柱面锥面旋转曲面与次曲线
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第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线
教学目的:
1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方
程.
2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴
为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.
3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.
4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.
5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.
6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.
重点难点:
1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、
旋转曲面的准线是难点.
2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面
方程的灵活多样是难点.
3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物
面的一些性质难点.
4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线
是难点.
§4.1柱面
一.柱面的定义
空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.
柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.
柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.
二.柱面的方程
在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0
),,(0
),,(21z y x F z y x F
(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=
(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为
Z
z z Y y y X x x 1
11-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方
程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0
),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方
程.
三.例题讲解
例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2
221
2
22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.
解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为
101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2
221
2
121212
12121z y x z y x (1) 设
t z z y y x x =-=-=--1
011
11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2
)(2)(21)()(2
222
22t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2
1
211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.
解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.
空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距
离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于
轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+0
32214
)1()1(222z y x z y x
设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为
2
211
11--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .
解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.
轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为
)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为
3
117
=
=
d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,
那么有3
117
=
=d 即 3
117
)2()2(12
1
11
2
12
2
112
22
2
2
=
-+-+--+
-++
--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。
(即证方程0),(=y x F （11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与z 轴)
证 取曲面（11）与xOy 坐标面的交线⎩⎨⎧==00
),(z y x F （12）为准线，z
轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。