一次函数讲解
一次函数-一次函数的概念、图像、与基本性质(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论部分，我发现学生们在讨论一次函数在实际生活中的应用时，能够提出一些有创意的想法。但在分享成果时，部分学生的表达能力仍有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组代表发言、角色扮演等。
最后，在总结回顾环节，学生对一次函数的知识点有了更深刻的理解。但在课后反馈中，仍有部分学生表示对某些知识点存在疑问。针对这个问题，我将在课后加强个别辅导，关注学生的掌握情况，并及时解答他们的疑问。
（4）空间想象能力的培养：对于一次函数图像的想象和绘制，学生可能缺乏空间想象力。
突破方法：借助教学软件、实物模型等辅助工具，帮助学生建立一次函数图像的空间概念。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数的概念、图像与基本性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人一起跑步，一个人跑得快，一个人跑得慢，他们的距离是如何变化的？”这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、图像和基本性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
一次函数讲解
一次函数讲解一次函数是初中数学中最基础、最简单的函数之一。
它是一种线性函数，由一个常数和一个一次项组成。
在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义、图像、性质、应用以及解题技巧。
一、定义一次函数也称为线性函数，其定义为：f(x) = kx + b，其中k 和b分别是常数，x是自变量，f(x)是因变量。
其中，k称为函数的斜率，b称为截距。
二、图像一次函数的图像是一条直线。
其中，斜率k表示这条直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。
截距b表示直线与y轴的交点。
三、性质1.一次函数是一种线性函数，其图像是一条直线。
2.斜率k表示直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。
3.截距b表示直线与y轴的交点。
4.一次函数的自变量和因变量成正比例关系。
5.一次函数的定义域为实数集，值域为实数集。
四、应用1.物理学中，一次函数可以用来描述速度、加速度等物理量的变化规律。
2.经济学中，一次函数可以用来描述商品价格、销售量等经济变量的关系。
3.工程学中，一次函数可以用来描述电压、电流等工程量的变化规律。
4.统计学中，一次函数可以用来描述数据的线性趋势。
五、解题技巧1.求斜率k：斜率k可以通过两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来求得。
2.求截距b：截距b可以通过直线与y轴的交点来求得。
3.求函数解析式：可以通过已知的两个点的坐标来求得函数解析式。
4.求函数值：可以直接代入自变量的值来求得函数值。
六、例题解析1.已知一次函数y = 2x + 3，求当x = 5时的函数值。
解：将x = 5代入函数中，得到y = 2 × 5 + 3 = 13。
因此，当x = 5时，函数值为13。
2.已知一次函数y = kx + 2，当x = 3时，y = 5；当x = 4时，y = 8。
求函数解析式。
解：根据已知条件，可以列出如下方程组：k × 3 + 2 = 5k × 4 + 2 = 8解得k = 1。
一次函数知识点
龙文教育------您值得信赖的中小学1对1课外辅导专家一次函数的讲解（一）一次函数概念一般地，函数)0(≠+=k b k b kx y 都为常数，且、叫做一次函数。
当0=b 时，一次函数b kx y +=就成为)0(≠=k k kx y 为常数，叫做正比例函数，常数k 叫做比例系数。
强调：（1）作为一次函数的解析式b kx y +=，其中y b x k ,,,中，哪些是常量，哪些是变量？哪一个是自变量，哪一个是自变量的函数？其中b k ,符合什么条件？ （2）在什么条件下，)0(≠+=k b kx y 为正比例函数？（3）对于一般的一次函数，它的自变量的取值范围是什么？做一做：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k 和常数项b 的值各为多少？,2r C π=,20032+=x y ,200vt = (),32x y -= ()x x s -=50 【典型例题】例1：求出下列各题中x 与y 之间的关系，并判断y 是否为x 的一次函数，是否为正比例函数：⑴某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数y 与种植面积)(2m x 之间的关系。
⑵正方形周长x 与面积y 之间的关系。
⑶假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。
本钱元）(y 与所存月数x 之间的关系。
例2：按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%，超过500元至2000元部分的税率为10% ⑴ 设全月应纳税所得额为x 元，且2000500≤<x 。
应纳个人所得税为y 元，求y关于x 的函数解析式和自变量的取值范围。
⑵ 小明妈妈的工资为每月2600元，小聪妈妈的工资为每月2800元。
问她俩每月应纳个人所得税多少元？注：例如，某人某月工资收入为2400元，则应纳税所得额为元）(16008002400=-，应纳个人所得税为()（元）135%105001600%5500=⨯-+⨯。
一次函数图像与性质ppt课件
图
象时，只要描出函数图象中的两个点就可画出此
函 数的图象.
b ,0 k
(2)一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)
都过(0,b) (与y轴交点坐标)和(
)(与x轴交点
总结
一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b；它必过(0，b)和( b , 0 )两点．
k
例1 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象.
从 k、b的值看一次函数的图像 (1)当k＞0,b＞0时，图象过一、二、三象限； (2)当k＞0,b＜0时，图象过一、三、四象限； (3)当k＜0,b＞0时，图象过一、二、四象限； (4)当k＜0,b＜0时，图象过二、三、四象限.
例2 已知直线y＝(1－3k)x＋2k－1. (1)k为何值时，直线与y轴交点的纵坐标是－2?
一次函数的图象是一条直线，这条直线与坐标轴 有交点，正比例函数只有一个交点，一般的一次函数 有两个交点. 注意：一次函数图象的画法与我们前边学过的函数图 象的画法一样，其步骤为列表、描点、连线.通过实际 操作，我们可得出：
(1)一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象是
一
条直线.由两点确定一条直线可知，在画一次函数
要点精析： (1)在实际问题中，当自变量x的取值受限制时，一次函 数 y＝kx＋b的图象就不一定是一条直线了，有时是线段、 射线或直线上的部分点． (2)k决定直线的倾斜角度： k＞0⇔直线y＝kx＋b在x轴上方的部分与x轴正方向的夹 角为锐角； k＜0⇔直线y＝kx＋b在x轴上方的部分与x轴正方向的夹 角为钝角； k1＝k2⇔直线y1＝k1x＋b1∥直线y2＝k2x＋b2(b1≠b2)． (3)k＞0⇔y随x的增大而增大；k＜0⇔y随x的增大而减小 ．
一次函数讲解ppt(共87张PPT)
3
2
A.
5
的值为2,则
)
2
5
B.
5
解析 ∵x=2时,在
4
25
C.
2≤x≤4 之间,∴将
25
4
D.
5
x=2代入函数
1
y=得
2
y=5.故
选 B.
答案 B
22
教材新知精讲
拓展点一
拓展点二
拓展点三
综合知识拓展
拓展点四
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教材新知精讲
拓展点一
拓展点二
拓展点三
综合知识拓展
拓展点四
拓展点二根据表格求函数的解析式
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知识点一
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知识点三
知识点四
综合知识拓展
知识点五
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知识点二
知识点三
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综合知识拓展
知识点五
知识点二函数和自变量
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确
定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
解读 正确理解函数这一概念必须注意如下几点:
2.找特殊点
3.数形结合
知识点二从函数图象读取信息
观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就
是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系。 观察图象图象上
一句话解决方案
的特殊点,如与坐标轴的交点、图象上的拐点、线段的端点等,这
些特殊点的意义往往对问题的解决有很大的帮助.分析(1)找到第一天
中最高点与最低点的坐标,进而可得骆驼体温的变化范围与它的体温从 数形结合，正确理解自变量和
八年级数学之一次函数的图像知识点最新5篇
八年级数学之一次函数的图像知识点最新5篇数学一次函数知识点篇一一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx（k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y），都满足等式：y=kx+b.（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k,b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限四、确定一次函数的)○(表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.（2）因为在一次函数上的任意一点P（x,y），都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②（3）解这个二元一次方程，得到k,b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt.2、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
一次函数与方程不等式讲解
一次函数与方程不等式讲解一次函数与方程不等式是数学中非常重要的概念，它们在日常生活中也有广泛应用。
本文从定义、性质、求解方法等方面进行讲解，希望能够帮助读者更好地掌握这些知识。
一、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，x是自变量，y是因变量。
它的图像通常是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
一次函数的性质包括：1.斜率相同的两条直线平行，斜率相反的两条直线相交于一点。
2.直线的截距可以通过函数的图像或方程求解。
3.直线的图像在x轴和y轴上的截距分别为(-b/k,0)和(0,b)。
二、一次方程的定义与性质一次方程是指形如ax+b=c的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
它的求解方法可以用解方程、平衡法、加减混合法等。
一次方程的性质包括：1.方程的解可以唯一确定未知数的取值。
2.方程的解可以用代数方法求解，也可以利用图像方法求解。
3.方程的解可以分为有理数解和无理数解。
三、一次不等式的定义与性质一次不等式是指形如ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a、b是已知数，x是未知数。
它的求解方法与一次方程相似，只需要将等式改为不等式，并分析不等式的性质即可。
一次不等式的性质包括：1.不等式的解可以是一个区间，也可以是整个实数集。
2.不等式的解可以用代数方法求解，也可以利用图像方法求解。
3.不等式的解可以分为正数解和负数解。
综上所述，一次函数、方程、不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用十分广泛。
在学习和应用过程中，我们需要了解其定义、性质和求解方法，有助于更好地掌握这些知识，并解决相关问题。
希望本文能够对读者有所启发，促进学习和实践的提高。
专题08 一次函数【考点精讲】
边在第一象限作正方形 ABCD ，则对角线 BD 所在直线的解析式为（ A ）
A．
y
1 7
x
4
B．
y
1 4
x
4
C．
y
1 2
x
4
D． y 4
2．（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数 y＝kx+b，现画出了它的图象
为直线 l，如图．而某同学为观察 k，b 对图象的影响，将上面函数中的 k 与 b
3．一次函数的图象与性质
函数 系数取值 大致图象
k>0 y=kx (k≠0)
k<0
k>0b>0
y=kx+b (k≠0)
k>0b<0 k<0b>0
k<0b<0
经过的象限 一、三 二、四
一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
函数性质 y随x增大而增大 y随x增大而减小 y随x增大而增大
y随x增大而减小
【例 1】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知一次函数 y kx k 过点1,4 ，则下列结论
正确的是（ C ）
A．y 随 x 增大而增大
C．直线过点 1,0
B． k 2
D．与坐标轴围成的三角形面积为 2
【例 2】（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数 y＝ax+a（a≠0）的图象过点 P（1，2）
B． x 4
C． x 2 D． x 4 或 x 2
【例 5】（2021·广西贺州市·中考真题）直线 y ax b （ a 0 ）过点 A0,1 ， B2,0 ，
则关于 x 的方程 ax b 0 的解为（ C ）
A． x 0 B． x 1 C． x 2 D． x 3
一次函数的图象和性质知识讲解
一次函数的图象和性质知识讲解一次函数是数学中最简单的函数之一，通常表示为y = ax + b，其中a和b都是实数且a ≠ 0。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
1.找到x轴和y轴的交点，并标记为(x1,0)和(0,y1)。
2.连接两个点，得到直线。
如果x1等于0，则直线与y轴平行；如果y1等于0，则直线与x轴平行；如果两个轴的交点都不是原点，则直线会穿过原点。
1.斜率：一次函数的斜率是直线的倾斜程度。
斜率可以通过直线上的两个点计算得出，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。
在一次函数中，斜率等于a。
2.y轴截距：一次函数在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标。
在一次函数中，截距等于b。
3.x轴截距：一次函数在x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标。
在一次函数中，截距等于-x1/a（如果存在）。
4.定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，因为对于任何实数x，一次函数都有对应的y值。
一次函数的值域也是所有实数，因为直线可以无限延伸。
5.单调性：如果a大于0，则一次函数是增函数，意味着随着x的增加，y值也增加。
如果a小于0，则一次函数是减函数，意味着随着x的增加，y值减少。
6.对称性：一次函数的图像在直线y=x/2上对称，这意味着如果一个点(x,y)在一次函数的图像上，则另一个点(y,x)也在图像上。
7.平移：通过改变常数b的值，可以使一次函数的图像平移。
当b大于0时，图像向上平移；当b小于0时，图像向下平移。
8.相关性：一次函数的系数a和b的值决定了直线的斜率和截距。
更具体地说，a决定了直线的倾斜程度，而b决定了直线与y轴的交点的纵坐标。
总结：一次函数是数学中最简单的函数之一，其图像是一条直线，由斜率和截距决定。
一次函数具有很多重要的性质，如斜率、截距、定义域、值域、单调性、对称性、平移和相关性。
熟悉这些性质可以帮助我们更好地理解和分析一次函数的特征和行为。
一次函数的图象和性质 基础 知识讲解
一次函数的图象和性质基础知识讲解一次函数的图象和性质基础知识讲解一次函数的图象和性质(基础)知识讲解一次函数的图象与性质（基础）1.理解一次函数的概念，理解一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间2.能够恰当图画出来一次函数y=kx+b的图象．掌控一次函数的性质．利用函数的图象化解与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3.对分段函数存有初步重新认识，能够运用所学的函数科学知识化解实际问题．要点一、一次函数的定义通常地，形似y=kx+b（k，b就是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.要点诠释：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线；当b＞0时，直线y=kx+b就是由直线y=kx向上位移b个单位长度获得的；当b＜0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向下平移|b|个单位长度得到的.2.一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质：3.k、b对一次函数y=kx+b的图象和性质的影响：k同意直线y=kx+b从左向右的趋势，b同意它与y轴交点的边线，k、b一起同意直线y=kx+b经过的象限．4.两条直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2的位置关系可由其系数确定：（1）k1≠k2⇔l1与l2平行；（2）k1=k2，且b1≠b2⇔l1与l2平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y=kx+b（k，b就是常数，k≠0）中存有两个未定系数k，b，须要两个单一制条件确认两个关于k，b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x，y的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式则表示，因此获得的函数就是形式比较复杂的分段函数.解题中要特别注意解析式对应的自变量的值域范围，分段考量问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.类型一、未定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【变式1】未知一次函数的图象与正比例函数y2x的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【变式2】（2021春•广安校级月托福）未知函数y1=2x﹣3，y2=﹣x+3．（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象．（2）谋出来函数图象与x轴围起三角形的面积．类型二、一次函数图象的应用2、为减轻用电紧绷的矛盾，某电力公司制订了代莱用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．根据图象求出y与x的函数关系式．【变式】大低从家骑著自行车回去学校上学，先跑上坡路抵达点a，再走下坡路抵达点b，最后走平路到达学校c，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()a.14分钟b.17分钟c.18分钟d.20分钟类型三、一次函数的性质3、未知一次函数y=(2m+4)x+(3-n)．（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大；（2）当m、n就是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围.4、（2021春•咸丰县期末）未知点a（4，0）及在第一象限的动点p（x，y），且x+y=5，0为座标原点，设立△opa的面积为s．（1）求s关于x的函数解析式；（2）谋x的值域范围；（3）当s=4时，求p点的坐标．举一反三：【变式】函数y=kx+k(k≠0)在直角坐标系则中的图象可能将就是（）．。
一次函数所有知识点讲解
一次函数所有知识点讲解一次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
在学习一次函数时，我们需要掌握以下知识点：一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
一般地，我们用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、一次函数的定义一次函数是指函数f(x) = kx + b，其中k和b是常数，且k不等于0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
三、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，可以通过斜率k和截距b来确定。
当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜；当k=0时，直线水平。
当b>0时，直线与y轴正向平移；当b<0时，直线与y轴负向平移。
四、一次函数的性质1. 斜率k表示函数的变化率，即函数值的增量与自变量增量的比值。
当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减；当k=0时，函数为常函数。
2. 截距b表示函数与y轴的交点，当x=0时，函数的值为b。
因此，截距b可以用来确定函数的位置。
3. 一次函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。
五、一次函数的应用1. 一次函数可以用来描述直线运动的速度和位置关系。
例如，当一辆车以匀速v行驶时，它的位置与时间的关系可以表示为f(t) = vt + b，其中b为初始位置。
2. 一次函数可以用来描述经济问题中的成本和收益关系。
例如，当一家公司生产x件产品时，它的成本和收益可以表示为f(x) = kx + b，其中k为单位成本或单位收益，b为固定成本或固定收益。
3. 一次函数可以用来描述物理问题中的速度和加速度关系。
例如，当一个物体以初速度v0加速a时，它的速度与时间的关系可以表示为f(t) = v0 + at。
一次函数是数学中的重要内容，它不仅具有理论意义，还有广泛的应用价值。
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。
一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。
2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。
求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。
通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。
3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。
求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。
求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。
需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。
4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。
掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。
一次函数的应用知识讲解
一次函数的应用知识讲解一次函数是数学中的基础概念之一，它是形式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
1.直线运动问题：一次函数可以用来描述物体的运动情况。
例如，一个物体在t秒内匀速直线运动，它的初始位置是x0，速度是v，则物体的位置可以用一次函数来表示：x(t) = x0 + vt。
这个函数中的x0是物体的初始位置，vt是速度v与时间t的乘积。
通过对时间t的不同取值，我们可以得到物体在不同时刻的位置。
2.价格和需求关系：在经济学中，一次函数可以用来描述价格和需求之间的关系。
假设商品的价格为p，需求量为d，根据供需理论，商品的需求量和价格之间存在着一定的线性关系。
可以将需求量表示为d(p) = ap + b的一次函数，其中a是需求量随价格的变化率，b是需求量随价格为0时的截距。
通过分析一次函数的图像，可以得出价格对需求量的影响规律，进而指导制定合理的价格策略。
3.利润和成本关系：在管理学和经济学中，一次函数常常用于描述利润和成本之间的关系。
一个企业的利润可以表示为P(x) = ax + b，其中x是生产量，a是单位生产量带来的增加利润，b是无生产时的固定成本。
利润函数的图像可以反映企业在不同生产量下的盈亏情况，通过最大化或最小化利润函数，可以帮助企业制定最优的生产方案和经营策略。
4.数学建模：一次函数是数学建模中最常用的数学模型之一、数学建模是将实际问题抽象化为数学问题，并通过数学方法解决这些问题。
许多实际问题可以通过一次函数来建模，从而得出问题的解析解或近似解。
例如，通过分析市场价格的变化规律，可以建立一次函数来预测未来的价格走势；通过分析股票的历史数据，可以建立一次函数来预测股票的未来涨跌幅度等。
5.统计学分析：一次函数也广泛应用于统计学中的回归分析。
回归分析是用来研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
简单线性回归模型就是一次函数模型，可以用来描述因变量和自变量之间的线性关系。
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解.doc
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解知识梳理10 min.1、一次函数的概念若两个变最X、y间的关系式可以表示成y二kx+b （k、b为常数，kHO）的形式，则称y是x的一次函数（x 为自变量，y为因变量）特别地，当b二0时，称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图象①一次函数尸kx+b的图象是一条经过（0,b）（-bk, 0）的直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点（0, 0）的一条直线。
②在一次函数y = kx + b中当£〉0时，y随兀的增大而增大,当Z?>0时，直线交歹轴于正半轴，必过一、二、三象限; 当bvO时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限.y随无的增大而减小，当kvO时，当b〉0时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限;当Z?vO时，直线交歹轴于负半轴，必过二、三、四象限.意图：在前面的学习中我们已得到一次函数的图彖是一条直线，并且讨论了£、b的正负对图彖的影响.通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.典例精讲27 min.例1 •已知函数y = 2x-l的图象如图所示，请根据图象回答下列问题:(1)当x = 0时，y的值是多少?(2)当y = 0时，兀的值是多少？(3)当兀为何值时，y>0?(4)当兀为何值时，yvO?答案：解:(1) ^x = 0时，y = -l； (2)当y = 0时，x二一;2(3)当丄时，y>0； (4)当xv丄时，y<0.2 2例2、如图，直线对应的函数表达式是(3 y=-x+322答案：A例3、(2008江苏常州)甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s(km)和骑行吋间t(h)之间的函数关系如图所示，给出下列说法：[]20a tin)⑴他们都骑行T 20km;（2） 乙在途中停留了 0. 5h;（3） 甲、乙两人同吋到达目的地；（4） 相遇后，甲的速度小于乙的速度.根据图象信息，以上说法正确的有A. 1个B. 2个C. 3个 答案：B 例4.某产品的生产流水线每小时可生产100件产品.生产前没有产品积压，生产3h 后安排 工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量（y ）是时间（?）的函数，那么这 个函数大致图象只能是（ ）答案：A例5.如图所示，是某企业职工养老保险个人月缴费y （元）随个人月工资兀（元）变化的D. 4个图象.请你根据图象回答下列问题：(1) 张总工程师五月份工资是3 000元，这个月他应缴个人养老保险费—元；(2) 小王五月份工资为500元，他这个月应缴纳个人养老保险费 _________ 元.(3) 当月工资在600〜2 800元之I'可，英个人养老保险费y (元)与月工资兀(元)之间的 函数关系式为 ________ .例6.已知A 、B 两市相距80km.甲乙两人骑自行车沿同一公路各自从A 市、B 市出发, 相向而行，如图所示，线段EF 、CD 分别表示甲、乙两人离B 市距离5(km) 和所用去时间/(h)之间的函数关系，观察图象回答问题：(1) 乙在甲出发后几小时才从3市岀发？(2) 相遇吋乙走了多少小吋？(3) 试求出各自的$与/的关系式.(4) 两人的骑车速度各是多少？(5) 两人哪一个先到达目的地？答案：(1) 200(2) 40 4 40 —X --------- 55 11(4) v 甲=14.4km/h,吃=22.5 km/h ；72 72(5) ------------------ 在 s 甲— ---------------------- 1 + 80 中，—| £甲=0 时,0 — 1 + 8050t — ，9 答案：解：(1)乙在甲出发后lh,才从B 市发出;7 7 7(2) 2一―1 = 1 一(h),即相遇时，乙走了 l-h ；9 9 9(3) 设甲的函数关系式为讪="+勺，将(0,80)(2彳,40 19 1 1k =_72 解得］1_540 叫 h = 80. 甲的函数关系式为叶 -—^ + 805 设乙的函数关系式为s 乙=屮"•解得＜ b 2 _45— ，2__45__T乙的函数关系式为吃 45 45-- 1 ----2 241~9在s L=-t-—中，当吃=80时，即80 = —Z- —乙2 2 乙2 250 41••• 一 > ——,9 9•••乙先到达目的地.例7、已知两条直线yl =2x-3和y2 = 5・x・(1) 在同一坐标系内做出它们的图像;⑵求出它们的交点A 坐标;(3)求出这两条直线与x 轴围成的三角形ABC 的面积;(4) k 为何值时，直线2k+ 1 =5x+4y 与k=2x+3y 的交点在每四彖限.分析(1)这两个都是一次函数，所以它们的图像是直线，通过列表，取两点，即可画出 这两条直线.(2) 两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解.(3) 求出这两条直线与x 轴的交点坐标B 、C,结合图形易求出三角形ABC 的面积.(4) 先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为止，纵坐标为负，可求出k 的取值Swc =-BCxAE = -x-x- = — MBC 2 2 2 3 122k + 1 = 5x + 4y, k — 2无 + 3y.2k + 3x = ------(4)两个解析式组成的方程组为 范围.7 “k-2解这个关于X、y的方程组，得I 7由于交点在第四象限，所以x>0,y<0.（2£ + 3 n即彳/ 解得k — 2 2------ < 0.7例8：旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李.如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费.已知旅客所付行李费y （元）可以看成他们携带的行李质量尤（千克）的一次函数为j ・画岀这个函数的图像，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？分析求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数.为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值.即当y=0时，无=30.由此可知这个函数的口变量的取值范围是x>30.解函数y = — x — 5（x>30）S像为：当y=0时，兀=30.所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.例9：今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y （元）是用水量兀（吨）的函数，当0工5时，>=0.72兀,当x>5时，y = 0.9兀・0.9・（1）画出函数的图像;(2)观察图像，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.分析画函数图像时，应就自变量0仝5和x>5分别画出图像，当0仝5时，是正比例函数，当x>5是一次函数，所以这个函数的图像是一条折线.解(1)函数的图像是：(2)自來水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元例10.如图所示的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车者9点离开家，15 点冋家，根据这个曲线图，请你冋答下列问题：(1)到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时I'可？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11:00到12:00他骑了多少千米？(5)他在9:00〜10:00和10:00〜10:30的平均速度各是多少？(6)他在何时至何时停止前进并休息午餐？(7)他在停止前进后返回，骑了多少千米？(8)返冋时的平均速度是多少？(9)11:30禾口13:30时，分别离家多远？(10)何时离家22km?答案：解：(1)到达离家最远地方的时间是12点到13点，离家30km.(2)10点半开始第一次休息，休息了半小时.(3)第一次休息时离家17km.(4)11:00 到12:00,他骑了13km.(5)9:00〜10:00的平均速度是10km/h； 10:00〜10:30的平均速度是14km/h.(6)从12点到13点间停止前进，并休息午餐较为符合实际情形.(7)返回骑了30km.(8)返回30km共用了2h,故返回时的平均速度是15km/h.(9)设直线DE所在直线的解析式为:s = M + b・将£>(11,17)、£(12,30)的坐标代入，得(lbt + b = 17, 仏= 13,\ 解得彳所以s = 13/ — 126.[12jt + Z? = 30. [b = -n6.当t = 11.5时,s = 23.5 ,故11:30时，离家23.5km.(在用样的方法求出13:30,离家22.5km Z后，你是否能想出更简便的方法？)(10)由(9)的解答可知，直线DE的解析式为5 = 13/-126,将5 = 22代入得/ = 11.3 ,即11点]8分时离家22km,在FG上同样应有一点离家22km,Q 下血可以这样考虑：13点至15点的速度为15km/h,从F点到22km处走了8km,故需一15h (即32min),故在13点32分时间同样离家22km.例11..假定甲、乙两人一次赛跑中，路程S （m ）与时间f （s ）的关系如图所示，那么可以知道:（1） __________________ 这是一次 米赛跑； y （m ）（2） ___________________________________ 甲、乙两人中先到达终点的是 ；（3） ______________________________ 乙在这次赛跑屮的速度为 ・例12.某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 吨，加油飞机的加油油箱余油量0吨，加油 时间为/分钟，Q 、@与/之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1） 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？ （2） 全加油过程中，求运输飞机的余油量Q （t ）与时间r （min ）的函数关系式.（3） 运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10h 到达冃的地，油料是否够用？说明理 由.答案：（1） 100(2)甲(3) 8m/s答案：解：(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30t油.全部加给运输飞机需lOmin.(2)设Q、=kt + b,把(0,40)和(10,69)代入,= S人解得¥ = 29 69 = 10R + b. [b = 40.・・・Q = 29 + 40(0 W/W 10)；(3)由图象可知运输飞机的耗油量为O.lt/min./. 1 Oh 耗油址为:10X60X0.1 = 60t<69t.故油料够用.例13：.某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液屮含药量最高，达6ug/ml (lug=10_3mg),接着逐渐衰减，10h 时的血液中含药量为每毫升3ug,每毫升血液中含药量y(ug)随时间/(h)的变化如图.当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出xW2和兀$2时，y与兀Z间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为4ug或4ug以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间多长？当兀$ 2时，设y = k 2x + h.27 b = — • 43 27••• y =——x + ——； - 8 4 4(2)当 xW2 时，即 3兀三4,33 27 22当兀22时，y 2 4 ,即——兀 -------- 2 4, xW ——.‘ 8 4 322 4•••有效治疗时间为： -- =6 .3 3即这个有效治疗时间为6h.例14：.两个物体A 、B 所受的压强分别为匕，P l ｝（都为常数）它们所受压力F 与受力面 积S的函数关系图象分别是射线/4, l R 如图所示，则（）A. P A <P BB. P A = P RC. P A >P,D. W P BF I丁先+?解得.3 = 10怠 +b.由题意得答案：A例15.如图是某固体物质在受热熔解过程中物质温度T（°C）与时间f（s）的关系图，其屮A阶段物质为固态，B阶段为固液共存，C阶段为液态.（1）________________________________ 物质温度上升温度最快的是阶段，最慢的是阶段；（2）_____________________________________________ 物质的温度是60°C,那么时间f的变化范围是___________________________________________ .答案：(1) C B (2) 20W/W50例16.某图书出租店，有一种图书的租金y （元）与出租天数兀（天）之间的关系如图所示, 则两天后，每过一天，累计租金增加答案：0.5例17 甲、乙两辆汽车同时从相距280km的A、B两地相向而行，£（km）表示汽车与A地的距离，/（min）表示汽车行驶的时间，如图所示，厶、厶分别表示两辆汽车的$与/的关系.（1）/,表示哪辆汽车到A地的距离与行驶时间的关系;（2）汽车乙的速度是多少？（3）lh后，甲、乙两辆汽车相距多少千米？（4）行驶多长时间，甲、乙两辆汽车相遇？答案：解：（1）厶表示汽车乙到4地的距离与时间Z间的关系;（2）汽车乙的速度是80km/h；（3）lh后，甲、乙两辆汽车相距140km；（4）2804-（60 + 80） = 2,即行驶2h,甲、乙两辆汽车相遇.例18：.水库的库容通常是用水位的高低來预测的.下表是某市一水库在某段水位范围内的库容与水位高低的相关水文资料，请根据表格提供的信息回答问题.水位高低兀（单位：米）10203040• • •库容y （单位：万立方米）3000360042004800• • •（1 ）将上表中的各对数据作为坐标（兀，y）,在给11!的坐标系中用点表示11!来：（2）用线段将（1 ）中所画的点从左到右顺次连接.若用此图象来模拟库容y与水位高低兀的函数关系.根据图彖的变化趋势，猜想丿与兀间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；（3 ）由于邻近市区连降暴雨，河水暴涨，抗洪形势十分严峻，上级要求该水库为其承担部分分洪任务约800万立方米.若该水库当前水位为65米，且最高水位不能超过79米.请根据上述信息预测：该水库能否承担这项任务？并说明理由.（笫25题）答案：(1)描点如图所示.(2 )连线如图所示.猜想：y与兀具有一次函数关系.设其函数解析式为y二d + b伙工0).把(10,3000)、(20,3600)代入得：{3000 = 10/: + /?,[3600 = 20^+/?.仏= 60,解得：t[b = 2400./. y = 60x + 2400将(30,4200)、(40, 4800)分别代入上式,得：4200 = 60x30 + 2400,4800 = 60x40 + 2400.所以(30,4200)、(40, 4800)均在3^ = 60x4-2400 的图象上.(3 )能承担.・.•当x = 79时，y{ = 79x60 + 2400 ・当x = 65时，y2 =65x60 + 2400.必 _% = 60(79-65) = 60x14 = 840.・・・840 > 800 .・•・该水库能接受这项任务.例19：•种植草莓大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出.（1）若一部分草莓运往省城批发给零售筒，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y （元）与运往省城直接批发零售商的草裁量兀（吨）之间的函数关系式；（1）怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润.答案：解：（1）所求函数关系式为y = 1200x +2000（22-%）即y =-800%+ 44000（2）由于草莓必须在10天内售完X则有一 + 22—兀W104解之，得兀216在函数〉，= _800x + 44000中，-800<0・•・y随兀的增人而减小・••当x = 16时,y有最大值31200 （元）22-16 = 6, 16-4 = 4, 6-1 = 6答：用4天时间运往省城批发，6天时间在本地零售.（回答销量也可）才使获利润最大，最大利润为31200元.例20.已知一次函数y = ax + b（a. b是常数），x与y的部分対应值如下表:那么方程ax + b = 0的解是________________ ；不等式ax + b>0的解集是__________ 答案：x = l； x<\.。
19.2.2一次函数
∴ S△ AOB=
1 ×6×3=9. 2
感悟新知
知2－练
4-1.[中考·株洲]在平面直角坐标系中，一次函数y=5x+1的
图象与y轴的交点的坐标为( D )
A.(0，－1)
B.(－ 1 ，0)
C.(
1
5 ，0)
5
D.(0，1)
感悟新知
知识点 3 一次函数图象的平移
知3－讲
1. 上、下平移 直线y=kx+b 向上平移n(n>0)个单位长度得到直线
y 随x 的增大而减小
与y 轴 交点 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
的位置
感悟新知
特别提醒
知4－讲
●由k，b 的符号可以确定直线y=kx+b(k，b 是常数，
k ≠ 0) 所经过的象限；反之，由直线y=kx+b(k，b
是常数，k ≠ 0) 所经过的象限也可以确定k，b的
符号.
● k决定一次函数y=kx+b(k，b 是常数，k ≠ 0)的增
x 2
－3
与x
轴的交点为A，与y
轴的交点为
B，画出函数图象并求S△ AOB.
解题秘方：紧扣直线与两坐标轴的交点进行解答.
感悟新知
解：当x=0 时，y=－3，
知2－讲
∴点B 的坐标为(0，－3)；
当y=0 时，x=－6，
∴点A 的坐标为(－6，0).
画出函数图象如图19.2-5 所示.
由图象可知，OA= ∣－6∣ =6，OB= ∣－3∣ =3，
第19章 一次函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
一次函数的性质和图像(一)课件
斜率和函数单调性
1 斜率为正
表示函数是递增的，随 x 的增加，y 也增加。
2 斜率为
3 斜率为0
表示直线是水平的，函数与 y 轴平行。
一次函数的图像特点
直线
一次函数的图像是直线，与 x 轴和 y 轴相交。
斜率
斜率决定了直线的倾斜程度，越大越陡峭。
截距
截距表示直线与 y 轴的交点，反映了函数值在 x = 0 时的取值。
一次函数的定义域和值域
1 定义域
一次函数的定义域为全体实数。
2 值域
值域取决于斜率，如果斜率为正，则值 域为负无穷至正无穷；如果斜率为负， 则值域为正无穷至负无穷。
一次函数与直线的关系
相同点
不同点
• 一次函数是直线的一种特殊情况。 • 都满足直线上两点确定一条直线的性质。
一次函数的性质和图像 (一) PPT课件
本次课程将讲解一次函数的定义、解析式形式以及图像的特点。我们将深入 探讨斜率、截距和函数的性质，以及在实际生活和经济学中的应用。
一次函数的定义
一次函数是指不含有次数大于等于2的项的代数式，形式为y = mx + b（其中 m 和 b 都是实数，且 m ≠ 0）。
• 一次函数具有函数性质，每个 x 对应 唯一的 y 值。
• 直线可以是一次函数，也可以是其他 类型的函数。
一次函数的应用和实际联系
一次函数的应用广泛，可以用于建模经济学中的供求关系、利润函数等。它 们也用于描述线性运动、金融领域等实际问题。
示例和总结
1
示例
一次函数的性质可以帮助我们解决实际问题，如利润最大化的方程。
2
总结
一次函数是数学中的基础概念，它们的图像和性质在现实世界中有广泛的应用。
一次函数与一元一次不等式知识讲解
一次函数与一元一次不等式知识讲解一次函数是指变量的最高次数为1的函数，表达式一般为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。
一元一次不等式是指一个未知数的一次函数与一个不等式关系。
一次函数与一元一次不等式是二元关系，它们在数学中具有重要的意义和应用。
一次函数的性质与特点：1.常数项b表示函数在y轴上的截距，在函数图像上表示函数曲线与y轴的交点。
2.系数a表示函数的斜率，代表了函数图像的倾斜程度。
当a>0时，函数是增函数；当a<0时，函数是减函数。
3.函数曲线是一条直线，通过两个点即可确定一条直线。
因此，一次函数的图像是一条直线。
一元一次不等式的性质与特点：1.不等式中的未知数只有一个，并且只有一次。
2.不等式关系可能是大于、小于、大于等于、小于等于等形式，根据实际问题选择不同的不等号。
3.解不等式的方法与解方程类似，但需要注意不等号的取等情况。
下面通过一个具体的例子来进一步讲解一次函数与一元一次不等式的应用。
例子：家庭的月度水费与用水量x的关系可以用一次函数表示，已知该家庭用水量每增加10立方米，水费增加12元。
如果一个月的水费超过100元，那么最少要用多少立方米的水？解析：设该家庭每个月用水量为x立方米，月度水费为f(x)元。
根据题意，我们可以列出一次函数的表达式：f(x)=12/10x+b其中，12/10x表示每增加10立方米，水费增加12元，b表示常数项。
根据题目中提到的条件，水费超过100元，即f(x)>100。
将f(x)代入不等式中，得到不等式：12/10x+b>100解不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式，得到12/10x+b=100。
2.消去分数，得到12x+10b=1000。
3.根据题意，b为常数项，所以可将10b看作常数C，得到12x+C=1000。
4.求解x，得到x=(1000-C)/12、由于x代表用水量，所以要求最少用水量，即x的值应该尽量小。
一次函数知识点讲解
一次函数知识点一、正比例函数及性质一般，形如y=kx (k 是常数，k≠0) 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k ≠0 ② x 指数为1 ③ b ＝0 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(1) 图像必过点：（0，0）、（1，k ）(2) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(3) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小二、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b (k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)（2）图像必过点：（0，b ）和（-kb ，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 ⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移|b|个单位.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。
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第 14 讲 一次函数
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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考
点
知
考点一 一次函数的定义
识
一般地，如果 y＝kx＋b(k、b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数．
精
析
举 一 反 三
考 点 训 练
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考
点
(2010·宁波)小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校
知 与天一阁的路程是 4 千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好
识 精 讲
到达天一阁，图中折线 O—A—B—C 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程 s(千米)与所经 过的时间 t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
考
典
例
(2)(2010·济南)一次函数 y＝－2x＋1 的图象经过哪几个象限( )
精 析
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
举 一
(3)(2010·盐城)给出下列四个函数：①y＝－x；②y＝x；③y＝1x；④y＝x2.当 x<0 时，y
反 随 x 的增大而减小的函数有( )
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【点拨】本题考查一次函数的应用，从图象或题意中获取信息是解题的关键．
考 点 知
【解答】(1)15
4 15
(2)由图象可知，s 是 t 的正比例函数．
识
设所求函数的解析式为 s＝kt(k≠0)，
精 讲
代入(45,4)，得 4＝45k.解得 k＝445.
中
∴s 与 t 的函数关系式 s＝445t(0≤t≤45)
1．求一次函数解析式
精
求一次函数解析式，一般是已知两个条件，设出一次函数解析式，然后列出方程，解方
讲 程组便可确定一次函数解析式．
中
2．利用一次函数性质解决实际问题
考
用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关
典 系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤答．
精 讲
特别地，当 b＝0 时，一次函数 y＝kx＋b 就成为 y＝kx(k 是常数，k≠0)，这时，y 叫做
x 的正比例函数．
中
1．由定义知：y 是 x 的一次函数⇔它的解析式是 y＝kx＋b，其中 k、b 是常数，且 k≠0.
考
2．一次函数解析式 y＝kx＋b(k≠0)的(2)x 的次数是 1；(3)常数项 b 可为任意实数． 3．正比例函数解析式 y＝kx(k≠0)的结构特征：
中 考 典 例 精 析
举
一 反
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为________千米
三 /分钟．
(2)请你求出小明离开学校的路程 s(千米)与所经过的时间 t(分钟)之间的函数关系；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
考
点
训
练
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考 典 例
(3)由图象可知，小聪在 30≤t≤45 的时段内 s 是 t 的一次函数，设函数解析式为 s＝mt ＋n(m≠0)
精 析
代入(30,4)、(45,0)，得3405mm＋ ＋nn＝ ＝40， ，
举 一 反
m＝－ 解得
145，
n＝12.
三
∴s＝－145t＋12(30≤t≤45)．
考 点 训 练
令－145t＋12＝445t，解得 t＝1345. 当 t＝1435时，s＝445×1435＝3.
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米．
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
点
训
练
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【解答】(1)令 x＝0，则 y＝0＋3＝3，∴与 y 轴的交点为(0,3)．故选 A.
考 点
(2)∵k＝－2<0，∴图象必过二、四象限．∵b＝1>0，∴图象与 y 轴正半轴相交，∴y＝
知 －2x＋1 的图象经过一、二、四象限．故选 B.
识 (3)若是一次函数，则要求 k<0，所以①可以．若是反比例函数，则要求 k>0，所以③可
析
(1)k≠0；(2)x 的次数是 1；(3)没有常数项或者说常数项为 0.
举 一 反 三
考 点 训 练
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考
点
知 识
考点二 一次函数的图象
精 讲
1．一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(－bk，0)的一条直线．
2．正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．
中
考
典
例
精
析
举
一
考点三 一次函数图象的性质
反 三
一次函数 y＝kx＋b，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大，图象一定经过第一、三象限；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，图象一定经过第二、四象限．
考 点 训 练
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考
点 知
考点四 一次函数应用
识
例
精
析
举 一 反 三
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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考
点
知
识
精
讲
(1)(2010·温州)直线 y＝x＋3 与 y 轴的交点坐标是( )
中
A．(0,3) B．(0,1) C．(3,0) D．(1,0)
精 以．而 y＝x2 开口方向向上，对称轴为 y 轴，当 x<0 时，也有 y 随 x 的增大而减少，故共有 讲 ①③④3 个符合条件．故选 C.
中 考
(4)当 k>0 时，y＝kx＋1 过一、二、三象限，y＝kx过一、三象限；当 k<0 时，y＝kx＋1
典 例
过一、二、四象限，y＝kx过二、四象限．故选 B.
三
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
考 点 训 练
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考 点
(4)(2010·荆门)在同一直角坐标系中，函数 y＝kx＋1 和函数 y＝kx(k 是常数且 k≠0)的图象
知 只可能是( )
识
精
讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考
【点拨】本组题考查一次函数的图象及其性质．