密码学数学基础第十一讲有限域
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定理2：对任意素数p和任意正整数n，一定存在 一个含有pn个元素的有限域。
定理3：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设p 是一个素数，Zp={0，1，2，…，p－1},设f(x)是 Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn，其中 n≥2是一个整数，则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若 |Fq|=p，则Fq与Zp同构。
的群称为有限域的乘法群。
命题1：设Fq是一个含有q个元素的有限域， Fq*=Fq\{0}，则Fq的乘法群Fq*是一个循环群。
定义2：设Fq是一个有限域，Fq*=Fq\{0}，Fq* 的生成元称为Fq的本原元。
命题2：设Fq是一个含有q个元素的有限域，则 Fq中共有(q－1)个本原元。
例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。 解：2和3是F5的本原元。
将阶为pn的有限域记作GF(pn)，称之为pn阶的 Galois域。
4．利用不可约多项式构造有限域
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数。令f(x)是域Zp 上一个n次不可约多项式，则Zp[x]/(f(x))是域，
Zp[x]/(f(x))={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))|aiZp}。
例3：把a0＋a1x＋(x2＋x＋1)简记为a0＋a1x， 则Z2[x]/(x2＋x＋1)的加法和乘法的运算表简化 如下：
＋ 0 1 x x＋1
0 0 1 x x＋1
1 1 0 x＋1 x
x x
x＋1 0 1
x＋1 x＋1
x 1 0
·0
0
0
1
0
x
0
x＋1 0
1 0 1 x x＋1
x 0
x x＋1
1
域Zp[x]/(f(x))共包含pn个元素。 把a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))简记为：
a0＋a1x＋…＋an－1xn－1。
记GF(pn)[x] = Zp[x]/(f(x))，
则GF(pn)[x]={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp}， 其系数的加法和乘法遵从模p的加法和乘法， 多项式的加法和乘法遵从模f(x)的加法和乘法。
1＋x是GF(32)的本原元。
练习：找出其它所有本原元。
三．密码学上的简单应用
1．GF(2n )与Z2n的乘法比较
设f(x)是域Z2上一个n次不可约多项式， 则GF(2n)[x]=Z2[x]/(f(x)) ={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZ2}。
例5：设f(x)=x3＋x＋1为一个3次不可约多项 式，则GF(23)[x]={0，1，x，x＋1，x2，x2＋1， x2＋x，x2＋x＋1}。
非零元素 1 2 3 4 5 6 7 在Z8中的出现次数 4 8 4 12 4 8 4
在GF(23)中的出现次 7 7 7 7 7 7 7
若x为GF(23)的一个本原元，则 GF(23)[x]={0，1，x，x2，x3，x4，x5，x6}。
若记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x ＋1=011=3，x2=100=4，x2＋1=101=5， x2＋x=110=6，x2＋x＋1=111=7；
则GF(23)[x]= Z2[x]/(x3＋x＋1)乘法表如下：
·1 2 3 4 5 6 7 11234567 22463175 33657412 44376251 55142736 66715324 77521643
Z8={0，1，2，…，7}乘法表
·1 2 3 4 5 6 7 11234567 22460246 33614725 44040404 55274163 66420642 77654321
例4：已知x2＋1是Z3上的不可约多项式，利用 该不可约多项式构造一个9阶有限域GF(32)[x]， 写出GF(32)[x]的9个元素，并判断1＋x是否为 GF(32)的本原元。
解：GF(32)[x]=Z3[x]/(x2＋1) ={a0＋a1x|a0，a1Z3}={0，1，2，x，1＋x， 2＋x，2x，1＋2x，2＋2x}。
GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数， 设f(x)是域Zp上一个n次不可约多项式。
GF(pn)=Zp[x]/(f(x))的两种表示方法：
（1）GF(pn)={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp， i=0，1，…，n－1}。
（2）设q=pn，是GF(q)的一个本原元，则 GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
例2：求模14的原根。
解：3和11是模14的原根。
2. 域的同构
命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个与 有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个与 Z/（p）同构的子域。
3．有限域的结构
定理1：设F是一个特征为p的有限域，则F的元素 个数一定为p的一个幂pn，n≥1。
命题4：设Fq是一个含有q个元素的有限域，对任 意正整数n，Fq上的n次不可约多项式一定存在。
域F的特征或是零，或是素数。
只含有限个元素的域称为有限域。 有限域的元素个数称为有限域的阶。 每个特征为零的域都是无限域。 有限域的特征一定是素数。 在特征是素数p的域F中，下列等式成立： (a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，a，bF。
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成
Βιβλιοθήκη Baidu
x＋1 0
x＋1 1 x
5．有限域的表示
将GF(pn)[x]=Zp[x]/(f(x))简记为GF(pn)。 设p为素数，q=pn，GF(q)*是GF(q)中非零元 的集合，则（GF(q)*，·）是q－1阶循环群。
设是GF(q)的本原元，即是GF(q)*的生成元， 则GF(q)*={，2，…，q－2，q－1=1}。
本讲内容
一．域的特征 二．有限域的结构 三．密码学上的简单应用
一．域的特征
若R是无零因子环，则其加群中所有非零元的 阶相同，或是无限，或是一个素数。
设R是无零因子环，当其加群中所有非零元的阶 无限时，chR=0；当此阶为素数p时，chR=p。
定义1：设F是域，1是F的单位元，若1在(F，＋) 的阶数为无穷大，则称F的特征为0；若1在(F，＋) 的阶数为素数p，则称F的特征为p。
定理3：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设p 是一个素数，Zp={0，1，2，…，p－1},设f(x)是 Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn，其中 n≥2是一个整数，则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若 |Fq|=p，则Fq与Zp同构。
的群称为有限域的乘法群。
命题1：设Fq是一个含有q个元素的有限域， Fq*=Fq\{0}，则Fq的乘法群Fq*是一个循环群。
定义2：设Fq是一个有限域，Fq*=Fq\{0}，Fq* 的生成元称为Fq的本原元。
命题2：设Fq是一个含有q个元素的有限域，则 Fq中共有(q－1)个本原元。
例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。 解：2和3是F5的本原元。
将阶为pn的有限域记作GF(pn)，称之为pn阶的 Galois域。
4．利用不可约多项式构造有限域
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数。令f(x)是域Zp 上一个n次不可约多项式，则Zp[x]/(f(x))是域，
Zp[x]/(f(x))={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))|aiZp}。
例3：把a0＋a1x＋(x2＋x＋1)简记为a0＋a1x， 则Z2[x]/(x2＋x＋1)的加法和乘法的运算表简化 如下：
＋ 0 1 x x＋1
0 0 1 x x＋1
1 1 0 x＋1 x
x x
x＋1 0 1
x＋1 x＋1
x 1 0
·0
0
0
1
0
x
0
x＋1 0
1 0 1 x x＋1
x 0
x x＋1
1
域Zp[x]/(f(x))共包含pn个元素。 把a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))简记为：
a0＋a1x＋…＋an－1xn－1。
记GF(pn)[x] = Zp[x]/(f(x))，
则GF(pn)[x]={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp}， 其系数的加法和乘法遵从模p的加法和乘法， 多项式的加法和乘法遵从模f(x)的加法和乘法。
1＋x是GF(32)的本原元。
练习：找出其它所有本原元。
三．密码学上的简单应用
1．GF(2n )与Z2n的乘法比较
设f(x)是域Z2上一个n次不可约多项式， 则GF(2n)[x]=Z2[x]/(f(x)) ={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZ2}。
例5：设f(x)=x3＋x＋1为一个3次不可约多项 式，则GF(23)[x]={0，1，x，x＋1，x2，x2＋1， x2＋x，x2＋x＋1}。
非零元素 1 2 3 4 5 6 7 在Z8中的出现次数 4 8 4 12 4 8 4
在GF(23)中的出现次 7 7 7 7 7 7 7
若x为GF(23)的一个本原元，则 GF(23)[x]={0，1，x，x2，x3，x4，x5，x6}。
若记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x ＋1=011=3，x2=100=4，x2＋1=101=5， x2＋x=110=6，x2＋x＋1=111=7；
则GF(23)[x]= Z2[x]/(x3＋x＋1)乘法表如下：
·1 2 3 4 5 6 7 11234567 22463175 33657412 44376251 55142736 66715324 77521643
Z8={0，1，2，…，7}乘法表
·1 2 3 4 5 6 7 11234567 22460246 33614725 44040404 55274163 66420642 77654321
例4：已知x2＋1是Z3上的不可约多项式，利用 该不可约多项式构造一个9阶有限域GF(32)[x]， 写出GF(32)[x]的9个元素，并判断1＋x是否为 GF(32)的本原元。
解：GF(32)[x]=Z3[x]/(x2＋1) ={a0＋a1x|a0，a1Z3}={0，1，2，x，1＋x， 2＋x，2x，1＋2x，2＋2x}。
GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
设p是任意给定的一个素数，n是任一正整数， 设f(x)是域Zp上一个n次不可约多项式。
GF(pn)=Zp[x]/(f(x))的两种表示方法：
（1）GF(pn)={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|aiZp， i=0，1，…，n－1}。
（2）设q=pn，是GF(q)的一个本原元，则 GF(q)={0，1，，2，…，q－2}。
例2：求模14的原根。
解：3和11是模14的原根。
2. 域的同构
命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个与 有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个与 Z/（p）同构的子域。
3．有限域的结构
定理1：设F是一个特征为p的有限域，则F的元素 个数一定为p的一个幂pn，n≥1。
命题4：设Fq是一个含有q个元素的有限域，对任 意正整数n，Fq上的n次不可约多项式一定存在。
域F的特征或是零，或是素数。
只含有限个元素的域称为有限域。 有限域的元素个数称为有限域的阶。 每个特征为零的域都是无限域。 有限域的特征一定是素数。 在特征是素数p的域F中，下列等式成立： (a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，a，bF。
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成
Βιβλιοθήκη Baidu
x＋1 0
x＋1 1 x
5．有限域的表示
将GF(pn)[x]=Zp[x]/(f(x))简记为GF(pn)。 设p为素数，q=pn，GF(q)*是GF(q)中非零元 的集合，则（GF(q)*，·）是q－1阶循环群。
设是GF(q)的本原元，即是GF(q)*的生成元， 则GF(q)*={，2，…，q－2，q－1=1}。
本讲内容
一．域的特征 二．有限域的结构 三．密码学上的简单应用
一．域的特征
若R是无零因子环，则其加群中所有非零元的 阶相同，或是无限，或是一个素数。
设R是无零因子环，当其加群中所有非零元的阶 无限时，chR=0；当此阶为素数p时，chR=p。
定义1：设F是域，1是F的单位元，若1在(F，＋) 的阶数为无穷大，则称F的特征为0；若1在(F，＋) 的阶数为素数p，则称F的特征为p。