公因式的提取方法及常见题型
因式分解提公因式法例题
因式分解提公因式法例题因式分解是数学中一个重要的概念和方法，而提公因式法是因式分解中最基础也最常用的方法之一。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解和掌握提公因式法。
首先，我们来看看什么是提公因式法。
提公因式法就是把多项式各项中的公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。
例 1：分解因式＄6x ＋ 9$在这个式子中，我们可以看到 6 和 9 都有公因数 3，所以公因式就是 3。
＄6x ＋ 9 ＝ 3(2x ＋ 3)＄例 2：分解因式＄8x^2 12x$先观察式子，8 和 12 都能被 4 整除，x 的最低次幂是 1，所以公因式是 4x。
＄8x^2 12x ＝ 4x(2x 3)＄例 3：分解因式＄5a^3b ＋ 10a^2b^2 15ab^3$这个式子中，5、10、15 都能被 5 整除，a 的最低次幂是 1，b 的最低次幂也是 1，所以公因式是 5ab。
＄5a^3b ＋ 10a^2b^2 15ab^3 ＝ 5ab(a^2 ＋ 2ab 3b^2)＄再来看一个稍微复杂一点的例子。
例 4：分解因式＄2x(x y) ＋ 3y(x y)＄在这个式子中，＄（x y)＄是公因式。
＄2x(x y) ＋ 3y(x y) ＝（x y)（2x ＋ 3y)＄例 5：分解因式＄a(x y)＾2 b(y x)＄这里需要注意，因为$（y x) ＝（x y)＄，所以公因式是$（x y)＄。
＄a(x y)＾2 b(y x) ＝ a(x y)＾2 ＋ b(x y) ＝（x y)（a(x y) ＋ b)＝（x y)（ax ay ＋ b)＄通过以上这些例题，我们可以总结出使用提公因式法的几个关键步骤：第一步，确定多项式各项的公因式。
要从系数、字母以及字母的指数这几个方面来综合考虑。
第二步，将公因式提取出来。
第三步，把多项式写成公因式与另一个多项式相乘的形式。
需要注意的是，在提取公因式时，要确保提取的公因式是各项系数的最大公因数，以及相同字母的最低次幂。
专题03 提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略(解析版)
专题03提取公因式和公式法4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一因式分解的概念辨析】 (1)【考点二提取公因式法的应用】 (2)【考点三公式法因式分解的应用】 (2)【考点四提取公因式法和公式法的综合应用】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一因式分解的概念辨析】【考点二提取公式法的应用】【例题2】把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式等于（）A ．2(2)()a m m -+B ．2(2)()a m m --C ．(2)(1)m a m --D ．(2)(1)m a m -+【答案】C【分析】用提取公因式法即可进行因式分解．【详解】2(2)(2)m a m a -+-，22)(2)(m a m a =---，(2)(1)m a m =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式的方法和因式分解的定义是解题的关键．【变式1】已知3ab =-，2a b +=，则22a b ab +的值是（）A ．6-B ．6C ．1-D ．1【答案】A【分析】先将22a b ab +因式分解，再把3ab =-，2a b +=代入计算即可．【详解】解：∵3ab =-，2a b +=，∴()22326ab a a b ab b ==++-⨯=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，解题的关键是正确找出各项的公因式进行因式分解．【变式2】计算()()2022202322-+-所得结果是（）A ．20222B ．20222-C ．20232D ．40452【答案】B【分析】先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算和乘法分配律进行计算即可．【详解】解：()()2022202322-+-()()()20222022222=-+-⨯-()()2022212=-+-⎡⎤⎣⎦20222=-故选：B【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义以及乘法分配律的运用，熟练掌握乘相关运算法则是解题的关键．【变式3】若()23A a m n a m an ⋅+=+，则代数式A 的值为（）A ．aB ．nC ．2a D ．mn【答案】A【分析】提出公因式，可得()32a m an a a m n +=+，即可求解．【详解】解：∵()32a m an a a m n +=+，()23A a m n a m an ⋅+=+，∴代数式A 的值为a ．故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【考点三公式法因式分解的应用】【例题3】把()22214a a +-因式分解得（）A ．()2214a a +-B ．()2214a a +-C ．()()2211+-a a D ．()221a -【答案】C【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：()()()()()222222214121112a a a a a a a a ==-+-++-++；故选：C.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.【变式1】在把多项式2223m mn n --因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式()()()222222443m mn n n m n n m n m n =-+-=--=+-，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式2265a ab b +-因式分解的结果是（）A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b -+C ．()()5a b a b +-D ．()()5a b a b --【答案】D【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．【详解】a 2-6ab+5b 2=a 2-6ab+9b 2-4b 2=(a-3b)2-(2b)2=(a-3b+2b)(a-3b-2b)=(a-b)(a-5b)；故选：D ．【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式2】小李在计算2023202120232023-时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（）A ．2023，2024，2025B ．2022，2023，2024C ．2021，2022，2023D ．2020，2021，2022【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．【详解】解：2023202120232023-20212=2023(20231)⨯-2021=2023(20231)(2023+1)⨯-⨯2021=202320222024⨯⨯∴能被2022，2023，2024整除，故选B ．【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【考点四提取公因式法和公式法的综合应用】【例题4】小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：5，a b -，1x +，1x -，21x -，a ，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考．现将()()225151a x b x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱学B ．爱思考C ．思数学D ．我爱数学【答案】D【分析】先将()()225151a x b x ---因式分解，结合所对应汉字即可求解．【详解】解：()()225151a x b x ---=()()251x a b =--()()()511x x a b =+--∵5，a b -，1x +，1x -，21x -，a ，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考，∴结果中一定有“我”，“爱”，“数”，“学”，∵根据代数式的书写规则，“5”一定在最前面，∴“我”在最前面，对照四个选项可知，只有D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解确定每个因式所对应的汉字为解题关键．()=-++++⋅⋅⋅++123499100=-⨯10150=-．5050【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【过关检测】一．选择题二.填空题【答案】4039 2【分析】连接BE发现，无论正方形AM到BE之间的距离为高．【详解】连接BE，∵在线段AC同侧作正方形ABMN ∴BE∥AM．∴△AME与△AMB同底等高．∴△AME的面积=△AMB的面积．【答案】1【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．【详解】40352﹣4×2017×2018＝（2017+2018）2﹣4×2017×2018＝20172+2×2017×2018+20182﹣4×2017×2018＝（2017﹣2018）2＝（﹣1）2＝1，故答案为1．【点睛】本题考查因式分解在有理数的运算中的应用，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式的结构特征是解题的关键.三、解答题18．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：例11(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax ax ax +++=+++=++2(1)ax =+；例2221(1)(1)(1)(1)(1)ax ax ax ax ax ax x ax ax α+++++=++++22(1)(1)ax ax ax =+++2(1)(1)ax ax =++3(1)ax =+．(1)例2分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解因式：220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++，则需应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式：23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x ---+---+--+-．【答案】(1)提取公因式，2(2)2020，2021(1)ax +(3)()20051x -【分析】（1）根据分解过程即可填空；（2）将多项式提公因式即可进行因式分解；（3）按照上面规律分解，注意符号的变化规律．【详解】（1）解：根据分解过程，可知例2分解因式的方法是提取公因式，共应用了2次；（2）220201(1)(1)...(1)ax ax ax ax ax ax ax ++++++++()()2202011(1)...(1)ax ax ax ax ax ax =+++++++()220201(1)...(1)ax ax ax ax =+++++...2021(1)ax =+∴应用了2020次，结果是2021(1)ax +；（3）23200320041(1)(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x x x ---+---+--+-()223200320041(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x x x =--+---+--+-3320032004(1)(1)...(1)(1)x x x x x x x =---+--+-420032004(1)...(1)(1)x x x x x =--+--+-...()20051x =-【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．19．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B -；（2）证明5799449999⨯+⨯-能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯-，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯-，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯-=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B-。
230.因式分解,提取公因式(试题+参考答案)
因式分解与提取公因式【要点梳理】〖知识点一〗 因式分解的定义问题1．计算下列各题，看谁算得又准又快： ⑴7.6×99.8＋4.3×99.8－1.9×99.8＝ ； ⑵=-2299101 ；⑶=+⨯⨯+22434357257 ． 问题2．把下列多项式写成几个整式乘积的形式： ①=+x x 2；②=-22b a ；③=+-122x x ；④=++mc mb ma定义：把一个多项式化成几个整式积．．．的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 说明：⑴因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算． ⑵因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．问题3．下式从左到右的变形哪些是因式分解? ⑴()12-=-x x x x ；⑵()ab a b a a -=-2；⑶()12122+-=+-a a a a ；⑷()22244-=+-x x x ；⑸⎪⎭⎫⎝⎛+=+a a a 111．〖知识点二〗 提取公因式 问题4．观察问题2中的①和④，你发现什么特点？ 指出：多项式mc mb ma ++中，各项都含有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式．问题5．指出下列多项式中各项的公因式：⑴a ay ax ++； ⑵263mx mx -； ⑶22912y x xyz -；⑷c ab ab b a 322224128+- ⑸()()32223143221x y a y x b a ---；⑹()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+【典例剖析】例1．用提取公因式法将下列各式因式分解： ⑴4363x x +； ⑵c ab b a 323128+； ⑶()()c b c b a +-+32；⑷()()b a b a b a ---+；⑸()()232x y y x ---；⑹23++-n nna aa ；⑺()()()()y x n m y x n m +--+-2387．例2．计算： ⑴33131939⨯-⨯；⑵20062005200520032005220052323-+-⨯-．【课堂操练】1．把下列各式分解因式：⑴=+2228mn n m ； ⑵=-22912y x xyz ； ⑶()()=---y z b z y a 32 ； ⑷=-+-ma ma ma 126323； 2．分解因式：⑴ab abx aby 61236+-； ⑵x xy x +-632；⑶()()q p q q p p +-+46；⑷xy xy y x -+22；⑸()()()()m y m x m y m x m x -----；⑹()()11+---++b a b a b a ；⑺()()()232x y c x y b y x a -+-+-．⑻()()3222x y xy y x y x --- ⑼11+-+-n n n x x x3．利用因式分解计算： ⑴978×85＋978×7＋978×8；⑵989923⨯+-．4．已知40,13==+ab b a ，求22ab b a +的值． 5．（2011江苏南通）分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝6．多项式32223320515b a b a b a -+提公因式后的另一个因式是 ．7．多项式b ab b a +-632分解因式的结果是（ ） A ．()b a a 23- B ．()123+-b a a C ．()a a b 632- D ．()1632+-a a b 8．下列各式分解因式正确的是( ) A ．()()()()122-++=+-+b a b a b a b a B ．()y x x x xy x 63632-=-- C ．()b a ab ab b a -=-441412322D ．()c b a a ac ab a -+-=-+- 9．分解因式： ⑴（ 2011重庆江津 ） 2x 3－x 2；⑵（2011四川凉山州）：32214a ab ab -+-；⑶()()23126m n n m ---；⑷()()1315----+ay ax m ay ax m ； ⑸()()()()b a b a b a b a 28287--+--； ⑹()()()334m n n n m m n m -+-+-．10．两个小孩的年龄分别是x ，y ，且992=+xy x ，试求这两个小孩的年龄．【课后巩固】1． 判断下列变形过程，哪个是因式分解？ ⑴()()4222-=+-x x x ；（ ）⑵()()x x x x x 322342++-=+-；（ ）⑶()17777--=--n m n m ；（ ）⑷⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x 14442．（ ）2．下式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．b a b a 32622⋅=B ．()43432--=--x x x xC ．()222-=-b ab ab abD ．()()2422a a a -=+-3．（2011河北）下列分解因式正确的是（ ） A ．32(1)a a a a -+=-+B ．2a －4b ＋2=2（a －2b ）C ．a 2－4=(a －2)2D ．a 2－2a ＋1=(a －1)24．把()()a m a m -+-222分解因式等于（ ） A ．()()m m a +-22 B ．()()m m a --22C ．()()12--m a mD ．()()12+-m a m 5．因式分解()()x y x 2552-+-的结果是( ) A ．()()y x +-152 B ．()()y x --152 C ．()()y x +-125 D ．()()y x --125 6．分解因式()()3286b a b a a ---时，应提取的公因式是（ ）A ．aB ．()26b a a -C ．()b a a -8D ． ()22b a -7． 200820072121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-的结果是（ ）A ．21-B ．200821⎪⎭⎫⎝⎛-- C ．200721⎪⎭⎫⎝⎛-- D ．21答案：B8．观察下列各式：①adx abx -；②2262xy y x +；③124823++-m m m ④3223b ab b a a -++；⑤()()()22265q p q p x y x q p +++-+；⑥()()()x y b y x y x a +--+42其中可以用提取公因式法分解因式的有 ．（填序号） 9．()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+ 各项的公因式为 ．10．多项式23224128xy z xy y x -+-各项的公因式是 ．11．若()()()A y x y x xy y x ⋅+=+-+3，则A 为 ． 12．将n n y x -分解因式，其结果为()()()y x y x y x-++22，则n 的值为 ．13．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的有（ ）A ．y x -2B ．x x 22+C ．22y x + D ．22y xy x +-14．下列多项式中，公因式是b a 25的是（ ）A ．2222015b a b a +B ．b a ab 221030- C ．322010ab b a + D ．b a ab 2155+ 15．填空：⑴=--x xy x 2422()12--y x ；⑵2232232104b a b a b a =-（ ）； ⑶()=-+-11a mn a ； ⑷()()()=----221m n n m m mn ；⑸()()=+-+y x y x 332；⑹()()=---32a b b a ；16．把下列各式分解因式： ⑴xy x +2 ⑵x x x ++23⑶x xy x 2812242+--⑷()y x a y x +-- ⑸232363a na ma +- ⑹()()2264a b y b a x ---⑺()()232x y x y x -+-⑻()()()()b a b a b a b a +++-+252322 ⑼()()()()y x n m y x n m +--+-2387 ⑽()()x x x x -+-2262217．利用因式分解计算： ⑴6.15×3.16＋13.2×0.316＋2.53×3.16 ⑵2239899⨯--18．计算：=⨯+⨯-31034323；=⨯+⨯-234310343 ；=⨯+⨯-345310343 ；根据计算过程，猜想下列各式的结果：=⨯+⨯-200320042005310343 ； =⨯+⨯-++n n n 31034312 ．19．求证：对于任意自然数n ，n n 224-+能被5整除．20．化简并求值，其中2-=x ，()()()200821111x x x x x x x ++++++++ ．21．若232=+x x ，求x x x 46223-+的值．因式分解与提取公因式参考答案：问题1．⑴998;⑵400;⑶10000 问题2．①x (x ＋1); ②(a ＋b )(a －b );③(x －1)2; ④m (a ＋b ＋c )问题3．⑴⑷。
因式分解经典例题
因式分解经典例题一、提取公因式法例1：分解因式ax + ay。
解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。
例2：分解因式3x^2-6x。
解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。
例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。
解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。
二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式例4：分解因式x^2-9。
解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
例5：分解因式16y^2-25。
解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。
例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。
解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。
三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式例7：分解因式x^2+6x + 9。
解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
例8：分解因式4y^2-20y+25。
解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。
例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。
解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。
四、综合运用多种方法分解因式例10：分解因式x^3-2x^2+x。
解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。
例11：分解因式2x^2-8。
解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。
数学七年级：10道提公因式法分解因式常见经典考试真题，培优练习
数学七年级：10道提公因式法分解因式常见经典考试真题，培优练习因式分解是初中数学里的一个重点，在分式的约分化简，在解一元二次方程，在很多的计算化简题里，经常需要用到因式分解。
因式分解的技巧和方法很多。
歌谣口诀，一提，二套，三分组和十字交叉相乘。
一提，就是提公因式。
二套，就是套乘法公式。
由此可见，最基础的，最简单的，第一要用到的，就是提公因式法。
一个多项式的各项都含有的公共因式，叫做这个多项式的公因式。
公因式的系数是各项系数最大公约数，字母取各项相同的字母，且相同的字母取最低指数。
第1题，和第2题，这是两道最简单的提公因式法分解因式的题。
只要提取公因式就好。
但是这里有一点，必须强调，如果多项式的首项是负号，那么公因式也是负号。
也就是说，公因式的符号，跟着多项式的首项走。
比如第1题，首项是-6a²b，那么它的公因式就是-2ab。
也就是公因式的符号，同首项的负号。
第3题，第4题，这种公因式怎么提？公因式可以使单项式，也可以是多项式。
那么多项式的公因式又怎么找？记住两个关键点，各项中相同的和互为相反数的部分，都可以看做公因式。
相同的，自然不用说就是公因式。
互为相反数的，先提一个-1出来，那么就变成相同的因式了。
比如第3题，前面两项是（x+y-z）,第三项是（z-x-y），它们就是互为相反数。
把第三项提一个-1 出来，就可以了。
比如第4题，（2x-y）和（y-2x），也是互为相反数。
因为是这是偶数次方，所以，只需要把底数直接变成它的相反数，就好。
这两题，是非常常见的利用因式分解来简便运算的计算题。
第5题，不难，就是我们原来做的乘法的分配律的逆运算，提取公因数就好。
第6题，依然是提取公因数，但是难点就是，这个因式数是多少，所以第一步要先化成底数相同，然后再确定公因数。
这两题和第3，4题，是属于同一种类型。
第7题同学们认真看看，这个公因式的是怎么找的，就好。
第8题，是因式分解的题型，先把原式化简，不用解二元一次方程组了，整体代入就好，计算简单。
公因式的提取方法及常见题型
公因式的提取方法及常见题型因式分解概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++ƒ整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.例题：判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2+-=+-；⑷1(1)(1)x x x x+++=++xy x y x y（1）提取公因式：提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.1、ad bd d-+；2、233--+abc a b a b614123、324-+-4、61512a a a3222524-++261352xy z xy z x y z5、22224()x a x a x +-- 6、 346()12()m n n m -+-7、(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-8、2122()()()2()()n nnx y x z x y y x y z +----+--n 为正整数.（2） 公式法：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++1、44a b - 2、22()()a b c d a b c d +++--+-3、481y - 4、22122xy -+5、44+-- 6、81a x a x()()64x-47、22x y x y()4+-92416x xy y-+= 8、222229、22+-+-+-；m n n m n m n m(5)2(5)(3)(3)10、在实数范围内分解因式：42514--a a11、26a-+12、66-a b13、()()()()2432L212121211+++++14、23221111(1)(1)(1)(1)23410----L（3） 十字交叉法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解1、256x x ++ 2、256xx -+3、26x x -- 4、2672xx -+5、2121115x x -- 6、21220xx ++7、256-+x x x x-++ 8、261369、22-++ 10、2273320 xy y x2064--x x11、2212197x xy y-++- 12、22x y xy1442513、6336--14、4273019216x x y y+-x x15、2222+++++x a b c x a b c abcx a b c x abc()+++ 16、2()()（4）分组分解法将原式子进行分组，在利用提取公因式、公式和十字交叉法进行因式的分解。
(完整版)提公因式法分解因式典型例题
因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？2、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（ ）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A 、)(5b a m -与a b - B 、2)(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
因式分解提公因式法的做法步骤及例题
因式分解提公因式法的做法步骤及例题
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲因式分解提公因式法。
这可是数学里很重要的一招哦！
先来说说做法步骤吧。
你得像个小侦探一样，仔细瞅瞅式子，找到那个“公因数”。
这公因数就好比是一群式子里的老大，能把它们都统领起来。
找到它可不容易呢，得瞪大眼睛，用心去找。
找到公因数后，那就开始行动啦！把它提出来，就像把宝贝从一堆杂物里捡出来一样。
然后呢，剩下的部分就乖乖地待在那里啦。
咱举个例子哈，比如式子 4x + 8y，这里面 4 不就是公因数嘛！把 4 提出来，就变成了 4(x + 2y)，咋样，是不是挺神奇的呀！
再比如 3x² + 6x，公因数是 3x 呀，提出来后就是 3x(x + 2)。
你可别小瞧这提公因式法，它用处大着呢！就好像是一把钥匙，能打开很多难题的大门。
在做题的时候，咱得时刻保持清醒的头脑，别找错了公因数，那可就闹笑话啦！就好比你去参加派对，找错了舞伴，那多尴尬呀！
而且啊，这提公因式法还得多多练习，就像练功一样，只有练得多了，才能运用自如。
你想啊，要是你不练习，到时候要用的时候手忙脚乱的，那不就糟糕啦！
有时候，式子可能会复杂一点，但别怕，咱一步一步来，总能找到
那个公因数的。
就像爬山一样，虽然过程有点累，但到了山顶，那风
景可美啦！
大家要记住哦，因式分解提公因式法是数学里的好帮手，学会了它，很多难题都能迎刃而解啦！所以，别偷懒，多做做练习题，让自己的
数学本领越来越强！加油吧，朋友们！相信你们一定能掌握好这神奇
的提公因式法！。
公因式提取的方法
公因式提取的方法公因式提取是在多项式中提取一个共同的因子，这个因子是每个项都具有的，也就是公共的因子。
比如，对于式子3x+6，公因式就是3。
a ×b + a ×c = a × (b + c)其中，a就是公因式，b和c是多项式中的项。
公因式提取的步骤如下：步骤一：找到多项式中的公共因子。
首先，要找到多项式中所有项的公共因子。
比如，对于多项式12x^2+8x，公共因子为4x。
步骤二：将公共因子提取出来。
将公共因子提取出来，并用括号括起来。
对于上面的例子，公共因子4x可以提取出来，得到4x(3x+2)。
步骤三：化简。
咱们要化简公因式提取的结果，也就是将括号里面的内容再乘以公因式。
4x(3x+2)=4x×3x+4x×2=12x^2+8x化简后得到的结果应该与原多项式相同，这样才证明公因式提取的步骤正确。
1. 求多项式6x^2-12x的公因式。
因此，公共因子为6x。
6x( x -2)化简一下，得到原多项式。
6x^2-12x=6x(x-2)这个多项式中每个项都可以被4x整除。
因此，公共因子是4x。
提取公因式得到4x( x^2-2x+3)。
公因式提取可以帮助我们更方便地化简多项式，从而更容易地求解问题。
比如，在解方程或者求导数等问题中，公因式提取都是经常使用的技巧。
例如，在求解方程的过程中，我们经常需要将式子化为标准形式，这是公因式提取的重要应用。
在求导数的过程中，我们需要将多项式化为简单的形式，这也需要用到公因式提取。
总之，公因式提取是数学中一个极其重要的基础概念，我们需要仔细学习并且灵活运用。
4.2.1提取公因式法
要点归纳
提取公因式法： 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可
以把这个公因式提出来，从而将这个多项式化成两个 因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做提取公因 式法.
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
探究提公因式法步骤
把下列各式因式分解：
（1）3x+x³；
（2）7x³-21x²；
1. 当多项式第一项的系数是负数时，通常提出“-”号，使括号内第一
项的系数成为正数.在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
注
2. 当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号
意 内多项式的项数与原多项式的项数一致）
3.用整式乘法进行逆向检查，防止错误（将分解因式后的式子再进行
单项式与多项式相乘，看其积是否与原式相等
再见
2. 把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（ D ） A．﹣a（4a2﹣4a+16） B．a（﹣4a2+4a﹣16） C．﹣4（a3﹣a2+4a） D．﹣4a（a2﹣a+4）
课后作业
3. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（ A ）
A．﹣15
B．15 C．2
D．﹣8 解析：因为ab=﹣3，a﹣2b=5，
课堂小结因式Biblioteka 分解提公因式法 （单项式）
确定公因式的方法： 三定，即定系数；定字母；定指数
分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
课堂笔记
公因式的定义：
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
提取公因式法解题技巧
提取公因式法解题技巧一、什么是提取公因式法提取公因式法呢，就是把多项式各项中的公因式提出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。
比如说啊，对于多项式ab + ac，这里面a就是公因式，提出来就变成a(b + c)啦。
这就像是把一群小伙伴里共同的特点找出来，然后把他们按照这个特点重新分组一样，是不是很有趣呢？二、找公因式的小窍门1. 系数先看系数部分哦。
系数就是多项式里每一项前面的数字啦。
我们要找这些数字的最大公因数。
比如说在6x²+9x这个多项式里，6和9的最大公因数是3，这个3就是我们要找的系数部分的公因式啦。
2. 字母再看字母部分。
要找各项里相同的字母。
像在3xy + 6x²y这个式子中，x和y是两项都有的字母。
而且呢，对于字母的次数，我们要取最低次幂。
这里x的最低次幂是1次，y的最低次幂也是1次，所以xy就是字母部分的公因式。
3. 综合起来把系数和字母部分综合起来，像刚刚那个3xy + 6x²y，系数的公因式是3，字母的公因式是xy，那整个式子的公因式就是3xy 啦。
三、提取公因式法的解题步骤1. 先确定公因式按照前面找公因式的小窍门，准确地找出公因式。
就像侦探找线索一样，要仔细认真，不能错过任何细节哦。
2. 提取公因式把公因式提出来后，用原多项式除以公因式得到另一个因式。
例如对于多项式4x³ - 8x²，公因式是4x²，提出来后就变成4x²(x - 2)。
3. 检查结果提完公因式后，最好检查一下。
可以把提出来的公因式和剩下的因式相乘，看看是不是能得到原来的多项式。
这就像是做完数学题后检查答案一样重要呢。
四、提取公因式法的一些特殊情况1. 首项为负如果多项式的首项是负的，我们可以先把负号提出来。
比如 -x²+2x，我们可以先把 -1提出来，变成-(x² - 2x)，然后再按照正常的提取公因式法继续做。
提取公因式
提取公因式公因式是多项式中可以提取出来的一个公共因子。
在多项式的因式分解、化简和求导等计算中，提取公因式是一个常用的方法。
一.基本概念多项式是由一系列代数符号及其系数运算所得到的式子。
每一项由一个常数和一个字母的幂组成。
例如，多项式3x^2−5xy+2y^2中的每一项都是一个单项式。
二.公因式的定义给定一个多项式表达式，如果存在一个公共因子，即该多项式中的所有项都可以被这个公共因子整除，那么这个公共因子就是该多项式的一个公因式。
例如，对于多项式6x^2y+9xy^2，公因式6xy即可整除多项式中的每一项，因此6xy是这个多项式的一个公因式。
三.提取公因式的步骤提取公因式的步骤如下：1. 将多项式中的每一项拆分成其因子的乘积形式。
2. 找出所有项中的公共因子。
3. 将这个公共因子提取出来，作为提取公因式的结果。
例如，对于多项式3x^2+6xy，首先将每一项拆分为其因子的乘积形式：3x^2=x*x*3，6xy=2*3*x*y。
然后找出这两个项中的公共因子3x，将其提取出来，得到3x(x+2y)。
四.整数的公因式对于整数的公因式提取，只需要找出这些整数的所有约数，并找出它们的最大公约数作为公因式即可。
五.多项式的公因式提取方法对于多项式的公因式提取，可以借助算法来进行。
一种常见的方法是使用因式分解方法。
通过观察多项式中的每一项，找出其中的公因子，然后进行提取。
六.示例例如，对于多项式6x^2y+9xy^2，我们可以观察到每一项都包含因子3xy。
因此，我们可以将3xy提取出来，得到3xy(2xy+3y)作为提取公因式的结果。
七.提取公因式的应用提取公因式是代数中一个非常有用且常见的技巧。
它可以在因式分解、整理和化简等计算中起到简化计算和找出规律的作用。
通过提取公因式，可以将复杂的多项式化简为更简单的形式，从而更方便地进行进一步的计算和分析。
八.总结提取公因式是多项式运算中常见的一种技巧，可应用于因式分解、化简和求导等计算中。
公因式知识点总结
公因式知识点总结一、定义公因式是指两个或多个多项式中公有的因式，可以被每一个多项式整除的因式。
比如，对于多项式2x^2+4x，我们可以分解因式2x(x+2)，其中2x是公因式。
二、求公因式的方法1. 求出每个多项式的所有因式；2. 找出所有多项式中的公有因式。
例如，对于两个多项式4x^2-9和12x^2-27，首先分解因式得到：4x^2-9 = (2x+3)(2x-3)12x^2-27 = 3(2x+3)(2x-3)然后我们可以发现两个多项式中都有因式2x+3和2x-3，因此这两个因式就是两个多项式的公因式。
三、公因式与最大公因式最大公因式是指两个或多个多项式中所有公因式中次数最高的那个因式，也就是说最大公因式不仅是公因式，而且是所有公因式中次数最高的那个。
比如，对于两个多项式3x^2+6x和9x^3-12x^2，我们可以分解因式得到：3x^2+6x = 3x(x+2)9x^3-12x^2 = 3x^2(3x-4)其中，两个多项式的公因式为3x，而最大公因式为3x^2。
四、公因式的运用1. 整理多项式当我们将多项式进行因式分解时，公因式可以帮助我们把多项式进行合并和简化，从而更容易求解或进行其他运算。
比如，对于多项式6x^2+12x+18和9x^2-36，我们可以发现这两个多项式的公因式为3，因此可以将公因式提出来，得到：6x^2+12x+18 = 3(2x^2+4x+6)9x^2-36 = 3(3x^2-12)2. 求多项式的最大公因式在求解多项式的最大公因式时，公因式的概念非常重要。
因为只有找到了所有公因式，才能确定最大公因式。
比如，对于多项式12x^2+20x+8和16x^2-24x-8，我们可以展开因式分解，得到：12x^2+20x+8 = 4(3x^2+5x+2)16x^2-24x-8 = 4(4x^2-6x-2)这里我们发现两个多项式的公因式为4，而最大公因式为4(3x^2+5x+2)。
因式分解-提公因式与公式法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第04讲因式分解综合1.使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．2.了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．7.能说出平方差公式，完全平方公式的特点．3.能熟练地掌握应用平方差公式和完全平方公式分解因式．4.理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．5.在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．6.在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察，比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式，可以提高学生的综合运用知识的能力，进一步体验“整体”思想和“换元”思想知识点1：因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．知识点2：公因式像多项式pa+ pb+pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因式注意：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；知识点3：提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．知识点4：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2知识点5：提公因式与公式法综合（1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（2）公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）知识点5：十字相乘法1.x²+ (p+q)x+pq=（x+p）（x+q）2.在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1⨯a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1⨯c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)．【题型1因式分解的定义】【典例1】（2023秋•海门市校级月考）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3D．a2+1＝（a+1）（a﹣1）【变式1-1】（2023春•玄武区期中）下列各式从左到右不属于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【题型2公因式】【典例2-1】（2023春•榆阳区期末）多项式6a2b﹣3ab2的公因式是．【典例2-2】（2023春•大竹县校级期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是．【变式2-1】（2023春•礼泉县期中）多项式．4ab2+8a2b的公因式是．【变式2-2】（2023春•巴州区月考）多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是．【变式2-3】（2023春•开江县校级期末）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是．【题型3提公因式】【典例3】（2022秋•白云区期末）分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【变式3-1】（2023春•常德期中）因式分解（1）x2﹣4x；（2）8y3﹣2x2y．【变式2-2】（2022秋•番禺区校级期末）因式分解：（1）8abc﹣2bc2；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．【变式3-3】（2022春•源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．【题型4因式分解-平方差】【典例4】（2023•云南）分解因式：x2﹣4＝．【变式4-1】（2023•武威一模）因式分解：a2﹣169＝．【变式4-2】（2022秋•洞口县期末）因式分解：4a2﹣b2＝．【变式4-3】（2023春•东源县期末）把多项式a2﹣9b2分解因式结果是．【题型5因式分解-完全平方】【典例5】（2023•通榆县三模）分解因式：a2+8a+16＝．【变式5-1】（2023春•亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝．【变式5-2】（2023•前郭县四模）分解因式：a2﹣6a+9＝．【题型6提公因式与公式法综合】【典例6】（2023春•海曙区期中）分解因式（1）x2y﹣y；（2）ax2﹣6ax+9a．【变式6-1】（2023春•娄星区校级期中）因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）8a2﹣16ab+8b2．【变式6-2】（2022秋•武汉期末）因式分解：（1）2x3y﹣2xy3；（2）﹣a3+2a2﹣a．【变式6-3】（2023•肃州区校级开学）分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）2mx2+4mxy+2my2．【变式6-4】（2022秋•兴城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【题型7十字相乘法】【典例7】（2023春•银海区期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．a1c2+a2c1＝b．例如：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．求：（1）x2﹣x﹣6；（2）3x2+5x﹣12．【变式7-1】（2023春•岳阳期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如图）．第一步：二次项2x2＝x•2x；第二步：常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），画“十字图”验算“交叉相乘之和”；第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：（1）将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝；（2）若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值．【变式7-2】（2023春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．【变式7-3】（2022秋•沙洋县校级期末）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．（1）填空：式子x2+7x+10的常数项10＝×，一次项系数7＝+，分解因式x2+7x+10＝．（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．1．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（）A．ax2﹣a＝a（x2﹣1）B．m3+m＝m（m2+1）C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）3．（2023•台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（）A．x﹣3B．x﹣4C．x﹣6D．x﹣9 4．（2023•内蒙古）分解因式：x3﹣4x＝．5．（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝．6．（2023•眉山）分解因式：x3﹣4x2+4x＝．7．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：．．8．（2023•哈尔滨）把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是．9．（2023•株洲）因式分解：x2﹣2x+1＝．10．（2023•金昌）因式分解：ax2﹣2ax+a＝．11．（2023•赤峰）分解因式：x3﹣9x＝．1．（2023春•渭滨区期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4y2＝（x﹣2y）2D．x2+2x+1＝（x+1）2 2．（2023春•尤溪县期末）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．a2+a+D．﹣a2+b2﹣2ab 3．（2022秋•江夏区期末）把多项式8a3b2+12ab3c因式分解时，应提取的公因式是（）A．4ab B．4ab2c C．4ab2D．8ab2 4．（2023•衡山县二模）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（）A．6B．﹣6C．1D．﹣1 5．（2023春•富川县期末）多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（）A．3a2b2B．﹣15a3b3C．3a2b2c D．﹣12a2b2c 6．（2023春•宣汉县校级期末）把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（）A．m＝﹣14，n＝7B．m＝14，n＝﹣7C．m＝14，n＝7D．m＝﹣14，n＝﹣77．（2023春•新昌县期末）已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（）A．﹣6B．3C．6D．±6 8．（2023春•安乡县期末）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2 9．（2023•沈河区模拟）因式分解：﹣4y2+4y＝．10．（2023春•临漳县期末）仔细观察下图，各块图形面积之和为a2+3ab+2b2，则因式分解a2+3ab+2b2＝．11．（2023春•中宁县期末）分解因式：2a（x﹣y）﹣（x﹣y）＝．12．（2022秋•荔湾区期末）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．13．（2023春•渠县校级期末）分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）14．（2023春•单县期末）因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）15．（2022秋•嘉峪关期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．16．（2023春•长春期末）如图，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积（π取3.14）．17．（2023春•台儿庄区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得．故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．仿照上面的方法解答下面问题：已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．。
提公因式法_提公因式法20道例题
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．
公因式法．
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式 4ab2．
定义：一般地，假如多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．
括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做
正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区分和联系．
(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn
教学过程设计：
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(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．
(2)a(a-b)＝a2-ab (×)
再请学生观看它们有什么共同的特点？
逆变形，便得到多项式 ma+mb+mc 的因式分解形式
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ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
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这说明，多项式 ma+mb+mc 各项都含有的公因式可以提到括号外面，
例 3 把 8a3b2-12ab3c 分解因式．
将多项式 ma+mb+mc 写成 m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提
＝x(3x-6y+1)．
(5)12xyz-9x2y2 (3xy)
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与 1 的乘
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提公因式的一堆技巧，总有一款适合你！
提公因式的一堆技巧，总有一款适合你！心态指导|学习方法| 家教知识 | 学习资料因式分解一直是初中数学的一个难点，稍微复杂的题目，就会有同学不知道怎样下手. 在因式分解中，第一步就是考虑提公因式，这一步也常常是一个难点，许多同学找不到公因式或者是找不全公因式. 小编现在把常见的提公因式的方法列举出来，供大家学习时参考.一、先排序先观察一个式子的字母顺序是否正常，多项式各项字母应当按26个字母的顺序排列，具体情况是：1、不同的字母，按它们在字母表中的顺序排列.如：-b+a+c，要重新排成：a-b+c.2、同一个字母，要按次数的高低排序，从高到低排.如：a-a²+a³，要重新排成：a³-a²+a.3、综合排序.如果一个式子里既有不同的字母，同一字母又有不同的次数，则先按字母顺序排，再按次数顺序排.如：ab²-a²b+b +a，要重新排成：-a²b+ab²+a+b.这里，先按a的次数从高到低排有a的项，所以-a²b要排在ab²前面，a要排在b前面；排好后，按b的次数高低排有b的项，所以ab²排在a前面.4、单独的数字排在最后.因为数字里面没有字母，相当于是字母的0次方，所以应当排到最后.如: x²+2x+3.这里的3可以看作是3x0=3×1=3.所以这个式子本质上是：x²+2x1+3 x0.5、排序异常即题眼.一般的多项式，字母的顺序都是出题人排好的，基本不用重排.如果你发现有哪个地方，字母的顺序颠倒了，这个地方的式子一般就要被提出来.例1 分解因式：(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).你会发现，第二项有个（b-a），这个式子的顺序异常，被提出来的可能性极大. 现在我们重新排一下字母顺序：解：原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y).你会发现，两个式子中都有a-b，这个式子恰好就是要提出来的因式. 继续往下做就是：解：原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)=(a-b)[(x-y)+(x+y)]=2x(a-b).（注意最后结果里书写的顺序，在同一项里，数字、字母、式子按从左到右的顺序写.）二、排序之后找负号如果提公式时，第一项有负号，就要先把负号提出来.分解因式的特点是，提完公因式以后，如果再继续分解，就要用到乘法公式.而乘法公式的第一项系数都是正的，所以，为了使得后面用到乘法公式时，容易看出来，并且容易分解，我们第一步就是先把第一项的负号给提出来.例2 分解因式﹣y2+6y﹣9 .解：原式=-( y2-6y+9)=-(y-3)².三、提完负号找公因式找公因式的方法是：先找数字，再找字母，最后找式子.1、先找数字.各项系数绝对值的最大公因数就是要提出来的数字.例3 分解因式18x²-36xy+12y.这三项的系数分别为：18、-36、12 ,我们找18、36、12三个数的最大公因数，为6.所以有：解：原式=6(3x²-6xy+2y).2、再找字母.找到各项都有的字母，这些字母中，次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后，每一项对应字母的次数都要相应的降低.例4 分解因式a²b²-3ab²c+ab³.这里面，字母a和b都在各项里出现了，所以这两个字母都要提出来.其中跟a有关的是：a²、a、a，所以提出来a；跟b有关的是b²、b²、b³，所以提出来b².所以有：解：原式=ab²(a-3c+b).3、最后找式子.（1）找到各项都有的式子，这些式子中，次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后，每一项对应式子的次数都要相应的降低.例5 分解因式 (x﹣y)2+5x(x﹣y).这里面都有x-y，而且相应的式子为：(x-y)²、x-y，所以应当提出来x-y.解：原式= (x-y)[ (x-y) -5x]=(x-y)(-4x –y).（2）只有一个式子，另一个式子在哪儿？1°式子中有什么字母和数字，就在式子外找对应的字母和数字，然后给它们加上括号.例6 分解因式 2(a-3)²-a+3.这儿就发现一个式子a-3，而且还在平方里面，要想分解因式，需要找到另外一个a-3.观察这个式子，后面有-a+3，给这儿加括号，一种是把a前面的负号放在括号里面，变成(-a+3)，这个不行；另一种是把a前面的负号放在括号外面，变成-(a-3)，我们会发现，此时a-3出现了.解：原式=2(a-3)² -(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-1]=( a-3)(2a-6-1)=( a-3)(2a-7).2°直接找不到，先找到含有对应字母和数字的项，局部提公因式后再观察.例7 分解因式 2(a-3)²-ab+3b.这儿，后面两项可以提公因式 . 先提公因式，再找相应的式子.解：原式=2(a-3)² -b(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-b]=( a-3)(2a-b -6).四、某项提净用1占位例8 分解因式a²+ab²+a.这个式子的第三项是a，把a提出来后，我们会发现这一项没有了. 此时我们用1来占位.原因是，a相当于1·a，其实它有个系数1.所以有：解：原式=a(a+b²+1).现在我们来看两个综合点的例题. 例9 ﹣3xy2+18xy﹣27x.解：原式=-(3xy2-18xy+27x) =-3(xy2-6xy+9x)=-3x(y2-6y+9)=-3x(y-3)².例10 9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x).解：原式=9a2(x﹣y)-4b2(x﹣y) =(x-y)( 9a2-4b2)=(x-y)( 3a+2b)(3a-2b).。
因式分解-提取公因式法课件
根据上面的分析，你能把这个多项式 分解因式吗？不妨试一试! 解： 8a3b2+12ab3c
= 4ab2 •2a2+4ab2 •3bc =4ab2（2a2+3bc）
如果提取的公因式是 4ab,另一个因式是否 还有公因式？
通过学习，你能总结出找公因式的 方法吗？ 我们把找公因式的方法归纳为三看：
一看系数 二看字母 三看指数
因式分解
二、探究
1、你能把下面的式子写成几个整式积
的形式吗？
X2+x=__x_(x_+_1_)_
x2-1=(_x_+_1_)_(x_-_1_)
2、你是怎么想到的？与同学交流一下， 看看你的想法和同学想的是不是一样？
3、成果交流
利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积 化成一个多项式，反过来，也可以把一个多项式 写成几个整式的积的形式。
怎样提取公因式？提取公因式后的另 一个因式是什么？ 由整式乘法可得p(a+b+c)= pa+pb+pc 反过来就有pa+pb+pc = p(a+b+c），这样，
就把pa+pb+pc分解成了两个因式的积，其中一
个是公因式p，另一因式是pa+pb+pc除以公 因式p所得的商a+b+c。
（3）提取公因式法 根据上面的例子，你能说出怎样提 取公因式吗？
指出下列各式中的公因式 （1） 8x+64____8_____ （2） 2ab2+ 4abc___2_a_b___ （3） m2n3 -3n2m3__m__2_n_2__ （4） a3b-2a2b2+ab3__a_b______ （5）ab2(x+y)2-a2b(x+y)3 _a_b_(_x_+_y_)2__
因式分解之提公因式法-初中数学专项复习
因式分解之提公因式法
【高频考点精讲】
1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2．具体方法
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，字母的指数应取次数最低的。
取相同的多项式，多项式的次数应取最低的。
（2）如果多项式的第一项为负，一般要提出“﹣”，使括号内第一项的系数为正，提出“﹣”时，多项式的各项都要变号。
【热点题型】
1．把多项式a2+2a分解因式得（）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）解：a2+2a＝a（a+2）．
答案：A．
2．将多项式（a﹣1）2﹣a+1因式分解，结果正确的是（）
A．a﹣1B．（a﹣1）（a﹣2）C．（a﹣1）2D．（a+1）（a﹣1）解：（a﹣1）2﹣a+1
＝（a﹣1）2﹣（a﹣1）
＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）
＝（a﹣1）（a﹣2）．
答案：B．
3．分解因式：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
答案：3a（a﹣7b）．
4．如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是30．
解：根据题意得：2（m+n）＝10，mn＝6，
整理得：m+n＝5，mn＝6，
则原式＝mn（m+n）＝6×5＝30．答案：30。
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因式分解
概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式
分解，也可称为将这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法互为逆变形：
()
m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解
式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式
因式分解的常用方法：
提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法.
分解因式的一般步骤：
如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式、十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.
注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数围不能再分解为止；
②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；
④相同的因式的积要写成幂的形式.
在分解因式时，结果的形式要求：
①没有大括号和中括号；
②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要
注意能否再分解；
③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.
例题：
判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.
⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+
⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++
（1） 提取公因式：
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.
1、ad bd d -+；
2、23361412abc a b a b --+
3、32461512a a a -+-
4、3222524261352xy z xy z x y z -++
5、22224()x a x a x +--
6、 346()12()m n n m -+-
7、(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-
8、2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--n 为正整数.
（2） 公式法：
平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+
2222()a ab b a b -+=-
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.
需要了解的公式：
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++
1、44a b -
2、22()()a b c d a b c d +++--+-
3、481y -
4、22122
x y -+
5、44()()a x a x +--
6、81644
x -
7、2292416x xy y -+= 8、22222()4x y x y +-
9、22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；
10、在实数围分解因式：42514a a --
11、26a -+
12、66a b -
13、()()()()2432
2121212
11+++++
14、232
2
1111
(1)(1)(1)(1)23410----
（3） 十字交叉法：
一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成
1
2
a a 1
2
c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++
若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数围分解
1、256x x ++
2、256x x -+
3、26x x --
4、2672x x -+
5、2121115x x --
6、21220x x ++
7、256x x -++ 8、26136x x -+
9、222064xy y x -++ 10、2273320x x --
11、2214425x y xy +- 12、2212197x xy y -+
13、633619216x x y y -- 14、42730x x +-
15、2222()abcx a b c x abc +++ 16、2()()x a b c x a b c +++++
（4）分组分解法
将原式子进行分组，在利用提取公因式、公式和十字交叉法进行因式的分解。
1、2244241a ab b a b ++--+
2、()()()3
2
3
2332125x y x y x y -+---
3、22224946a b c d ac bd -+-++
（5）换元分解
将某些部分看成一个整体，利用三个基本方法进行分解。
1、2()4()12x y x y +-+-；
2、222()14()24x x x x +-++
3、2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++
4、22222()4x y x y +-
5、2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++
6、2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-
7、2222()4()4()m n m n m n +--+-； 8、22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；
9、222()4()4x x x x +-++； 10、()()2
22248416x x x x ++++
11、22222(91)36a b a b +-- 12、22229()6()()a b a b a b ++-+-
其他题型：
1、如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )
A ．a 是b 的相反数
B ．a 是b -的相反数
C ．a 是b 的倒数
D ．a 是b -的倒数 2、9621-有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数．
3、如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )
A. 等边三角形．
B. 直角三角形．
C. 钝角三角形．
D. 形状不确定． 4、如果2249x axy y ++是完全平方式，试求a 的值.
5、已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y +=___________.
6、若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分
类，应是什么三角形？
7、若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．
A.大于零
B.小于零 C 大于或等于零 D ．小于或等于零 8、两个连续奇数的平方差能被8整除。