江西理工大学大学数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案

[][][]0010012001,,()()n n f x x x x x x -+--

2007-2008-2数值分析A 参考答案

一． 填空(每空3分，共30分)

1. 截断误差

2. )2(--x x ，

2

)1(-x x ， 10 3. 1

4.)

(2)

(21

k k k k k k x f x x f x x x '---

=+ 5. 6，5，26

，9

二． 计算

1. 构造重节点的差商表：

所以，要求的Newton 插值为：

3()5(1)2(1)(2)(1)(2)(3)N x x x x x x x =--+--+---

3243x x =-+

插值余项是：2()

()(1)(2)3!

f R x x x ξ'''=

--

或：()[,1,2,3,4](1)(2)(3)(4)R x f x x x x x =----

2.（1）解：()1f x =时，左1

0()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=

()f x x =时，左1

01()2f x dx ==

⎰，右01B A =+，左＝右得：011

2

B A += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：11

3A =

联立上述三个方程，解得：

001211

,,363

A B A ===

3

()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113

A ==，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是2

（2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：

'212021

2000

10(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰

其求积余项为：

1

'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰

11

2

20

1()()!

))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰

⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72

f ζ'''=-

所以，172

k =-

3.解：改进的Euler 公式是：

1111(,)[(,)(,)]2

n n n n n n n n n n y y hf x y h

y y f x y f x y ++++=+⎧⎪

⎨=++⎪⎩

具体到本题中，求解的公式是：

11110.2(32) 1.40.60.1[3232](0)1n n n n n n n n n n n n y y x y y x y y x y x y y ++++=++=+⎧⎪

=++++⎨⎪=⎩

代入求解得：1 1.4y =,1 1.54y =

222.276, 2.4832y y ==

4．解：设3()25,f x x x =+-则2()32,f x x '=+ 牛顿迭代公式为：1()

()

k k k k f x x x f x +=-'

32

25

32

k k k k x x x x +-=-+ 32

25

32

k k x x +=+

将0 1.5x =代入上式，得

1 1.34286x =，

2 1.37012x =，

3 1.32920x =,

4 1.32827x =,

5 1.32826x =

4540.0000110x x --=<

所以，方程的近似根

5 1.32826x =

5．解，Jacobi 迭代公式是：

1123121

1131521333324k k k k k k k x x x x x x x ++++⎧=--⎪⎪

⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩

Gauss-Seidel 迭代公式是：

11231121

1131521333324k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=--⎪⎪

⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩

(2) 设其系数矩阵是A ，将A 分解为：A D L U =--，其中

300020001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000021200,000100000L U --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

Jacobi 迭代矩阵是：

11

03

0211()0

020********J B D L U -⎛⎫

--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=-

⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝

⎭

21033100100--⎛⎫

⎪ ⎪=- ⎪- ⎪⎝⎭

Gauss-Seidel 迭代矩阵是：

1

1300021()220000101000J B D L U ----⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

20002112300006206000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭

021********--⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

二． 证明