北航理论力学王琪

l0 s
k
r
m1 o
Jo
F = ks
Foy
R
F
o r
m1 g
R
ω
1、受力分析
Fox
解：取塔轮和杆为 研究对象，进行受 力分析和运动分析
2009-11-27
v
m2 2、运动分析
v = ωR
m2 g
13
理论力学
Foy
F
§2-2 动量矩定理
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO = J Oω + m2 vR = 10mr 2ω
理论力学
二、质点系动量矩定理
质点在惯性参考系中对 固定点O 的动量矩定理
§2-2 动量矩定理
d( r × m v ) = r × FR dt
设质点系中有 n 个质点，其中第 i 个质点：
d(ri × mi vi ) = ri × Fi (e) + ri × Fi (i) dt
n
(i = 1,2,L, n)
rAC 为动点A到质点系质心C的矢径
当动参考系原点A为质心C 时，
2009-11-27
rAC = 0
LO = rC × mvC + LrC
20
理论力学
§2-2 动量矩定理
例：半径为R，质量为m车轮视为均质圆盘，在地面上滚动， 其质心的速度为 vC，角速度为 ω 。求圆盘对O（轴）点的动 量矩。
y o
LO = ∑(ri × mi via )
i=1 n
v ia = v A + v ir
ri = rA + ri '
18
2009-11-27
目的：寻找一种简洁的关系式
理论力学
LO = ∑(ri × mi via )
i=1 n n
§2-2 动量矩定理
ri = rA + ri
'
LrA = ∑ (ri '×mi vir )
F
∑
&i = m aC = miv
∑
F i ( e ) = F R( e)
问题：质点系的动量p不能完全反映系统的运动特征，作用在质点系上外 力系的矢量和也不能完全反应其作用效应，如何解决这些问题？
2009-11-27 6
理论力学
一、质点系的动量矩
•质点系动量对O点之矩
§2-2 动量矩定理
z
O
mi
vi
Lz(OA) = J zωOA
u
Lz ( B ) =
h mB u 2
J zu sin2 θ = h
x
Lz ( E ) = hmE va = hmE (u − vr )
J z u sin2 θ h 系统对z轴的动量矩为： Lz = + mu + hmE ( u − vr ) h 2
2009-11-27 10
n d(ri × mi vi ) d(∑ ri × mi vi ) n (e) (i) = = × + × r F r F ∑ ∑ ∑ i i i i d t d t i =1 i =1 i =1
内力成对出现，且等值、反向、共线
2009-11-27
|| 0
11
理论力学
质点系的动量矩定理
n dLO = ∑ M O ( Fi (e) ) dt i =1
θ
m2
A
2 m1 L + 3 m 2 [ L + ( L − s ( t ) ) ]
2 2 2
3 m 2 uL
s
2009-11-27
16
理论力学
§2-2 动量矩定理
2009-11-27
17
理论力学
§2-2 动量矩定理
三、质点系相对动点的动量矩定理 （1）质点系相对固定点O与相对运动点A动量矩的关系 v ri mi 设动参考系Ax’y’z’平移， z' r ' 质点系相对动系上A点的动量矩： i ri n z LrA = ∑ (ri '×mi vir ) rA y' A i =1 vA x' 质点系对定系上O点的动量矩为： x o y
§2-2 动量矩定理
守恒情况：
t ∈ [t1 , t2 ]
(e) ( M F ∑ O i )≡0 i =1 n
n dLx (e) ⎫ = ∑ M x ( Fi ) ⎪ dt i =1 ⎪ n dL y (e) ⎪ = ∑ M y ( Fi )⎬ dt i =1 ⎪ n dLz ⎪ = ∑ M z ( Fi (e) ) ⎪ dt ⎭ i =1
8
x
2009-11-27
理论力学
特殊质点系动量矩的计算
§2-2 动量矩定理
mi
v
mv
C
（1）平移刚体的动量对O点之矩
z
o
LO = ∑ (ri × mi v ) =
i =1
n
∑ (m r ) × v
i =1 i i
n
ri r C
= mrC × v = rC × m v） （
（2）定轴转动刚体的动量对转轴z之矩
22
理论力学
§2-2、动量矩定理
问题：比较图示瞬时，两个系统中哪个对O 轴的动量矩大。
ω
O
D
O
D
ω
A
B
A
B
设各杆长均为L，每个物体的质 量为m，正方形板的边长为L。
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理论力学
§2-2、动量矩定理
问题：比较图示瞬时，两个系统哪个对O 轴的动量矩大。
ω
O
mvC 2
D
O
D
ω
θ
B A
θ
m2
m2ve
A
LO 2 = −m2ve L2 + ( L − s)2 + m2uL
s
2 − m1 L2ω + m2uL − m2ω [L2 + ( L − s ) 2 ] = 0 3
Q ve = ω L2 + ( L − s ) 2
解：取整体为研究对象 受力分析和运动分析 系统对O轴的动量矩守恒
2009-11-27
LO (t ) = LO (t0 )
(e) M ( F ∑ x i )≡0 i =1 n
Lx (t ) = Lx (t0 )
动量矩定理建立了广义速度和广义加速度与外力之间的关系
2009-11-27 12
理论力学
§2-2 动量矩定理
2 R = 2 r , J = 2 mr m = m , m = 2 m , 例：系统如图所示， 1 , 弹簧 O 2 刚度为k，原长 l0 。求弹簧伸长s 时杆的加速度和O轴的约束力。
mvC 2
ω
ω
mvC1
A
mvC1
B
（2）
（1）
设各杆长均为L，每个杆的质量为m。
2009-11-27 24
理论力学
O
§2-2 动量矩定理
思考题：求系统在此瞬时对 O轴的动量矩。设：各杆质 量为m， 杆长为L
ω
A
B
答案
n
LO = ∑[(rA + ri ) × mi via ]
'
mi
z
v ri
i =1
= ∑ rA × mi via + ∑ ri × mivia
'
i=1 n
n
ri
rA
ri '
x'
A
z'
i =1
i =1
= rA × mvC + ∑ ri × mi via
'
n
= rA × mvC + ∑ ri' × mi (v A + vir ) x
14
理论力学
§2-2 动量矩定理
= 2 L , m1 , m 2 , u ( t )
例：均质方板可绕中心铅垂轴 O 转动，初始时系统静止，若人以相对速度 u 沿板边自A向B行走，求图示瞬时板的角速度。已知：l
B
ω
l
O
m1
m2 u
1 0 = LO = LO1 + LO 2 LO1 = − m1 (2L) 2 ω 6 LO 2 = LO 2 (m2va ) = LO 2 (m2ve ) + LO 2 (m2vr )
i =1 n
i =1 n
vA
y'
o
y
v ia = v A + v ir
19
= rA × mvC + ∑ ri × mi v A + ∑ ri' × mi vir
'
n
i =1
i =1
||
2009-11-27
LrA
理论力学
n i =1
§2-2 动量矩定理
mi
LO = rA × mvC + ∑ ri' × mi v A + LrA
y
z
x
ω
Lz = ± J zω
逆时针为正(图示），瞬时针为负
2009-11-27 9
理论力学
z轴过O点且垂直于Oxy平面
§2-2 动量矩定理
例：已知： J z , m B , m E , h , u , v r ，求系统对z 轴的动量矩。
y
A
解：分别求每个物体对z轴的动量矩
O
θ
vr mE va E mB u B h
理论力学
• 宇航员如何在失重环境下运动 • 宇航员的运动对航天飞行器姿 态有何影响
问题的引出
2009-11-27
5
理论力学
问题的引出
问题：均质塔轮初始静止放在光滑水平面上，其上绕有绳索（无相对滑 动），绳索上作用有力（如图）。塔轮质心如何运动，哪个塔轮转动得快？
F A F
& = 动量定理： p
2F B F C
ω
c
R
y'
m vC
解：取平移动系cx’y’
x'
x
1 LO = − RmvC − mR 2ω 2
逆时针为正
LO = rC × mvC + LrC
2009-11-27
21
理论力学
§2-2 动量矩定理
例：求系统在此瞬时对O轴的动量矩。设各杆长为L，质量为m 解：计算各刚体对O轴的动量矩
ω
O
D
1 LO (OA) = mL2ω 3
(angular momentum about the point O)
ri
LO = ∑ (ri × mi vi )
i =1
n
x
y
LO = L x i + L y j + L z k
⎫ Lx = ∑ mi ( yi viz − zi viy )⎪ i =1 ⎪ n ⎪ Ly = ∑ mi ( zi vix − xi viz ) ⎬ i =1 ⎪ n ⎪ Lz = ∑ mi ( xi viy − yi vix )⎪ ⎭ i =1
LO ( AB ) = mvC1 L = mL2ω
vC 2
ω
vC 1
A
LO = rC × mvC + LrC
B
L 1 LO ( BD ) = mvC2 + mL2ω 2 12
1 2 = mL ω 3
LO = LO (OA) + LO ( AB) + LO ( BD)
2009-11-27
Fra Baidu bibliotek
5 2 LO = mL ω 3
理论力学
作业：2-7、2-8、2-9
质点系动力学
2009-11-27
1
理论力学
问题的引出
问题：如何建立质点系的运动与力的关系？
行星齿轮机构
& = 动量定理： p
2009-11-27
∑
&i = m aC = miv
∑
F i ( e ) = F R( e)
2
理论力学
问题的引出
F1
F2
问题：如何建立荡板的动 力学方程，求解所有未知 量？
n
质点系的动量对 O点之矩在 通过该点轴上的投影等于质 点系动量对该轴之矩。
7
2009-11-27
理论力学
m1 = m2
§2-2 动量矩定理
解：根据动量矩的定义 LC = ∑ (ri × mi vi )
LC = r1 × m1v1 + r2 × m2v2
i =1
例题：求质点系对C点和对 z 轴的动量矩（小球视为质点）。
问题：杆如何运动？如何建 立杆的动力学方程，求解所 有未知量？ 未知约束力2个
未知运动（自由度=1）、
动量定理等价于2个常微分方程，只能求解2个未知量。
2009-11-27 3
理论力学
观察猫的自由下落
问题的引出
问题：应用动量定理只能分析出其质心的运动， 如何分析猫自由下落过程中的转体运动？
2009-11-27 4
m1aC1 + m2aC 2 = F + FOx + FOy + (m1 + m2 ) g
x : 0 = FOx − F y : − m 2 a = FOy − ( m1 + m 2 ) g
m1 = m, m2 = 2m,
R = 2r, JO = 2mr 2
2009-11-27
⇒ FOx ⇒ FOy
o r
R
M O = m2 gR − Fr , 其中 F = ks
ω
Fox
d LO 根据动量矩定理有 = dt
∑
i =1
n
M O ( Fi (e) )
m1 g
10mr ω & = 4mgr − ksr
2
v
v = ωR
a
m2 g
&= ω
2g ksr − 5r 10mr 2
a = Rω &
根据质心运动定理有
z
B
2
LC
θ θ
L
C 1
= r1 × m1v1 + [−r1 × m2 (−v1 )] = 2r1 × mv1
r m1 g
ω
y
LC = 2 Lm(ωL sin θ ) = 2ωmL2 sin θ Lz = 2ωmL2 sin 2 θ = LC sinθ
当θ = 90 L = L
0
m2 g
r2
A
C
z
若刚体绕质量对称轴转动，则刚体 对质心的动量矩矢量平行于转轴。
n ⎛ ' '⎞ ri × mi v A =⎜ ∑ mi ri ⎟ × v A ∑ ⎝ i =1 ⎠ i =1 n
v ri
= (m rAC )× v A = rAC × m v A
z
ri
rA
ri '
x'
A
z'
LO = rA × mv C + rAC × mv A + LrA
vA
y'
x
o
y
vC 为质点系质心相对定系的速度
3 m 2 uL ω = 2 m 1 L2 + 3 m 2 [ L2 + ( L − s ) 2 ]
15
理论力学
§2-2 动量矩定理
讨论：若人相对板匀速行走， s (t ) ∈ [0, 2 L] 1、人走到什么位置时，板的角速度达到极大值？ 2、人走到什么位置时，板的角加速度为零？
B
ω
l
O
m1
u
ω (t ) =