数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模2小麦品种的模糊模式识别
数学建模方法详解--模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
小麦品质模糊信息综合评价研究
小麦品质模糊信息综合评价研究
白世斌;马云彤
【期刊名称】《西安文理学院学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2003(006)004
【摘要】根据模糊数学原理,提出利用变异系数赋权、信息量赋权与距优平方和赋权3种变异性信息权重分配方法对小麦品质进行模糊综合评价.对陕西省7个育成
小麦品种(系)品质综合评判结果为:λ＞0.65,为优质小麦品种,包括高优503、陕160、小偃6号、大粒878、陕优225.λ＜0.6,为低筋粉专用小麦品种,包括小偃7号、秦发12号、陕354、荔丰3号.
【总页数】5页(P10-14)
【作者】白世斌;马云彤
【作者单位】西北农林科技大学农学院,经济作物研究所,陕西,杨凌,712100;西安文理学院,学报编辑部,陕西,西安,710065
【正文语种】中文
【中图分类】S512.1
【相关文献】
1.基于干旱综合指数的模糊信息分配法的农业干旱风险评估研究 [J], 康永辉;解建仓;黄伟军;王宝红;杨云川
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3.基于模糊信息概率区间数的突发地质灾害降水因子评价研究 [J], 彭贵芬;刘盈曦
4.基于区间2型模糊信息的科研生态环境评价研究 [J], 刘萱; 王睿涵; 齐佳丽
5.模糊信息熵在员工满意度综合评判决策中的应用 [J], 马锦锦
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模糊数学在数学建模中的应用
则称R为U上的等价关系 。
特殊的等价关系
例10： 设Ｕ={u1,u2,u3}, 则 U×U={(u1, u1),(u1, u2),(u1, u3),(u2, u1),(u2, u2),(u2, u3) ,(u3, u1),(u3, u2),(u3, u3)}全称关系; I ={(u1, u1),(u2, u2), (u3, u3)}恒等关系。 用方阵表示如下：
模糊集合的表示方法
Zadeh 表示法
(1)
若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，
则 A F ( U ) 可表示为
Au1 u1 Au2 u2 Aun un
A
例4：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，
A 0.87 u1 0.75 u2 0.96 u3 0.78 u4 0.56 u5
(2)如果RT= R；则称R为对称的；
(3) 如果R ◦ R R ，则称 R 为传递的。 自反的，对称的，传递的模糊关系称为模糊等价关系。
模糊等价关系
例17： 设Ｕ={u1,u2,u3,u4,u5}, 如下R为模糊等价关系
1 0.80 R 0.80 0.20 0.85
１、模糊聚类分析
(１)、模糊数学的基本思想； (２)、普通关系与布尔矩阵；
(３)、模糊关系与模糊矩阵；
(４)、模糊聚类分析原理。
模糊数学的基本思想
经典 集合：是指具有某种特定属性的对象集体。
例1：“延大09级的学生”； 模糊集合： 例2：“延大09级个子高的学生”。 区别: 是否满足排中率。
经典集合与特征函数
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模2小麦品种的模糊模式识别
§2 小麦品种的模糊模式识别把一批来自同一品种的小麦称为一个小麦亲本。
小麦有各种不同的品种，某一品种的小麦有它自己的很多特性，如抽穗期、株高、有效穗数、主穗粒数和百粒重量等数量性质。
然而对于小麦的一个亲本，我们不能凭其中某一粒或某一株小麦去鉴定它的品种。
实际上，同一品种的小麦中，各株小麦的抽穗期显然是不完全相同的。
在同一种小麦中，百粒重量的每一次样本也是不完全相同的，但总是在各自的均值附近摆动。
这样我们就可以把某一品种的小麦看成是一个模糊集。
不同品种的小麦就对应着不同的模糊集。
如果能肯定待识别小麦亲本的模糊集与某一已知品种小麦的模糊集最贴近，那就可以断言它属于该种小麦了。
由于模糊集合是用隶属函数来表示的，而隶属函数又不同于普通的函数，怎样来度量模糊集的模糊性以及怎样比较两个模糊集是否相贴近还是差别很大，这就要引入一些有关模糊集度量的概念。
一、单个模糊集度量 1、模糊度在论域U 上的任意模糊子集~A 的模糊度)(~A D 应满足：（ⅰ）对任意的U x ∈，当且仅当x 对~A 的隶属度)(~x A μ只取0和1时，)(~A D =0 ；（ⅱ）当)(~x A μ=0.5时，)(~A D 应取最大值，即)(~A D =1；（ⅲ）对任意的U x ∈，设U 的两个模糊子集~A 和~B ，若5.0)()(~~≥≥x x B A μμ或5.0)()(~~≤≤x x B A μμ，则有)()(~~A D B D ≥。
2、模糊熵在模糊数学中，用模糊熵描述模糊度，是模糊集合所含模糊性大小的一种度量，这里仅介绍较其它方法为好的仙农函数引出的模糊熵定义。
设~A 是论域U 上的任意模糊子集，当U x ∈时，记))((2ln 1)(~1~i Ai x S n A H μ∑∞==叫做模糊集~A 的熵，此处)1ln()1(ln )(x x x x x S ----=。
容易验证，上述模糊熵满足模糊度的三个条件。
二、多个模糊集度量 1、海明距离设论域U 上的两个模糊子集~A 和~B ，它们之间的海明距离定义为∑=-=ni i B i A x x B A d 1~~)()(),(~~μμ这个定义适用于论域为有限集时，n 是论域中元素的个数，它又称为绝对海明距离。
应用模糊数学法综合评判旱地小麦新品种
应用模糊数学法综合评判旱地小麦新品种
刘松涛;赵喜茹;曹雯梅
【期刊名称】《安阳工学院学报》
【年(卷),期】2008(000)004
【摘要】运用模糊综合评判法,对2006～2007年度河南省旱地小麦区试品系的产量与产量构成因素、抗性及品质进行综合分析评价.结果表明:安01-8、洛旱8号、漯优7号三品种综合表现最优,其综合评价值分别为:0.836、0.769、0.746;洛旱2号、中麦12综合表现较差,其综合评价值分别为:0.369、0.342.模糊综合评判法可以全面、综合、定量地评价新品种的优劣,为品种审定推广提供可靠的理论依据.【总页数】3页(P94-96)
【作者】刘松涛;赵喜茹;曹雯梅
【作者单位】河南农业职业学院,郑州,中牟,451450;河南农业职业学院,郑州,中
牟,451450;河南农业职业学院,郑州,中牟,451450
【正文语种】中文
【中图分类】S11
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1.模糊数学理论在复合材料中的应用——ARALL层板性能影响因素的模糊数学法
综合评判 [J], 仲伟虹;陈昌麟;郑瑞琪;李宏运;胡宏军;强伟;王玉瑛
2.应用模糊综合评判和灰色关联度分析评估小麦新品种 [J], 王春平;张改生;张伟;
刘素云;苗艳芳
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第三章 模糊模式识别
例1. 苹果的分级问题 设论域 U = {若干苹果}。苹果被摘下来后要分 级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来 分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = {Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ 级，Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元 素（点）对标准模糊集的识别问题。
阈值原则：
•有时我们要识别的问题，并非是已知若干模 糊集, 确定论域中的一个元素最大隶属于哪个 模糊集 •而是在某个阈值水平的限制下该元素隶属于 哪些模糊集，或在某个阈值下，该元素是否相 对属于某模糊集 •这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：
等腰直角三角形的隶属函数 (I∩R)(A,B,C) = I(A,B,C)∧R (A,B,C); (I∩R) (x0)=0.766∧0.955=0.766. 任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = Ic∩Rc∩Ec= (I∪R∪E)c. T(x0) =(0.766∨0.955∨0.677)c = (0.955)c = 0.045. 通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶属于直角 三角形.
最大隶属原则Ⅰ：
设 A1 , A2 ,L, Am 为给定的论域 U 上的 m 个模糊模型，
x0 ∈ U 为一个待识别对象，若 Ai ( x0 ) = max{ A1 ( x0 ), A2 ( x0 ),L, Am ( x0 )}，
则认为 x0 相对隶属于模糊模型 Ai 。
最大隶属原则Ⅱ：
设 A 为给定论域 U 上的一个模糊模型，x1 , x2 ,L, xn 为 U 中的 n 个待识别对象，若
C n
证： 1. (a o b) = 1 − a o b = 1 − ∨ (ai ∧ bi ) = ∧[1 − (ai ∧ bi )]
小麦品种的模糊综合分析及其应用
（ ．ａｇｕ ｃ ｅ ｙ ｆ ｇｉ ｌｒ ｉ ｃ ， ａ ｉ １０４ Ｃ ｉ ； １Ｊ ｎｓ ａ ｍ ｒｕｕａＳ ｅ ｅ Ｎ ｍｎ ２０ １， ｈ ａ ｉ Ａ ｄ ｏＡ ｃｔ ｌｃｎ ｓ ｇ ｎ
２ ０ —０ ２ ｒｇｏ ａ ｅ ｔ ｈ ｉｄｅＡｒａｏ ｎ ｓ ｏ ｉｃ ．Ｖａ ｉｕ ｈ ｒｃｅ ｉｔ ｓｏ ａ ｉｔ ｓ ０ ２ ０ ｅ ｉｎ ｌ ｓｓｉ ｔ ｅＭ ｄ ｌ ｅ ｆ ｉ ｇ ｕＰｒｖｎ ｅ １ ｔ ｎ Ｊａ ｒ ｓｃ ａａ ｔｒ ｉ ｆ ｒ ｉ ｏ ｓｃ ｖ ｅｅ
２Ｊ ｎｓ ａｇａｇＳａ ａ Ｙ ｎｈｎ ２２６ Ｃｉ ） ．ａｇｕ ｉ ｇｎ ｔｅ ｒ ｉ Ｊｎ ｔＦ ｍ， ａｃｅｇ ４３ 。 ｈ ａ ２ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｕ ｚ ｏ ｒｈ ｎ ｉｅａ ａｙｉ ｗａ ｐ ｌ ｄｔ ｖ ｌａｅｔ ｅ１ ｅ ｔ ａ ｉｔ ｓｆｏ ｔ ｅ ｅｆｚ ｙｃ ｍｐ ｅ ｅ ｓ ｎ ｌｓｓ ｓａ ｐｉ ｏｅ ａｕ ｔ ｈ ０ｗｈ ａ ｒ ｉ ｒｍ ｈ ｖ ｅ ｖ ｅｅ
的产量方差 分析可较详 细地了解各参试 品种 的性状全貌 ； 糊综合分析还 可预测当选 品种在 生产中可能 出现 模
的问题及应采取 的对策 ； 本分 析结 果表 明 ， ｂ３品种 （ ） 综合性 状较 明显 地优 于 Ｃ 而豫麦 ５ Ｎ一 系 的 Ｋ， ０等 ３品种 （ 的品质有所欠 缺 ， 系） 其它一般或较差 ； 模糊综合分析 的关键是合理确定各性状 的权系数 。 关键词 ： 模糊综合分析 ． 、 品种 ； ，麦 Ｊ 性状 ； 系数 权
中 图 分 类 号 ：５ ２ １ ３ Ｓ １ ．０ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ２ ５ Ｘ（０ ６０ —０ ６ —０ １ ７ —７ ５ ２ ０ ）１ ０ ７ ４
模煳数学建模方法(132)
参数a,b,c,d确定了梯形四个角的x坐标。 当b=c时，梯形就退化为三角形。
3. 高斯形隶属函数
1 x c 2 ( ) g ( x; c, ) e 2
c代表MF的中心； 决定MF的宽度。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众 所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没 有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长 头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信 息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等 都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综 合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个 领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、 经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
模糊集的运算性质基本上与经典集合一 致，除了排中律以外，即 A∪Ac U， A∩Ac . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点， 这正是模糊性带来的本质特征.
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)， 在U上定义两个模糊集： A =―商品质量好”， B =―商品质量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=―商品质量不好”, Bc=―商品质量不坏” Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
模糊数学 第二章 模糊模式识别汇总
注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯称呼， 它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上 定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义 的公理条件 ( σ1 )，即 σ ( A，A) 1。但是，当 A
F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0
24
例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
B 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 , x1 x2 x3 x4 x5 x6
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
σL( A, A ) =1; (4) 若 A B C，则 σL( A, C) σL( A, B) σL( B, C) 证明从略。
28
4. 贴近度的其它表示方法
定义2.12 可以用下列各公式定义贴近度：
n
Axi Bxi
1 A, B i1
;
基于多指标模糊综合评价模型的小麦品质评估
基于多指标模糊综合评价模型的小麦品质评估蒋华伟;周同星【摘要】小麦品质评估是小麦储藏和检测中最为重要的环节,针对传统小麦品质评价中因素较为单一、主观性较强的问题,本文提出了一种多指标模糊融合评价小麦品质的模型.首先,对小麦多生理生化指标进行分析与研究,选取脂肪酸值、沉降值、还原糖、发芽率、降落数值作为模型的因素集;首先对测试数据的标准差作放缩计算,得到一个可以反应数据可靠程度的权重矩阵;再次使用劣化度和隶属度函数构建了多因素模糊评价矩阵模型;最后,通过对权重矩阵和评价矩阵的融合计算,并结合最大隶属度原则获得综合评价结果.计算分析表明:模糊评价所得到的结果与实测小麦品质状况基本吻合,本模型可为储藏小麦的测量与评价提供一定的科学依据.【期刊名称】《中国粮油学报》【年(卷),期】2018(033)009【总页数】8页(P115-122)【关键词】小麦品质评估;多指标;标准差;隶属函数;劣化度;模糊综合评价【作者】蒋华伟;周同星【作者单位】河南工业大学信息科学与工程学院,郑州450001;河南工业大学信息科学与工程学院,郑州450001【正文语种】中文【中图分类】TS210品质状态的正确评估是小麦储藏和检测中的一个重要环节，也是粮食工作者和研究者最关心的问题，准确地判断出小麦的品质状态有助于粮食管理人员及时调整储藏条件、快速处理已变质的小麦，从而降低损失、提高储粮的安全系数。
近些年来，国内学者在包括小麦在内的粮食储藏基础特性等方面做了大量的前期研究与探索，并取得了较大进步。
如宋建民等［1］对小麦蛋白质品质和与蛋白质相关的因素如沉降值、筋力进行了研究;以及在常温、低温两组粮仓内，通过多年的实验证明脂肪酸值随着储藏时间按一定规律逐年升高，从而认为脂肪酸值是小麦储藏品质控制的指标之一［2－3］。
张钟等［4］对小麦发芽前后的内部成分，如总淀粉、灰分及粗脂肪、容重和部分矿物质维生素等做了实验研究，经过数据分析得出发芽时间、水分、还原糖等不同因素对小麦品质的影响。
MATLAB编程与模糊数学方法(2)-模糊识别与模糊综合评判
( B , A3 ) 0.4545, ( B , A4 ) 0.4348 ( B , A5 ) 0.8824, ( B , A6 ) 0.4565
由于 ( B, A5 ) max{ ( B, Ai ) i 1,2,,6} 故由择近原则，B 应归属于模式 A5 .
14参考教材例810414由单因素评判构造综合评判矩阵5综合评判设有两类顾客他们根据自己的喜好对各因素所分配的权重分别为1442用模型按最大隶属原则第一类顾客对此服装不太欢迎而第二类顾客对此服装比较欢迎
天津工业大学
MATLAB编程与模糊数学方法 （二）
理学院 数学系 陈雅颂
教学内容：
2
1.2 模糊模式识别
砷 铅
表一
23.5
0.1204 74.88 0.092
36.09
0.2523 99.54 0.2592
150
0.6 150 0.45
350
1.4 350 1.05
500
2 500 1.5
镉 铬 汞
表二 三个样品中重金属含量
名称
1 2 3
砷
14.0 4.33 5.95
铅
67.3 37.1 46.5
镉
18
（1） 格贴近度
1 0 ( A, B ) [ A B (1 A ⊙B]， 2 其中： A B max{ A( x ) B( x )}
表示两个模糊集 A，B 的内积； A⊙B min{ A( x ) B( x )} 表示两个模糊集 A，B 的外积。
19
1.3 模糊模式识别
一、模糊模式识别方法--最大隶属 原则法
二、模糊模式识别方法--择近原则 法
9
模糊模式识别在小麦亲本鉴别中的应用
模糊模式识别在小麦亲本鉴别中的应用小麦（TriticumaestivumL.）是一种全球性的主要粮食作物，为了提高小麦的品质、生产力和抗逆性，小麦育种学家不断采用多种方法来鉴别小麦品种和亲本，以保障育种成果的有效性。
传统小麦亲本鉴别主要采用植物学和遗传学方法，近年来随着科技的发展，出现了由计算机技术支持的小麦亲本鉴别技术，其中模糊模式识别技术的应用也成为研究者们热衷的话题。
模糊模式识别（Fuzzy Pattern Recognition, FPR）是一种计算机辅助亲本鉴别技术，它是识别研究中典型的模式识别方法之一，其主要特点是能够进行快速、高效、准确的鉴别和分类，满足育种和分子育种研究中关于解析和识别小麦亲本的要求。
可以说，模糊模式识别技术对于小麦种质资源的多样性、学习性和生产性有着重要的意义，它主要用于小麦亲本的特征提取和小麦品种的识别与鉴别。
它在小麦亲本鉴别中发挥着重要作用，首先，模糊模式识别可以快速准确地进行小麦亲本鉴别，避免重复检测，提高育种效率；其次，模糊模式识别也可以有效避免小麦亲本鉴别中的失误和检测误差；最后，模糊模式识别技术可以更有效地处理复杂的小麦亲本鉴别问题，有效控制小麦品种的多样性和生产性。
鉴于模糊模式识别技术的重要性，世界各国的科研机构和大学都在积极开展小麦亲本鉴别技术的研究，其中我国科学家也投入了大量精力。
泰国科技大学和俄罗斯科学院分别从数量角度和质量角度对小麦亲本鉴别技术进行了研究，研究结果表明，模糊模式识别技术的应用能够快速准确地鉴别出小麦品种，并且可以有效地控制和优化小麦种质资源的多样性、学习性和生产性，为小麦育种和改良工作带来新的机遇。
随着技术的发展，模糊模式识别技术不断进步，设备、分析方法和可靠性也在不断提高。
然而，尽管模糊模式识别是一项技术，但它也存在一定的弊端：由于小麦亲本鉴别技术涉及到大量的数据处理和分析过程，它的处理效率也非常低，且容易受到外界因素的干扰，因此，小麦亲本鉴别技术的改良和完善仍需要科学家们的继续努力。
MATLAB编程与模糊数学方法(2)-模糊识别与模糊综合评判
13
1.3 模糊模式识别
例 1.3.2：今考虑三角形的识别问题。设 U 为所有待识 别的三角形所构成的集合，由于每一个三角形完全由其 三个内角所确定，故可以三角形的三个内角 , , 作为 特性指标。于是，论域 U 可记为
U { x ( , , ) 0, 180 }。
是模糊的，标准模式库中提供的模式是模糊的。或
有待识别的对象是模糊的。
8
1.3 模糊模式识别
一、模糊模式识别方法--最大隶属 原则法
二、模糊模式识别方法--择近原则 法
9
1.3 模糊模式识别
一、模糊模式识别方法--最大隶属原则法 最大隶属原则Ⅰ： 设 A1 , A2 ,, Am 为给定的论域 U 上的 m 个模糊模式，
2 ( A, B )
1.3 模糊模式识别
（4）海明贴近度
1 n 3 ( A, B ) 1 A( xk ) B( xk ) n k 1
（5）欧几里得贴近度
1 n 2 4 1 [ ( A( xk ) B( xk )) ] n k 1
1 2
21
1.3 模糊模式识别
x0 U 为一个待识别对象，若
Ai ( x0 ) max{ A1 ( x0 ), A2 ( x0 ),, Am ( x0 )}，
则认为 x0 优先归属于模糊模式 Ai 。
10
1.3 模糊模式识别
最大隶属原则Ⅱ： x1 , x2 ,, xn 设 A 为给定论域 U 上的一个模糊模式，
为 U 中的 n个待识别对象，若
级别 清洁 10 尚清洁 17 轻污染 30 中污染 50 重污染 70
砷 铅
表一
23.5
武彩萍模糊数学建模讲义 2015
先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.
直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列 约束条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时, R(A,B,C)=0; (3) 0≤R(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 则R(x0)=0.955.
模糊关系
X Y上的模糊集R称为从X到Y上的模糊关系.
( x, y) R( x, y) [0,1]表示x, y具有关系R的程度.
X Y时，R称为X上的模糊关系.
例4
G 远远大于，X Y R(实数） 0 x y 1 G ( x, y ) 100 1 x y 2 ( x y )
模糊集的运算
交： ( A B)( x) min( A( x), B( x))： ( A B)( x) max(A( x), B( x)) A( x) B( x)
A B表示A或B
余： Ac ( x) 1 A( x)
R(张三，李四） 0.8
例6
X {1.4， 1.5， 1.6, 1.7, 1.8} Y {40,50,60,70,80}
身高与体重之间的关系为：
1 0.8 0.2 0.8 1 0.8 R 0.2 0.8 1 0 0.1 0.2
0.1 0 0.2 0.1 0.8 0.2 0.8 1
模糊关系的运算
并、交、余、包含运算与模糊集运算完全相同
0.4 0.3 0.1 0.5 R2 R1 0.8 0.9 0.7 1 0.4 0.5 0.1 0.3 R1 R2 R1 R2 0.8 1 0.7 0.9 0.9 0.5 R 0.3 0
模糊数学教程第8章模式识别
假定U上a的模糊集0为.5：, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4,
b 0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.2
c 0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2
d 0, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1,
择近原则1
设Ai F U i 1, 2, , n,对给定的Bi F U , 若j i 1, 2, , n,使
DB, Aj maxDB, A1, D B, An
则认为B与Aj最贴近，而应把B归入模式Aj .
例8-2现有茶叶等级标准品五种：a, b, c, d , e
• 及待识别的茶叶模型 A, 确定A的型号.
按择近原则，可以确定A为a型茶叶.
3、多元模式识别
• 现问题中有的问题具有多种特性，通常需 同时考察，此时就用到择近原则2 择近原则2
设有模式Ai F U i 1, 2, , n 每个模式由
m个特性来描述，分别用x1, x2 , , xm来表示
于是有m n个不同特性的模糊集Aij F X j
e 0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6,
A 0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6
解：利用格贴近度公式计算可得：
Dg A, a 0.5; Dg A,b 0.3; Dg A, c 0.2 Dg A, d 0.1; Dg A, e 0.1
Aik .
若
n
i1
Ai
u0
则判决为：不能识别，此时找出原因另作分析.
该方法也可对 u0 与某一个标准模型 Ak 进行识别.
如果Ak u0 ，则认为u0相对的隶属于Ak， 如果Ak u0 ，则认为u0相对的不隶属于Ak，
数学建模——模糊数学方法
• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
（0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
0.3 0.5 0.2 0 P 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3 0.5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, 0.3, 0.2)
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的 不同定义，可得到不同的模型
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
模型2 M（٠，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经 济效益的好坏进行排序
因素集：
U={u1,u2,u3,u4}为反映企业经济效益的主 要指标
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模1模糊综合评判及其应用
第八章 模糊数学方法建模1965年,美国自动控制学家L.A.Zadch 首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。
它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。
模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。
而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
§1 模糊综合评判及其应用一、模糊综合评判在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。
如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。
但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。
所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。
综合评判最简单的方法有两种方式：一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和∑==mi isS 1按S 的大小给评判对象排出名次。
例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。
另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个因素的权重，并规定∑==mi ia11，于是用∑==mi ii sa S 1按S 的大小给评判对象排出名次。
以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。
由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。
模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。
应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：（1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。
2模糊数学建模
x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法： 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等 个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方 法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.
函数 A 称为集合A的特征函数。
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的
“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数
概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以
中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。
基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and
模糊数学建模方法
参考书目
1. 模糊数学及其应用，梁保松，曹殿立，科学出版 社 2. 模糊数学基础，张文修，西交大出版社 3. 模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社
引言
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;
常用的隶属函数 常用的隶属函数有Z函数（偏小型）、∏函数（中 间型）、S函数（偏大型）.
偏小型一般适合于描述像“小，少，浅，淡，青 年”等偏小程度的模糊现象。
偏大型一般适合于描述像“大，多，深，浓，老 年”等偏大程度的模糊现象。 中间型一般适合于描述像“中，适中，不太多， 不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现 象。
模糊数学模型(小麦品种识别模型)
为此，我们定义二个模糊子集之间的两种运算和贴近度。
•3•
结束
设全集为U。 和 为U上的两个模糊子集，它们的从属函 数分别为 (x) 和 (x) 。定义 和 的内积为
• = xU [ (x) (x) ]
定义 和 其中表示取最大，表示取最小。 = xU [ (x) (x) ]
• =e
a a 1 2 b b 1 2
2
•5•
结束
因为当x时，交点以上部分曲线的极限等于零，所以 =0 下面定义 与 ( 二个模糊子集之间的贴近度为 1 , ) = [ • +(1- )] 2 = 0，所以
对于正态型模糊子集，因为
a1 1 b1 ab22 2 1 ( , ) = e 2 假设有m个已知小麦品种A1,A2,…,Am，经检验得每个品种的
结束
又测得1个待识别品种小麦B的5项指标的期望和标准差如表2。 表2
品种 aj B bj 8.5 1.5 85 4 指标 抽穗期 株高 有效穗 主穗粒 数 数 6.2 36.2 1.9 7 百粒 重 3.43 0.28
请确定小麦B是5个已知小麦品种A1,A2,…,A5中的哪一种。
从实际的观察中我们发现，同品种的小麦个体之间有时也有
类别
表3 指标 抽穗期 株高 有效穗数 主穗粒数 百粒重
0.804 0.889 0.991 0.595 0.858 0.789 0.606 0.868 0.647 0.913 0.796 0.732 0.734 0.681 0.711 0.812 0.869 0.834 0.865 0.925 0.95 0.833 0.595 0.863 0.957
x a ij b ij
模糊数学在小麦亲本识别上的应用
模糊数学在小麦亲本识别上的应用
刘来福
【期刊名称】《北京师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1979(0)3
【摘要】在小麦杂交育种的过程中,亲本的选择是关键的措施之一。
亲本选配合理就可能有更多日机会得到理想的后代。
长期以来,人们从小麦的表现型出发,根据某些性状将亲本分成若干类型,如'矮杆'、'大粒'、'早熟'、'丰产'……等等。
从不同的类型中选配亲本进行杂交,取得了不少的成果。
然而,由于育种工作所考虑的性状一般是数量性状。
【总页数】8页(P78-85)
【关键词】矮杆;亲本选配;模糊子集;亲本材料;贴近度;隶属函数;平均株高;粒数;主穗;粒色
【作者】刘来福
【作者单位】北京师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】S5
【相关文献】
1.冬小麦生育期间MODIS多时相NDVI特征分析及其在地物识别上的应用 [J], 陈金华;刘惠敏;黄勇;张爱民
2.小麦骨干亲本'鲁麦13'在小麦育种中的应用 [J], 孙妮娜;王建萍;于经川;丁晓义;
刘洁;赵明;姜鸿明;李林志
3.小麦骨干亲本‘鲁麦13’在小麦育种中的应用 [J], 孙妮娜;王建萍;于经川;丁晓义;刘洁;赵明;姜鸿明;李林志
4.小麦骨干亲本蚰包育成品种的应用分析 [J], 王冬梅;孙玉海;郑建鹏;于经川;孙晓辉;姜鸿明;冯烨宏
5.两种模糊数学方法在锅炉结渣特性判别上的应用 [J], 兰泽全;曹欣玉;周俊虎;黄镇宇;赵翔;刘建忠;周志军;岑可法
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§2 小麦品种的模糊模式识别
把一批来自同一品种的小麦称为一个小麦亲本。
小麦有各种不同的品种，某一品种的小麦有它自己的很多特性，如抽穗期、株高、有效穗数、主穗粒数和百粒重量等数量性质。
然而对于小麦的一个亲本，我们不能凭其中某一粒或某一株小麦去鉴定它的品种。
实际上，同一品种的小麦中，各株小麦的抽穗期显然是不完全相同的。
在同一种小麦中，百粒重量的每一次样本也是不完全相同的，但总是在各自的均值附近摆动。
这样我们就可以把某一品种的小麦看成是一个模糊集。
不同品种的小麦就对应着不同的模糊集。
如果能肯定待识别小麦亲本的模糊集与某一已知品种小麦的模糊集最贴近，那就可以断言它属于该种小麦了。
由于模糊集合是用隶属函数来表示的，而隶属函数又不同于普通的函数，怎样来度量模糊集的模糊性以及怎样比较两个模糊集是否相贴近还是差别很大，这就要引入一些有关模糊集度量的概念。
一、单个模糊集度量 1、模糊度
在论域U 上的任意模糊子集~
A 的模糊度)(~
A D 应满足：
（ⅰ）对任意的U x ∈，当且仅当x 对~
A 的隶属度)(~
x A μ只取0和1时，)(~
A D =0 ；
（ⅱ）当)(~
x A μ=0.5时，)(~A D 应取最大值，即)(~
A D =1；
（ⅲ）对任意的U x ∈，设U 的两个模糊子集~
A 和~
B ，若5.0)()(~
~
≥≥x x B A μμ或
5.0)()(~
~
≤≤x x B A μμ，则有)()(~
~A D B D ≥。
2、模糊熵
在模糊数学中，用模糊熵描述模糊度，是模糊集合所含模糊性大小的一种度量，这里仅介绍较其它方法为好的仙农函数引出的模糊熵定义。
设~
A 是论域U 上的任意模糊子集，当U x ∈时，记
))((2
ln 1
)(~
1
~
i A
i x S n A H μ∑∞
==
叫做模糊集~
A 的熵，此处)1ln()1(ln )(x x x x x S ----=。
容易验证，上述模糊熵满足模糊度的三个条件。
二、多个模糊集度量 1、海明距离
设论域U 上的两个模糊子集~
A 和~
B ，它们之间的海明距离定义为
∑
=-=
n
i i B i A x x B A d 1
~
~
)()(),(~
~
μμ
这个定义适用于论域为有限集时，n 是论域中元素的个数，它又称为绝对海明距离。
在实用中常
应用相对海明距离，其定义为 ∑=-=
=
n
i i B i A x x n
B A d n
B A 1
~
~
~
~
)()(1
),(1),(~
~
μμδ
还有加权海明距离和相对加权海明距离如下：
∑=-=
n
i i B i A i
x x x
B A d 1
~
~
)()()(),(~
~
μμωω
∑=-=
n
i i B i A i
x x x n
B A 1
~
~
)()()(1
),(~
~
μμωδω
这里∑==n
i i x 1
1)(ω。
2、贴近度
设论域U 上的两个模糊子集~
A 和~
B ，我们引进它们之间的两种运算，它们是：
)]()([~
~
~
~
x x B A B A U
x μμ∧∨=⊕∈
)]()([~
~
~
~
x x B A B A U
x μμ∨∧=⊗∈
我们称~
~
B A ⊕为模糊集~
A 和~
B 的内积，~
~
B A ⊗为模糊集~
A 和~
B 的外积。
我们定义
)]1([2
1),(~
~
~
~
~
~
B A B A B A ⊗-+⊕=
为模糊集~
A 和~
B 的贴近度，它显然也是一个[0，1]上的数。
3、正态型模糊集
设论域U 为实数域，模糊集~
A 的隶属函数为})(
exp{)(2
~
σ
μa
x x A --=，称这种形式的模糊
集为正态模糊集，这里0>σ。
现有两个正态模糊集~
A 和~
B ，它们的隶属函数分别为
)0(}
)(e x p {
)(12
11
~
>--=σσμa x x A
)0(}
)(e x p {
)(22
2
2
~
>--=σσμa x x B
可以求得})(
exp{2
2
12
1~
~
σσ+--=⊕a a B A ，0~
~
=⊗B A ，
于是正态型贴近度为]1})(
[exp{2
1),(2
2
12
1~
~
++--=
σσa a B A （1）
4、择近原则
设~
~
~
2~
1,,,,B A A A n 是论域U 上的任意模糊子集，若
),(),(~
~
1~
~
B A B A i n
i j ≤≤∨=
则认为~
B 与~
j A 最贴近，应把~
B 划归为~
j A 模式。
三、小麦品种的识别
设有五种小麦优良品种，它们是早熟、矮杆、大粒、高肥丰产、中肥丰产。
为简单起见，我们只取百粒重这一特性来考察。
根据抽样结果，由数理统计可得到它们分别是如下几种正态模糊集。
现有一种不知品种的小麦亲本~
B ，也是正态模糊集。
用统计方法测得其参数为43.3=a ，28.0=σ，于是由（1）可以计算出
91.0),(~
~
1=B A ；72.0),(~
~
2=B A ；50.0),(~
~
3=B A ；76.0),(~
~
4=B A ；89.0),(~
~
5=B A
按择近原则，亲本~
B 属于早熟型。
一般来讲，仅依照小麦的一种特性—如百粒重量来判别小麦的亲本，并非十分合理。
通常要同时考察小麦的几种特性。
如果现在同时考察小麦的五种特性，则对于每一个品种（模式）的小麦，它的每一个特征都是论域U 上的一个模糊子集。
对五种小麦，考察它们的五种特性，共有25个模糊集，用下表的记号表示。
每一个待识小麦的亲本都可以测得它的特性，因此待识别的小麦亲本可有五个模糊子集
~
5~
4~
3~
2~
1,,,,B B B B B 。
其中~
j B 就是亲本关于第j 种特性的模糊子集。
小麦亲本是属于哪一品种的小麦呢？首先确定出~
ij A 的隶属函数和~
j B 的隶属函数，然后计算
出所有的贴近度~
,(ij A ~
j B ），)5,1(≤≤j i 计算结果见下表。
从表中可见,按择近原则,若以第三特性有效穗数来识别,则亲本应属于早熟型;但若以第四特性主穗粒数来识别,则应属于矮杆或中肥丰产型。
由此可见，全体识别即单纯依靠某一种特性来识别是不行的。
设想若亲本属于某一类，则它的每个特性都应该与该类的相应特性接近。
为此我们引入参数51),(~
~
5
1≤≤∧=≤≤i B A S j ij j i ，它代表~
B 与第i 类的每一特性的贴近度的最小值。
其意义表
示亲本~
B 同时具有第i 类品种的每一个特性的贴近程度。
求得i S 后，则选i i i S S 5
10≤≤∨=，表示所有的i S 值中选最大值，则认为亲本~
B 为0i 类。
例如，在上例中i S 的值见表中最后一行，48.055
10==∨=≤≤S S S i i i ，因而得到亲本应识别为第五
种模式，即中肥丰产型。