知识点一 导数与函数的单调性

1.函数的单调性：在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.
注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.
2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．
一般地，当函数 ()y f x = 在点0x 处连续时，判断0()
f x 是极大（小）值的方法是：
（1）如果在0x 附近的左侧'()0f x > ，右侧'()0f x <，那么0()
f x 是极大值． （2）如果在
x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值．
注：导数为0的点不一定是极值点
知识点一：导数与函数的单调性
方法归纳：
在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数. 注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件.
例1】（B 类）已知函数3
2
()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y
=的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数
()f x 在区间[,]a b 上递减可得：'()0f x ≤.
【例2】（A 类）若3
()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.
【解题思路】利用函数()f x 在区间[,]a b 上递增可得：'()0f x ≥；函数()f x 在区间[,]a b 上递减可得：
'()0f x ≤.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解
【例3】（B 类）已知函数()ln f x x =,()(0)a
g x a x
=
>,设()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；
（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率1
2
k ≤
恒成立，
求实数a 的最小值 【课堂练习】
1.（B ） 已知函数32
()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线
90x y +=垂直.
（Ⅰ）求实数,a b 的值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.
2．（B 类）设函数),(2
131)(2
2R b a bx ax x x g ∈-+=
，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线的斜率记为).(x f
（1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式； （2）若2
2
,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值
3.（A 类）已知函数 2
1()ln (1)2
f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性.
例一[解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =，
所以3
2
()2f x x bx cx =+++.
所以2
()32f x x bx c '=++.
由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=， 知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. 所以326,
12 1.
b c b c -+=⎧⎨
-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩ 解得3b c ==-.
故所求的解析式是3
2
()332f x x x x =--+.
（Ⅱ）因为2
()363f x x x '=--，
令23630x x --=，即2
210x x --=， 解得
11x =
21x =.
当1x ≤
1x ≥'()0f x ≥，
当11x ≤≤'()0f x ≤，
故32
()332f x x x x =--+
在(,1-∞内是增函数，
在[1+内是减函数，
在
[1)+∞内是增函数.
例二【解析】
2()31f x ax '=+又()f x 在区间[－1,1]上单调递增
2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即21
3a x
≥-
在x ∈ [－1,1]时恒成立. 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1
[,]3
-+∞
例三解析】（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+
>，()()221'0a x a
F x x x x x
-=-=> ∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.
由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.
∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. （II ）()()2
'03x a F x x x -=
<≤，()()0020'03x a k F x x x -==<≤恒成立⇔200max
12a x x ⎛⎫
≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，2
0012
x x -
+取得最大值12.
∴12a ≥
，∴a min =12
课堂练习；1，【解析】（Ⅰ）32
()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ∴4
a b += ∵2
()32f x ax bx '=+，∴(1)32f a b '=+
由已知条件知1(1)()19
f '⋅-=- 即329a b +=
∴解4
329
a b a b +=⎧⎨
+=⎩得：13a b =⎧⎨=⎩
（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()3f x x x =+，2
()36f x x x '=+ 令2
()360f x x x '=+≥则2x ≤-或0x ≥
∵函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增 ∴[,1](,2][0,)m m +⊆-∞-+∞ ∴0m ≥或12m +≤- 即0m ≥或3m ≤-
2，解析】（1）根据导数的几何意义知b ax x x g x f -+='=2
)()(
由已知-2、4是方程02=-+b ax x 的两个实根 由韦达定理，82)(,8
2
42422--=⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨
⎧-=⨯--=+-x x x f b a b a
（2）)(x g 在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有
,
9
31
9
31
,0)3(0)1(]3,1[0)(,0)()(2222方内的点到原点距离的平可视为平面区域而也即即可这只需满足恒成立在即⎩⎨⎧≥-≥++⎩⎨
⎧≥-≥+⎩⎨⎧≤≤--≤-+=≤-+='=a b b a b a a b b a f f b ax x x f b ax x x g x f
其中点（—2，3）距离原点最近， 所以当22,3
2
b a b a +⎩⎨
⎧=-=时有最小值13
3，【解析】∵2(1)(1)()
()(1)m x m x m x x m f x x m x x x
+---+'=-+-==，
∴（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；
(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数．
（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；
()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； (),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数
知识点二: 导数与函数的极值最值
方法归纳：
1.求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查
'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那
么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值. 2.求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0
f x =的充分不必要条件.
【例4】（A 类）若函数1
()cos sin 22
f x m x x =+
在4x π=处取得极值,则m = .
【解题思路】若在0x 附近的左侧'
()0>f x ，右侧()0f x '<，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极大值；若在0x 附近的左侧'()0<f x ，右侧'
()0>f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极小值.
【解析】因为()f x 可导,且'
()sin cos 2f x m x x =-+,所以'
()sin
cos
04
4
2
f m ππ
π
=-+=,解得0m =.
验证当0m =时, 函数1
()sin 22
=
f x x 在4x π=处取得极大值.
【注】 若()f x 是可导函数，注意0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的必要条件.要确定极值点还需在
0x 左右判断单调性.
[例5】（B 类）已知函数()()x
f x x k e =-，
（I ）求
()
f x 的单调区间；（II ）求()
f x 在区间
[]0,1上的最小值.
【解析】（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/
()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在
(1,)k -+∞上递增；
（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数
()
f x 在区间
[]0,1上递增，所以min
()
(0)f x f k
==-；
当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()
f x 在区间
[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所
以
1
min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数
()
f x 在区间
[]0,1上递减，所以
min ()(1)(1)f x f k e
==-.
【例6】（B 类）设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.
（1）试确定常数a 和b 的值； （2）试判断1,2x x ==是函数()
f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.
【解析】（1）()'
21,a
f
x bx x
=
++ 由已知得：()()'
'210101204102
a b f f a b ++=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎪⎩ 2316a b ⎧
=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩
（2）x 变化时.(),()f x f x '的变化情况如表：
故在1x =处，函数()f x 取极小值6；在2x =处，函数()f x 取得极大值ln 233-
4.（A 类）设ax x x x f 22131)(23++-=.若)(x f 在)
,32
(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围.
5.（B 类）设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．
（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1
()
g x 的大小关系；
6.（C 类）已知函数
32
()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； .
课堂练习；4，【解析】)(x f 在)
,32
(+∞上存在单调递增区间， 即存在某个子区间),32
(),(+∞⊆n m 使得0)('
>x f . 由a
x a x x x f 241
)21(2)(22'++--=++-=， )('
x f 在区间)
,32
[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可.
由0292)32('>+=a f 解得
91->a ， 所以，当91
-
>a 时，)(x f 在)
,32(+∞上存在单调递增区间
5，解】（1）由题设知
1()ln ,()ln f x x g x x x ==+
，∴21
(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1，
当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间. 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间，
因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x 的最小值为(1) 1.g =
(2)1()ln g x x x =-+，设
11
()()()ln h x g x g x x x x =-=-+
，则22(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即
1
()()
g x g x =，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即
1
()().
g x g x <
6，【解析】(Ⅰ)
2
()36(36)f x x ax a '=++-，(0)36f a '=-，又(0)124f a =- 曲线()0y f x x ==在的切线方程是：(124)(36)y a a x --=-，在上式中令2x =，得2y =. 所以曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；。