高等数学A下期末复习题

高等数学A(下)期末复习题
一、 选择题
1. 设函数22
(,)xy
z f x y x y
==
+，则下列各式中正确的是 （ ） A.(,)(,)y
f x f x y x
= B.(,)(,)f x y x y f x y +-= C.(,)(,)f y x f x y = D.(,)(,)f x y f x y -= 2．设)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f （ ）。

A. )ln(2y x -
B. )ln(y x -
C. )ln (ln 2
1
y x - D. )ln(2y x -
3. 若=--=+)2 , 1( , ) , (2
2
f y x x
y y x f 则 （ ）。

A.
31 B. 3
1
- C. 3 D. 3- 4．设2
2),(y x x y x f +=
，则
=)1
,1(y x f （ ） A.222y x xy + B. 222y x y x + C. 22y x xy + D. 2
22
2y
x y x + 5. 2
(,)(0,0)(1)x y xy Lim
x
→+=（ ）. A. 0 B. 1 C. ∞ D. 不存在 6．极限1
1lim
2
2
2
20
++-+→→y x y x y x ＝（ ）。

A. -2
B. 2
C. 不存在
D. 0
7.二重极限442
20
0lim y x y x y x +→→的值（ ）.
A.0
B.1
C.
2
1
D.不存在
8.2
(,)ln()f x y xy =的定义域是（ ）.
A. {(,)|1}x y x y +≤
B. {(,)|01}x y x y <+≤
C. {(,)|0,1}x y x x y <+≤
D. {(,)|0,0,1}x y x y x y <≠+≤ 9．函数141222
2-++--=
y x y x z 的定义域是（ ）
A. }41|),{(2
2
≤+≤y x y x B. }41|),{(2
2
≤+<y x y x C. }41|),{(2
2
<+≤y x y x D. }41|),{(2
2
<+<y x y x
10. 设132),(2
3-+-+=y x xy y x y x f ，则=') 2 3, (y f （ ）
A.39
B.40
C.41
D.42 11．设xy
e y x z +=2
，则
=∂∂)
2,1(y
z （ ）
A. e +1
B. 2
1e + C. 2
21e + D. e 21+ 12.设2x y
z e
=，则
(1,2)|z
x
∂=∂（ ） A. 2
4e B. 4e C. 2e D. 2
2e 13. 222),,(z y x z y x f ++=，则梯度)3,1,1(grad -f 的值为（ ）
． A. 11
1-
； B. {
}2,2,1-； C. ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-
113,11
1,
11
1； D. 0 14．2
2
(,)2f x y x y =--的极值点是（ ）
A.（1，－1）
B. （1，1）
C.（0，0）
D. （0，2）
15．函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( )。

A. 必要而非充分条件
B. 充分而非必要条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
16、函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：
A.必要而非充分条件；
B.充分而非必要条件；
C.充分必要条件；
D.既非充分又非必要条件。

17．设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0000(,)0, (,)0x y f x y f x y ''==，
0000(,)0, (,)0xx yy f x y f x y ''''>>，则函数),(y x f 在),(00y x 处（ ）.
A. 必有极值，可能是极大，也可能是极小
B. 可能有极值，也可能无极值
C. 必有极大值
D. 必有极小值
18．设xy )y ,x (f =,则f(x,y)在(0,0)点处( ).
A. 连续但偏导数不存在
B. 不连续也不存在偏导数
C. 连续且偏导数存在
D. 不连续但偏导数存在
19. 二元函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=)0,0(),(,
0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy
y x f 在点（0,0）处 （ ）
A. 连续，偏导数存在
B. 连续，偏导数不存在
C. 不连续，偏导数存在
D. 不连续，偏导数不存在
20. 设2
(,)cos()z f x y x y ==，则''
(1,
)2
xx f π
=（ ）
A.
2
π
B.2π-
C.π
D.π-
21．设xy
e z =，则dz ＝ ( )。

A. dx e xy
B. )(xdy ydx e xy
+ C. xdy ydx + D. )(dy dx e xy
+
22． 设二元函数cos x
z e y =，则
2z
x y
∂=∂∂（ ） A. sin x e y B. sin x
x
e e y + C. cos x
e y - D. sin x
e y -
23.设)cos(2
y x z =，则22y
z
∂∂＝（ ）
A.)sin(22y x x
B.)sin(22y x x -
C.)cos(2
4y x x D.)cos(2
4y x x -
24．下列说法正确的是 ( ) A.偏导数存在是该点连续的充分条件 B.偏导数存在是该点可微的充要条件 C.偏导数存在是该点可微的必要条件
D.偏导数连续是该点可微的充要条件
25．函数z x y y x u 64282
2++-=在原点沿向量={2，3，1}方向的方向导数为（ ）。

A.14
8-
B.
14
8 C.
14
3 D. 14
3-
26．函数xy z y x u 34
2
2
-++=在点)1,1,1(M 处沿}2,2,1{=l ρ方向的方向导数
M
l
u ∂∂为
（ ） A.
35 B. 53 C. }2,2,1{3
1
D. }2,4,1{- 27．函数z x y y x u 64282
2++-=在原点沿向量{2,3,1}a =r 方向的方向导数为（ ）
A.14
8-
B.
14
8 C.
14
3 D.14
3-
28．函数2
22y x z +=在点)1,1(P 处的梯度方向的方向导数等于（ ） A. 5 B. 5- C. 52 D. 52- 29.设32,sin ,t y t x e
z y
x ===-，则
=dt
dz
（ ）。

A. )6(cos 22sin 3
t t e t t -- B. )3(cos 22sin 3
t t e z t t -=- C. )6cos (2
2sin 3
t t e
t t ---； D. )3(cos 22sin 3
t t e
z t t +=-。

30．设2
2),(y x y x xy f +=-，则 =+),('),('y x f y x f y x ( )
A. y 22+
B. y 22-
C. y x 22+
D. y x 22-
31． 设(,,),x z f x y f y =可微，则
()z y
∂=∂
A. 2f '
B. 3
2x f y
'-
C. 232x f f y ''-
D. 232x f f y ''+ 32. 设xy
e z =，则y
x z
∂∂∂2＝（ ）。

A. )1(xy e xy
+ B. )
1(y e xy
+ C. )1(x e xy + D. xy e
xy
⋅
33．设具有二阶连续导函数，而，则=（ ）。

A. B. C. D. 34. 设)32ln(),(x
y
x y x f += ，则=')0,1(y f （ ） A.
32 B.2
3
C.1
D.0 35. 设22
:1,D x y +≤则D
xdxdy ⎰⎰＝（ ）.
A.π
B.1
C.0
D. π2 36．设域D ：x 2
+y 2
≤1,f 是域D 上的连续函数，则=+⎰⎰
D dxdy y x f )(22( )
A.⎰
1
)(2dr r rf π
B. ⎰1
)(4dr r rf π C. ⎰10
2)(2dr r f π D. ⎰r
dr r rf 0
)(4π
37．设积分区域}0,0,1|),{(2
2
≥≥≤+=y x y x y x D ，则
⎰⎰D
d σ＝( )。

A. π2
B. π
C. 2π
D. 4
π 38．设D 是矩形域 4π
0≤
≤x ，11≤≤-y ，则D
x cos(2xy)dxdy ⎰⎰的值为( ). A. 0 B. -
12 C. 41 D. 2
1 39、设积分区域D 是圆环4122≤+≤y x ，则二重积分=+⎰⎰
dxdy y x D
22（ ）
A.⎰⎰π
θ2 0 4 1
2r dr d B.⎰
⎰π
θ2 0 4
1
r dr d
C.
⎰
⎰π
θ2 0
2
1
2r dr d D.⎰
⎰π
θ2 0
2
1
r dr d
40．设⎰⎰
⎰⎰+=+=
D
D d y x I d y x I σσ3
221)(,)(，其中}1)1()2(|),{(22≤-+-=y x y x D ，则（ ）
A.21I I =
B.21I I >
C. 21I I <
D. 无法比较 41． 设dxdy x e
,1y x :D D
y 2
2
2
⎰⎰-≤+则
＝（ ）.
A. )e 1(-π
B. )e
11(-π C. 0 D. )e
1
1(+π 42．设D 由x y y x ===,1,0围成，则
=⎰⎰D
dxdy y x f ),(（ ）
A.⎰
⎰1
0 1
),(dx
y x f dy B.
⎰
⎰1
),(x
dy
y x f dx C.
⎰
⎰1
1
),(y
dx y x f dy
D.
⎰⎰1 0
),(y
dx y x f dy
43． 交换二次积分顺序后，⎰
⎰
-x
dy y x f dx 1 0
1
),( =（ ）。

A.⎰⎰
1
1
y)dx f(x , dy B. ⎰
⎰-x
dx y x f dy 1 0 1
),( C.
⎰⎰
1 0
x
-1 0
y)dx f(x , dy D. ⎰
⎰-y
dx y x f dy 1 0
1
),(
44. 设Ω是平面1=z 与旋转抛物面z y x =+2
2
所围区域，则⎰⎰⎰Ω
++122y x dxdydz
化为三次积分等于（ ）
A.
⎰⎰⎰
+1 2 0 1
0 221r dz r d r r d π
θ B.⎰⎰⎰+1 0 2 0 1 221dz r d r r
d r πθ
C.⎰⎰⎰+1 0 1 0 221r dz r d r r d πθ
D.⎰⎰⎰-+1 0
1 221dz r d r r
d r ππθ 45．设),(y x f 连续，且 ⎰⎰+=D
dudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由1
,,02
===x x y y
所围区域，则),(y x f ＝ ( )
A. xy
B. xy 2
C. 8
1
+
xy D. 1+xy 46．设),(y x f 在0,1:2
2≥≤+y y x D 连续，则=⎰⎰D
d y x f σ),(（ ）
A.
⎰
⎰π
θθθ2 0
1 0
)sin ,cos (rdr r r f d B. ⎰⎰
1
0 x -1 0 2
),(dy y x f dx C.
⎰
⎰π
θθθ 0
1
)sin ,cos (rdr r r f d D. ⎰⎰
----1
1
x 1 1 2
2
),(x dy y x f dx
47.若区域D 为{
}1，1|),(≤≤y x y x ,则
⎰⎰D xy dxdy xy xe
)sin()
cos(＝（ ）。

A. e B. e －1
C. 0
D. π 48. 设D 由x y y x ===,1,0围成，则=⎰⎰D
dxdy y x f ),(( ).
A.
⎰
⎰1
1
),(dx y x f dy B. ⎰⎰1
),(x
dy y x f dx
C.
⎰
⎰1
1 ),(y
dx y x f dy D. ⎰⎰1 0 0 ),(y
dx y x f dy
49．设f (x ,y )为连续函数，则积分
⎰
⎰⎰⎰
-+1
21
20
2
),(),(x x
dy y x f dx dy y x f dx
可交换积分次序为( ) A ．1
y 22y
1
dy f (x,y)dx dy f (x,y)dx -+⎰
⎰⎰⎰
B. 2
1
x 22x
1
dy f (x,y)dx dy f (x,y)dx -+⎰⎰⎰⎰
C.
12y
dy f (x,y)dx -⎰ D. 21
2x
0x dy f (x,y)dx -⎰⎰
50. 交换二次积分顺序后，⎰
⎰
-x
dy y x f dx 1 0
1
),( =（ ）
A.⎰⎰
1
1
y)dx f(x , dy B.⎰
⎰-x
dx y x f dy 1 0
1
),( C.
⎰⎰
1
x
-1 0
y)dx f(x , dy D.⎰
⎰-y
dx y x f dy 1 0
1
),(
51．在公式
∑⎰⎰=→∆=n
i i
i
i
D
f d y x f 1
),(lim ),(σηξσλ
中λ是指（ ）
A.最大小区间长度
B.小区域最大面积
C.小区域直径
D.小区域最大直径 52. 设dxdy e ,1y x :D D
)
y x
(2
2
22
⎰⎰+-≤+则
＝（ ）.
A. )e 1(-π
B. )e
11(-π C. )1e (-π D. )e
1
1(+π
53．设L 表示椭圆12222=+b
y a x ，方向逆时针，则=+⎰L dx y x )(2
（ ）
A.πab
B.2
-πab C.2
b a + D. 0
54. 设L 是y 2
=4x 从(0,0)到(1,2)的一段，则
=⎰L
yds （ ）
A.
dx x 41x 2
2
⎰
+ B. dy 4y 1y 2
2⎰
+ C. dx 4
x 1x 102
⎰+ D. dy y 41102⎰+
55. 设L 是从点A （1，0）到点B （-1，2）的弧段，则曲线积分 ⎰
+L
)(ds y x =（ ）
A.2
B.22
C.2
D.0 56． 设∑为球面2
2
2
2
a z y x =++（0>a ），则
⎰⎰
∑
++S z
y x d 1
2
22的值为（ ）。

A. π2 B. π3 C.
a 3
π
4 D. π4 57. 设S 是球面2222R z y x =++，则曲面积分⎰⎰=++S
dS z y x )(2
22 （ ）
A. 4R π
B. 42R π
C. 44R π
D. 4
6R π 58. 设L 是从点)0,0(到点)1,2(的直线段，则
=⎰
L
yds 2 ( )。

A. 5
B.
25 C. 10 D. 2
10 59．用格林公式求由曲线C 所围成区域D 的面积A ，则A =( )
A. ⎰
-C
x y y x d d
B. ⎰
-C
y x x y d d
C.
⎰-C
x y y x d d 21
D.
⎰-C
y x x y d d 21
60.已知曲线积分
⎰+L
xdy ydx y x F ))(,(与积分路径无关，则),(y x F 必满足条件（ ）
A. x y yF xF =
B. 0=+x y yF xF
C. y x yF xF =
D. y x yF xF = 61. 设L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段，则
()L
x y ds +=⎰( ).
62. 设L 为从点A （1，1）到点B （1，0）的直线，则下列等式正确的是（ ） A.
⎰-=L 21 yds B.⎰=L 1 xdx C.⎰=L 1 xdy D.⎰-=L 2
1
ydy 63.若曲线积分
⎰
-+-L
22)sin ()3(dy y ax dx y x 与路径无关，则常数=a （ ）。

A. 31-
B. 3-
C. 3
1
D. 3
64．设L 表示椭圆12222=+b
y a x ，方向逆时针，则=+⎰L dx y x )(2
（ ）
A.ab π
B. 2
ab π- C. 2
b a + D. 0 65．设L 是从点A(1,0)到点B(-1,2)的有向弧段，则曲线积分
()L
x y ds +=⎰( )。

A.2
B. 22
C. 2
D. 0 66．曲线弧上的曲线积分和
上的曲线积分有关系 ( )
A. ⎰
⎰-=AB
BA
ds y x f ds y x f ),(),( B. ⎰⎰=AB
BA
ds y x f ds y x f ),(),(
C.
⎰
⎰=--+AB
BA
ds y x f ds y x f 0),(),( D. ⎰⎰--=AB
BA
ds y x f ds y x f ),(),(
67．设⎰⎰⎰
Ω
=zdv I ，其中}0,1),,,{(2
22≥≤++=Ωz z y x z y x ，经球坐标变换后，=I ( ) A. ⎰⎰⎰
1032
20cos sin dr r d d θϕϕθπ
π
B. ⎰⎰⎰1
20
20
sin dr r d d ϕϕθππ
C.
⎰⎰⎰
1
3
20
cos sin dr r d d θϕϕθπ
π
D. ⎰⎰⎰1
320
20cos sin dr r d d ϕϕϕθπ
π
68. 设L 是y 2
=4x 从(0,0)到(1,2)的一段，则
=⎰
L
yds （ ）
A.
dx x x ⎰
+2
2
41 B.2
2
12y dy ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰
C. dx x x ⎰+1 0 241
D.
dy y ⎰
+1
241
69．设2222,c y x I dx dy x y x y -=+++⎰Ñ，因为22222()P Q y x y x x y ∂∂-==∂∂+，所以（ ）
A. 对任意闭曲线C ，0I =;
B. 在曲线C 不围住原点时，0I =；
C. 因P y ∂∂与Q x ∂∂在原点不存在，故对任意的闭曲线C ，0I =；
D. 在闭曲线C 围住原点时I =0，不围住原点时 0I =。

70. 级数
)0(1
)1(1
>-∑∞
=p n n p
n
的敛散情况是（ ）。

A. 1>p 时绝对收敛，1≤p 时条件收敛 B. 1<p 时绝对收敛，1≥p 时条件收敛 C. 1≤p 时发散，1>p 时收敛 D. 对任何0>p ，级数绝对收敛。