平面向量的正交分解及坐标表示及坐标运算.ppt
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平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝_(1_,_0_)_，j＝_(_0_,1_)，0＝_(_0_,0_)_．
3．向量与坐标的关系
设
→ OA
＝xi＋yi，则向量
→ OA
的坐标_(_x_，__y_) _就是终点A的坐
标；反过来，终点A的__坐__标___就是向量
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R)，则有下表：
文字描述
符号表示
两个向量和的坐
加法
标分别等于这两 a＋b＝_(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2)__
个向量相应这两个向量相应坐标的
_差____
__(x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)___
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
1．平面向量的正交分解 垂直
把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平
面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 __相__同___的两个_单__位__向量i，j作为__基__底__． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，_有__且__只__有__一___对实数 x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_(_x_，__y_) _叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在 x 轴上的坐标，y叫 做向量a在 y轴上的坐标．
→ OA
的坐标(x，y)．因
此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序
实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
__一__一__对__应___的．
[破疑点]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相 同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量 终点的坐标才相同．
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
平面向量的正交分解及坐标表示学习教材PPT课件
平面向量的坐标表示及运算
y
M ( x, y)
O
x
课前复习:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
4 向量坐标：
则
3 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
Байду номын сангаас
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
2 2
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB 同向量的单位向量是（ B）
2 2 A.( , ) 2 2
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
素
( )养
·
合 作
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．
( )课
探
时
究
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对
分 层
释
作
疑 难
应．
( )业
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
返
首
页
·
11
·
情
课
境
堂
导
2．已知 a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则 a＋b＝( )
小
学
结
·
探 新
第六章 平面向量及其应用
6.3 6.3.2 6.3.3
平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示
2
学习目标
核心素养
情 境
1.了解平面向量的正交分解，掌握
课 堂
导
学 向量的坐标表示．(难点)
小
1.通过力的分解引进向量的正交 结
·
探
提
新 知
2.理解向量坐标的概念，掌握两个
提 素
知
养
平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，
合
作 探
我们把有序数对 (x，y)
究
课
叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中
时 分
层
释 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a＝(x，y)叫做 作
疑
业
难
向量 a 的坐标表示．
返 首 页
作 业
难
返 首 页
·
18
·
情 境
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
( )养
·
合 作
(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．
( )课
探
时
究
(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对
分 层
释
作
疑 难
应．
( )业
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
返
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页
·
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·
情
课
境
堂
导
2．已知 a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则 a＋b＝( )
小
学
结
·
探 新
第六章 平面向量及其应用
6.3 6.3.2 6.3.3
平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示
2
学习目标
核心素养
情 境
1.了解平面向量的正交分解，掌握
课 堂
导
学 向量的坐标表示．(难点)
小
1.通过力的分解引进向量的正交 结
·
探
提
新 知
2.理解向量坐标的概念，掌握两个
提 素
知
养
平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，
合
作 探
我们把有序数对 (x，y)
究
课
叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中
时 分
层
释 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a＝(x，y)叫做 作
疑
业
难
向量 a 的坐标表示．
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作 业
难
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·
情 境
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
课件6：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
例 3.已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，求点 C、 D 和C→D的坐标．
解:设 C、D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由题意可得 A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)， ∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)，
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学习目标 1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加减法及数乘运算.
知识梳理 1.向量的正交分解 (1)两个向量互相垂直： 如果两个向量的 基线 互相垂直，那么称这两个向量互相垂直． (2)正交基底： 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，那么称这个基底为正 交基底． (3)正交分解： 在 正交基底 下分解向量，叫做正交分解．
y 轴 上的坐标分量．
3．向量的直角坐标运算
(1)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) . (2)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a－b＝ (a1－b1，a2－b2) .
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
课堂小结 1.在平面直角坐标系中，以 O 为起点的向量O→A＝a，点 A 的位 置被 a 唯一确定，此时 A 点的坐标与向量O→A的坐标相同． 2．向量用坐标表示，为表示向量 a 提供了另一种方法，使向量 a 与实数对(x，y)建立了一一对应关系．
3．点的坐标与向量的坐标的区别： 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点 在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等． 4．对符号(x，y)的认识：符号(x，y)在平面直角坐标系中具有双 重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量．为加以区分， 常说点 P(x，y)或者向量 a＝(x，y)，注意前者没有等号，后者有 等号.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高一数学必修4课件：2-3-2、3平面向量的正交分解及坐标表示和平面向量的坐标运算
如图所示，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，下列 是正交分解的是( )
→ → → → → → A.AB＝OB－OA B.BD＝AD－AB → → → → → → C.AD＝AB＋BD D.AB＝AC＋CB
[答案]
B
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
(x1＋x2，y1＋y2) a＋b＝_______________
符号表示
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
两个向量差的坐标分别等 减法 于这两个向量相应坐标的
差 _____
a－b＝
(x1－x2，y1－y2) _________________
实数与向量的积的坐标等 数乘 于用这个实数乘原来向量
[解析]
→ → → → → 由于AD⊥AB，则BD＝AD－AB是正交分解．
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向
单位 基底 相同 _______的两个_____向量i，j作为______． 有且只有一 (2)坐标：对于平面内的一个向量a，____________对实数 (x，y) x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_______叫做向量a的
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[例2]
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a
＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标． [分析] 解． 直接利用向量在坐标形式下的各种运算法则求
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件共12张PPT
显然 i _(1_,_0_);
y
j _(_0,_1_);
a
y A(x, y)
a j
o
i
x
x
OA xi y j a ( x, y )
0 _(0_,_0_).
例1.如图，分别用基底{i, j}表示向量 a、b、c、d，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
y
如图， i, j 是分别与x轴、y轴方向相
a
同的单位向量，取{e1, e2}为基底，则
A
对于该平面内的任一向量 a ，
j
x
有且只有一对实数x、y，可使
o iB
a xi +y j 这里，我们把（x,y）叫做向量的（a 直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上 的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一 样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标 之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有 关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐 标．
得
x1＝cos30°＝
23，y1＝sin30°＝12，所以
B
23，21.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝ 23，
所以 D－12
23.
复习回顾
平面向量基本定理:
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
答案
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
数学必修四课件 2.3.2、3 平面向量的正交分解及坐标表示
1
• 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 • 2.3.3 平面向量的坐标运算
2
目标定位 1.掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示 2.掌握平面向量的坐标 运算，能准确运用向 量的加法、减法、实 数与向量的积的坐标 运算法则进行有关的 运算
重点难点 重点：掌握平面向量 的坐标运算，能准确 运用向量的加法、减 法、实数与向量的积 的坐标运算法则进行 有关的运算 难点：准确运用向量 的加法、减法、实数 与向量的积的坐标运
【答案】(－8,6)
9
•
• • • •
• 平面向量的坐标表示 【例1】 如图所示，若向量e1，e2是一组单 位正交向量，则向量a＋b在平面直角坐标系 中的坐标为( ) A．(3,4) B．(2,4) C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
10
【解题探究】以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立坐 标系，可得向量 a＝(2,1)，b＝(1,3)，结合向量坐标的线性运算 性质，即可得到向量 a＋b 在平面直角坐标系中的坐标．
3
• 1．平面向量的正交分解 互相垂直 • 把一个向量分解为两个 ____________的向 量，叫做把向量正交分解．
4
• 2．平面向量的坐标表示
相同 单位
有且只有
a＝xi＋yj
(x，y)
x
a＝(x，y)
y
5
• 3．平面向量的坐标运算
向量的 加、 减法 实数与 向量的 积 向量的 坐标
(x1＋x2，y1＋y2) 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___________ ， (x1－x2，y1－y 2) a－b＝__________ ，即两个向量和 (差)的坐标分别等
• 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 • 2.3.3 平面向量的坐标运算
2
目标定位 1.掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示 2.掌握平面向量的坐标 运算，能准确运用向 量的加法、减法、实 数与向量的积的坐标 运算法则进行有关的 运算
重点难点 重点：掌握平面向量 的坐标运算，能准确 运用向量的加法、减 法、实数与向量的积 的坐标运算法则进行 有关的运算 难点：准确运用向量 的加法、减法、实数 与向量的积的坐标运
【答案】(－8,6)
9
•
• • • •
• 平面向量的坐标表示 【例1】 如图所示，若向量e1，e2是一组单 位正交向量，则向量a＋b在平面直角坐标系 中的坐标为( ) A．(3,4) B．(2,4) C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
10
【解题探究】以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立坐 标系，可得向量 a＝(2,1)，b＝(1,3)，结合向量坐标的线性运算 性质，即可得到向量 a＋b 在平面直角坐标系中的坐标．
3
• 1．平面向量的正交分解 互相垂直 • 把一个向量分解为两个 ____________的向 量，叫做把向量正交分解．
4
• 2．平面向量的坐标表示
相同 单位
有且只有
a＝xi＋yj
(x，y)
x
a＝(x，y)
y
5
• 3．平面向量的坐标运算
向量的 加、 减法 实数与 向量的 积 向量的 坐标
(x1＋x2，y1＋y2) 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___________ ， (x1－x2，y1－y 2) a－b＝__________ ，即两个向量和 (差)的坐标分别等
6.3.2-4平面向量的正交分解、坐标表示、坐标加减运算-高中数学必修第二册课件(共48张ppt)
例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:
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平面向量的正交分解 及坐标表示
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的 条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。
新课引入
F1
F2
G
G与FG1,=FF2有1+什F2么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
. 解：
y A(1, 2)
r
a
o
x
y
B(1, 2.)
r b
ox
（二）平面向量的坐标运算：
r
r
r rr r
问题:
(1)已知
a r
(
x1,
y1),
b
(
x2
,
y2
), 求 r
a b, a b的坐标.
r r(2)已r知a r(x, y)和r实数r ,求a 的坐标r .
r
(1)a b x1i y1 j x2i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
r(x1r x2 , y1 y2 )
同理得 r
a
br
(xr1
x2
,
yr1
y2
r)
(2)a xi y j xi y j (x, y)
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向
C(3,4)
3
2
A(-2,1) 1
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标； 当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为 向量的坐标.
(3)相等的向量有相等的坐标. 若a b，a (x1, y1),b (x2, y2), 则(x1, y1) (x2, y2 ),即x1 x2, y1 y2.
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
rr
3 a 4 b 3(2,1) 4(3, 4)
(6, 3) (12,16)
(6,19)
例3,、（2008辽宁）已知四边u形uurABCuDuur的三个 顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC 2AD，则
顶点D的坐标为（ A ）
7
A. （2，2 ） C. （3，2）
uuur
2已知AB (1, 2), A(2,1),求B的坐标.
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21
x3 y 1
即B3,-1.
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
求顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3))
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
y
a
y
A(x,y)
j
Oi x
x
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
λ1a1
F1
F2
G
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
y
yj a
分别取与x轴、y轴方向相同的两
j
个单位向量i、j作为基底.
Oi
xi
x 任作一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、 y,
量相应坐标的和与差.
结论3：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘
原来向量的相应坐标.
r
r
r rr r
例2：已知 a (2,1), b (3, 4),求a b, a b,
rr
3a 4b 的坐标.
rr 解：a b (2,1) (3, 4) (1, 5)
rr
a b (2,1) (3, 4) (5, 3)
d ,并求出它们的坐标.
y
5 b4
3
A2 a
解： 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
a=(2,3)
2 j1 A
A1
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
-4 -3 -2 -1O -1
-2
c
-3
-4
i1 2
3 4x d
c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3)
-5
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 )，求 AB的坐标.
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
向量的坐标与点的坐标关系 4
3
r2
P（x，y）
yj
1
j
-2
r 2
4
6
Oi
xi
-1 uuur r r
OP xi y j (x, y)
-2
uuur
OP 向量
一 一 对 应 P（x ，y）
-3
例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、
使得
a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
（一）
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
a = ( x, y )
y yj a j O i xi x
y
yj yj
a
j O i xi
uuur uuur uuur Q AB OB OA (x2, y2 ) (x1, y1)
(x2 x1x2,y2)
O
x
结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
总结:对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
B.（2，
1 2
）
D.（ 1，3）
解析：
设D（x, y），
uuur
uuur
uuur uuur
BC (4, 3), AD ( x, y 2),由BC 2AD
得x=2,y=
7 2
,故选A
uuur
例4、1已知A(2,3), B (3,5),求BA的坐标.
uur
解：BA 2,3 3,5 5, 2.
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的 条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。
新课引入
F1
F2
G
G与FG1,=FF2有1+什F2么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
. 解：
y A(1, 2)
r
a
o
x
y
B(1, 2.)
r b
ox
（二）平面向量的坐标运算：
r
r
r rr r
问题:
(1)已知
a r
(
x1,
y1),
b
(
x2
,
y2
), 求 r
a b, a b的坐标.
r r(2)已r知a r(x, y)和r实数r ,求a 的坐标r .
r
(1)a b x1i y1 j x2i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
r(x1r x2 , y1 y2 )
同理得 r
a
br
(xr1
x2
,
yr1
y2
r)
(2)a xi y j xi y j (x, y)
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向
C(3,4)
3
2
A(-2,1) 1
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标； 当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为 向量的坐标.
(3)相等的向量有相等的坐标. 若a b，a (x1, y1),b (x2, y2), 则(x1, y1) (x2, y2 ),即x1 x2, y1 y2.
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
rr
3 a 4 b 3(2,1) 4(3, 4)
(6, 3) (12,16)
(6,19)
例3,、（2008辽宁）已知四边u形uurABCuDuur的三个 顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC 2AD，则
顶点D的坐标为（ A ）
7
A. （2，2 ） C. （3，2）
uuur
2已知AB (1, 2), A(2,1),求B的坐标.
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21
x3 y 1
即B3,-1.
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
求顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3))
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
y
a
y
A(x,y)
j
Oi x
x
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
λ1a1
F1
F2
G
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
y
yj a
分别取与x轴、y轴方向相同的两
j
个单位向量i、j作为基底.
Oi
xi
x 任作一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、 y,
量相应坐标的和与差.
结论3：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘
原来向量的相应坐标.
r
r
r rr r
例2：已知 a (2,1), b (3, 4),求a b, a b,
rr
3a 4b 的坐标.
rr 解：a b (2,1) (3, 4) (1, 5)
rr
a b (2,1) (3, 4) (5, 3)
d ,并求出它们的坐标.
y
5 b4
3
A2 a
解： 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
a=(2,3)
2 j1 A
A1
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
-4 -3 -2 -1O -1
-2
c
-3
-4
i1 2
3 4x d
c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3)
-5
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 )，求 AB的坐标.
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
向量的坐标与点的坐标关系 4
3
r2
P（x，y）
yj
1
j
-2
r 2
4
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Oi
xi
-1 uuur r r
OP xi y j (x, y)
-2
uuur
OP 向量
一 一 对 应 P（x ，y）
-3
例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、
使得
a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
（一）
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
a = ( x, y )
y yj a j O i xi x
y
yj yj
a
j O i xi
uuur uuur uuur Q AB OB OA (x2, y2 ) (x1, y1)
(x2 x1x2,y2)
O
x
结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
总结:对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
B.（2，
1 2
）
D.（ 1，3）
解析：
设D（x, y），
uuur
uuur
uuur uuur
BC (4, 3), AD ( x, y 2),由BC 2AD
得x=2,y=
7 2
,故选A
uuur
例4、1已知A(2,3), B (3,5),求BA的坐标.
uur
解：BA 2,3 3,5 5, 2.