浅谈如何挖掘数学题目中的隐含条件-精选文档
浅谈数学问题中的隐含条件
浅谈数学问题中的隐含条件所谓隐含条件是指题中若明若暗、含蓄不露的已知条件。
它们常是巧妙地隐蔽在题设的背后,不易为人们所觉察。
发掘隐含条件,实质上就是要使题设条件明朗化、完备化和具体化,以便明确解题方向,寻求解题思路。
从总体上说,发掘隐含条件,需要扎实的基础知识,熟练的基本技能,灵活的思想方法,严谨的思维能力。
通常可以从数学题所及的概念、题设、图形等方面的具体特征入手,通过分析、比较、观察、联想等方法,逐步探索和转化。
一、根据概念特征挖掘隐含条件有些数学题,可以从分析概念的本质特征入手,挖掘隐含条件,发现解题契机。
例12+x 与()21-y 互为相反数，求代数式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值。
分析 本题的隐含条件是互为相反数的两数和为零。
由2+x 是一个非负数，()21-y 也是一个非负数，并且 2+x 与()21-y 是互为相反数的。
由互为相反数的意义，得到12=-=y x ， ，这样就创造了代入求值的条件。
解： ∵ 2+x 与()21-y 互为相反数∴ 2+x ()012=-+y∴ 02=+x ，()012=-y∴ 12=-=y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433y x xy xy y x xy y x 2222421433---+-=xy xy y x 2341022--=当12=-=y x ，原式()()()1223124121022⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=3840++=51=所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---y x xy xy y x xy y x 2222481433 的值为51。
二、从题设条件中挖掘隐含条件有些数学问题中，只要分析题设中的条件，挖掘出隐含的条件，就能达到“柳暗花明又一村”的效果。
例 2 已知多项式()132522----xy y axy x 中不含xy 的项，求()()43122223+-+-+-+-a a a a a a 的值。
例谈数学解题中对隐含条件的挖掘
河北理 科教 学研 究
＇题 讨 论 口 ］
例 谈 数 学 解 题 中对 隐 含 条 件 的 挖 掘
湖 北省成 宁高 中 李 涛 ４ ７０ ３０ ０
数学 能力 的体 现归 根结底 是数 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解 题 能
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浅析初中数学解题中隐含条件的挖掘
创新时代 2018.10 79四、联系社会，设计不同形式的作业，拓宽提出问题的渠道让学生走进社会，关心社会，亲身体验化学世界的奇妙，认识化学科学的用处，了解化学应用中的问题，以活的、具体的化学事实唤起学生的学习热情，激发学生思维，产生问题意识。
例如，参观洗衣店、酱油厂、水泥厂等,意识到存在的问题并想如何改进它。
课前教师备课设计作业时，要根据班里学生的实际情况，设计一些能激发学生兴趣的问题，让他们主动思考，积极探索。
挖掘生活中的素材，设计能强化学生好奇心的作业。
例如，留心身边食物（食盐）、补钙制剂等标签，自编一道有关化学式的计算题。
将化学知识与学生的生活情景联系起来设计作业，有助于他们用化学的视角来观察世界，用化学知识和方法来解决实际问题，并使他们体验到化学知识在实际生活、生产中的应用价值，从而强化他们的好奇心，并增强对外界信息的敏感性。
利用认知冲突设计作业，培养学生质疑的思维方式。
例如，二氧化碳一般情况下能灭火，而二氧化碳还能够引起温室效应。
那么二氧化碳的利大于弊，还是弊大于利？让学生课后搜集材料进行辩论。
总之，在化学学科教学中，问题意识培养的关键就在于如何鼓励学生自主质疑、主动发现问题、大胆提出问题，进而解决问题。
浅析初中数学解题中隐含条件的挖掘江苏省无锡市东亭中学 陈丽/文隐含条件的挖掘是正确解题的关键，而数学题中的隐含条件千变万化，需要对其进行充分地辨识和挖掘，才能运用所学数学知识进行合理、正确的推理、解题。
因此，在初中数学的教学过程中，要逐步培养学生挖掘数学隐含条件的习惯，提高数学解题能力。
一、对初中数学解题中隐含条件挖掘的意义1.挖掘隐含条件是正确解题的基础在解答数学题的过程中，阅读审题是十分重要的环节，也是得到正确答案的关键步骤。
因此，学生除了对显性条件分析之外，还需要对隐含条件进行充分地挖掘，比如定义、定理、公式中的关键词等，这些隐含条件对数学解题起到了重要作用。
所以，数学教师要不断提高学生审题以及对隐含条件挖掘的意识，这才是学生正确解题的重要基础。
浅谈隐含条件的挖掘
浅谈隐含条件的挖掘摘要：隐含条件是指题目中若明若暗、含蓄不露的已知条件或者从题设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件.它有待于解题者从题设、结论的语言中，从数式、图形的特征或相关知识的联系上去剖析发掘，因而它对解题的影响很大，既有干扰作用又起暗示作用。
关键词：隐含条件；解题；学生解题时，若不能发现和把握题目中的隐含条件，常使解答者无从下手或是得到错误的结论。
数学问题难度的标志之一是隐含条件的深度与广度。
一般来说，隐含条件通常隐蔽在数学定义与性质中，或者隐蔽在解题过程之中，或者隐蔽在几何图形的特殊位置上，或者隐蔽在知识的相互联系之中。
忽视隐含条件造成的解题错误1.条件隐含在已知条件中例1：已知sinxcosy=1/2，则sinxcosy的取值范围为。
错解1：令sinxcosy=t，则cosxsiny+sinxcosy=t+1/2，即sin(x+y)=t+(1/2)，因为|sin(x+y)|<=1，解得-(3/2)<=t<=1/2。
错解2：令cosxsiny=t，则sinxcosy-cosxsiny=(1/2)-t，即sin(x-y)=(1/2)-t，因为|sin(x+y)|<=1，解之得，-1/2<=t<=3/2。
错解3：令cosxsiny=t，则sinxcosycosxsiny=t/2，即sin2xsin2y=2t，因为 -1<=sinx<=1,-1<=siny<=1 解得-1<=2t<=1，t{[-1/2,1/2]。
上述解法出现了不同的结果，错解3歪打正着。
错解剖析：上述三种解法都利用了已知条件和求解之间的关系，但三种解的毛病都出现在忽视条件“sinxcosy=1/2”中的隐含条件sinx与cosy挖掘隐含条件的作用1.有助于培养学生思维的深刻性隐含条件存在于数学解题的方方面面，直接影响解题的正确性和速度，而思维的深刻性是透过表面现象发现本质的一种思维品质。
如何挖掘数学题中的隐含条件
教学实践2013-05数学问题中的已知条件是分析和解题的依据,但很多问题往往蕴藏着“隐含条件”.所谓“隐含条件”是指题目中虽给出但不明显,或没给出但隐含在题意中的某些条件.在解题过程中要充分挖掘这些隐含条件,或做好条件的转化,化隐为显;或根据题设把隐含在题意中的条件挖掘出来,化未知为已知,从中找到内在联系,这样能避免因忽视隐含条件而造成错解或解答不完整甚至造成解题困难.因此,我们若能在解题中及时发现隐含条件并充分利用,不仅能迅速找到解题的突破口,还能简化过程,减少运算繁杂性.本文试图通过一些题例来阐明隐含条件中的“隐身术”,旨在培养和提高学生的解题能力.如何正确挖掘隐含条件呢?一、从数学概念中挖掘隐含条件数学学习中,学生对概念的学习往往停留在表面上,这也是解题时常出现错误的原因所在,而只有在全面、深刻理解概念的基础上,才能从数学概念中挖掘出隐含条件,进一步指导解题。
例1.已知a、b、c为△ABC的三边,试判断a2-2ab+b2-c2的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定正确答案为:B。
评析:该题涉及因式分解、三角形三边之间的关系,是一道较典型的代数与几何的综合题,如果不知道三角形三边之间的关系就根本无法解题。
二、从命题的存在性中挖掘隐含条件有些数学问题,其存在性条件常被隐去,而又往往引不起注意,从而导致解题错误,或思维受阻,解题时必须注意克服常规思维定式的消极影响,灵活思维,抓存在,挖条件,使问题获得正确的解答.例2.a、b为任何有理数,且(a2+b2)(a2+b2+1)-20=0,则a2+b2的值等于()A.-5B.4C.5D.-5或4正确答案为:B。
评析:在这个题目中,解题者如果忽视了a2+b2≥0这样一个隐含条件,就会导致多解。
三、从题设条件中挖掘隐含条件例3.一元二次方程x2-(m+1)x+m2+m-3≥0有实根α、β,求代数式(α+1)(β+1)的最值.大多数学生从已知条件出发根据书本定理把α+β,αβ的代数式代入(α+1)(β+1)得出(α+1)(β+1)=(m+1)2-3,因此当m=-1时(α+1)(β+1)有最小值,事实上,只要深入分析条件,就会发现条件与目标之间的联系,就会知道这种解法是错误的。
浅析初中数学解题中隐含条件的挖掘
《浅析初中数学解题中隐含条件的挖掘》摘要：如学生对隐含条件挖掘不够透彻那么很容易影响学生做题效率，其就包括对隐含条件复杂数学问题简化从而定程上提高数学题效率，总结总而言初数学题程隐含条件挖掘具有十分重要义陈丽隐含条件挖掘是正确题关键而数学题隐含条件千变万化要对其进行充分地辨识和挖掘才能运用所学数学知识进行合理、正确推理、题因初数学教学程要逐步培养学生挖掘数学隐含条件习惯提高数学题能力、对初数学题隐含条件挖掘义挖掘隐含条件是正确题基础答数学题程审题是十分重要环节也是得到正确答案关键步骤因学生除了对显性条件分析外还要对隐含条件进行充分地挖掘比如定义、定理、公式关键词等这些隐含条件对数学题起到了重要作用所以数学教师要不断提高学生审题以及对隐含条件挖掘识这才是学生正确题重要基础例如“当函数”这道题学生看到这道题马上得出答案“就是得”通仔细分析可以看出这样题是错误原因就部分学生没有对隐含条件进行挖掘这样题就只考虑了分子是零而忽视了分母不能零条件从而直接导致了答案错误因正确答应该是“ 得”挖掘隐含条件是提高题效率关键数学考试做题效率以及准确性是关键也是难这就要学生有效里做对多题初数学教学程我们会发现有学生会因计算能力影响终题速有学生会因没有掌握题技巧而浪费所以初数学题程不仅要定程上激发学生创造力更要引导学生对隐含条件进行挖掘从而学会运用不方法问题例如已知都是实数而且那么—通分析该数学题具有定综合性且含有较多隐含条件如学生对隐含条件挖掘不够透彻那么很容易影响学生做题效率因“绝对值与完全平方数非数”隐含条件必须被挖掘出否则会直接影响做题准确性该题结是{即{那么5003挖掘隐含条件是简化题程前提初数学教学程学生思维能力尤重要不仅包括学生逻辑思维能力还包括学生逆向思维能力因数学教师要数学题教学课堂上对隐含条件利用率进行提升从而逐渐培养学生思维能力数学问题隐含条件不是直观存而是要通定分析进行发现因很多学生容易陷入到数学题陷阱从而出现思维上错误判断也只有对隐含条件进行充分地挖掘才能使学生数学思维得到程提升其就包括对隐含条件复杂数学问题简化从而定程上提高数学题效率例如值是多少？分析这道题如运用常规方法进行题会显得十分复杂就可以通数形结合方法进行题对该题进行适当简化比如条直线上边有该题就是得到三距离和短即可通画图可以了到位置上是距离和短值是二、对初数学题隐含条件挖掘分式计算分母不零隐含条件分式计算程学生很容易将分母不零隐含条件忘记从而使得题结是错误例如当问是什么值分式值是零当学生看到这数学问题候很容易想到分子零终结零得到但是却忽视了分母不零隐含条件终使得结是错误因该题正确答案是{得因做有关分式计算题目要对答案进行验证看答案是否会使分母零如零即不是该题答案图形隐含条件数学题型几何题型是重要部分有些几何题只理题干所提供信息还不能完整地答其些隐含条件便对答數学题有着定作用因就要学生对几何图形概念以及特进行深层次分析准确地抓住答几何题关键及方向例如对等腰三角形说条边是3条边是6该等腰三角形周长有些学生感觉这样题就是送分题不加思考地就得出答案5殊不知却将该题做错了就是由忽视了“三角形两条边和等三边”隐含条件因该等腰三角形腰长不可能是6因6+63因该等腰三角形腰长是3周长是3+3+633偶数次根式被开方数是非数隐含条件含有根式方程问题很容易忽视偶次根式被开方数非数隐含条件从而使得终结出现错误例如方程是什么？通审题就可以发现隐含条件是即题设隐含条件些数学题除提供些较明显数学条件外更多是包含着不易发现隐含条件依据能否挖掘这些隐含条件就能区分学生有没有掌握知识答这类问题要学生要认真地审题还要对题目关键词、公式进行分析只有这样才能出正确答案例如如上图所示△BB6是直线交BQ若以、、Q顶三角形和以、B、顶三角形相似Q长题目给出了三显性条件B6是答这类问题定要结合图形进行分析两三角形肯定是有公共角这公共角就是隐含条件挖掘出隐含条件利用相似性质问题就容易答三、总结总而言初数学题程隐含条件挖掘具有十分重要义如能将隐含条件利用不仅可以将复杂问题简单化还可以定程上防止漏我们要明白概念隐含条件并不是绝对概念而是相对概念只要平教学课堂上对学生进行概念、公式、定理、性质引导就很容易将隐含条件挖掘出了更加有效地出题目所提供条件以及逻辑关系要正确对题目进行并讲终结严谨性从而提高学生题速和效率相关热词题隐含浅析。
挖掘隐含条件，提高解题效率
知识导航隐含条件，即客观存在的却又未明确表现出的条件.含有隐含条件的题目往往给答题者造成题设条件不足的假象，使其解题受阻，或者陷入解题陷阱，得出错误的结论.可见，深入挖掘隐含条件是正确解题、提高解题效率至关重要的一环.同学们在解题时，挖掘与利用题中的各种隐含条件，便能抓住问题的关键线索，快速而准确地解题，提高解题效率.一、留心代数式的结构特征，挖掘隐含条件有些代数问题中，除了给出一些显性的已知条件外，还会有一些关键信息常常隐藏在代数式中，不易被发现.这就需要同学们仔细审题，留意代数式的结构特征，如是否含有分式、根式、绝对值、对数、底数、真数等，明确代数式有意义的条件，这样才能快速找到解题的突破口.例1.函数f (x )＝4-||x +1g x 2-5x +6x -3的定义域为.解析：解答本题，需从函数的解析式入手，仔细观察函数解析式的结构特征可以发现，函数中含有根式、对数、二次函数.要使函数式有意义，则需使根号下的式子大于或等于0、真数大于0、分母不为0，求得x 的范围即可得出函数的定义域.解：由题意得ìíîïï4-||x ≥0,x 2-5x +6x -3>0,解得2<x <3或3<x ≤4，所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．二、注意图形的特点，发现隐含条件有些问题的条件会隐含于图象、图表中.如果忽视这些隐含条件，就只能简单地依据题干所给信息来分析、解题，很容易得出不完整或错误的答案.所以，在解题时，同学们要仔细分析题意，注意几何图形的特点，合理添加辅助线或图形，将数形结合起来，挖掘其中隐含的几何性质，这样就能更加准确地把握解题的关键，提升解题的速度.例2.平面上有两点A (-1,0)，B (1,0)，在圆(x -3)2+(y -4)2=4上取点P ，求使AP 2+BP 2取最小值时点P 的坐标.解析：先画出相应的图形（如图所示），然后结合三角形中线的性质，就可以挖掘出题中含而不露的条件：AP 2+BP 2=2OP 2+2OB 2+2.所以，当OP 有最小值时，AP 2+BP 2也存在最小值.这时就不难发现点O 与圆心(3,4)的连线和圆的交点即为所求的点P .解：由题意可知AB 的直线方程为y =43x ，由图可知AP 2+BP 2=2OP 2+2OB 2+2，此时AP 2+BP 2取最小值.联立直线AB 方程和圆的方程可得ìíîïïy =43x ,(x -3)2+(y -4)2=4,解得x 1=95，x 2=215，而x 2=215不符合题意，所以当x =95时，点P 的坐标为（95，125），即当P 为（95，125）时，AP 2+BP 2取最小值.三、结合数学概念、性质、定理、公式，寻找隐含条件数学概念、性质、定理、公式是基础知识，也是分析和解答数学问题的重要依据.有些题目的条件会隐含在数学概念、性质、定理、公式之中，以检测同学们对数学概念、性质、定理、公式等基础知识的掌握情况.所以，同学们在解题的过程中要善于根据问题中涉及的概念、性质、定理、公式等来寻找隐含条件，尤其要明确概念、性质、定理、公式及其变形式的应用条件，架起“题”与“解”的桥梁，从而使复杂问题变得更加简单、易懂.例3.在无穷数列{}a n 中，ìíîïïa n =(13)n -1,n ≠3k -1,a n =-(13)n -1,n =3k -1,证：当k ∈N 时，数列{}a n 的各项和是2126.解析：根据已知信息和数列的性质，可得到隐含条件：数列通项为分段函数；数列是以自然数为自变量的函数，其值域为自然数构成的分数.当n =3k -1时，也就是n 被3除不足1时，换而言之，n 被3除余2的时候，数列用-æèöø13n表示.当n ≠3k -1时，n 被3除不为2的时候，则用æèöø13n 来表示.那么该数列由三个无穷递缩等比数列组成：①(13)0，(13)3，(13)6，⋯；②-(13)1，-(13)4，-(13)7，…；③(13)2，(13)5，(13)8，…；则S 1=(13)0+(13)3+(13)6+…=2726，S 2=-(13)1-(13)4-(13)7-...=-926，S 3=(13)2+(13)5+(13)8+ (326)S 1+S 2+S 3=2126.总之，在解题过程中，隐含条件是非常关键的信息，既有一定的干扰作用，也有重要的暗示作用，是不容忽视的.同学们在做题时要养成挖掘隐含条件的习惯，要认真审题，抓住题目中的代数式、图形等的特点，明确公式、概念、定理、性质的应用条件，捕捉题中隐藏的重要条件与信息，为作答架桥铺路，扫除障碍.（作者单位：江苏省上冈高级中学）孙晓敏39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
例谈数学题中隐含条件的挖掘
例谈数学题中隐含条件的挖掘标签：数学教学；隐含条件；挖掘从某种意义上讲，解数学题是一个从题目所列条件中不断地挖掘并利用其中的隐含条件，进行推理和运算的过程.本文结合教学中的几个典型例子，剖析解题时导致错误产生的原因以及如何注意挖掘题目中的隐含条件。
一、挖掘隐含集合元素的条件例1 已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A∩B={3，7}，求实数a的值.正解：∵A={2，3，a2+4a+2}，A∩B={3，7}.∴a2+4a+2=7，解得a=1或a=-5.当a=1时，A={2，3，7}，B={0，7，3，1}，符合条件.当a=-5时，A={2，3，7}，B={0，7，3，7}，不符合集合元素互异性这一条件，应舍去.∴实数a的值为1.分析：这道题容易出错的原因是学生忽视挖掘集合元素的条件，即互异性和无序性，所以在解得a=1或a=-5后，不去检验集合B是否成立.二、挖掘隐含某一变量的条件例2 已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，试求x2+y2的取值范围.错解：由x+2y=1，得x=1-2y.则x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+.∵y≥0，∴5（y-）2+≥.即x2+y2≥，∴x2+y2的取值范围为[，+∞].分析：导致错误的原因是已知条件中给出了两个变量的范围，又给出了两个变量的等量关系，要运用此等量关系将所求式子转化为某个变量的二次函数式，还隐含了要利用此等量关系求得某个变量的范围.正解：∵x≥0，∴x=1-2y≥0 ，解得y≤，又∵y≥0 ，∴0≤y≤.x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+，当0≤y≤时，≤5（y-）2+≤1 .∴≤x2+y2≤1. ∴x2+y2的取值范围为[，1].三、挖掘隐含函数奇偶性的条件例3 已知函数f（x）=ax5+bsin3x+10，且f（3）=5，求f（-3）的值.正解：设g（x）=ax5+bsin3x，则g（x）为奇函数，f（x）=g（x）+10.所以f （-3）=g（-3）+10=-g（3）+10=-[f （3）-10]+10=15 .分析：这道题容易出错的原因是忽视挖掘函数奇偶性这一条件.通常求函数值应有确切的函数解析式，本题是涉及两个参数a，b的解析式，只给出f （3）=5这一条件，无法求得参数a，b的值.仔细观察由f （3）=5，求f （-3）的值，启发我们联想函数的奇偶性，不难发现解析式中隐含着g（x）=ax5+bsin3x是奇函数这一条件，于是问题迎刃而解.四、挖掘隐含向量夹角是锐角的充要条件例4 已知向量=（1，2），=（1，m），试确定实数m的取值范围，使得与的夹角为锐角.错解：∵·=1+2m>0，与的夹角为锐角.∴·>0，即1+2m>0，解得m>-.∴实数m的取值范围是（-，+∞）.分析：导致错误的原因是忽视隐含向量夹角是锐角的充要条件.对两个非零向量与，如与的夹角θ为锐角，则·>0，反之，则不一定成立.这是因为当·=cosθ>0时，与的夹角θ也可能为0.因此与的夹角θ为锐角的充要条件是·>0且与不同向，这样在上述m的取值范围（-，+∞）中应除去与的夹角为0的情况.∵与的横坐标都是1，∴当m=2时，与同向.∴实数m的取值范围是（-，2）∪（-2，+∞）.。
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究
数学解题教学中隐含条件的有效发掘探究丘荣华摘要：善于分析和解答数学问题是学生有效掌握数学知识的主要体现。
但在实际解题中，有的学生不认真读题，忽略题目中的隐含条件，找不到题目中的关键解题信息。
文章以数学解题教学为研究对象，探讨、分析隐含条件的含义、价值以及如何在数学解题中有效挖掘隐含条件，以引导学生正确解答数学题目。
关键词：初中数学;解题;隐含条件;信息;含义;价值;策略有效挖掘数学题目中的隐含条件有利于学生正确、高效解题。
但是，隐藏在数学题目背后的条件不易被学生发现、利用。
尤其是比较粗心、不爱审题的学生更容易忽略题目中的隐含条件，从而影响到解题效果。
因此，在数学解题教学中，教师有必要指导学生掌握挖掘题目中隐含条件的方法，让学生从题目中挖掘到有用的隐含条件，从而正确、高效解题。
一、隐含条件的含义隐含条件是指隐藏在题目背后的条件。
题目不会直接给出隐含条件，需要学生从题干或已知信息中分析、推理、转换，让其变得清晰、可用，从而为解题提供有效帮助。
二、隐含条件的价值解答数学问题单靠题目中的显性条件是不够的，尤其是一些复杂的数学题目，不仅需要学生分析题目中的显性条件，还需要学生对题目中存在的关键词、涉及的公式进行重点分析。
这样才能将题目中的各种信息挖掘出来，并运用于问题的解答中。
另外，挖掘题目中隐含条件的过程也是锻炼学生思维能力的过程，可以让学生积累分析、理解、构建关系的方法和经验。
这有利于提升学生的学习能力，促使学生多角度思考问题。
三、数学解题教学中隐含条件的有效挖掘策略1.从数学题目涉及的概念中挖掘隐含条件不同的数学题目涉及的数学概念不同，而这些数学概念经常隐藏可用的解题条件。
因此，在数学解题教学中，教师可以从数学题目涉及的概念着手，引导学生利用其中的概念信息挖掘隐含条件。
当学生得到隐含条件之后，就可以综合运用各种显性和隐性的条件，解答数学问题。
以下面這道数学三角形证明题为例。
在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB+BD=AC。
例谈数学习题中隐含条件的挖掘
学生有效 的从面对 的情境 中发现 问题 、分 析问题 、 形成解 决问题 的意识 ，习惯和 能力．在课 堂教学 中， 精 心创设 问题情 境 ，激发与 引导学 生思维 是能调动
学 生学习积极性和 提高成绩的．
参考 文献 … 王道俊 ，扈 中平．教育 学原理．福州 ：福建教育
出版 社，１９ ９３ ［】 ２张大均．教 育心理学． 北京 ：人 民教育 出版 社 ．
考 ，望有所收益．
２一 ｍ
分析 这 里 口 ＝ ， 口 √ ， ｂ ＝ 一 ， ＝ ２ ｍ ｂ √ ： ．（ ： ！ ｂ ： ２ ｍ： ，一 １ 口 一 ２ ｍ一 ＋ ２ ２ ２， ”
所谓 隐含 条件是指 题 目中没有给 出但 隐含在题 意中的那 些条件 ，或题 目中虽 给出但弄不 明显 ，对 于 前者需要根 据题设挖 掘隐含 在题意 中的条件 ，对
到一 定步骤 时，学生肯 定放弃 ，必然 想利用 均值求 极值 ，然而 隐含 的条件若 没有挖掘 ，就 前功尽弃 了． 例 ４（ ０ ２ 年全 国卷 ，理 ｌ ２０ ９）设点 Ｐ 到点 （ １ ０ Ｎ（， ） 一 ，）， １ ０ 距离之 差为 ２ ，到 Ｘ轴 ， ｙ ｍ 轴 的距 离之比为 ２ ，求 的取值范围． 解
ｌ ２＝ ２ ｙ
＿
定点Ｅ ｌ０ ， ｆ，１ 向量 ，
一
在向量 方向上的投
影分别为 。 ｒ。且 ． ＝一 ｍ ｌ ７ ｎ，动点 尸满足 Ｏ ＋ Ｐ： ，（） １求点 Ｐ的轨迹 Ｃ的方程 ；（ 设 ２） 过点 的直线 ， Ｃ交于 两个不 同点 、 Ⅳ ，求 与 Ｆ ． Ｎ 的取值范 围． Ｍ Ｅ
总之 ， 当今世界 将进入知识 经 济时代 ，知识 总 量的迅猛膨 胀 ，更新 周期 的缩 短 ，使广大 教师和学
初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用
初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用1. 引言初中数学作为学生学习的基础学科之一，是培养学生逻辑思维的重要途径。
在数学解题过程中，常常会涉及到一些隐含条件，而挖掘并应用这些隐含条件往往是解题的关键之一。
本文将就初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用进行探讨，希望能够帮助学生更好地理解数学知识，并提高解题能力。
2. 隐含条件的概念及意义隐含条件指的是在问题描述中并未直接提及，但对问题的解答却至关重要的条件。
在数学解题中，很多问题都存在隐含条件，如果能够正确地挖掘和应用这些隐含条件，往往可以事半功倍。
培养学生发现并应用隐含条件的能力，对于他们的数学学习至关重要。
3. 如何发现隐含条件在解决数学问题的过程中，如何发现隐含条件成为了关键。
一般来说，通过对问题进行分析和归纳，可以帮助我们找到隐含条件。
多做一些题目，在实践中培养对隐含条件的敏感度也是很重要的。
4. 隐含条件的应用一旦发现了隐含条件，正确地应用它也是至关重要的。
在实际解题中，有时候隐含条件可以帮助我们缩小解题范围，找到更加有效的解题方法。
培养学生灵活运用隐含条件的能力也是十分必要的。
5. 个人观点及总结在初中数学解题中，隐含条件的挖掘及应用是一个需要强调和重视的能力。
通过不断练习和思考，相信学生可以逐渐提高对隐含条件的发现和应用能力，从而在数学学习中取得更大的进步。
结语通过本文的探讨，希望读者能够对初中数学解题中隐含条件的挖掘及应用有所了解，并在实际学习中加以运用。
隐含条件的发现和应用不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，也可以提高解题的效率和准确性。
希望学生们能够在今后的学习生活中不断提高这一能力，取得更好的成绩。
隐含条件在数学解题中起着重要的作用，它有时能够帮助我们找到解题的关键，缩小解题范围，甚至直接导致解题的成功。
培养学生发现和应用隐含条件的能力是十分必要的。
对于发现隐含条件，学生可以通过分析题目、归纳问题的特点来发现隐含条件。
在解决代数问题时，有时候方程中的未知数之间存在着某种关系，这种关系在题目中可能并未直接给出，但是如果能够发现并应用这种关系，往往会事半功倍。
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用
谈初中数学解题中隐含条件的分析及应用数学是一门抽象而又具体的学科，对于很多初中生来说，数学的解题过程往往是一个繁琐而又困难的过程。
在解题的过程中，很多时候我们会发现一些隐含的条件，这些条件对于问题的解决至关重要。
本文将从初中数学解题中隐含条件的分析及应用展开讨论，希望能够帮助同学们更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
一、隐含条件是什么？在数学解题中，隐含条件指的是在问题描述中没有明确提到，但却对问题的解决起到决定性作用的条件。
简单来说，就是隐藏在问题中的重要信息。
这些信息可能是直接的，也可能是间接的，需要我们通过一定的推理和分析才能够找到。
举个例子，有一道题目是这样描述的：“小明手中有一些铅笔，如果两个人平均每人分3支，还剩下2支；如果平均每人分4支，还差2支。
问小明手中至少有几支铅笔？”在这个问题中，虽然并没有明确提到“两个人”，但是我们通过分析可以得出这样一个隐含条件：小明至少要有4支铅笔才能够满足问题的要求。
这个条件就是隐含条件的典型例子。
二、隐含条件的分析方法在解题过程中，我们应该如何去找出这些隐含条件呢？我们需要仔细阅读问题，将问题描述中的每一个细节都理解清楚。
我们需要对问题进行分析，考虑问题的可能情况和限制条件。
我们需要通过逻辑推理和数学运算找出问题的答案，同时确认我们找出的条件是否满足问题的要求。
以一道典型的例题来说：“甲、乙两地相距480千米，甲地到乙地开车比乙地到甲地多1小时到达。
甲地到乙地开车的速度比乙地到甲地的速度多20千米/小时，甲、乙两地到达时间分别是多少？”在这个问题中，我们可以通过分析得出以下隐含条件：甲地到乙地开车时间 t1 、速度 v1 ，那么乙地到甲地开车时间 t2 、速度 v2 那么有480=v1*t1,480=v2*t2,由题目得到 t2=t1+1 ,v1=20+v2 然后可通过方程组解题。
三、隐含条件的应用隐含条件在数学解题过程中的应用至关重要，它往往能够帮助我们理清问题的思路，从而更加高效地解决问题。
挖掘隐含条件,有效解决问题论文
挖掘隐含条件,有效解决问题高中数学题目的条件与所求的问题之间必然存在某种联系，这种联系有时是若明若暗、含而不露的，我们把它称为隐含条件。
它们常是巧妙地隐藏在题设的背后，不易被发现。
笔者在教学中发现：不少学生在解题过程中，由于有时寻求原问题的隐含条件比较困难，不便于求解，从而丧失了成功的机会.为此，笔者以从数学问题涉及的定义、图形、结构等方面的具体特征入手，对已知条件及所求问题的特征进行全面分析，多角度思考，瞻前顾后，从中管窥到它们之间的隐含条件，获得解题思路。
1、从概念中发现隐含条件例1 ：已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求f(x)的值域。
分析：此题学生可以由f(x)是偶函数，很容易得出b=0，然后根据二次函数求值域的步骤谈论a的正负以及a=0的情况，分别求出f(x)的值域，最终结果中都含有参数a。
表面看来，解答似乎很完善，运用了分类讨论的思想方法。
他们错误的认为，但其实函数奇偶性的前提是定义域要关于原点对称，于是可从定义域的概念中发现出隐含条件.故得：a-1+2a=0, 问题变成了一个确定函数在确定的区间上求值域的问题。
2、从问题条件的相互制约中发现隐含条件例2 ：已知，则的值域为分析：本题的典型错解是：由已知得，而，从而，又，由换元法可以求出的值域为。
上述解法错在何处呢？错在忽略了题目中由于两个变量的相互制约所隐含的变量的取值范围。
因为，所以，再结合，所以，有的值域为。
3、从数量关系中发现隐含条件.例3：已知函数f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数的最大值是多少？分析：此题的关键是所求函数的定义域.许多学生认为定义域就是[1,9],这是不对的。
事实上，所求函数解析式中的f(x2)中隐含着x的另一范围。
解：因为f(x)的定义域是[1,9]，所以f(x2)中的x应满足从而得1≤x≤3.即函数的定义域为[1,3].又4、从公式、结论的适用范围中发现隐含条件例4：设是方程的两实根，当时，有最小值，最小值为？分析：本题的典型错解为：由韦达定理可得，，则，由二次函数的图象可知，当时，有最小值。
浅谈高中数学解题中隐含条件的挖掘
浅谈高中数学解题中隐含条件的挖掘佚名【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2019(000)004【总页数】1页(P47)【正文语种】中文1 分析已知条件，通过类比挖掘隐含条件学习高中数学时，笔者在一次次的解题中发现，题目中的已知条件同样需要我们在认真分析，从中总结出隐含的条件，进而将其作为已知条件中的一部分，运用在解题中，从而准确且快速的解答习题.在学习的过程中，通常都是针对教材中的定理、定义等理论知识进行深入的学习和分析，而练习题也都是根据理论知识延伸而来，一般习题难度不高，而随着学习内容的不断深化，习题的难度也会增加，但无论习题的如何变化，都是由基本的定义等理论知识演变而来.这就需要我们在学习的过程中详细分析已知条件，通过类比的方式分析其中隐含条件，对习题中的已知条件有透彻的理解，确定解题需要的定义以及公式等内容，而后顺利解答习题.分析已知条件，通过类比的方式挖掘出习题中隐含条件，一般应用在已知条件较少的习题中，主要是将已知条件与掌握的定理、公式等进行类比，分析其相似、相同之处，从而确定解决思路，将定理等理论知识套用在习题中，这样可以快速解答习题，也可以保证习题答案的准确性.因此，笔者建议高中学生在解题过程中认真分析已知条件，利用隐含条件解题.高中数学习题的题型虽然是充满变化，但其实质却具有相同的特点，很多习题都是根据数学定理、公式演化而来.因此，笔者在挖掘习题中隐含条件时，总是将自己掌握的数学知识与习题结合起来，看到相互关联的符号、名词等知识点时尽量将习题与已学过的知识融合，将不熟悉的数学习题转化为熟悉的定理等知识，进而通过常规性的性质和概念等解答习题.笔者在解题中认真审视需要求证的结论，运用推理的方式缩小已知条件与求证结论之间的距离，逐渐缩小思考范围，最终中出解题思路.例如：学习三角函数的相关知识时，笔者通常分析需要求证的结论，由结论逆向推理需要的条件；而后在从已知条件中筛选出可以直接使用的条件；最后将求证结论与已知条件结合起来，推理出习题中隐含条件，利用隐含条件完成未求证的部分，最终证明结论.在学习高中数学知识的过程中，求证结论是经常遇到的习题方式，笔者在解答此类习题时一般都是采用推理的方式挖掘出题目中的隐含条件，以此证明结论，并且能够保证求证结果的正确性.3 审视已知条件，通过联想挖掘隐含条件笔者在解答高中习题时，会详细审视已知条件，运用联想的方式挖掘出习题中包含的隐含条件，从而提高解题的效率和质量，并逐渐提高自身的解题能力.例如：将三角形中角的正弦关系与函数关系式结合起来，给出正弦关系、函数与正弦关系的前提下，要求求解出函数的表达式.此时，笔者会分析已知条件中的正弦关系，利用正弦之间一定存在的关系，加上习题中给出的关系，推导出隐含的正弦关系式，而后使用同一正弦来表示三角形正弦；最后将其套入函数关系式中，求解出函数表达式.由此可见，审视已知条件，通过联想挖掘隐含条件可以简化解题思路，加快解题速度，并能够保证解题的正确性.笔者在学习中经常使用该方法来解题，有效提高笔者的解题速度，缩短解题时间，使笔者有更多的时间去学习其他知识，进而提高笔者在高中阶段的综合成绩.定义和性质等概念性知识是高中数学学习中的重要内容.笔者在解题中也会通常查看定义和性质等措施，利用掌握的概念知识来挖掘出习题中隐含的条件.例如：习题中给出无穷数列和等式等条件，而后证明给出的数列各项和.在求解的过程中，笔者分析给出的数列通项是否是分段函数，而后在明确数列是哪一类型的函数，分析其值域等条件；最后通过掌握的定义和性质等知识，挖掘出隐含条件，证明数列各项和.高中数学知识抽象性较强，难度较大，且整个高中阶段的学习任务重，若是没有技巧性的学习数学知识，不仅需要大量的时间，学习效果也会受到不同程度的影响.因此，笔者在解题中会结合实际情况，适当的通过概念知识挖掘隐含条件.5 结语在学习高中阶段的数学知识时，主要还是要围绕教材中的定理、定义以及公式等知识点进行学习，故而，在分析习题中的隐含条件时，笔者通过类比、推理、联想和概念等方式挖掘隐含条件从不同的层面分析隐含条件，一旦确定习题中含有的隐含条件，则可以明确解题思路，最终顺利解答习题.总而言之，高中数学解题中含有隐含条件，可以帮助我们快速解答习题.。
浅谈如何挖掘数学题目中的隐含条件-精选文档
浅谈如何挖掘数学题目中的隐含条件-精选文档浅谈如何挖掘数学题目中的隐含条件挖掘隐含条件对于数学解题至关重要。
挖掘隐含条件有助于培养学生思维的批判性。
许多错解漏解，是因为没有挖掘出隐含条件，但通过解后反思，挖掘出隐含条件，并借助隐含条件采取补救措施，可使解答完美，从而提高学生思维的完整性和辨别是非的能力，培养思维的批判性。
一、不能准确挖掘题目中的隐含条件的原因平时练习得少。
在学习过程中，经常是学习一个定理或公式，课上听讲例题，课后作业都是运用课上学的这个定理或公式，即缺乏综合性、又没有灵活性，直到总复习时，才有机会练习以下综合性与灵活性，而越是综合题，其隐含条件越难挖掘，总的时间与次数都很少。
变更问题的提法本身就是一件十分困难的事情，它要求多方面的基础和实践经验。
隐含条件往往都是隐蔽在明显的已知条件后，常常需要通过变更问题的提法才能发现其本质，而变更提法在平时练习的也很少，对学生来说也是一个难点。
从总体上说，挖掘隐含条件，需要扎实的基础知识，熟练得基本技能，灵活的思想方法，严谨的思维能力，通常可以从数学题所及的概念、图形、结构等方面的具体特征入手，通过分析、比较、观察、联想等方法，逐步探索和转化。
二、挖掘命题中隐含条件的途径（一）从概念特征中挖掘隐含条件有些数学题，部分已知条件隐蔽在数学概念之中，在这种情况下，可以从分析概念的本质特征入手，挖掘隐含条件，探索解题途径。
例1：求证：以抛物线焦点弦为直径所作的圆与抛物线的准线相切。
分析：解这一题的关键在于挖掘隐含在“抛物线”背后的条件，即抛物线的e=1。
设抛物线方程为y2=2px，AB是过焦点F(p2，0)的弦，l为准线，要证明，以AB为直径的圆与l相切，只需证AB中点M（圆心），向l作垂直直线MM′等于AB的一半即可。
分别由A、B作垂线，A′、B′为垂足，则AA′=AF，在梯形ABB′A′中，MM′是中位线，所以AA′+BB′=MM′，显然只需证AA′+BB′=AB 就可以了。
怎样挖掘题目中的隐含条件
探索探索与与研研究究三、挖掘藏在三角函数式中的隐含条件我们知道每个三角函数都具有有界性，因此对于三角函数式而言，在每个定义域内都有其上界和下界，当然这些往往都隐含在题目当中，需要我们去深入挖掘.因此在求三角函数式的值时，要重点关注三角函数式在定义域内的上界和下界，否则容易得到错解或者增解.例3.若角α,β满足3sin 2α+2sin 2β=2sin α，则sin 2α+sin 2β的取值范围是____.解：由sin 2β=12()2sin α-3sin 2α，得sin 2α+sin 2β=sin 2α+12()2sin α-3sin 2α=-12sin 2α+sin α=-12()sin 2α-12+12，因为-1≤sin α≤1，所以-32≤sin 2α+sin 2β≤12，因为2sin 2β=2sin α-3sin 2α≥0，所以0≤sin α≤23，因此sin 2α+sin 2β的取值范围是éëùû0，49.由于已知三角函数的值和角的取值范围，所以我们可根据三角函数的性质和特殊角的三角函数值，将角的取值范围进一步缩小.在解题时，要仔细挖掘三角函数式中的隐含条件-1≤sin α≤1，2sin 2β≥0，否则就有可能得出错误的答案.例4.已知tan α=17，tan β=13，其中α,β为锐角，求α+2β的值.解：因为tan 2β=2∙tan β1-tan 2β=23×98=34，所以tan ()α+2β=tan α+tan α2β1-tan α∙tan α2β328=17+341-328=1,因为0<α<π2，0<2β<π，所以0<α+2β<32π，所以α+2β=π4或54π，因为tan α=17<1=tan π4，tan β=13<1=tan π4，所以0<α<π4，0<β<π4，所以0<α+2β<3π4，故α+2β=π4.对于本题，需灵活运用二倍角公式和两角和的正切公式进行恒等变换，以将三角函数式化简，求得函数式的值.但在解题时，需挖掘三角函数式中的隐含条件tan α=17<1=tan π4，tan β=13<1=tan π4，该条件比较隐秘，却是约束α、β取值的关键信息.四、挖掘藏在三角形内角中的隐含条件对于与三角形的内角有关的三角函数求值问题，不可忽视的隐含条件有：（1）三角形的内角和为180°；（2）三个内角都是正角，且范围为()0,180°；（3）锐角的范围为()0,90°，钝角的范围为()90°,180°.在求三角函数的值时，要注意挖掘这些制约三角形内角的条件，以剔除不满足条件的数值.例5.在ΔABC 中，若三内角A 、B 、C 依次成等差数列，求cos A cos C 的取值范围.解：因为∠A 、∠B 、∠C 成等差数列，所以2∠B =∠A +∠C ,则∠B =60°,∠A +∠C =120°,可得cos A cos C =12[]cos ()A +C +cos ()A -C =12[]cos 120°+cos ()2A -120°=-14+12cos ()2A -120°.因为-1≤cos ()2A -120°≤1，则∠B =60°，∠C +∠A =120°，所以∠C =120°-∠A >0所以-34≤cos A cos C ≤14，而∠B =60°，∠C =120°-∠A >0，所以0°<∠A <120°，120<2∠A -120°<120°，从而可得-12<cos ()2A -120°≤1，故-12<cos A cos C ≤14.通过三角恒等变换，很容易求得三角函数式的取值范围，但也很容易忽略隐含条件∠B =60°，即0°<∠A <120°，从而得出错误的答案.从以上分析可以看出，如果忽视题目中的隐含条件，就很难得到正确的答案.因此，求三角函数的值，必须重点关注并深入挖掘隐含条件，同学们可从轴线角、方程、三角函数式、三角形的内角中去深入挖掘，寻找可限制三角函数值和角的所有可能的条件，这样才能做到万无一失，确保解题的正确率.（作者单位：江苏省江安高级中学）探索探索与与研研究究55。
如何挖掘数学题中的隐含条件
中学 数 学月 刊
・ ９・ ４
如 何 挖 掘 数 学 题 中 的 隐含 条件
杨 花 （ 苏省 溧 阳 中学 江 ２ ３５ ） １ ３ ７
数 学高 考题 往往 灵活 多 变 ， 重 对 能力 的考 偏 查 ， 少学生在解题 时， 往 会产生“ 件不足” 不 往 条
客 观存 在 的条 件 ， 因而 易 被 解题 者 忽 视 ． 实 ， 其 只 要 我们 仔细 分析 和深 入 挖掘题 目所提 供 的信息 条
件 ， 不难 发现 ， 就 在题 目的字里 行 间或示 意 图 中隐
可｛ 得
Ｔ２ Ｃ 一
所 一 以 ．
・ ＿ ｚ， 以 ａ ＿一 所 一 ．
件 ， 常是 指一 种 在 题 目中 未 明确 表 达 出来 而 又 通
致 使许 多 学 生 无 从 下 手 ， 觉 “ 件 不 足 ” 实 际 感 条 ． 上 ， 据组 合数 的概 念 “ 中字 母 ， 应 满 足条 根 ｃ 件 ≤ ， ∈ Ｎ， ∈ Ｎ” 那 么 问题 将迎 刃 而解 ． ， 解 因为 ａ 一ｃ 。 Ａ 一 ， ｛． ・ 由组合 数 的意义
解 题 时常用 的一 把钥 匙 ． 有些 数学 问题 ， 分 已知 部
条 件就 隐含 在数 学概 念 、 定义 中 ， 中可 以挖掘 出 从 解 题需 要 的最 为本 质 的 条 件 ， 得 解 题 过 程 变 得 使 简捷．
候 只要 考虑 定 义域 ， 问题 便很快 可 以得 到解决 ； 同 样 不要 忽 略 同一 函数 在不 同定 义域 下 的值 域 所带
解 设 Ｐ（ ） Ｆ （ ６ Ｏ ， ２ ６ ０ ，则 ｘ， ， １ 一 ， ） Ｆ （ ， ）
它们 之 间的关 系． 优先 注意 函数 的定 义域 ， 函 若 则
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浅谈如何挖掘数学题目中的隐含条件
挖掘隐含条件对于数学解题至关重要。
挖掘隐含条件有助于培养学生思维的批判性。
许多错解漏解，是因为没有挖掘出隐含条件，但通过解后反思，挖掘出隐含条件，并借助隐含条件采取补救措施，可使解答完美，从而提高学生思维的完整性和辨别是非的能力，培养思维的批判性。
一、不能准确挖掘题目中的隐含条件的原因平时练习得少。
在学习过程中，经常是学习一个定理或公式，课上听讲例题，课后作业都是运用课上学的这个定理或公式，即缺乏综合性、又没有灵活性，直到总复习时，才有机会练习以下综合性与灵活性，而越是综合题，其隐含条件越难挖掘，总的时间与次数都很少。
变更问题的提法本身就是一件十分困难的事情，它要求多方面的基础和实践经验。
隐含条件往往都是隐蔽在明显的已知条件后，常常需要通过变更问题的提法才能发现其本质，而变更提法在平时练习的也很少，对学生来说也是一个难点。
从总体上说，挖掘隐含条件，需要扎实的基础知识，熟练得基本技能，灵活的思想方法，严谨的思维能力，通常可以从数学题所及的概念、图形、结构等方面的具体特征入手，通过分析、比较、观察、联想等方法，逐步探索和转化。
二、挖掘命题中隐含条件的途径
（一）从概念特征中挖掘隐含条件
有些数学题，部分已知条件隐蔽在数学概念之中，在这种情况下，可以从分析概念的本质特征入手，挖掘隐含条件，探索解题途径。
例1：求证：以抛物线焦点弦为直径所作的圆与抛物线的准线相切。
分析：解这一题的关键在于挖掘隐含在“抛物线”背后的条件，即抛物线的e=1。
设抛
物线方程为y2=2px，AB是过焦点F（p2，0）的弦，l 为准线，要证明，以AB为直径的圆与l 相切，只需证AB中点M（圆心），向l 作垂直直线MM′等于AB 的一半即可。
分别由A、B作垂线，A′、B′为垂足，则AA′=AF，在梯
形ABB′A′中，MM′是中位线，所以AA′+BB′=MM′，显然只需证AA′+BB′=AB 就可以了。
证明：由定义（隐含条件）可知：AA′=AF，BB′=BF，而AF+BF=AB
∴AA′+BB′=AB 又∵AA′+BB′=2MM′（梯形中位线性质）
∴AB=2M′M，而MM′为圆的半径。
∴准线是以AB为直径的圆的切线。
（二）从结构特征中挖掘隐含条件
有些数学题，已知条件由这样或那样的关系给出，部分条
件隐于这些关系式中，这时，宜从关系式的结构特征上去挖掘隐含条件。
例2：设a、b、c、d 是互不相等的整数，且方程（x －a）（x －b）（x －c）（x －d）－25=0
有整数根。
求证：a+b+c+d4 为整数。
分析：整理等式有（x －a）（x －b）（x －c）（x －d）=25 ，则观察此等式，
可知25=52=5×5=（ -5）×（-5），而x－a，x－b，x－c，x－d 互不相等，
∴25 只能分解为5×（－5）×（－1）×1
∴（x －a）+（x －b）+（x －c）+（x －d）=5+
（－5）+（－1）+1=0 ∴4x=a+b+c+d∴命题结论易证。
本题是有一定难度的证明题，挖掘方程中常数“ 25”在结构上的特征，是求解本题的关键，如果把25换位p2（p 为素数），则结论仍然成立。
由例2 我们知道，可以观察关系式的数字，字母、算式等在结构上的特征。
有时可从明显的已知条件中挖掘隐含条件；有时不能从明显的已知条件中挖掘，就要求我们变更问题的提法，新问题与原问题，有等价的，也有不等价的，若为不等价变形，则需进一步研究，讨论。
（三）从图形特征中挖掘隐含条件
有些几何题，部分已知条件隐于图形之中，只有深入观察
图形特征，才能逐步探明
例3：在一个圆内有一定点A，圆上有P1与P2两个动点，且∠P1AP2=π2，以AP1与AP2为边，构成一个长方形，点P是长方形上与A相对的一个顶点，求点P的轨迹方程。
解：取圆心为坐标原点，过A的直线为x 轴，设圆半径为R，且A、P1、P2、P坐标分别为：A（a，0）、P1（x1，
y1）、P2（x2，y2）、P（x，y），
则圆方程为x2+y2=R2，因AP为长方形AP1PP2的对角
线，∴有|AP|2=|AP2|2+|PP2|2=|AP2|2+|AP1|2
∴（x －a）2+y2=（x1 －a）2+y21+（x2 －a）2+y22 即x2+y2－2ax+a2=x21+y21+x22+y22+2a2－
2a（x1+x2）⋯⋯①
又P1、P2在圆上，∴有x21+y21=R2，x22+y22=R2 ∴代入①式整理得x2+y2－2ax=2R2+a2－2a（x1+x2）⋯⋯②把x1+x22=x+a2代入②得x2+y2－2ax=2R2+a2－2a
（x+a）即x2+y2=2R2-a2
（四）由问题本身的性质挖掘隐含条件在解三角函数相应问题时要考虑三角函数的有界问题时，这是问题本身的性质隐含于内。
例4：已知3sin2 α+2sin2 β=2sin α求sin2
α+sin2 β 的取值范围
分析：换元解决该问题sin2 β=sin α-32sin2 α
要考虑0≤sin α-32sin2 α≤1即0≤sin α ≤23这
一隐
含条件
解：由已知得sin2 β =sin α -32sin2 α
则有y=sin2 α +sin2 β =sin2 α +sin α-32sin2 α =-12(sin α -1)2+12
由0≤sin α-32sin2 α≤1得0≤sin α ≤23
因为函数y=-12(t-1)2+12 在[0,23] 上是增函数，当sin α=0 时，y?┆?min= 0.
当sin α=23 时，y?┆?max=49
∴sin2 α +sin2 β 的取值范围是[0,49].
[。