山东科技大学考研专业课真题_概率论与数理统计2014

k (1 x), 0 y x 1 f ( x, y ) , 其它 0 , 1.求常数 k ；2.求随机变量 X 和 Y 的边缘概率密度； 3． 求 X 与 Y 的协方差 cov( X , Y ) ， 并说明 X 与 Y 是否相关？ X 与 Y 是
否独立？ 4.求 P( X Y 1) 四、 （20 分）1.若对连续型随机变量 ，有 D ，试证对任意 0 有
1 ． 求 随 机 变 量 Y 的 分 布 函 数 ， 即 事 件 By 发 生 的 概 率 p{Y y} ，
y ；2.求随机变量 Y 的密度函数；3．对 y 2 ，若事件 By 已
发生，求事件 { X 1} 发生的条件概率； 二、 （20 分）设二维随机变数 ( , ) 的联合分布为
P( E )
D
2
；
2. 随 机 变量 序 列 { n } 相 互 独 立 ， n 服 从 参 数 为 n 的 泊 松 分 布 ， 若
n
lim n ，其中 0 ，证明 { n } 服从大数定律，即对任意 0
n
有： lim p{|
2 是来自总体 N (0, 2 ) 的样本。
12 12 (1 2 ) 2 1. 2 服从什么分布？求出 2 的密度函数；2. 统计量 T1 与 (1 2 ) 2 1 2
T2 (1 2 ) 2
各服从什么分布？为什么？ 七、 （ 20 分）设总体 X 服从区间 [0 ， ] 上的均匀分布， ＞ 0 未知，
,
2 ，从中随机
地 抽 取 36 位 考 生 的 成 绩 x1， x2， L ， x36 ， 算 得 平 均 成 绩
x 66.5 分，标准差 S
1 36 2 xi x 15 分。 35 i 1
1．问在显著性水平 0.05 下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为 不低于 70 分？并给出检验过程； 2．在置信水平 1 0.95 下，求 的置信区间。 （附注： t0.95 (16) 1.746, t0.95 (15) 1.753, t0.975 (15) 2.132
Байду номын сангаас
(1 e ax )(1 e by ) , x 0, y 0 F ( x, y ) 0 其它
1. 与 是否独立？为什么？ 2.求 ( , ) 的联合密度函数； 3.求数学期望 E (2 ) 及方差 D(2 ) ； 4.若 a b ， 试证明 与 / 独立。 三 、（ 20 分 ） 设 二 维 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 概 率 密 度 为
2 2 2 0.95 (16) 26.296, 0.95 (15) 24.996, 0.975 (15) 27.488 ）
（20 分） 假设随机变量 X 具有概率分布 p{ X k} 1/ 2, k 1, 2 ， Y 一、 为 一 连 续 型 随 机 变 量 ， 记
By {Y y} ， 已 知
1 e k y p{By | X k} 0
y0 , k 1, 2 ，其中 y 为任意实数。 y0
ˆ 和极大似然估计 ˆ； X 1 , X 2 , , X n 是来自 X 的样本, 1.求 的矩估计 1 2 ˆ 2.上述两个估计量是否为无偏估计，若不是请修正为无偏估计；3.证明 1
为 的相合（一致）估计；4.试问 2 中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 八、 （20 分）设某次考试的考生成绩服从正态分布 N
1 n (i i ) | } 0 。 n i 1
五、 （10 分）一复杂的系统，由 100 个互相独立起作用的部件所组成。在 整个运行期间每个部件损坏的概率为 0.10，整个系统正常工作必须至少有 85 个部件正常工作。求整个系统正常工作的概率。 （ (1.67) 0.9525 ） 六、 （20 分）设 1 ,