概率论与数理统计学的产生和发展
数理统计学的发展历程
数理统计学的发展历程数理统计学是伴随着概率论的发展而发展起来的。
19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，如C.F.高斯和A.M.勒让德关于观测数据误差分析和最小二乘法的研究。
到19世纪末期，经过包括K.皮尔森在内的一些学者的努力，这门学科已开始形成。
但数理统计学发展成一门成熟的学科，则是20世纪上半叶的事，它在很大程度上要归功于K.皮尔森、R.A.费希尔等学者的工作。
特别是费希尔的贡献，对这门学科的建立起了决定性的作用。
1946年H.克拉默发表的《统计学数学方法》是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志。
数理统计学的发展大致可分3个时期。
第一时期20 世纪以前。
这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。
后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。
首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。
由于高斯等的工作揭示了正态分布的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用正态分布来刻画。
这种观点使关于正态分布的统计得到了深入的发展，但延缓了非参数统计的发展。
19世纪末，K.皮尔森给出了以他的名字命名的分布，并给出了估计参数的一种方法——矩法估计。
德国的F.赫尔梅特发现了统计上十分重要的x2 分布。
第二时期20世纪初到第二次世界大战结束。
这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。
许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。
这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。
在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。
第三时期战后时期。
这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。
【2024版】概率论与数理统计(数理统计的基本概念)
X
2 n
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D(
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2 1
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nD (
X
2 i
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X
4 i
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[E(
X
2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2
dx
12
n3
1
2n
23
若 2 ~ 2(n) 分布函数为F ( x)
,0 1 若F ( x) P{ 2 x}
则其解称为 2 分布 的 分位数(临界值)
0.15 00.1.155
000.1..11
N(0,1)
n=10 n=10 nn==33
n增大
000.0..00555
nnn===111
000
-5--55
-4--44
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
444
555
t 分布的密度曲线关于y轴对称 随着n的增大, t 分布的密度曲线越陡
n 时，t 分布趋于标准正态分布N (0,1)
后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关 信息,利用数学的工具进行加工.
引入统计量的概念
12
定义 设( X1, X 2 ,, X n )为来自总体X的一个样本,
若n元函数f ( X1, X 2 ,, X n )不含任何未知参数,
则
称f
(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)为X
1
,
X
2
概率论期末论文
概率论期末论文《概率论与数理统计》期末论文题目：关于《概率论与数理统计》学习的收获学院：专业:班级：姓名：学号：2012年12月【摘要】：通过对概率论与数理统计发展历程的概述与学习方法的探讨，总结数理统计思想在生活中的应用，体会开设这门课的意义。
【关键字】：概率论与数理统计发展历程学习方法思想经过了一学期概率论与数理统计的学习，我发现概率论与数理统计与其他学科相比，既有同为数学学科的相似性，也有其特殊性。
学好这门课有助于锻炼我的逻辑思维能力，也加强了我对抽象事物的理解能力。
一、概率论与数理统计的起源与发展说及概率论的起源，离不开随机现象的探讨。
我们都知道，人们在实践活动中所遇到的所有现象，一般来说可分为两类：一类是必然现象，或称为确定性现象；另一类就是随机现象，或称不确定性现象。
科学家经过实践证明，如果同类的随见现象大量重复出现，它的总体就会呈现出一定的规律性。
这种由随机现象呈现出来的规律性，会随着我们的观察次数而变得明显。
举个很常见的例子，扔硬币时，每一次投掷都不知道哪一面会朝上，但是如果多次重复地投掷，就会发现它们朝上的次数大致相同。
这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，就叫做统计规律性。
概率论与数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。
早在16世纪的时候，一个叫做卡丹的意大利数学家，由于他沉溺于赌博，用来的钱可以补贴收入。
他为此撰写了《论赌博》，提出系统的概率计算。
书中计算了掷两颗或者三科骰子时，在一切可能方法中有多少方法得到某总点数。
但到了17世纪，这本书才得以出版。
在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡与荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用古典概型解决赌博中的“分赌注问题”与“赌徒输光问题”等，到了18，19世纪，又出现了对人口统计与误差理论等的探究。
之后，瑞士数学家伯努利建立了概率论中第一个极限定理，阐明了时间发生频率稳定与它的概率。
后来，棣莫弗和拉普拉斯提出了“棣莫弗-拉普拉斯定理”，为概率论中第二个基本极限定理定下雏形。
统计学、概率论和数理统计的区别和联系
统计学、概率论和数理统计的区别和联系今天我们就来说说统计学、概率论和数理统计为什么要说他们呢，因为这⼏个字眼⼤家肯定是已经⽆数次地碰到过了，但他们究竟代表了什么，以及他们之间的区别与联系，相信⼤家平时肯定是没怎么关注过，⽽是更多的混为⼀谈。
然⽽今天，随着⼤数据与数据科学的热⽕朝天，这⼏个词重新被⼤家给予了⾼度关注，特别是统计学。
原因也很⾃然：分析思维是数据科学的核⼼思维⽅式，⽽分析思维就是关于计算与统计的思维。
统计思维⽣长的⼟壤就是概率论和数理统计。
1、统计学⾸先说说统计学，关于这个词其实是个历史遗留问题。
因为从统计学的发展历史来看，最早的统计学和国家经济学有密切的关系。
统计学的英⽂是“statistic”，其实它是源于意⼤利⽂的“stato”，意思是“国家”、“情况”，也就是后来英语⾥的state（国家），在⼗七、⼗⼋世纪，统计学很多时候都是以经济学的姿态出现的。
根据维基百科：By the 18th century, the term 'statistics' designated the systematic collection of demographic and economic data by states. For at least two millennia, thesedata were mainly tabulations of human and material resources that might betaxed or put to military use.统计学最开始来源于经济学和政治学。
17世纪的经济学家William Petty和他的《政治算术》⼀书揭开了统计学的起源（维基百科）：The birth of statistics is often dated to 1662, when John Graunt, along with William Petty, developed early human statistical and census methods that provided a framework for modern demography. He produced the first life table, giving probabilities of survival to each age. Hisbook Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality usedanalysis of the mortality rolls to make the first statistically basedestimation of the population of London.所以从⼀开始，统计学就跟经济学、政治学密不可分的。
概率论的产生与发展
8.2 来自保险业的推动
概率论的研究虽来源于对赌博问题的研 究，但促使它迅速发展的直接动力却是来自保 险业的需要。18世纪的欧洲，工商业迅速发展， 一门崭新的事业——保险业开始兴起。保险公 司为了获取丰厚的利润，必须预先确定火灾、 水灾、死亡等意外事件发生的概率，据此来确 定保险价格。例如，人寿保险的价格是这样确 定的，先对各种年龄死亡的人数进行统计，得 到下表（表8-1）：
在七年后修改扩充为《机遇原理》发表，这是 早期概率论的专著之一。在这部著作中，他首 次定义了独立事件的乘法原理，给出二项式公 式，并讲座了许多投掷骰子和其他的赌博问题。 对概率论的了展作出了重大推进。书中提出了 概率乘法法则，以及“正态分布”、“正态分 布律”等概念，得到了现在被称为“棣莫弗— 拉普拉斯定理”的特例，这也是“中心极限定 理”的一部分。另外，他于1730年出版的概率 著作《分析杂录》中使用了概率积分
出一次4点时，梅累接到通知，要他马上 陪同国王接见外宾，君命难为，但就此收回各 自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩 分取这64个金币。这下可把他难住了。赌友说， 虽然梅累只需再碰上一次6点就赢了，但他若 再碰上两次4点，也就赢了。所以他分得的金 币应是梅累了一半，即64个金币的三分之一。 梅累不同意这样分，他说，即使下次赌友掷出 一个4点，他还可以赢得赌金的二分之一，即 32个；再加上下次他还有一半希望是6点，这 样又可分得16个金币，所以他至少应得64个金 币的四分之三。谁是谁非，争论不休，其结果 也就不得而知了。不过梅累对于此事却
明，针与其中任一直线相交的概率为p=2,当 p=2 l / a ,通过实验得到时，我们就可以用 之来确定圆周率值。蒲丰的这一方法后来发展 为著名的蒙特卡洛方法，对于解决许多繁难的 积分、线性方程和微分方程问题很有成效。 到了19世纪初，概率论的研究开始朝着 系统化的方向发展，其中贡献较大的数学家有： 法国的拉普拉斯、泊松，德国的高斯，俄国的 契比雪夫、马尔科夫等。 拉普拉斯一生写过好几本概率论专著，其 中《分析概率论》（1812年）被誉为古典概率 论系统理论的经典之作，全面总结了前一时期 概率论的研究成果，并予以亚密而又系统的。
概率论与数理统计发展史简要、主要内容概要及其主要应用
概率论与数理统计是一门研究随机现象和数据分析的学科。
以下是关于概率论与数理统计发展史、主要内容概要以及其主要应用的简要介绍：发展史概率论与数理统计是数学的重要分支之一，其发展可以追溯到17世纪。
以下是一些重要的里程碑事件：- 1654年，法国贵族帕斯卡尔引入概率论的基本概念。
- 18世纪，瑞士数学家伯努利家族对概率论做出了系统的研究，并提出伯努利试验和大数定律。
- 19世纪，法国数学家拉普拉斯在概率论方面有很多重要贡献，提出了拉普拉斯公式和拉普拉斯逼近定理。
-20世纪，俄国数学家科尔莫哥洛夫发展了现代概率论的基本框架，建立起了测度论和概率测度的数学基础。
主要内容概要概率论研究随机现象的规律性和不确定性，主要包括以下几个方面的内容：1. 概率基本概念：包括样本空间、事件、随机变量等。
2. 概率分布：研究随机变量的取值及其对应的概率。
3. 大数定律：研究随机变量序列的稳定性，指出当样本容量足够大时，随机现象的长期平均值收敛于期望值的概率趋近于1。
4. 中心极限定理：研究多个相互独立的随机变量之和的分布趋近于正态分布的概率。
数理统计是利用样本数据对总体特征进行推断和决策的学科，主要内容如下：1. 抽样方法：研究如何从总体中获取代表性样本的方法。
2. 统计描述：通过统计量对总体特征进行度量和描述。
3. 参数估计：利用样本数据对总体参数进行估计。
4. 假设检验：根据样本数据对关于总体的假设进行推断和判断。
5. 方差分析和回归分析：研究多个变量之间的关系和影响。
主要应用概率论与数理统计具有广泛的应用领域，涉及自然科学、社会科学、工程技术等众多领域，包括但不限于以下方面：1. 金融和风险管理：用于分析投资组合的风险、金融市场波动性的预测和金融产品的定价。
2. 医学和生物统计学：应用于疾病概率分析、药物疗效评估和流行病学研究等。
3. 工程和质量控制：用于产品质量分析、过程改进和可靠性评估。
4. 社会科学和市场调查：用于样本调查、舆论调查和社会现象的分析。
统计学发展历程简述
统计学发展历程简述
统计学是一门通过搜索、整理、分析数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。
其中用到了大量的数学及其它学科的专业知识，它的使用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。
据权威统计学史记载，从17世纪开始就有了“政治算术”、“国势学”，即初级的社会统计学，起源于英国、德国。
几乎同时在意大利出现了“赌博数学”，即初级的概率论。
直到19世纪，由于概率论出现了大数定理和误差理论，才形成了初级的数理统计学。
也就是说，社会统计学的形成早于数理统计学两个世纪。
由于社会统计学广泛地用于经济和政治，所以得到各国历届政府的极大重视，并得到系统的发展。
而数理统计在20世纪40年代以后，由于概率论的发展，而得到飞速发展。
经过近400年的变迁，目前世界上已形成社会统计学和数理统计学两大体系。
两体系争论不休，难分伯仲。
概率论简史
费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：
情况 １ ２ ３ ４
胜者 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。
数理统计的内容
有一类随机事件，它具有两个特发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做"古典概型"。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
四、概率论理论基础的建立：
概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的"大数定律"。所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。
现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。
概率论与数理统计简史
概率论与数理统计简史概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学分支。
其历史悠久，应用广泛，发展迅速。
概率论起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。
数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局﹝a < s﹞，而赌徒B赢b局﹝b < s﹞时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠更斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，惠更斯写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望﹝mathematical expectation﹞这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各·伯努利﹝1654-1705﹞。
他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有趋稳定的趋势”。
这一定理在他死后的1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。
到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗─拉普拉斯定理”。
这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。
而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。
另外，他又和数学家高斯，勒让德等建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。
另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。
他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。
概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。
概率论与数理统计概率历史介绍
概率论与数理统计概率历史介绍-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一、概率定义的发展与分析1.古典定义的历史脉络古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比．2.古典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题．“应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评．3.统计定义的历史脉络概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布•伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”．事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯•米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．4.统计定义的简单分析虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法．而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广．但是从数学理论上讲，统计定义是有问题的．在古典概率的场合，事件概率有一个不依赖于频率的定义——它根本不用诉诸于试验，这样才有一个频率与概率是否接近的问题，其研究导致伯努利大数定律．在统计定义的场合这是一个悖论：你如不从承认大数定律出发，概率就无法定义，因而谈不上频率与概率接近的问题；但是你如承认大数定律，以便可以定义概率，那大数定律就是你的前提，而不是一再需要证明的论断了．5.公理化定义的历史脉络正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题，所以到了19世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察．1900年，38岁的希尔伯特（1862—1943）在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题，这就是著名的希尔伯特23个问题中的第6个问题．这引导了一批数学家投入这方面的工作．在概率公理化的研究道路上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903—1987）成绩最为卓著，1933年，他在《概率论基础》中运用集合论和测度论表示概率论的方法赋予了概率论严密性．6.公理化定义的简单分析为什么直到20世纪才实现了概率论的公理化，这是因为20世纪初才完成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论，而这都是概率论公理化体系建立的基础．柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念，形成了概率论的公理化体系，他的公理体系既概括了古典定义、统计定义的基本特性，又避免了各自的局限．例如，公理中有一条，是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来，在这个前提下，大数定律就成为一个需要证明且可以得到证明的论断，这就避免了“4”中统计定义的数学理论上的问题；而公理中关于“概率存在”的规定又有其实际背景，这就是概率的古典定义和统计定义．所以，我们说，概率论公理体系的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，至此，概率论才真正成为了严格的数学分支．二、关于概率定义教学的几点思考对于概率的定义，教科书是先给出古典定义，然后再给出统计定义．这与历史上概率定义的发展相吻合，从“简单到复杂”．在教学中，我们不仅要明了这种顺序的设计意图，而且还要抓住不同定义的特点和思想，以引导学生更好地理解概率．1.古典定义的教学定位在前面的分析中，我们说“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提．正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”．因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点．“等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻．因此，“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件．2.统计定义的教学定位从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大数定律．在初中阶段，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明．因此，统计定义定位在其合理性和必要性是比较恰当的．如何让学生体会其合理性和必要性？罗老师的课堂教学比较好地实现了这两点．从教学顺序来看，罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子，“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实，从而感受到“用频率估计概率”的合理性；罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用，“掷图钉”不能用古典定义求概率，由此能让学生体会到学习统计定义计算事件概率的必要性．从教学手段来看，罗老师主要采用了“学生试验”的方法，学生的亲自试验在这节课所起的作用是无可代替的：“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；“亲自试验”能够让学生感受到频率的随机性和稳定性等特点．所以，像概率与统计的学习，学生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法．3. 概率与统计教学的背后：专业素养的提升在课题研讨时，教师们表现出这样一些困惑：随着试验次数的增加，频率就越来越稳定频率估计概率，一定要大量试验实验次数多少合适事实上，这些问题涉及的就是概率与统计的专业素养．对于大多数教师而言，概率与统计相对而言比较陌生，这是很自然的，因为在教师自身接受的数学专业学习中，概率与统计就是一个弱项．但是，既然要向学生教授概率与统计，那么还是需要有“一桶水”的．就像上面的问题，翻阅任何一本《概率论与数理统计》，都可以给我们知识上的答案，而翻阅一下相关的科普读物或史料，就可以给我们思想方法上的答案．举个例子：伯努利大数定律：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p()，则对任意的，有．狄莫弗-拉普拉斯极限定理：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p()，则．伯努利大数定律只是告诉我们，当n趋于无穷时，频率依概率收敛于概率p．伯努利的想法是：只要n充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小．值得赞赏的是，他利用了“依概率收敛”而不是更直观的p，因为频率是随着试验结果变化的，在n次试验中，事件A出现n次也是有可能的，此时p就不成立了．伯努利不仅证明了上述大数定律，而且还想知道：若想要把一个概率通过频率而确定到一定的精确度，要做多少次观察才行．这时，伯努利大数定律无能为力，但是狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答：．（*）例如研究课中掷硬币的问题，若要保证有95%的把握使正面向上的频率与其概率0.5之差落在0.1的范围内，那要抛掷多少次？根据（*）式，可以估计出．三、概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。
概率之1-1 概率论发展简史及随机事件(专衔本)
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
概率论发展简史
概率论发展简史及应用11108111班邱耀 1110811025摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。
它起源于十七世纪中叶，当时数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博的问题。
德梅雷、帕斯卡、费尔马等人，首先对这个问题进行了研究与讨论，后来伯努利提出了大数定律，高斯和泊松进一步的推理论证。
由于社会的发展和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，许多科学家进行了研究。
发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。
关键词：概率，数理，统计,赌博。
一、概率论的起源17世纪中叶，在法国出现了对赌博问题的研究，也正是对这个问题的研究，推动了数学的发展，是一门崭新的学科—概率论诞生了。
对这一问题的研究是这样开始的：有一次，爱好赌博的德梅雷（de Mere,1610-1684,法国）向其好友、著名数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662,法国）提出了有关赌博的各种问题，例如，甲乙双方是竞技力量相当的对手，每人各拿出32枚金币，以争胜负。
在竞争中，取胜一次，得一分。
最先获得3分的人取得全部赎金64枚金币。
可是，因某种缘故，竞争3次，赌博被迫终止。
而此时，甲得2分，乙得1分，问赌金如何分配？1654年7月29日，帕斯卡给费尔马（Fermat，1651-1665，法国）写信，商量如何解决这类问题。
来往书信持续三个月之久，在1654年10月27日，帕斯卡又给费尔马去信说：“你的信所阐述的内容是令人满意的，你所采用是方法是正确的，深感敬佩。
这种分配方法完全是你创建的。
我所想出的方案与你的方法是完全不同的，但都达到了同样的目的……”帕斯卡的信宣告了讨论至此结束。
但在这期间他们之间到底是怎样讨论这一问题的呢？实际上，在这三个月的书信往来中，他们以赌博为例认真的讨论了有关数学问题，在7月29日的信中，帕斯卡认为，当甲得2分，乙得1分时赌博终止，那么甲应该说：“在任何情况下，我有权获得32枚金币。
概率论的起源和发展
概率论发展简史概率思想早在文明早期就己经开始萌芽，但因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢，现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史，他们更愿意把1654年帕斯卡和费马之间的七封通信看作是概率论的开端。
这样，概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。
一般认为，概率论的历史只有短短的三百多年时间。
虽然在早期概率论的发展非常缓慢，但是十八世纪以后，由于社会学，天文学等其它学科的研究需要，使得概率本身的理论得到了迅速发展，它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。
在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。
无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。
概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。
1、古典概率时期（十七世纪）人们对偶然现象(即随机现象)规律性的探求，经历了相当长的历史时期。
最早，人们对事物的偶然性并不重视，他们认为这是“微不足道的”，而只注意那些有一定必然规律的现象。
但是，严酷的现实使人们感到这种观点是错误的，因为火灾、水灾、地震等偶然现象一当发生，便给人们的生命财产带来不可估量的损失。
随之，又认为偶然现象是“可怕的”，“严重的”。
但是，在实践中人们又发现，事物的偶然性不仅有可怕的一面，也有造福于人类的一面，例如久旱后偶遇甘霖，就是大喜之事。
这样，人们开始探讨偶然现象发生的规律性。
直到唯物辩证法产生，才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。
现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。
这段期间，欧洲进入文艺复兴时期，工业革命已开始蔓延。
伴随工业发展提出的误差问题，伴随航海事业发展产生的天气预报问题，伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等，加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题，急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。
概率论与数理统计发展及应用1
概率论与数理统计发展及应用摘要：通过上半学期概率论与数理统计这门课的学习，我大概了解了基本的概率知识，意识到这门课对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。
本文将根据自己的学习心得以及在网上,图书中查找的资料，从概率论的发展历程，以及其在各重要领域中的应用两个方面来阐述我对本门课的理解。
关键词：概率论，数理统计，发展，主要应用正文一、概率论及数理统计的发展1、历史背景17、18世纪，数学获得了巨大的进步。
数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。
除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
2、概率论的起源与发展概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。
概率论的研究始于意大利文艺复兴时期当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。
当时赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大，一些职业赌徒，为求增加获胜机会，迫切需要计算取胜的思路，研究不输的方法。
十七世纪中叶，帕斯卡和当时一流的数学家费尔马一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题，这就是概率论的萌芽。
1657年荷兰物理学家惠更斯发表了“论赌博中的计算”的重要论文，提出了数学期望的概念，伯努利把概率论的发展向前推进了一步，于1713年出版了《猜测的艺术》，指出概率是频率的稳定值，他第一次阐明了大数定律的意义。
1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》，书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据上，直到1924年菜被英国统计学家K·皮尔森在一家图书馆中发现。
德国数学家高斯从测量同一物体所引起的误差这一随机现象独立的发现正态分布密度函数方程，并发展了误差理论，提出了最小二乘法。
概率论与数理统计论文
概率论与数理统计论文学院：航天学院班级：1421201姓名：郭兴达学号：1142120133经过一个学期的的概率论学习，我想将我的感想和收获写在论文中,那么我就先介绍一下概率论的发展简史吧。
一、发展简史统计学是关于数字资料收集、组织、分析与解释的科学.“资料收集"是取得数量或数据的方法.正确的结论只能来源于正确的资料，来源于有代表性的资料。
“资料组织”是以适当形式表现所收集的资料,以得出符合逻辑的结论。
“资料分析”是从给定的量或数，抽出有关问题，从而得出一个简要的综合姓的结果。
达到这个日的的最重要的量（平均数、中位数、极差、标推差，等等）.“资料解释"是通过资料分析来作出结论的工作，它通常是通过类似对象的小的集合提供的信息来对有关对象的大的集合形成预测的。
因此，统计学是一门科学，它处理在某种程度上可用数量信息回答的问题,而信息是通过计数和量度得到的.不论我们在生物研究中调查昆虫数、还是在工厂中调查工人数或工时数，统计工作者的职责首先是选择所裔的那类信息，其次是指导适当的有效的收集与加工信息，最后是解释结果。
在解释结果中，特别是在资料不完全的情况下,统计工作者必须运用原理与方法以得出有效的调查结果。
他常常要求面对不肯定的情况做出明智的决策.统计一词有两个显然不同的意义。
当用作如上所指的情况时，它是.一种研究和评价数量资料的科学方法。
当用作复数时,它是“数量资料:一词的同义语。
因此，如果我们说在“世界年鉴”或“美国统计摘要"中有统计,即是说在它们中有数量资料。
这是一个古老的、有普遍意义酌词。
原先,统计着重为政府首脑管理国家政务提供资料.用数字资料表现的这种信息可以上溯到亚里斯多德及他的“国家政务论”。
事实上，“statistics与“state”源于同一词根，就是一个明证.早期大多数文明国家,由于军事的与财政的原因，曾经编制大规模的统计资料，以确定国家的入力与物力.我们在基督教圣经中曾看到诸如此类的户口调查，以及罗马帝国各地普遍编制的税册。
在概率论与数理统计学科发展史上有重要贡献的人和事
在概率论与数理统计学科发展史上有重要贡献的人和事概率论与数理统计学的发展史上，有不少古今中外科学家和重要事件对其贡献良多。
从古希腊开始，当时哲学家苏格拉底就提出，客观事务存在确定性和不确定性相结合的原则，为概率概念的形成奠定了基础。
又有哲学家亚里士多德建立了概率实质论的基础，认为具体结果的发生可能是多种情况出现其中的一种，可以有确定的概率。
进而，里尔兹将概率限制为多事件的同时发生的组合，将它们应用到概率的计算方面，写下了很多思考和研究。
英国数学家斯特林从15中取9的实验，探究随机变量之间的关系，为统计学立下汗马功劳。
此后，17世纪英国数学家斯莱德将斯特林定理推广至平均数的概念，为推动概率论和数理统计的发展做出了重要贡献。
18世纪，英国数学家乔治·拉什泰尔将概率论从数学上开展实际应用，他系统地研究了关于随机变量、概率分布、异方差和期望值等概念，为概率理论发展奠定了关键理论基础。
20世纪初，美国科学家杰里·库珀完善了拉什泰尔为基础，提出了期望值对观测值和简单统计量的统计推断，为数理统计学的发展做出了宝贵贡献，使贝叶斯定理、蒙特卡罗方法和粒子滤波等方法的发展受到推动。
20世纪40年代，日本科学家坂田慎治将概率统计理论应用到气象领域，提出了实时气象预报的概率理论，加之发展了统计模式和统计方法；此后，更多的科学家加入了气象概率理论的研究，比如美国科学家弗雷德里克·施莱克利尔，他将统计与概率理论结合起来，为概率论和数理统计学的研究发展做出了积极贡献。
在概率论和数理统计学发展史上，贝叶斯和高斯等人对概率论和数理统计学上的成就，不能被忽视。
他们的作品，不仅普遍被认为是现代概率论和数理统计的典范，还激励了无数后来的科学家，并催生了今天统计分析技术发展如此迅速的趋势。
概率统计发展简史
一、概率论发展简史1．20世纪以前的概率论概率论起源于博弈问题。
15-16世纪，意大利数学家帕乔利(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亚(N.Tartaglia,1499-1557)和卡尔丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。
1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。
而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。
他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A.de Moivre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。
之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707-1788)提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。
另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)等对概率论做出了进一步奠基性工作。
特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。
泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。
19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。
他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。
切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。
概率论与数理统计第一章随机事件及其概率
概率论与数理统计配套教材：苏德矿等，概率论与数理统计，高等教育出版社概率论产生于17世纪，本来是由保险事业发展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉1>. 早在1654年，有一个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合理？”概率论在物理、化学、生物、生态、天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广泛。
序言自然界和社会上发生的现象是多种多样的.在观察、分析、研究各种现象时,通常我们将它们分为两类:(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，在相同条件下完全可以预言将来的发展，例如，在标准大气压下，纯水加热到100℃必然沸腾;向空中抛掷一颗骰子，骰子必然会下落;在没有外力作用下，物体必然静止或作匀速直线运动;太阳每天必然从东边升起，西边落下等等，称这一类现象为确定性现象或必然现象.第一章随机事件及其概率人们经过长期实践和深入研究之后,发现随机现象在个别试验中,偶然性起着支配作用,呈现出不确定性,但在相同条件下的大量重复试验中,却呈现出某种规律性.随机现象的这种规律性我们称之为统计规律性.概率论与数理统计是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科.(2)在个别试验中呈现不确定的结果，而在相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称为随机现象(或偶然现象).例如,在相同条件下,抛掷一枚硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次抛掷之前无法确定抛掷的结果是什么.§1 随机事件在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.§1.1 随机试验与样本空间（1）抛一枚硬币,有可能正面H朝上，也有可能反面T朝上.（2）抛一粒骰子,出现的点数.（3）一只灯泡使用的寿命.在相同条件下可以重复的随机现象称为随机试验(Random experiment).随机试验具有以下特点:(1)可以在相同条件下重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.试验的样本空间的实例E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.则样本空间为Ω1 ={H,T}E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.则样本空间为Ω 2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}E3:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H出现的次数.则样本空间为Ω 3={0,1,2,3}E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.则样本空间为Ω 7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}这里x表示最低温度,y表示最高温度;并设这一地区的温度不会小于T0,不会大于T1.E4:抛一粒骰子,观察出现的点数.则样本空间为Ω 4={1,2,3,4,5,6}E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.则样本空间为Ω5={0,1,2,3,…}E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命.则样本空间为Ω 6={t|t≥0}于是样本空间是由三个样本点构成的集合这个例子表明:试验的样本点与样本空间是根据试验的内容而确定的.例:抛二粒骰子的样本空间为：§1.2 随机事件(random event)（6）空集?? 称为不可能事件(Impossible event ).（5）样本空间Ω称为必然事件(Certain event) .（4）由样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件(Basic events) . 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,简称事件.（2）事件A发生当且仅当A中的某个样本点出现.（1）任一事件A是相应样本空间的一个子集.（3）事件可用集合A表示，也可用语言描述.例:对于试验E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况. A2={HHH,TTT}（2）事件A2:“三次出现同一面”,则A1={HHH,HHT,HTH,HTT}（1）事件A1:“第一次出现的是正面H”,则A2={HHT,HTH，THH}（3）事件A3:“出现二次正面”,则例:对于试验E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命.B={t|0≤t<1000}事件B:“寿命小于1000小时”,则例:对于试验E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.C={(x,y)|y-x=10, T0≤x≤y≤T1}事件C:“最高温度与最低温度相差10度”,则§1.3 事件的关系(Relation of events )设试验E的样本空间为Ω ,而A,B,Ak(k=1,2,…)是Ω的子集.事件是一个集合,因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理.根据“事件发生”的含义,下面给出事件的关系和运算在概率论中的提法.§1.3.1 包含关系(Inclusion relation)定义:若属于A的样本点必属于B,则称事件B包含事件A，记为A ?? B .即事件A发生必然导致事件B发生.例:抛一粒骰子，事件A=“出现4点”，B=“出现偶数点” .则事件A发生必然导致B发生，所以A ?? B .§1.3.2 相等关系(equivalent relation)定义:若属于A的样本点必属于B,且属于B的样本点必属于A，则称事件A 与事件B相等，记为A= B .A＝B ?? A??B且B??A例:抛二粒骰子，A=“二粒骰子点数之和为奇数”，B=“二粒骰子的点数为一奇一偶” .则事件A发生必然导致B发生，而且B发生必然导致A发生，所以A = B .§1.3.3 互不相容(Incompatible events)定义:若事件A与事件B没有相同的样本点,则称事件A与B互不相容 .A与B互不相容，即事件A与事件B不可能同时发生.A与B互不相容?? AB=??§1.4.1 事件的并(Union of events)定义:由事件A与B中所有样本点（相同的样本点只计入一次）组成的新事件称为事件A与B的并.§1.4 事件的运算(operation of events )（1）A∪B={x|x∈A或x∈B}（2）当且仅当A，B中至少有一个发生时,事件A∪B发生.例:抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过3”，B=“出现偶数点” .则A={1，2，3}， B={2，4，6} .所以，A∪B={1，2，3，4，6}§1.4.2 事件的交(Product of events)定义:由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交.（2）当且仅当A与B同时发生时,事件AB发生.（1）A∩B=AB={x|x∈A且x∈B}例:抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过3”，B=“出现偶数点” .则A={1，2，3}， B={2，4，6} .所以，A∩B={2}§1.4.3 事件的差(Difference of events)定义:由事件A中而不B中的样本点组成的新事件称为事件A对B的差.（1）A-B={x|x∈A且x∈B}（2）当且仅当A发生,而B不发生时,事件A-B发生.例:抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过3”，B=“出现偶数点” . 则A={1，2，3}， B={2，4，6} .所以，A-B={1，3}问：B-A=？§1.4.4 对立事件(Opposite events)定义:由在Ω中而不在A中的样本点组成的新事件称为A的对立事件. （1）事件A与B互为对立事件?? A∪B= Ω且AB=?? .（2）A的对立事件记作B=? .例:抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过3”.则A={1，2，3}，而Ω={1，2，3，4，5，6，}.所以， ? ={4，5，6}§1.4.5 事件运算的规则1、交换律(Exchange law) ：A??B＝B??A，AB＝BA2、结合律(Combination law) ：(A??B)??C＝A??(B??C)，(AB)C＝A(BC)3、分配律(Distributive law) ：(A??B)C＝(AC)??(BC)，(AB)??C＝(A??C)(B??C)4、 7>De Morgan对偶律(Dual law) ：（1）第三次未中奖（2）第三次才中奖（3）恰有一次中奖（4）至少有一次中奖（5）不止一次中奖（6）至多中奖二次§2 随机事件的概率定义:随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A).对于一个随机事件(必然事件和不可能事件除外)来说,它在一次试验中可能发生,也可能不发生.我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大,找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小.§2.1 概率的公理化定义定义:设Ω为一个样本空间，如果对任一事件A，赋予一个实数P(A).如果集合函数P(.)满足下列条件：（1)非负性公理：对于每一事件A,有P(A)≥0;(2)正则性公理：P(Ω)=1;(3)可列可加性公理:设A1,A2,…是互不相容的事件,即对于i≠j,AiAj=??,i,j=1,2,…,则有则称P（A）为事件A的概率(Probability).§2.2 概率的统计定义(The statistic definition of probability)定义:在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率,并记为fn(A).频率具有下述性质:（1）0≤fn(A)≤1;（2）fn(Ω )=1;（3）若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则§2.2.1 频率(Frequency)历史上抛掷匀质硬币的若干结果§2.2.2 概率的统计定义0.49981499430000维尼0.50051201224000皮尔逊0.5016601912000皮尔逊0.506920484040蒲丰0.51810612048德.摩尔根正面出现频率m/n正面出现次数m抛掷次数n试验者定义:在相同的条件下,进行了n次重复试验,在这n次试验中,事件A发生了nA次,当试验的次数n很大时,如果事件A发生的频率fn(A)=nA/n稳定在某一数值p的附近摆动,而且随着试验次数的增大,这种摆动的幅度越变越小,则称数值p为事件A在这组条件下发生的概率,记作P(A)=p.这样定义的概率称为统计概率.性质1:P(??)=0.§2.3 概率的性质于是由可列可加性得又由P(??)≥0得, P(??)=0证明: 令An+1=An+2=…=??,则由可列可加性及P(??)=0得即性质3:对于任一事件A,有证明:由A ?? B知B=A∪(B-A),且A(B-A)=??,性质4:设A,B是两个事件,若A ?? B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)推论：若A ?? B，则P(B)≥P(A)证明：由P(B)=P(A)+P(B-A)又由概率的定义知P(B-A)≥0因此有P(B)≥P(A)因此由概率的有限可加性得P(B)=P(A)+P(B-A)从而有 P(B-A)=P(B)-P(A)证明:因为A-B=A-AB,且AB ?? A性质6:对于任意两事件A,B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)故 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)证明:因为A ?? Ω,因此有P(A)≤P(Ω)=1性质5:对于任一事件A,有P(A)≤1证明:因为A∪B=A∪(B-AB),且A(B-AB)=??,AB?? B故 P(A∪ B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)性质7:对于任意两事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式.概率的加法公式可推广到多个事件的情况.设A,B,C是任意三个事件，则有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)一般,对于任意n个事件A1,A2,…,An,有§3 古典概型与几何概率具有以上两个特点的随机试验称为古典概型,也称为等可能概型. 在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点的随机试验: (1)试验的样本空间的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.§3.1 古典概型古典概型的计算公式因此，若事件A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik}包含k个基本事件,则有P(A)=k/n.设随机试验的样本空间为Ω ={e1,e2,…,en},由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有P({e1})=P({e2})=…=P({en})又由于基本事件是两两不相容的,于是有1=P(Ω )=P({e1}∪{e2}∪…∪{en})=P({e1})+ P({e2})+…+P({en})=nP({ei}) i=1,2,…,n所以 P({ei})=1/n i=1,2,…,n即样本空间有4个样本点,而随机事件A1包含2个样本点,随机事件A2包含3个样本点,故P(A1)=2/4=1/2P(A2)=3/4例:将一枚硬币抛掷二次,设事件A1为“恰有一次出现正面”; 事件A2为“至少有一次出现正面”.求P(A1)和P(A2).解:正面记为H,反面记为T,则随机试验的样本空间为Ω ={HH,HT,TH,TT}而 A1={HT,TH}A2={HH,HT,TH}例: 抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出现的点数是不小于3的偶数的概率.解设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基本事件总数n=6，A包含的基本事件是“出现4点”和“出现6点”即m=2，故§3.2 排列与组合公式乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法A B C加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
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概率论与数理统计学的产生和发展我们先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。
数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。
这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。
数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。
统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。
现今各国都设有统计局或相当的机构。
当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。
例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。
根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。
这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。
一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在 1662 年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。
中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。
自 1604 年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。
以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。
几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。
他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。
这是一本篇幅很小的著作，主要内容为 8 个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。
葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于 1690 年出版的《政治算术》一书中。
当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等领域的工作，特别是比利时天文学家兼统计学家凯特勒 19 世纪的工作，对促成现代数理统计学的诞生起了很大的作用。
数理统计学的另一个重要源头来自天文和测地学中的误差分析问题。
早期，测量工具的精度不高，人们希望通过多次量测获取更多的数据，以便得到对量测对象的精度更高的估计值。
量测误差有随机性，适合于用概率论即统计的方法处理，远至伽利略就做过这方面的工作，他对测量误差的性态作了一般性的描述，法国大数学家拉普拉斯曾对这个问题进行了长时间的研究，现今概率论中著名的“拉普拉斯分布”，即是他在这研究中的一个产物，这方面最著名且影响深远的研究成果有二：一是法国数学家兼天文家勒让德 19 世纪初（ 1805 ）在研究慧星轨道计算时发明的“最小二乘法”，他在估计过巴黎的子午线长这一工作中，曾使用这个方法。
现今著作中把这一方法的发明归功于高斯，但高斯使用这一方法最早见诸文字是 1809 年，比勒让德晚。
一种现在逐步取得公认——这项发明系由二人独立做出，看来使比较妥当的。
另外一个重要成果是德国大学者高斯1809年在研究行星绕日运动时提出用正态分布刻画测量误差的分布。
正态分布也常称为高斯分布，其曲线是钟形，极象颐和园中玉带桥那样的形状，故有时又称为“钟形曲线”，它反映了这样一种极普通的情况：天下形形色色的事物中，“两头小，中间大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中间者占多数——当然，这只是一个极粗略的描述，要作出准确的描述，须动用高等数学的知识。
正是其数学上的特性成为其广泛应用的根据。
正态分布在数理统计学中占有极重要的地位，现今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同的身高、体重。
大批生产的产品，其质量指标各有差异。
看来毫无规则，但它们在总体上服从正态分布。
这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在，提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不少重大的贡献，但在德国 10 马克的有高斯图像的钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人们对他这一贡献评价之高。
20 世纪以前数理统计学发展的一个重要成果，是 19 世纪后期由英国遗传学家兼统计学家高尔顿发起，并经现代统计学的奠基人之一 K ·皮尔逊和其他一些英国学者所发展的统计相关与回归理论。
所谓统计相关，是指一种非决定性的关系如人的身高 X 与体重 Y ，存在一种大致的关系，表现在 X 大（小）时， Y 也倾向于大（小），但非决定性的：由 X 并不能决定 Y 。
现实生活中和各种科技领域中，这种例子很多，如受教育年限与收入的关系，经济发展水平与人口增长速度的关系等，都是属于这种性质，统计相关的理论把这种关系的程度加以量化，而统计回归则是把有统计相关的变量，如上文的身高 X 和体重 Y 的关系的形式作近似的估计，称为回归方程，现实世界中的现象往往涉及众多变量，它们之间有错综复杂的关系，且许多属于非决定性质，相关回归理论的发明，提供了一种通过实际观察去对这种关系进行定量研究的工具，有着重大的认识和实用意义。
到 20 世纪初年，由于上述几个方面的发展，数理统计学已积累了很丰富的成果——在此因篇幅关系，我们不能详尽无遗地一一列举有关的重要成果，如抽样调查的理论和方法方面的进展，但是直到这时为止，我们还不能说现代意义下的数理统计学已经建立起来，其主要标志之一就是这门学问还缺乏一个统一的理论框架，这个任务在 20 世纪上半叶得以完成，狭义一点说可界定在 1921 —— 1938 年，起主要作用的是几位大师级的人物，特别是英国的费歇尔· K ·皮尔逊，发展统计假设检验理论的奈曼与 E ·皮尔逊和提出统计决策函数理论的瓦尔德等。
我国已故著名统计学家许宝（ 1910 —— 1970 ）在这项工作中也卓有建树。
自二战结束迄今，数理统计学有了迅猛的发展，主要有以下三方面的原因：一是数理统计学理论框架的建立以及概率论和数学工具的进展，为统计理论在面上和向纵深的发展打开了门径和提供了手段，许多在早期比较粗略的理论和方法，在理论上得到了完善与深入，并不断提出新的研究课题；二是实用上的需要，不断提出了复杂的问题与模型，吸引了学者们的研究兴趣；三是电子计算机的发明与普及应用，一方面提供了必要的计算工具——统计方法的实施往往涉及大量数据的处理与运算，用人力无法在合理的时间内完成，所以在早年，一些统计方法人们虽然知道，但很少付诸实用，就因为是人力所难及。
计算机的出现解决了这个问题。
而赋予统计方法以现实的生命力。
同时，计算机对促进统计理论研究也有助益，统计模拟是其表现之一，在承认上述成就的同时，不少统计学家也指出这一时期发展中出现的一些问题或偏向，其中主要的一点是，数理统计学理论研究中的“数学化”气味愈来愈重，相当一部分研究工作停留在数学的层面，早期那种理论研究与现实问题密切结合的优良传统有所淡化，一些学者还提出了补救的建议，对未来统计学发展的方向进行探讨。
同时，现实问题愈来愈涉及到大量的，结构复杂的数据，按现行的数理统计学规范去处理，显得力所不及，需要一些带有根本性创新的思路，使统计学的发展登上一个新的台阶，以适应应用上的需要，考虑这一背景，有的统计学家乐观地认为数理统计学正面临一个新的突破。
在上面讲述数理统计学的发展状况时，我们着重在实际需要所起的促进作用方面，由于概率论的概念和方法是数理统计学的理论基础，概率论的进展也必然对数理统计学的发展起促进作用。
概率，又称几率，或然率，指一种不确定的情况出现可能性的大小，例如，投掷一个硬币，“出现国徽”（国徽一面朝上）是一个不确定的情况。
因为投掷前，我们无法确定所指情况（“出现国徽”）发生与否，若硬币是均匀的且投掷有充分的高度，则两面的出现机会均等，我们说“出现国徽”的概率是 1/2 ；同时，投掷一个均匀骰子，“出现 4 点”的概率是 1/6 ，除了这些以及类似的简单情况外，概率的计算不容易，往往需要一些理论上的假定，在现实生活中则往往用经验的方法确定概率，例如某地区有 N 人，查得其中患某种疾病者有 M 人，则称该地区的人患该种疾病的概率为 M/N ，这事实上是使用统计方法对发病概率的一个估计。
概率的概念起源于中世纪以来的欧洲流行的用骰子赌博，这一点不难理解，某种情况出现可能性的大小要能够体察并引起研究的兴趣，必须满足两个条件：一是该情况可以在多次重复中被观察其发生与否（在多次重复下出现较频繁的情况有更大的概率），一是该情况发生与否与当事人的利益有关或为其兴趣关注之所在，用骰子赌博满足这些条件。
当时有一个“分赌本问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决。
在这过程中孕育了概率论一些重要的基本概念，举该问题的一个简单情况：甲、乙二人赌博，各出赌注 30 元，共 60 元，每局甲、乙胜的机会均等，都是 1/2 。
约定：谁先胜满 3 局则他赢得全部赌注 60 元，现已赌完 3 局，甲 2 胜 1 负，而因故中断赌情，问这 60 元赌注该如何分给 2 人，才算公平，初看觉得应按 2 ： 1 分配，即甲得 40 元，乙得 20 元，还有人提出了一些另外的解法，结果都不正确，正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何，至多再赌 2 局即可分出胜负，这 2 局有 4 种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。
前 3 种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为 3 ： 1 ，故赌注的公平分配应按 3 ： 1 的比例，即甲得 45 元，乙 15 元。