函数, 如 y xsin x , y x2x.
2. 方法： 先对函数两边求对数，再用隐函数求导求出导数.
y f (x)g(x) 取对数 ln y g(x) ln f (x) 隐函数求导 y'
3sec2 (3x 4)
2 tan(3x 4)
(7) y ln(x 1 x2 )
解： y'
1
(1 1 2x)
1
x 1 x2
1
x 1 x2
2 1 x2
x 1 x2 1 x2
1 x2
(8) y lnln(ln x)
解：y' {lnln(ln x)}' 1 1 1
1
.
ln(ln x) ln x x x ln x ln(ln x)
则y'
e xe y
y
1
.
由x 0, 代入方程得 y 1.
1 e y x e y y' y' 0,
则y'|x0 e.
则曲线在 x 0处的切线方程为：y 1 e(x 0), 即：y ex 1.
则曲线在
x
0处的法线方程为：
y
1
1 e
(x
0),
即：y
1 x 1. e
隐函数的基求本导信法则息
例 7 : 求椭圆 x2 y 2 1在 点(2, 3 3 )处的切线.
16 9
2
解：对 x2 y2 1两边关于x求导，得 2x 2 y y' 0.
16 9
高等数学导数公式大全
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2-x ) ' 2-x ln 2(-x) ' -2-x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' (xey ) ',即
y ' ey x (ey ) ey x ey y '
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
2) y sin( x - 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2-x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
高等数学导数的四则运算
课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。
本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则： （1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='， 推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）； 推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形． 例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ， 三、例题分析例：求 的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例： 解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5） （6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用 例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？ 解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出： ，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率 解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为 半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业 上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式 导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？ 由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='， 简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
高等数学第二章导数与微分(4)
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u(x),v v(x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv)
由y f 1(x)的严格单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
y
y 0 (x 0),
y f 1(x)连续, 又知 f ( y) 0
[ f 1(x)] lim y lim 1 1 x0 x y0 x f ( y)
即[ f 1(x)] 1 .
y
f ( y)
4
例7 求函数 y arcsin x 的导数.
19
例20 双曲函数与反双曲函数的导数
ex ex
ex ex
sinh x
,cosh x
2
2
(sinh x) e x e x cosh x 2
(sinh x) cosh x (cosh x) sinh x
tanh x sinh x cosh x
(tanh
x)
1 cosh2
x
20
arcsinh x ln( x 1 x2 )
利用上述公式及法则, 初等函数求导问题可完全解决.
结论:初等函数的导数仍为初等函数.
16
例16 解
求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
y x 2
a2
2
x2
a2 2
2
高等数学18个求导公式
高等数学18个求导公式高等数学的求导，是高等数学的重要的基本技能。
求导的基本定义是求出一个函数的变化率，也就是求函数的导数。
下面给出18个求导公式：1.常数项求导公式：若y = c，其中c为常数，则y′ = 0；2.幂函数求导公式：若y = x^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1}；3.多次幂函数求导公式：若y = x^n + a^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1} + na^{n-1}；4.指数函数求导公式：若y = a^x，其中a为正数，则y′ = a^xln a；5.对数函数求导公式：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；6.三角函数求导公式：若y = sin x，则y′ = cos x；若y = cos x，则y′ = -sin x；若y = tan x，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}；7.反三角函数求导公式：若y = arcsin x，则y′ =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arccos x，则y′ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arctan x，则y′ = \frac{1}{1+x^2}；8.指数函数的导数：若y = e^x，则y′ = e^x；9.乘法公式求导公式：若y = f(x)g(x)，则y′ = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)；10.链式法则求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；11.求和求导公式：若y = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)，则y′ =\sum_{i=1}^{n} f'(x_i)；12.积分求导公式：若y = \int f(x)dx，则y′ = f(x)；13.极限求导公式：若y = \lim_{x \to a} f(x)，则y′ =\lim_{x \to a} f'(x)；14.复合函数求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；15.乘方公式求导公式：若y = (f(x))^n，其中n为正整数，则y′ = n(f(x))^{n-1}f'(x)；16.幂函数的导数：若y = x^n，则y′ = nx^{n-1}；17.对数函数的导数：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；18.三角函数的导数：若y = sinx，则y′ = cosx；若y = cosx，则y′ = -sinx；若y = tanx，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}。
高等数学的导数运算
高等数学的导数运算导数是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数运算是高等数学的基础，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本教案将从导数的定义、基本运算法则、高阶导数以及应用等方面进行论述。
一、导数的定义与计算导数的定义是描述函数在某一点的变化率。
对于函数y=f(x)，其导数可表示为dy/dx或f'(x)。
导数的计算可以通过极限的方法进行，即通过求取函数在某一点的极限值来得到导数的值。
导数的计算方法包括：1.1 函数的极限法则函数的极限法则包括函数极限的四则运算法则、复合函数的极限法则以及反函数的极限法则。
通过这些法则，可以简化复杂函数的导数计算过程。
1.2 常用函数的导数常用函数的导数是高等数学中的基本知识，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
通过熟练掌握这些函数的导数，可以快速计算复杂函数的导数。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是求导过程中的基本规则，它包括常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则以及复合函数的求导法则。
2.1 常数倍法则常数倍法则指出，对于函数y=kf(x)，其中k为常数，其导数为k乘以f(x)的导数。
这一法则可以简化求导过程，使得计算更加方便。
2.2 和差法则和差法则指出，对于函数y=f(x)±g(x)，其导数为f(x)的导数加上（或减去）g(x)的导数。
这一法则适用于求取函数的和、差的导数。
2.3 乘积法则乘积法则指出，对于函数y=f(x)g(x)，其导数为f(x)的导数乘以g(x)加上f(x)乘以g(x)的导数。
这一法则适用于求取函数的乘积的导数。
2.4 商法则商法则指出，对于函数y=f(x)/g(x)，其导数为[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)的平方。
这一法则适用于求取函数的商的导数。
2.5 复合函数的求导法则复合函数的求导法则指出，对于复合函数y=f(g(x))，其导数为f'(g(x))乘以g'(x)。
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个摘要：一、导数的概念与求导的基本方法1.导数的概念2.求导的基本方法a.幂函数求导b.三角函数求导c.指数函数与对数函数求导d.反三角函数求导e.复合函数求导f.隐函数求导g.参数方程求导h.微分求导二、高数常用求导公式1.和差求导公式2.积求导公式3.商求导公式4.链式法则5.三角函数求导公式6.指数函数与对数函数求导公式7.反三角函数求导公式8.复合函数求导公式9.隐函数求导公式10.参数方程求导公式11.微分求导公式三、求导在高数中的应用1.求极值2.求拐点3.求曲率4.求泰勒级数正文：一、导数的概念与求导的基本方法导数是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某一点的变化率。
求导是微积分的基础，通过求导可以研究函数的极值、拐点等性质。
求导的基本方法包括幂函数求导、三角函数求导、指数函数与对数函数求导、反三角函数求导、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导和微分求导等。
二、高数常用求导公式在高数求导过程中，会经常遇到一些常用的求导公式。
这些公式包括和差求导公式、积求导公式、商求导公式、链式法则、三角函数求导公式、指数函数与对数函数求导公式、反三角函数求导公式、复合函数求导公式、隐函数求导公式、参数方程求导公式和微分求导公式等。
掌握这些公式有助于提高求导的效率和准确性。
三、求导在高数中的应用求导在高等数学中有着广泛的应用，如求函数的极值、拐点，计算函数的曲率，研究函数的泰勒级数等。
此外，求导在物理学、工程学等领域也有着重要的实际应用。
高等数学函数求导
高等数学函数求导在高等数学中，函数的求导是指计算函数在某一点处的导数，即函数在该点处的斜率。
函数的求导是数学分析的一个重要内容，在很多领域都有广泛应用，如物理学、工程学、经济学等。
函数的求导一般使用微积分的求导法则来计算。
常用的求导法则包括：常数乘法法则：如果f(x)是可导函数，a是常数，那么af(x)的导数为af'(x)。
常数加法法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么f(x) + g(x)的导数为f'(x) + g'(x)。
绝对值函数求导法则：如果f(x)是可导函数，那么|f(x)|的导数为f'(x)sgn(f(x))，其中sgn(f(x))是f(x)的符号函数，当f(x) > 0时，sgn(f(x)) = 1；当f(x) < 0时，sgn(f(x)) = -1；当f(x) = 0时，sgn(f(x)) = 0。
幂函数求导法则：如果f(x) = x^n（n为常数），那么f'(x) = nx^(n-1)。
复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)。
还有许多其他的求导法则，如高次复合函数求导法则、导数的连续性、指数函数求导法则、导数的反函数法则、导数的极值定理等。
在求导过程中，需要注意以下几点：函数的求导是基于函数在某一点处的变化率，所以函数的求导是在某一点处进行的。
函数的求导是一种局部性概念，因此函数的求导只能在函数的可导区间内进行。
函数的求导是基于函数的近似表达式进行的，因此函数的求导结果也是近似的。
函数的求导是使用微积分的求导法则进行的，因此需要熟练掌握微积分的求导法则。
高等数学初等函数的求导法则
解
y x 1 x ( 1 x)x
1
x
1
(1
x)
1 2
(1
x)
x
1 x x
2
2 1 x
在复合函数求导时，有时需要先利用代数恒等变换
将函数化简，然后再求导，这样可以简化计算.
例 设函数 y
1
, 求y
x x2 1
解
y
yx x (x2源自x2 1 1) 1
1 2
(x2
1
1) 2
(x2
1)
1 x .
y e3sin2(2x) y sin f (x) y f (eg(x) )
注意：复合函数求导的关键
（1）首先分清函数的复合层次，求导时由外到里 逐次求导，一定要求到底，不要有遗漏。求出每一 层次函数的导数，再利用连锁法则，就得到复合函 数的导数.
（2）基本初等函数的导数公式和上述求导法则 是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
求导法则的推广：
(uvw)uvw，
(uvw) uvwuvwuvw。
特殊情况： (Cu)Cu。C为常数
二、例题分析
例：已知y 3x4 2x3 5x2 x 4，求y
解
例已知f (x) cos x 1 1 ln 3，求f (x)
解
f
(x)
cos
x
1 3x
3
x
1 x
x
ln
3
sin
[[[lllnnn
cccooosss(((eeexxx
)))]]]
111 cccooosss(((eeexxx
)))
[[[cccooosss(((eeexxx
)))]]]
高等数学求导法则
高等数学求导法则高等数学中，求导是十分重要的一个概念。
通过求导，我们可以研究函数的性质以及解决各种数学问题。
求导法则是求导的基本规则和方法的总称，它们是我们进行求导计算的依据。
下面，我将向你介绍一些常见的求导法则。
1.常数法则：如果f(x)=C（其中C为常数），那么f'(x)=0。
这是因为常数的斜率为零。
例如，如果f(x)=3，那么f'(x)=0。
2.幂函数法则：对于 f(x) = x^n，其中 n 为常数，f'(x) = nx^(n-1)。
例如，如果f(x)=x^3，那么f'(x)=3x^23.加法法则：对于f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)+v'(x)。
例如，如果f(x)=x^2+2x，那么f'(x)=2x+24.减法法则：对于f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)-v'(x)。
例如，如果f(x)=x^2-2x，那么f'(x)=2x-25.乘法法则：对于f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 * sin(x)，那么 f'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x)。
6.除法法则：对于f(x)=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/v^2(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 / sin(x)，那么 f'(x) = (2x * sin(x) - x^2 * cos(x)) / sin^2(x)。
7.复合函数法则：对于f(x)=g(h(x))，其中g(x)和h(x)是任意函数，f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
高等数学求导法则
五、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 定理 证: 设 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 在点 x 处可导, 即
∆x →0
y= x
y
注意: 连续未必可导. 注意 函数在点 x 连续未必可导 反例: 反例 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
o
x
可导必连续, 但连续不一定可导;
(ax )′ =ax lna
1 (loga x)′ = xlna 1
(ex )′ = ex
1 (lnx)′ = x
2
(arcsinx)′ =
1− x 1 (arctanx)′ = 1+ x2
(arccosx)′ = −
1
1− x2 1 (arccot x)′ =− 1+ x2
四、 导数的几何意义
曲线 若 若 若 若 在点
dα 1 dh sec α⋅ = dt 500 dt
2
h
sec2 α =1+ tan2 α
dh 已知 =140m m , h = 500m 时, tanα =1,sec2 α = 2 , in dt dα 1 1 (rad/ m ) in = ⋅ ⋅140 dt 2 500
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
,求
解： 方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ d x t=0
x = t2 +2t (0 <ε <1 ) 例. 设由方程 2 t − y +ε sin y =1
确定函数 y = y(x), 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
大一上学期同济版高数第二章求导法则
′ ln （ ） = −ex tan(ex ) f （ cos ex ）
这两个记号含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
19
高等数学
第十三讲
20
例6
求下列函数的导数
y = f sin2 x 2 解： 设 y = f (u) u = sin x 2 ′ = f ′(u) ⋅ 2sin xcos x ∴ y′ = f ′(u) ⋅ sin x = f ′(u) sin2x = f ′ sin2 x sin2x 1.
1 x + x +1
2
⋅ ( 1+
) 2 x +1
x
=
2
1 x2 +1
2 2 2
（＋） x a ′ 2x ( x ± a )′ = = 2 2 2 x ± a 2 x2 ± a2 x = x2 ± a2
17
例3. 设 解：
1 −sin x cos x −(1+cos x) −1 y′ = [ − ]= = csc x 3 1+cos x sin x 3sin x(1+cos x) 3
由外向内逐层求导
y′ = (e
sinx2⋅ cos x2 ⋅ 2x
关键: 关键 搞清复合函数结构
注：函数的乘积中含有 eu(x)，求导后其必为各项的公 因子。计算时注意提在结果公式的前面。 [eu( x)v( x)]′ = eu( x)[u′( x)v( x) +v′( x)]
25
1 1 1+ x +1 2 ,求 y′. 例4. 设 y = arctan 1+ x + ln 2 4 1+ x2 −1 1 1 x 解: y′ = ⋅ 2 1+( 1+ x2 )2 1+ x2
高等数学-函数和、差、积、商的求导 法则
(1 + )2
+ + −
=
(1 + )2
12
03 函数商的求导法则
例4 已知() =
1−
′
，求 ( )．
1+
2
2
续解 即
=
.
2
(1 + )
2
7
02 函数积的求导法则
例2 设 = 3 ，求 ′ .
解
′ = ( 3 )′ + 3 ( )′
=
3 2
+
3
1
⋅
= 3 2 + 2 ．
8
本节内容
01 函数和、差的求导法则
02 函数积的求导法则
03 函数商的求导法则
9
03 函数商的求导法则
′ () = ′ ()() + () ′ ().
简记为
()′ = ′ + ′ .
6
02 函数积的求导法则
注 (1)当() = （为常数）时， () ′ = ′ ().
(2)乘积的求导法则也可以推广到任意有限个函数乘积
的情形．例如，()′ = ′ + ′ + ′ ．
定理2.5 如果函数 = ()及 = ()在点处可导且
() ≠ 0，那么函数() =
′ () =
简记为
′
特别地，当 ≠ 0时，
()
在点处也可导，且
()
′ ()()−() ′ ()
.
2
[()]
=
′ − ′
.
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例7. y =
x +1 − x −1 求 ′ , y . x +1 + x −1
2
2x − 2 x −1 = x − x2 −1 解: Q y = 2 1 x ∴ y′ = 1 − ⋅ (2 x) = 1 − 2 x2 −1 x2 −1
例8. 设 y = x
aa
+a
dy = f ′(u ) g ′( x) 且 dx ∆y 证: Q y = f (u ) 在点 u 可导, 故 lim = f ′(u ) ∆ u →0 ∆u ∴ ∆ y = f ′(u )∆u + α ∆u （当 时 ) ∆y ∆u ∆u (∆ x ≠ 0) = f ′(u ) + α 故有 ∆x ∆x ∆x ∆y = f ′(u ) + α dy ∆y ∆u f ′(u ) g ′( x) ∴ = lim = lim = d x ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0
u ( x + h) u ( x ) − v ( x + h) v ( x )
h
v ( x + h )v ( x ) u ′( x) v( x±− ux)v( x( x) ) u ( ( x ) v′ ) 故结论成立. = 2 v) ( xu ( x)v( x + h) u ( x + h )v ( x − ) C ′ − C v′ ) ( C为常数 ) 推论: ( ) = 推论 h v( x + h)v( x2 v v YANGZHOU UNIVERSITY
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2) 设 y = a (a > 0 , a ≠ 1) , 则 x = log a y , y ∈ ( 0 , + ∞)
x
1 = = (log a y )′
x
1
1 y ln a
= y ln a
′ = ex 特别当 a = e 时, ( e )
d y
证: 在 x 处给增量 ∆x ≠ 0 , 由反函数的单调性知 ∆y 1 ∴ = ∆x ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) ≠ 0 , ∆x ∆y 且由反函数的连续性知 ∆x → 0 时必有∆y → 0 , 因此 ∆y 1 1 f ′( x) = lim = lim ∆x = −1 ∆x→0 ∆x ∆y →0 [ f ( y )]′ ∆y
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 推广 例如,
y
d y d y d u dv = ⋅ ⋅ d x d u dv d x
u v x
= f ′(u ) ⋅ ϕ ′(v) ⋅ ψ ′( x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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例5. 设 解:
求
1 = ⋅ (− sin( e x )) ⋅ e x cos( e x )
= −e tan(e )
x x
思考: 若 思考
存在 , 如何求 f (ln cos(e x )) 的导数?
df = f ′( ln cos( e x ) ) ⋅ (ln cos( e x ))′ = L dx
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(1) (u ± v)′ = u ′ ± v′ 证: 设 f ( x ) = u ( x ) ± v ( x ) , 则 f ( x + h) − f ( x ) f ′( x) = lim h →0 h [ u ( x + h) ± v ( x + h) ] − [ u ( x ) ± v ( x ) ] = lim h→0 h u ( x + h) − u ( x ) v ( x + h) − v ( x ) = lim ± lim h →0 h→0 h h = u′( x) ± v′( x) 故结论成立.
这两个记号含义不同
f ′(u ) u =ln cos(e x )
练习: 练习 设 y = f ( f ( f ( x))) , 其中 f ( x) 可导, 求 y′.
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例6. 设 解:
1 x + x2 + 1
= 1 x +1
2
⋅( 1+
第二章
第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
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思路: 思路
( 构造性定义 ) 本节内容
( C )′ = 0 ( sin x )′ = cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x )′ = x
1 2 x +1
2
⋅ 2x
)
x −x
记 arsh x = ln ( x + x 2 + 1 ) , 则 (反双曲正弦)
e −e sh x = 2 的反函数
(arsh x)′ =
1 x2 +1
其它反双曲函数的导数见 P94例16. 例
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例4. 求下列导数:
⋅ ( µ ln x)′ 解: (1) ( x µ )′ = (e µ ln x )′ µ ⋅ = µ x µ −1 x
(2) ( x x )′ = (e x ln x )′
⋅ ( xln x)′ = x x ( ln x + 1)
xa
+a
(u ± v)′ = u′ ± v′ (u v)′ = u′v + u v′
3. 复合函数求导法则
(C u )′ = C u ′ ( C为常数 ) u ′ u′v − u v′ ( v ≠ 0) ( )= 2 v v
说明: 说明 最基本的公式 (C )′ = 0
y = f (u ) , u = ϕ ( x)
3
3 解: y′ = ( x )′ ( x − 4 cos x − sin 1)
( x 3 − 4 cos x − sin 1)′ + x
2 x 1 y ′ x =1 = (1− 4 cos 1− sin 1) + ( 3 + 4 sin 1) 2 7 7 = + sin 1 − 2 cos1 2 2
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
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(2) (u v)′ = u ′v + u v′
证: 设 f ( x) = u ( x)v( x) , 则有
f ( x + h) − f ( x ) u ( x + h )v ( x + h ) − u ( x )v ( x ) f ′( x) = lim = lim h →0 h →0 h h
1 (ln x)′ = x
µ
µ −1
(arcsin x)′ =
1− x 1 (arctan x)′ = 1 + x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(arccos x)′ = −
1
1− x2 1 (arc cot x)′ = − 1+ x2
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2. 有限次四则运算的求导法则
u ( x + h) − u (x) v( x + h) + u (x) v( x + h) − v( x) = lim h →0 h h
= u ′( x)v( x) + u ( x)v′( x)
故结论成立.
推论: 推论 1) ( C u )′ = C u ′ ( C为常数 )
dy dy d u = ⋅ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x) dx d u dx
(sin x)′ = cos x
(ln x)′ =
1 x
4. 初等函数在定义区间内可导 由定义证 , 其它公式 初等函数在定义区间内可导, 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数
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二、反函数的求导法则
定理2. 定理 设 y = f ( x) 为 x = f −1 ( y ) 的反函数 ,
−1
f
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f −1 ( y )]′ ≠ 0 ( y) 在 d y 1 f ′( x) = −1 或 = d1x dx [ f ( y )]′
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例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设
y ∈ (−
π
2
,
π
2
则
) , ∴ cos y > 0 , 则
1 = = (sin y )′ cos y
1 1 − sin y
2
利用 π arccos x = − arcsin x 2 类似可求得
小结: 小结
( arcsin x)′ = ( arctan x)′ =
(a )′ = a ln a
x x