油井压力恢复曲线方程及应用研究

作者简介 李发印 , 男 , 1964 年生 , 1986 年毕业于大庆石油学院采油工程专业 , 副教授 , 现从事油藏工程教学及科研工作 。
地址 : (163255) 黑龙江省大庆市大庆职工大学油田开发系油藏工程教研室 。
1998 年 6 月 李发印等 : 油井压力恢复曲线方程及应用研究
d u/ dξ = - { [1/ (2η) ]ξ + (1/ξ) } u
分离变量后得到
d u/ u = - [ξdξ/ (2η) + (dξ/ξ) ] ln u = - ξ2/ (4η) - lnξ + c0
令 c0 = ln c3 ln ( uξ/ c3) = - ξ2/ (4η)
u = c3 (1/ξ) exp〔- ξ2/ (4η) 〕 根据式 (18) 可得
= - (μqpC) / [ 4πkh ( t + C) 2 ]
积分得
pj ( t) = - (μqpC) / [ 4πkh ( t + C) ] + D
当 t →∞时 , pj ( t) = pi = D , 则 pj ( t) = pi - (μqpC) / [ 4πkh ( t + C) ]
方程采用分离变量法求解 。
采用新的变量 ξ=ξ ( r , t)
压力函数的复合函数形式为
p = p (ξ) ξ = ξ( r , t)
按复合函数的微分法则可得
9 p/ 9 t = ( d p/ dξ) ( 9ξ/ 9 t)
(2)
9 p/ 9 r = ( d p/ dξ) ( 9ξ/ 9 r)
表 1 文献 〔1〕中某油井的实测压力恢复值
t ( min) p ws ( MPa)
t ( min) p ws ( MPa)
010 18 32 52 64 85 95 6160 8101 8123 8145 8155 8165 8170 120 170 200 220 300 390 … 8174 8180 8184 8186 8190 8194 …
得到 。
油井地层压力 pi = A
(27)
地层流动系数 kh/ μ= - ( qpC) / (4πB ) (28)
油层渗透率 K = ( kh/ μ) (μ/ h)
(29)
油层导压系数 η= k/ ( <μCt)
(30)
二 、应用实例
仍以文献 〔1〕中某油田为例 , 测压记录与时间 关系数据如表 1 所示 。已知该井其它有关数据为 : 关 井前 稳 定 产 量 45t/ d ( 地 面 值 ) , 地 面 原 油 密 度 855kg/ m3 , 原油体积系数 1112 , 油井钻井完井半径 011m , 火焰喷射器射孔 。地层原油粘度 817mPa·s , 油层有效厚度 714m , 总压缩系数 3175 ×10 - 10 Pa- 1 , 地层孔隙度 012 。
= 45 ×1 000 ×1112/ (855 ×864 00)
= 61822 61 ×10 - 4 ( m3/ s)
以及 A 、B 、C 等值代入 (27) — (30) 式可得
pi = A = 91024 09M Pa
92ξ/ 9 r2 = T ( t) [ d2 R ( r) / d r2 ] = T R″ (9)
把式 (7) 、(8) 、(9) 代入 (5) 式中
ddξp R T′ = η〔ddξ2 p2 (
T R′) 2
+
ddξp T ( R″+
1 r
R′)
〕( 10)
将式 (6) 代入 (10) 式 , 在等式两边均除以 T2 得
即 c3 = [ r ( 9 p/ 9 r) ] r = 0
(21)
将 (21) 式代入 (20) 式
d pj ( t) / d t = - 1/ [2 ( t + C) ][ r ( 9 p/ 9 r) ] r = 0 (22)
由 qr = (2πkh/ μ) [ r ( 9 p/ 9 r) ] r = 0 可得
在文献〔1〕中 ,为简便起见 , 设 a = 1 , b = - 1/ 2 ,
c1 = 0 , c2 = 0 。在 这 里 , 取 c2 不 为 零 , 而 是 c2 =
C/ 2 。于是
R′= 1 R = r R″+ (1/ r) R′ = 0 + (1/ r) = 1/ R
T′/ T3 = - 1/ 2 T = 1/ t + C
一 、油井压力恢复曲线新方程的推导
当流体向井底呈平面径向渗流时 , 其基本微分方
程的极坐标形式为
η[ 92 p/ 9 r2 + (1/ r) ( 9 p/ 9 r) ] = 9 p/ 9 t (1) 求解方程 (1) 的方法为〔1〕: 首先引入一个新的
中间变量ξ, 使方程变为常微分方程 , 然后再对新的
·24 · 第 17 卷 第 3 期 大庆石油地质与开发 P1 G1O1D1D1 1998 年 6 月
油井压力恢复曲线方程及应用研究
李发印 周 波 丁 健
(大庆职工大学) (大庆石油管理局第一采油厂) (大庆石油管理局第四采油厂)
摘 要 本文在油层渗流力学理论基础上 , 推导出了一种描述油井压力恢复曲线特征的新方程 , 并 且与实际资料符合较好 , 可以用来准确解释地层压力 、地层系数等重要参数 , 矿场可以试用 。 主题词 油井压力恢复曲线 描述方法 地层参数解释
(3)
92 p 9 r2
=
9 9r
(
9 9
p) r
=
9 9r
(
dp dξ
99ξr)
=
9 9r
(
ddξp )
9ξ 9r
+
dp dξ
92ξ 9 r2
上式中的 9 9r
( ddξp)
仍按复合函数法则再改写为
9 9r
(
ddξp )
= ddξ( ddξp)
9ξ 9r
=
d2 p dξ2
9ξ 9r
于是
92 p 9 r2
d pξT′ dξ T3
=
η〔ddξ2 p2
(
R′)
2
+
dp dξ
1 T
(
R″+
1 r
R′)
〕(
11)
为了使式 (11) 变成只含一个自变量的常微分方
程 , 就必须使方程 (11) 中导数前面的系数 T′/ T3 、
( R′) 2 、( R″+ r - 1 R′) 都等于常数 。
令
R′ = a
d p/ dξ = c3 (1/ξ) exp〔- ξ2/ (4η) 〕 (19) 9 p/ 9 t = ( d p/ dξ) ( 9ξ/ 9 t)
= c3 (1/ξ) exp〔- ξ2/ (4η) 〕×
{ - (1/ 2) r/〔( t + C) t + C〕}
= c3〔 t + C/ r〕exp{ - r2/〔4η( t + C) 〕} ×
解 : 编制线性回归程序 , 求得当 C = 151673 08 时 , pws ( t + C) 与 t + C 呈良好线性关系 (图 1 、
·26 ·
大庆石油地质与开发 P1 G1O1D1D1 第 17 卷 第 3 期
图 2) , 图 1 中相关系数 R = 01999 998 , 方差 S = 21198 490 , 系数 A = 91024 09 , B = - 371848 31 。
当 t = 0 时 , 即 油 井 刚 关 井 时 , qr = - 〔( CL V Wc3) / (2 C) 〕 = - qp , 因 此 , qp = ( CL V Wc3) / (2 C) , 而
qr = - qp/ [ ( t/ C) + 1 ]
(25)
将 (25) 式代入 (24) 式得
d pj ( t) / d t = - (μqr) / [4πkh ( t + C) ]
9p 9r
=
dp dξ
9ξ 9r
=
c3 ξ1 exp〔-
ξ2/ (4η) 〕
(20) 1 t+C
= ( c3/ r) exp{ - r2/〔4η( t + C) 〕}
r ( 9p/ 9 r) = c3exp{ - r2/〔4η( t + C) 〕} ×
[ r ( 9 p) / ( 9 r) ] r = 0 = c3
=
d2 p dξ2
(
99ξr)
2
+Biblioteka Baidu
dp dξ
92ξ 9 r2
(4)
将 (2) 、(3) 、(4) 式代入 (1) 式得
ddξp
9ξ 9t
=
η〔ddξ2 p2
(
99ξr)
2
+
dp dξ
92ξ 9 r2
+
1 r
dp dξ
99ξr〕
(5)
式中ξ是 r 、t 的函数 , 可用 R ( r) 及 T ( t) 的乘
(12)
T′/ T3 = b
(13)
式中 a 、b 均为常数 。
由式 (12) 可得 R = ar + c1
(14)
R″= 0
(15)
其中 c1 为常数 。 由 (13) 式可改写成
(1/ T3) ( d T/ d t) = b bd t = d T/ T3
bt = - [1/ (2 T2) ] + c2 T = 1/ 2 ( c2 - bt) (16) 其中 c2 也是积分常数 。
积来代替ξ, 即运用分离变量的方法 , 则有
ξ = R ( r) T ( t)
(6)
式中 R ( r) 仅与坐标 r 有关 , 而 T ( t) 仅与时间 t
有关 , 按微分法则可有
9ξ/ 9 t = R ( r) [ d T ( t) / d t ] = R T′
(7)
9ξ/ 9 r = T ( t) [ d R ( r) / d r ] = T R′ (8)
= 01224 83 ×10 - 10 ( m2 ·m/ Pa ·s)
k = ( kh/ μ) (μ/ h)
=
01224
83
×10 - 10
×817 ×10 - 3 714
= 01264 33 ×10 - 13 ( m2)
η = k/ ( <μCt)
{ - (1/ 2) r/〔( t + c) t + C〕} = - c3/ [2 ( t + C) ]exp{ - r2/〔4η( t + C) 〕} ·
( 9 p/ 9 t) r = 0 = - c3/ [ 2 ( t + C) ]
即 d pj ( t) / d t = c3/ [2 ( t + C) ]
[ r ( 9 p/ 9 r) ] r = 0 = μqr/ 2πkh
(23)
将 (23) 式代入 (22) 式
d pj ( t) / d t = - (μqr) / [ 4πkh ( t + C) ]
(24)
由文献 〔2〕, 根据井筒内液体压缩系数 ( CL )
定义 , 即
CL
=
dVL V W d pj ( t)
·25 ·
ξ = R ( r) T ( t) = r/ t + C
(17)
将以上各式代入 (11) 式 , 可得
-
1 2
ξ
dp dξ
=
η(
d2 p dξ2
+
1 TR
ddξp )
=
η(
d2 p dξ2
+
1 ξ
ddξp )
为积分方便起见 , 令
d p/ dξ = u
(18)
- (1/ 2)ξu = η[ ( d u/ dξ) + ( u/ξ) ]
若用 pws 代替 pj ( t ) , A = pi , B = - 〔(μqpC) / (4πkh) 〕, 则
pws = A + B / ( t + C)
即 pws ( t + C) = A ( t + C) + B
(26)
(26) 式即为本文导出的油井压力恢复曲线方程
的一般形式 , 其中系数 A 、B 及 C 可通过线性回归
=
012
01264 33 ×817 ×10 - 3
×10 - 13 ×3175
×10 - 10
= 01352 44 ( m2 ·Pa/ Pa ·s)
三 、结 论
图 1 用新方程对文献〔1〕中实例回归情况
图 2 计算与实测压力对比
将已知参数代入 , 得 qp = qp (地面) B o/ (ρo ×864 00)
=
( qr - qc) d t V W d pj ( t)
当油井关井时 , qc = 0 , 上式改写成
CL = qrd t/ V W d pj ( t)
qr = CL V W [ d pj ( t) / d t ]
= CL V W { - c3/〔2 ( t + C) 〕}
= - [ CL V Wc3/ (2 C) ]/ [ ( t/ C) + 1 ]