《微分方程数值解》课程论文题目1
浅谈常微分方程的数值解法及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
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， （1）
为常微分方程。其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶。例如 ， ，是一阶常微分方程。 是二阶常微分方程。设 定义于区间 上，有直到 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于 的恒等式，即
，
就称 ＝ 为（1）的一个定义于 上的解，并称 为该解的定义区间。[5]
2.2
在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
3 常微分方程的数值
3.1 常微分方程求解的数学思想
从常微分发展历程可以看出，化归是常微分方程的重要数学思想方法，常数变易法、代换法、级数解法、逐次逼近法、算子法、相平面分析法等，都是用联系、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，化归解决的。非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题， 高阶方程问题化为低阶方程问题，在常微分方程发展的各个阶段包含着这种化归范例。
常微分方程发展的初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨成专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉则试图用积分因子统一处理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。[8]
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔在1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”，转向“求定解”时代。同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数幂级数等近似方法的研究。[8]
， ，其中 （1）
值 称为步长。然后近似解
在 上， （2）
设 ， 和 连续，利用泰勒定理将 在 处展开，对每个值 ，存 在一个 和 之间的值 ，使得
， （3）
将 和 代人等式（3），得到 的表示：
《微分方程数值解》课程论文题目1
《微分方程数值解》课程论文题目1、给出Dirichlet 边值问题：()()()(),u x q x u x f x a x b''-+=<< (),()u a u b αβ==和两点边值问题(())()()(),,d d u d u L u p x r x q x u f x a x b d x d x d x =-++=<< (),()u a u b αβ==在均匀网格下的差分格式，编写程序，给出误差阶及误差图。
2、考虑守恒型微分方程（I ）：(())()(),d du Lu p x q x u f x a x b dx dx =-+=<< (),()u a u b αβ==给出其直接差分格式和积分插值法差分格式，采用积分插值法时，数值积分分别利用中矩形公式和梯形公式，编写程序，给出误差阶及误差图。
3、考虑守恒型微分方程（II ）：(())()(),d du Lu p x q x u f x a x b dx dx =-+=<< 01()(),u a u a αα'=+01()().u b u b ββ'=+给出其直接差分格式和积分插值法差分格式，对于边界条件采取直接微分法和积分插值法，编写程序，给出误差阶及误差图。
4、考虑Poisson 方程：(,),(,)u f x y x y G -∆=∈ |(,),u x y αΓ=其中G 是xy 平面上一有界区域，其边界Γ为光滑曲线。
给出方程的五点差分格式和九点差分格式，给出其截断误差，编写程序，给出误差阶及误差图。
5、考虑Poisson 方程：(,),(,)u f x y x y G -∆=∈ |(,),u x y αΓ=其中G 是xy 平面上一圆域、环形域或扇形域，其边界Γ为光滑曲线。
给出方程极坐标形式的差分格式，编写程序，给出误差阶及误差图。
6、考虑Laplace 方程：0,(,),u x y G -∆=∈ |(,),u x y αΓ=其中G 是xy 平面上一有界区域，其边界Γ为光滑曲线。
常微分方程课程论文参考课题
常微分方程课程论文参考课题1．人口预测模型研究
2．传染病模型研究
3．经济增长模型研究
4．饮酒驾车模型研究
5．吸烟模型研究
6．烟雾扩散模型研究
7．捕鱼业持续收获模型研究
8．军备竞赛模型研究
9．种群竞争模型研究
10．种群依存模型研究
11．食饵—捕食者模型研究
12．船舶航行的微分方程模型
13．供应链系统的微分方程模型
14．航空发动机的微分方程模型
15．广告投入策略的微分方程模型
16．河流污染的微分方程模型
17．动态投入产出模型
18．矿产资源投入产出模型
19．水产品价格模型
20．企业员工动态稳定模型
21．信贷风险管理问题
22．价格动态模型（价格系统）
23．污水处理系统模型
24．动态金融资产配置的微分方程模型25．汽车悬架系统的微分方程模型26．地震预报的微分方程模型
27．网络数据传输的微分方程模型28．***中的微分方程模型
29．微分方程理论在***方面的应用30．二阶常系数微分方程的解法研究31．一阶常系数微分方程的积分因子研究。
计算机毕业设计(论文)-微分方程数值解[管理资料]
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山东英才学院毕业论文设计论文题目：微分方程数值解二级学院：计算机电子信息工程学院学科专业：计算机及应用学号：姓名：班级：指导教师：论文提交时间：山东英才学院教务处制2011年3 月1 日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (5)第一章常微分方程的解 (6)第一节常微分方程的基本概念 (6)第二节常微分方程的12步骤 (10)第三节偏导数的方程 (14)第二章递增方程的应用 (17)第一节递增数列 (17)第二节数列的极限 (20)第三章与积分有关的数列的极限问题 (24)第一节积分的应用 (24)第二节单调定性的松弛法 (26)第三节松弛算法法的证明 (33)第四章简单的单步法及基本概念 (36)第一节解初值问题的梯形法 (36)第二节左矩形公式 (39)第三节隐式 Euler方法 (40)第四节预估–校正Euler方法 (42)参考文献 (45)摘要：常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的。
本文第一章讲述了常微分方程的发展历史，第二章介绍了一系列常微分方程的周期解和边值问题，说明了其研究现状，第三章举例说明了其在生态学和军事上的应用。
无论在数学研究还是在自然科学以及其他应用科学，常微分方程都显现出其重要的理论和应用价值。
随着科学技术的发展和社会进步，常微分方程的理论和应用不断扩大和深入，其作用也越来越被人们所重视。
在数学应用方面，它有着比通常导数更广泛的应用，对于导数不存在而对称导数存在的函数，我们就可以用对称导数研究此类函数的一些重要性质. 常微分方程研究的内容包括解的基本性质（如存在性、惟一性等）、解的解析表达式或近似的解析表达式、解的定性性质以及解的数值解法。
常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的。
数学的其他分支的新发展如复变函数、李群、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响。
微分方程数值解课程设计
[4]Cleve B.Moler。MATLAB数值计算。机械工业2006.6
指导教师签字
基层教学单位主任签字
说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。
年 月 日
燕山大学课程设计评审意见表
指导教师评语：
成绩：
指导教师：
论文阐述的是常微分方程数值解法的几个问题，通过对以下问题的求解
一.比较Adams四阶PECE模式和PMECME模式。
二.求解贝塞尔方程并与精确解比较。
三.小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
院（系）：理学院 教学单位：
学 号
XXX
学生
XXX
专业（班级）
11计算数学
设计题目
常微分方程数值解法课程设计
设
计
容
一.比较Adams四阶PECE模式和PMECME模式。
二.求解贝塞尔方程并与精确解比较。
三.小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
设
一维热传导方程的差分格式
u
x j ,tk1
t
2
2u
x j ,tk1 t 2
o( ).
(2.10)
再将 u xj1,tk1 , u xj1,tk1 分别以 x j , tk1 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
u
x j1, tk1
=u
x j , tk1
u
x j , tk1
(h） u
x xj , 0 j M ,
t tk , 0 k N
将 分割成矩形网格.记 h xj | 0 j M , tk |0 k N , h h .
称 x j , tk 为结点[1].
定义 h 上的网格函数
U
k j
|0
j
M,0 k
N
,
其中U
k j
u
xj ,tk
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
(h） u
xj ,tk h2 u(xj ,tk（) -h）3
2!
3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
舍去截断误差,
用
u
k j
代替
u
xj ,tk
,得到如下差分方程
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N.
微分方程数值解 一阶常微分方程初值问题的龙格-库塔方法
实验报告（一）课程名称微分方程数值解实验项目一阶常微分方程初值问题的龙格－库塔方法及二阶常微分方程两点边值问题的差分法实验环境PC机、C，C++、VC++分组 C班级/学号/姓名实验日期成绩一、实验名称：一阶常微分方程初值问题的龙格－库塔方法及二阶常微分方程两点边值问题的差分法二、实验目的：1、掌握解一阶常微分方程初值问题的经典四阶龙格－库塔方法；2、掌握对二阶常微分方程两点边值问题（Dirichlet边界条件）进行正确的差分离散；3、理解差分格式的精度的理论分析；4、能正确地将理论分析算法过程用C相关的程序设计语言来实现；5、对程序运行过程中出现的错误能自行调试修正；6、能从数值结果得到关于精度的验证.三、实验内容：1.实验程序：#include<math.h>#include<stdlib.h>#include<stdio.h>void main ( ){double *y, yex,a,b,h,err,k1,k2,k3,k4;//y为微分方程近似解，yex为精确解，ab上下限，h是步长，err为误差，因为用四阶龙格库塔所以有k1k2k3k4int i,N1,N2;//N1,N2用来调节步长double yexact(double t);//精确解函数的声明double f(double x, double y);//微分方程函数的声明a=0;b=1.0;//x范围是0到1N1=5; N2=10;h=(b-a)/N1;//取步长为0.2y=(double *)malloc(sizeof(double)*(N1+2));//给y动态分布空间，好处是节约空间，提高利用率y[0]=0.0;//初值y(0)=0printf("步长h=0.2\n");for(i=0;i<=N1;i++){k1=f(i*h,y[i]);k2=f(i*h+0.5*h, y[i]+0.5*h*k1);k3=f(i*h+0.5*h, y[i]+0.5*h*k2);k4=f((i+1)*h, y[i]+h*k3);y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6.0;//四阶龙格库塔基本公式yex=yexact(i*h);//计算精确解err=fabs(yex-y[i]); //计算误差printf("x=%.2f, 近似解=%.10f, 精确解=%.10f, 误差=%.10f\n",i*h, y[i],yex,err);}free(y);//释放y，以便计算h=0.1时的解y=(double *)malloc(sizeof(double)*(N2+2));//重新给y动态分布空间，好处是节约空间，提高利用率y[0]=0.0;//初值y(0)=0printf("步长h=0.1\n");h=(b-a)/N2;//取步长为0.1for(i=0;i<=N2;i++){k1=f(i*h,y[i]);k2=f(i*h+0.5*h, y[i]+0.5*h*k1);k3=f(i*h+0.5*h, y[i]+0.5*h*k2);k4=f((i+1)*h, y[i]+h*k3);y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6.0;//四阶龙格库塔基本公式yex=yexact(i*h);//计算精确解err=fabs(yex-y[i]); //计算误差if(i%2==0)//加判断是为了输出x为偶数的值从0到1 printf("x=%.2f, 近似解=%.10f, 精确解=%.10f, 误差=%.10f\n",i*h, y[i],yex,err);}free(y);//计算完毕释放y的空间}double yexact(double x)//精确解函数的定义{double z;z=x*exp(-sin(x));return z;}double f(double x, double y)//微分方程的函数的定义{double z;z=exp(-sin(x))-y*cos(x);return z;}实验结果：2.实验程序：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>void main( ){double *x,*a,*b,*c,*d,*rhs,*ans,*u,*uex;//abcd，rhs，ans是追赶法要用的，u用来存放数值解，uex用来存放精确解double A,B,h;//AB为x上下限，h为步长inti,j,N;double * f(double * x, int N);doubleuexact(double x);double *chase_algorithm(double *a, double *b, double *c, int n, double *d);N=8;//N取不同的值步长不同double pi;pi=3.14159265369;A=0;B=pi/2;h=(B-A)/N;x=(double *)malloc(sizeof(double)*(N+1));//x的值存放在动态分配的空间for(i=0;i<=N;i++)x[i]=A+i*h;u=(double *)malloc(sizeof(double)*(N+1)); //u为数值解u[0]=0;u[N]=1;rhs=f(x,N+1);a=(double *)malloc(sizeof(double)*(N-1));b=(double *)malloc(sizeof(double)*(N-1));c=(double *)malloc(sizeof(double)*(N-1));d=(double *)malloc(sizeof(double)*(N-1));for(i=0;i<N-1;i++){d[i]=h*h*rhs[i+1];a[i]=1.0;b[i]= -2-pow((x[i]-1/2),2)*h*h;c[i]=1.0;}d[0]=d[0]-u[0];d[N-2]=d[N-2]-u[N];free(rhs);ans=(double *)malloc(sizeof(double)*(N-1));ans=chase_algorithm(a,b,c,N-1,d);//追赶法计算数值解，将1到N-1的值存放在ans中free(a);free(b);free(c);free(d);for(i=1;i<N;i++)//把ans中的值存在u中u[i]=ans[i-1];free(ans);uex=(double *)malloc(sizeof(double)*(N+1));//计算精确解存放在uex 中for(i=0;i<=N;i++)uex[i]=uexact(i*h);i=N/4;for(j=0;j<=4;j++)printf("x=%f=%d/4, 数值解=%.8f,精确解=%.8f,误差=%.8f\n",A+j*i*h,j,u[i*j],uex[i*j],fabs(uex[i*j]-u[i*j]));free(u);}double * f(double *x, int N){int i;double *ans;ans=(double *)malloc(sizeof(double)*(N+1));for(i=0;i<=N;i++)ans[i]= -(pow((x[i]),2)-x[i]+5.0/4.0)*sin(x[i]);returnans;}double * chase_algorithm(double *a, double *b, double *c, int n, double *d)//追赶法函数定义{double *ans,*g,*w,p;int i;ans=(double *)malloc(sizeof(double)*n);g=(double *)malloc(sizeof(double)*n);w=(double *)malloc(sizeof(double)*n);g[0]=d[0]/b[0]; //g is y; w is betaw[0]=c[0]/b[0];for(i=1;i<n;i++){p=b[i]-a[i]*w[i-1];g[i]=(d[i]-a[i]*g[i-1])/p;w[i]=c[i]/p;}ans[n-1]=g[n-1];i=n-2;do{ans[i]=g[i]-w[i]*ans[i+1];i=i-1;}while(i>=0);free(g);free(w);returnans;}double uexact(double x)//精确解函数的定义{double z;z=sin(x);return z;}实验结果：四、实验心得：实验程序还是挺难编的，因此在老师的程序上加以改动，这样会简单一点，但还是遇到了一些困难。
微分方程数值解法课程试验题目
计算实验课微分方程数值解法数值计算实验题目一、常微分方程部分：1．使用四阶Runge-Kutta 方法求解如下初值问题的近似解，并将结果与实际值进行比较。
2．使用四阶Adams 预估校正算法（PECP 和PMECME 方案），初始值用四阶Runge-Kutta 方法提供，并将结果与实际值进行比较。
()21u t u -+='，32≤≤t ，()12=u ；精度510-=ε，5.0=h 。
实际解11u t t=+-。
tuu +='1，21≤≤t ，()21=u ；精度510-=ε，2.0=h 。
实际解2ln +=t t u 。
二、偏微分方程部分：1．用有限差分法求解如下Poisson 方程(),cos3sin ,u x y x y π-∆=，0x π<<，10<<y边界条件为： ()(),0,10,u x u x ==01x ≤≤； ()()0,,0,x x u y u y π==10≤≤y 取1,h Nπ=和21,h N=作矩形剖分，网格节点为1i x ih =，2j y jh =，i ,j =0,1,…,N 。
差分格式为1,,1,,1,,11222cos3sin i j i j i j i j i j i j i j u u u u u u x y h h π+-+--+-+⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,1,2,,1i j N =-L 边界条件为： 00,0,,,i iN u u i N ===L01,1,,1,j j u u j N ==-L 1,1,,1,N j N j u u j N -==-L 结果与精确解()()12,9cos3sin u x y x y ππ-=+进行比较。
求解方案：依次令4,8,16,32N =，取6位小数计算。
用消元法求解，并就(),,44j i j x y π⎛⎫= ⎪⎝⎭，,1,2,3i j =处列出差分解与精确解。
其次，就N =32，0.25，0.5，0.75及i =0，2，4，…，30，32画出差分解曲线。
《常微分方程的数值解法》论文
《常微分方程的数值解法》论文《常微分方程的数值解法》常微分方程（ODE）是研究物理过程的重要工具，其伴随着极大的应用价值。
当一个物理系统被简化为一个常微分方程，它就可以用于描述物理学中的各种现象。
但是，大多数现实系统的常微分方程未能得到解析解，因此，数值解法就变得非常重要。
本文将研究并比较几种常见的常微分方程数值解法，诸如Euler法、奇异点法、Runge-Kutta法、前向差分法等，以便更好地提供协助解决常微分方程。
首先，Euler法是常用的数值解法之一，它主要用于解决常微分方程模型。
其核心思想是将微分方程通过采用不断变化的步长对状态量求近似值，并通过预测下一步的值来求解微分方程，从而达到求解常微分方程的目的，且操作简单、容易理解。
但是，由于其步长的不动性，往往使得其精度较低，因此，当遇到复杂环境时，Euler法的表现就有些不尽如人意。
此外，另一种常见的数值解法是奇异点法。
此法将一个微分方程情况分解成多个分段函数，每一段函数都可以精确求解，从而可以求解复杂的微分方程。
它的特点是分段的每一部分的精度和复杂度都较低，而且运行效率也较快，但是，奇异点法的精度需要在段间合理设定，然后再进行微调，以保证数值模拟的准确性。
其次，Runge-Kutta法是一种常用的数值解法，它可以有效地求解一些常微分方程，其原理是利用积分函数插值，然后利用积分函数求近似值，最后根据边界条件求取解析结果。
Runge-Kutta法的步长可以随着计算过程的进行而逐步变化，这样可以使得误差得到有效控制，而且可以有效地控制误差，保证算法精度，但是由于其计算效率较低，因此在求解复杂的常微分方程时，Runge-Kutta法的表现并不尽人意。
最后，前向差分法是一种求解常微分方程的数值解法，它利用求取未知函数的一阶导数和二阶导数的值，然后通过求解一次和二次中点差分的方式，从而得到数值解。
它的有点是能够得到较高的精确度，且即使步长变化时也可以控制误差，但前向差分法要求在微分方程中必须有高阶导数，这就要求微分方程是复杂的，除此之外，除了必须计算高次导数外，它的计算量也比较大。
(整理)微分方程数值解法课程设计报告
《微分方程数值解》课程设计课设题目：团队成员：081110209 丘凯倩081110202 江雨芮 081110232 黄东方 081110310 曲 健 081110311 代永轩指导教师：王春武二〇一四年六月十六日T5-分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题目录一、第十组团队成员及分工 (3)二、研究问题 (4)三、理论分析 (4)四、数值方法 (6)五、计算结果 (9)六、总结及体会 (11)一、第十组团队成员及分工【丘凯倩】081110209 组长统一规划团队课程设计分工，并及时分配任务。
同时，负责给出格式、求解格式的截断误差，对小组成员的成果进行最终汇总。
【江雨芮】081110202 组员分析课设题目，运用MATLAB进行总体编程，负责代码改进与调试工作，并给出各个格式的程序流程图。
【黄东方】081110232 组员分析课设题目，给出“欧拉公式”的求解方法及编程思路，代表小组进行汇报展示。
【曲健】081110310 组员按组长分配的任务，给出“改进欧拉公式”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。
【代永轩】081110311 组员配合团队其他成员，给出“四级四阶R-K法”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。
二、研究问题分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题：21141(0),2dy y dx y ⎧⎡⎤=⎪⎢⎥-⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩01001,.x h <≤=。
三、理论分析1.欧拉公式),(y 1n n n n y x hf y +=+为简化分析，人们常在)(y n n x y =的前提下估计误差*11)(++-n n y x y 。
这种误差称为局部截断误差。
对于欧拉格式，))(,()(*1n n n n x y x hf x y y +=+而按泰勒公式展开有)(2)()()(21ξy hx y h x y x y n n n ''+'+=+因此有)(2)(2*11ξy h yx y n n ''=-++ 所以欧拉公式的截断误差为)(2h O 。
微分方程数值解课程设计题目
课程设计题目1.计算并画出二级二阶、三级三阶和四级四阶Runge-Kutta 方法的绝对稳定区域。
2.用古典隐式格式并结合追赶法计算抛物型方程2201,00.01(,0)sin()01(0,)(1,)00u u x t t x u x x x u t u t t π⎧∂∂= <<<<⎪∂∂⎪⎪= ≤≤⎨⎪== ≥⎪⎪⎩的近似解。
其中0.1,0.001h k ==。
并与解析解2sin t u ex ππ−=比较。
3.用五点差分格式,1,1,,1,1,21(4)0l m l m l m l m l m l m U U U U U U h +−+−◊=+++−= 求解Dirichlet 问题 {}2222220(,),(,)0,1ln (1)u u x y x y x y xy u x y ∂Ω⎧∂∂+= ∈ΩΩ=<<⎪∂∂⎨⎪⎡⎤=++⎣⎦⎩ 其中，1.0=Δ=Δy x ，分别用Jacobi 迭代和Gauss －Seidel 迭代求解，误差为310−，分析两方法的收敛速度，将计算结果画出图形。
4.方程2004,012,1(,0)1,1u u x t t x x u x x ∂∂⎧+= <<<<⎪∂∂⎪⎨≤⎧⎪=⎨⎪>⎩⎩其中0.1h =，0.01k =。
分别用Lax-Friedrichs 格式、C-I-R 格式和Lax-Wendroff 。
格式求解上述微分方程初边值问题。
并画出图形比较计算结果。
5.对初边值问题2222000101,011sin ,018|0,010t t x x u u x t tx u x x u x tu u t π====⎧∂∂= <<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎪⎨⎪∂=≤≤⎪∂⎪⎪== 0≤≤1⎩ 利用显式差分格式：)2(211211nm n m n m n m n m n m U U U r U U U −+−++−=+− 求近似解。
微分方程数值解法数值计算实验题目
y
x
数 值 解 和 精 确 解 的 误 差 曲 面 (N=8)
0.05
u
0
-0.05 1 4 0.5 1 0 3 2 0
y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数 值 解 和 精 确 解 的 误 差 曲 面 (N=16)
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-0.01
-0.02 1 4 0.5 1 0 3 2 0
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x
数 值 解 和 精 确 解 的 误 差 曲 面 (N=32)
y
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Δu -0.0006 -0.0000 0.0006 -0.0009 -0.0000 0.0009 -0.0006 -0.0000 0.0006
程序运行中,请稍等…… =================================================================== i 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 2.0000 2.0000 3.0000 3.0000 3.0000 j xi yj u(精确) u1(数值) ------------------------------------------------------------------1.0000 0.7854 0.2500 -0.0265 -0.0271 2.0000 3.0000 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 2.0000 3.0000 0.7854 0.7854 1.5708 1.5708 1.5708 2.3562 2.3562 2.3562 0.5000 0.7500 0.2500 0.5000 0.7500 0.2500 0.5000 0.7500 -0.0000 0.0265 -0.0375 -0.0000 0.0375 -0.0265 -0.0000 0.0265 -0.0000 0.0271 -0.0384 -0.0000 0.0384 -0.0271 -0.0000 0.0271
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》范文
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》篇一一、引言变分数阶微分方程是现代数学和物理领域的重要研究对象，在许多实际问题的建模中具有广泛的应用。
然而，由于变分数阶微分方程的复杂性，其解析解往往难以获得，因此，寻求有效的数值解法显得尤为重要。
本文提出了一种基于Bernstein多项式的数值解法，用于求解五类变分数阶微分方程。
二、Bernstein多项式简介Bernstein多项式是一类在[0,1]区间上定义的特殊多项式，具有许多优良的性质，如非负性、对称性和端点插值性质等。
这些性质使得Bernstein多项式在数值逼近和函数插值等领域具有广泛的应用。
三、变分数阶微分方程的数值解法针对五类变分数阶微分方程，我们采用Bernstein多项式进行数值求解。
首先，将微分方程的定义域划分为若干个子区间，然后在每个子区间上构造Bernstein多项式。
通过在每个子区间上对微分方程进行离散化处理，将原问题转化为求解一系列代数方程的问题。
最后，利用适当的数值方法（如迭代法、牛顿法等）求解这些代数方程，得到原微分方程的数值解。
四、五类变分数阶微分方程的数值解法1. 线性变系数分数阶微分方程：对于这类问题，我们采用分段常数系数近似的方法，将变系数问题转化为一系列常数系数问题，然后利用Bernstein多项式进行求解。
2. 非线性变系数分数阶微分方程：对于这类问题，我们首先对非线性项进行泰勒展开，然后利用Bernstein多项式对展开后的方程进行逼近和求解。
3. 时变分数阶微分方程：对于这类问题，我们采用时间离散化的方法，将时变问题转化为一系列时间节点上的问题，然后在每个时间节点上利用Bernstein多项式进行求解。
4. 高阶分数阶微分方程：对于高阶问题，我们采用降阶的方法，将高阶问题转化为一系列低阶问题，然后利用Bernstein多项式进行求解。
5. 多维分数阶微分方程：对于多维问题，我们采用多维Bernstein多项式进行逼近和求解。
常微分方程课程论文参考课题
常微分方程课程论文参考课题1．人口预测模型研究2．传染病模型研究3．经济增长模型研究4．饮酒驾车模型研究5．吸烟模型研究6．烟雾扩散模型研究7．捕鱼业持续收获模型研究8．军备竞赛模型研究9．种群竞争模型研究10．种群依存模型研究11．食饵—捕食者模型研究12．船舶航行的微分方程模型13．供应链系统的微分方程模型14．航空发动机的微分方程模型15．广告投入策略的微分方程模型16．河流污染的微分方程模型17．动态投入产出模型18．矿产资源投入产出模型19．水产品价格模型20．企业员工动态稳定模型21．信贷风险管理问题22．价格动态模型（价格系统）23．污水处理系统模型24．动态金融资产配置的微分方程模型25．汽车悬架系统的微分方程模型26．地震预报的微分方程模型27．网络数据传输的微分方程模型28．***中的微分方程模型29．微分方程理论在***方面的应用30．二阶常系数微分方程的解法研究一阶常系数微分方程的积分因子研究下面是诗情画意的句子欣赏，不需要的朋友可以编辑删除！！谢谢1. 染火枫林，琼壶歌月，长歌倚楼。
岁岁年年，花前月下，一尊芳酒。
水落红莲，唯闻玉磬，但此情依旧。
2. 玉竹曾记凤凰游，人不见，水空流。
3. 他微笑着，在岁月的流失中毁掉自己。
4. 还能不动声色饮茶，踏碎这一场，盛世烟花。
5. 红尘嚣浮华一世转瞬空。
6. 我不是我你转身一走苏州里的不是我。
7. 几段唏嘘几世悲欢可笑我命由我不由天。
8. 经流年梦回曲水边看烟花绽出月圆。
9. 人生在世，恍若白驹过膝，忽然而已。
然，我长活一世，却能记住你说的每一话。
10. 雾散，梦醒，我终于看见真实，那是千帆过尽的沉寂。
11. 纸张有些破旧，有些模糊。
可每一笔勾勒，每一抹痕迹，似乎都记载着跨越千年万载的思念。
12. 生生的两端，我们彼此站成了岸。
13. 缘聚缘散缘如水，背负万丈尘寰，只为一句，等待下一次相逢。
14. 握住苍老，禁锢了时空，一下子到了地老天荒15. 人永远看不破的镜花水月，不过我指间烟云世间千年,如我一瞬。
【优秀毕设】常微分方程初值问题的数值解法
毕业设计(论文) 常微分方程初值问题的数值解法院别数学与统计学院专业名称数学与应用数学班级学号*******学生姓名王某某指导教师王晓敏2010年06月10日常微分方程初值问题的数值解摘要流体力学、弹性力学、热传导、电磁波、现代光学等领域研究的自然现象，主要是用微分方程模型来描述．常微分方程模型是在各个领域中经常见到的一类数学模型，求解一阶常微分方程是数学工作者的一项基本的且重要的工作．对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可以利用．但在很多情况下碰到的常微分方程求解问题，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解．因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义．本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究，主要讨论了针对数值解法精度而言的一些常用的经典数值解法．对于隐式方法，计算时需要用迭代法，这使计算过程增加了计算量，为此，论文介绍了对各种隐式方法的改进，一般用“预测-校正”法．关键词：常微分方程，线性多步法，外推法，欧拉法，龙格-库塔法论文题目应该简短、明确、有概括性。
读者通过题目，能大致了解论文的内容、专业的特点和学科的范畴。
题目要符合汉语逻辑，字数要适当（一般不超过24字）。
必要时可加副标题。
论文摘要应概括地反映出毕业设计（论文）的目的、内容、方法、成果和结论。
摘要中不宜使用公式、图表，不标注引用文献编号。
摘要应是一篇完整的短文，篇幅以300～500字为宜。
关键词是供检索用的主题词条，应采用能覆盖论文主要内容的通用技术词条（参照相应的技术术语标准）。
关键词一般为3～5个，按词条的外延层次排列（外延大的排在前面）。
Numerical Solution of Ordinary Differential Equation Dealingwith Initial-value ProblemAuthor: Wang Mou-mouTutor: Wang Xiao-minAbstractNatural phenomena of the fields of fluid mechanics, elasticity mechanics, heat conduction, electromagnetic waves, modern optics and so on, are described mainly by differential equation model. Ordinary differential equation model is often seen in various fields. Solving one-order ordinary differential equation is basic and important work for mathematical workers. For some simple and typical differential equations, such as linear equations, some special one-order nonlinear equations, we can try to derive its analytical solution, and the results are theoretically available. However, in many cases, solving ordinary differential equation is often difficult, even impossible to derive its analytical solution, but we can seek its approximate solution. Therefore, the study of its numerical method to quickly obtain the numerical solution is of significance.This paper sums up the existing numerical solutions dealing with ordinary differential equation, mainly discusses commonly used numerical solution in term of precision. For the implicit method, iterative calculations are needed, which increases the amount of computation, so this paper describes various improved prediction–correction methods.Key Words: Ordinary differential equation, Linear multistep method, Extrapolation method, Euler method, Runge-Kutta method目录1 绪论 (1)1.1 课题背景及意义 (1)1.2 课题的发展及应用 (1)1.3 论文构成及研究内容 (3)2 问题的描述及简单的数值方法 (5)2.1 常微分方程初值问题描述 (5)2.2 数值解法的基本思想与途径 (5)2.3 单步法的一般概念 (5)2.4 欧拉法和梯形法 (5)2.5 改进的欧拉公式 (8)2.6 龙格－库塔法 (9)2.6.1 二阶Runge-Kutta法 (10)2.6.2 下面介绍三阶与四阶显式Runge-Kutta方法 (11)2.7 变步长自动控制误差法 (13)2.7.1 自适应半步长龙格-库塔法 (14)2.7.2 自适应嵌入式龙格-库塔法 (15)3 线性多步法解常微分方程初值问题 (18)3.1 线性多步法的一般公式 (18)3.2 阿当姆斯公式和其它多步法公式 (19)3.3 预测－校正法 (21)结论 (24)致谢 (25)参考文献 (26)附录 A (27)附录 B (34)目录按章、节、条三级标题编写，要求标题层次清晰。
毕业论文开题报告之常微分方程数值解法
毕业论文开题报告之常微分方程数值解法河南理工大学本科毕业设计（论文）开题报告题目名称Crank-Nicolson格式的应用与实践学生姓名何华飞专业班级数学08-2班学号310811010212 一、选题的目的和意义：目的：总结常微分方程的常用解法，提出常微分方程的一些求解技巧，从而以便灵活运用常微分方程建立数学模型来解决实际问题。
意义：求解常微分方程的通解或满足初值条件的特解是很重要的，因为根据实际问题建立微分方程及其相应的初值条件，即建立常微分方程模型，是数学建模的基本内容之一。
因此掌握常微分方程的解法是很有必要的，尤其是掌握了求解常微分方程的技巧有时可以达到事半功倍的效果。
二、国内外研究现状简述：1691年，莱布尼茨用分离变量法解决了形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程。
同年，他又解出了一阶齐次方程'y=f(y/x)。
1693年，莱布尼茨给出了线性方程dy/dx=p(x)y+q(x)的通解表达式。
1743年，欧拉定义了通解和特解的概念，同时还给出了恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根法。
皮亚拿和比卡，他们先后于1875年和1876年给出了常微分方程的逐次逼近法。
1881年，庞加莱创立了常微分方程的定性理论。
同时，此理论的一系列课题成为动力系统的开端。
1892年，数学家李雅普诺夫开创了微分方程运动稳定性理论研究。
三、毕业设计（论文）所采用的研究方法和手段：1.拟采用变量分离法求解变量分离方程及可化为变量分离方程类型的方程。
2.拟采用常数变易法求解非齐次线性微分方程。
3.拟采用特征根法求解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程。
4.拟采用比较系数法及拉普拉斯变换法求解非齐次线性微分方程。
四、主要参考文献与资料获得情况：[1] 王高雄、周之铭等著，常微分方程，第三版，高等教育出版社，2007.[2] 丁同仁、李承治著,常微分方程，高等教育出版社，2001.[3] 博亚尔丘克、戈洛瓦奇、郑元禄著，常微分方程，清华大学出版社，2005.[4] 王怀柔等著，常微分方程讲义人民教育出版社，1963.[5] 祝同江著，积分变换，第二版，高等教育出版社，2007.[6] 同济大学数学系编，高等数学，第六版，高等教育出版社，2007.五、毕业设计（论文）进度安排（按周说明）：5-6周：利用图书馆、网络等资源，查阅相关资料，完成“毕业设计开题报告”。
论文模版(一篇关于微分方程的论文)
本科生毕业设计 (论文)题目：论积分因子的存在条件及其求法教学单位 _计算机科学与技术学院姓名 ___ 彭倩___学号___ 200531105002年级 _____2005级_________专业 _ 数学与应用数学指导教师 ___ 宋荣荣职称 _____ 讲师___ _____2009 年 5 月 7 日摘要在常微分方程理论的形成过程中, 求解常微分方程曾出现过许多方法, 如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等. 其中尤以积分因子法出现的最晚, 而作用也最大.积分因子法的实质是把常微分方程转化为恰当方程, 由于恰当方程的通解很容易得出, 这样我们也就能很容易求得常微分方程的解.因此用积分因子法解常微分方程的关键是找到积分因子.本文首先介绍了二元微分方程的恰当方程的定义, 然后在二元非恰当方程的条件下引出积分因子的定义和存在条件. 通过探讨积分因子的存在条件,本文得到了几种求常微分方程积分因子的基本求法：观察法、公式法、分组法和几种特殊类型方程积分因子的求法. 并对各种积分因子求法作了详细论证.然后根据二元原函数存在条件及积分因子的求法来推导三元原函数存在条件及积分因子的求解方法.关键词：常微分方程；积分因子；恰当方程；三元原函数.AbstractTheory of ordinary differential equations in the formation process, the solution of ordinary differential equations there have been many methods, such as separation of variables, variable substitution method, constant variation, and so integral factor method. Especially integral factor method appears the latest, The biggest role. integral factor method is the essence of ordinary differential equations into appropriate, as the appropriate general solution of the equation is easy to draw, so we can easily obtain the solution of ordinary differential equations. therefore integral factor method the key to solution of ordinary differential equations is to find the integrating factor.In this paper, the dual differential equations first introduced the definition of the appropriate equation, and then in the dual non-appropriate conditions equation integrating factor leads to the definition and conditions for the existence of. By exploring the conditions for the existence of the integrating factor, this paper has been seeking several ordinary differential equations integral factor of the basic method: To observe the law, the formula law, sub-law and several special types of integral equation method factor. and a variety of integral factor a detailed appraisal method. and then the original function in accordance with the conditions for the existence of binary and integral factor of the law is derived for three conditions for the existence of the original function and the integral factor method.Key words: ordinary differential equations; integral factor; proper equation; Ternary primitive function.目录第一章绪论 (5)1.1课题背景及目的 (5)1.2国内外研究状况和相关领域中已有的成果 (5)1.3研究方法、论文构成及研究内容 (6)1.3.1研究方法 (6)1.3.2 论文研究内容 (6)第二章二元微分方程积分因子的定义及其存在条件 (7)2.1 积分因子的定义 (7)2.2积分因子存在条件 (8)2.3积分因子的几种解法 (9)2.3.1 观察法 (9)2.3.2 公式法 (9)2.3.3 分组法 (12)2.3.4 几种特殊类型方程积分因子的求法 (13)第三章三元微分方程积分因子的存在条件及解法 (14)3.1三元原函数存在条件 (14)3.2 三元微分方程积分因子存在的条件 (15)3.3 三元微分方程积分因子的解法 (16)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (21)第一章绪论1.1课题背景及目的微分方程差不多是和微积分同时产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解. 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的. 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律. 随着微分方程的理论的逐步完善，只要列出相应的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支. 事实上，大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解. 当然，这个近似解的精确程度是比较高的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等. 这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等，其中，积分因子法尤为重要，本论文主要讨论积分因子存在条件及其解法，通过积分因子使常微分方程化为全微分方程形式来求解.1.2 国内外研究状况和相关领域中已有的成果积分因子的概念是由瑞士大数学家欧拉提出来的，而且他还确定了可采用积分因子的微分方程类型，证明了凡是可用分离变量求解的微分方程都可以用积分因子求解，但反之不然.随着微分方程理论的不断深入研究，积分因子的应用越来越广. 经过许多人的研究证明：不仅仅是可用分离变量求解的微分方程可以用积分因子法求解，甚至只要微分方程的解存在，都可以采用积分因子法求解. 只是有些方程求积分因子比求方程的解本身更为复杂.目前国内的伍军、刘许成、阎淑芳等人对积分因子的求法作了详细的研究，并取得了许多重大的成果. 尽管目前还没有找到求积分因子的普通解法，但已在相当大的范围内，给出了一些微分方程的存在某些特殊类型积分因子的求法。
微分方程数值解第一章答案
微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社
• 课堂授课+计算实验 • 考核方式: 平时作业+课堂+期末考试 • 任课教师 •
1
教学内容
• 第一章、常微分方程的数值解法 • 第二章、椭圆型方程的差分方法 • 第七章、椭圆型方程的有限元方法 • 第四章、抛物型方程的差分方法 • 第五章、双曲型方程的差分格式
x (a bx)t x ' ax bx2 x
Logistic方程
14
常微分方程举例3
问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其 解, 例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程
x' t2 x2
不能用初等函数表示通解. 寻求方程非解析函数的其它形式解, 显得非常必要。 而数值求解就是其重要的一个方法
问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会
无限制扩大；稳定性问题
32
数值求解微分方程过程示意
区域剖分
微分方程离散
微
初始和边界条件处理
分
解的存在性、唯一性
方
离散系统的 性态研究
解的收敛性和收敛速度
程
解的稳定性
递推计算或解线 性代数方程组
得到数值解
33
作业
18
举例2
• P55 习题1 利用Euler方法求数值解 初值问题u' 1 u, u(0) 1 2 步长h=0.1, 解区间[0,1]
• 绘制折线，与真解比较
19
Matlab实现 u=null(1);h=0.1;u0=1; u(1)=u0+h*0.5*u0; for n=1:9
u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n); end t=0:0.1:1;un=[u0,u]； plot(t,un,'ro','Linewidth',2) ut=exp(0.5*t); hold on plot(t,ut,'Linewidth',2)
【论文】常微分方程初值问题数值解法的讨论与比较
【关键字】论文《微分方程数值解法》论文常微分方程初值问题数值解法的讨论与比较一、一阶常微分方程的初值问题科学技术中常常要求解常微分方程的定解问题，这类问题最简单的形式是一阶方程的初值问题我们知道，只要函数适当光滑，譬如关于满足Lipschitz条件（1.3）理论上就可以保证初值问题(1.1),(1.2)的解存在并且唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。
2、欧拉法我们知道，在平面上，微分方程(1.1)的解称作它的积分曲线。
积分曲线上一点的切线斜率等于函数的值，如果按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致，基于上述几何解释，从初始点出发，先依方向场在该点的方向推进到上一点，然后再从依方向场的方向推进到上一点，循此前进推出一条折线，一般地，设已做出该折线的顶点，过依方向场的方向再推进到，显然两个顶点，的坐标有关系即(2.1)这就是著名的欧拉(Euler)公式。
若初值已知，则依公式(2.1)可逐步算出例1 求解初值问题解欧拉公式的具体形式为取步长，计算结果如下表：表1 计算结果对比初值问题(2.2)有解，按这个解析式子算出的准确值同近似值一起列在表1，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差。
三、改进欧拉法为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式如果对方程(1.1)从到积分,得(3.1)右端积分中若用梯形求积公式近似，并用代替，代替，则得(3.2)称为改进欧拉法．改进欧拉方法是隐式单步法，可用迭代法求解．用欧拉方法提供迭代初值，则改进欧拉法的迭代公式为(3.3)为了分析迭代过程的收敛性，将(3.1)式与(3.2)相减，得，于是有，式中为对满足Lipschitz常数，如果选取充分小，使得，则当时有，这说明迭代过程(3.3)是收敛的．例2用改进的欧拉方法求解初值问题(1.1)．解改进的欧拉公式为仍取，计算结果见下表．同例１中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度．表2 计算结果对比四、线性多步法在逐步推进的求解过程中，计算之前事实上已经求出了一系列的近似值，，如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望会获得较高的精度．这就是构造所谓线性多步法的基本思想．构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程(1.1)两端积分后利用插值求积公式得到．一般的线性多步法公式可表示为，(4.1)其中为的近似，，，，为常数，及不全为零，则称(4.1)为线性步法，计算时需先给出前面个近似值，再由（4.1)逐次求出．如果，称(4.1)为显式步尖，这时可直接由(4.1)算出；如果，则(4.1)称为隐式步法，求解时与改进欧拉法相同，要用迭代法方可算出，(4.1)中系数及可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：设是初值问题(1.1),(1.2)的准确解。
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《微分方程数值解》课程论文题目
1、给出Dirichlet 边值问题：
()()()(),u x q x u x f x a x b
''-+=<< (),()u a u b αβ==
和两点边值问题
(())()()(),,
d d u d u L u p x r x q x u f x a x b d x d x d x =-++=<< (),()u a u b αβ==
在均匀网格下的差分格式，编写程序，给出误差阶及误差图。
2、考虑守恒型微分方程（I ）：
(())()(),d du Lu p x q x u f x a x b dx dx =-
+=<< (),()u a u b αβ==
给出其直接差分格式和积分插值法差分格式，采用积分插值法时，数值积分分别利用中矩形公式和梯形公式，编写程序，给出误差阶及误差图。
3、考虑守恒型微分方程（II ）：
(())()(),d du Lu p x q x u f x a x b dx dx =-
+=<< 01()(),u a u a αα'=+
01()().u b u b ββ'=+
给出其直接差分格式和积分插值法差分格式，对于边界条件采取直接微分法和积分插值法，编写程序，给出误差阶及误差图。
4、考虑Poisson 方程：
(,),(,)u f x y x y G -∆
=∈ |(,),u x y αΓ=
其中G 是xy 平面上一有界区域，其边界Γ为光滑曲线。
给出方程的五点差分格式和九点差分格式，给出其截断误差，编写程序，给出误差阶及误差图。
5、考虑Poisson 方程：
(,),(,)u f x y x y G -∆
=∈ |(,),u x y αΓ=
其中G 是xy 平面上一圆域、环形域或扇形域，其边界Γ为光滑曲线。
给出方程极坐标形式的差分格式，编写程序，给出误差阶及误差图。
6、考虑Laplace 方程：
0,(,),u x y G -∆
=∈ |(,),u x y αΓ=
其中G 是xy 平面上一有界区域，其边界Γ为光滑曲线。
给出方程的九点差分格式，给出其截断误差，编写程序，给出误差阶及误差图。
7、考虑一维热传导方程
22(,),0,0,u u a f x t x l t T t x
∂∂=+<<<≤∂∂ (,0)(),0u x x x l ϕ=
<< (0,)(,)
0,0u t u l t t T ==≤≤ 给出方程的向前差分格式、向后差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式、二阶向后差分格式及截断误差，编写程序，给出误差阶及误差图。
8、考虑一维热传导方程
22(,),0,0,u u a f x t x l t T t x
∂∂=+<<<≤∂∂ (,0)(),0u x x x l ϕ=
<< (0,)(,)
0,0u t u l t t T ==≤≤ 给出方程的紧差分格式（P136）的截断误差，证明格式恒稳定，编写程序，给出误差阶及误差图。
9、考虑二维热传导方程
2222()(,,),0,1,0,u u u a f x y t x y t T t x y
∂∂∂=++<<<≤∂∂∂
(,,0)(,),0,u x y x y x y l ϕ=
<< (0,,)(,,)(,0,)(,,)0,0u y t u l y t u x t u x l t t
T ====≤≤ 给出方程的向前差分格式、向后差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式、二阶向后差分格式及截断误差，编写程序，给出误差阶及误差图。
10、 考虑二维热传导方程
2222()(,,),0,1,0,u u u a f x y t x y t T t x y
∂∂∂=++<<<≤∂∂∂ (,,0)(,),0,u x y x y x y l ϕ=
<< (0,,)(,,)(,0,)(,,)0,0u y t u l y t u x t u x l t t
T ====≤≤ 给出方程的ADI 格式，预-校法，LOD 法，编写程序，给出误差阶及误差图。