数学教学的基本原则与方法

数学教学的基本原则与方法

学习目标

学习本章后，你将会：

（1）知道数学教学必须遵循的一些基本原则；

（3）了解数学教学中常用的几种教学方法；

（3）初步认识理解如何有效地应用这些基本原则与方法进行数学教学

第一节数学教学的基本原则

数学教学原则是根据数学教学目标，为反映数学教学规律而制定的指导数学教学工作的基本要求．作为一种教学活动，毫无疑问，数学教学是在基本的教学论原则的指导下进行的．但数学教学作为一种特殊的学科教学，必然有其自身的特点及规律性，也需遵循自身的一些基本要求．

本节从中小学数学的特点和学生学习数学的心理特征及数学教学目的出发，结合我国当前数学新课程理念和数学新课程改革的教学实践，讨论中小学数学教学的一些基本原则．

一、抽象与具体相结合的原则

1．对数学抽象性含义的理解

高度的抽象性是数学学科理论的基本特点之一．数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，所以数学是将客观对象的所有其他特性抛开，而只取其空间形式和数量关系进行系统的、理论的研究．因此，数学具有比其他学科更显著的抽象性．这种抽象性还表现为高度的概括性．一般说来，数学的抽象程度越高，其概括性越强．

数学的抽象性还表现为广泛而系统地使用了数学符号，具有字词、字义、符号三位一体的特性，这是其他学科所无法比拟的．例如，“平行”的词义是表示空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特定位置关系，有专门符号“∥”表示，并可用具体图形表示．当然，数学的抽象性必须以具体素材为基础．任何抽象的数学概念和数学命题，甚至于抽象的数学思想和教学方法，都有具体、生动的现实原型．

数学的抽象性还有逐级抽象的特点．一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，不仅以具体对象作为基础，也以一些相对具体的抽象概念作为基础．例如，数、式、函数、映射、关系等就是逐级抽象的．前一级抽象是后一级抽象的直观背景材料，尽管前一级本身就是抽象的．这样，所谓的直观背景材料，不仅是指实物、模型、教具等，而且还指所学过的概念、实例等．数学的这种逐级抽象性反映着数学的系统性．数学教学中充分注意这个特点，就能有效地培养学生的抽象概括能力．

由于受年龄、理解问题的能力、认识问题的规律等特点的影响，学生抽象思维的局限性主要表现在：过分地依赖具体素材；抽象与具体相割裂，不能将抽象理论应用于具体问题之中；对抽象的数学对象之间的关系不易掌握等方面．例如，在引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发；若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；若不以多位数乘除法作为实例，直接引入多项式乘除法的分离系数法，学生会难以理解

而步履维艰．又如，把无理数仅理解为，，，……之类的数．再如，学过函数概念后，常常把分段函数的表达式认作两个函数或者认为不是函数．出现这些原因是多方面的，就数学教学本身而言，要求正确处理抽象与具体的关系．

2．如何有效地运用抽象与具体相结合的原则进行教学

在数学教学中，贯彻抽象与具体相结合的原则，可以从以下三个方面人手：

(1)注意从实例引入，阐明数学概念

通过实物直观(包括直观教具)、图像直观或语言直观形成直观形象，提供感性材料例如，通过温度的升降、货物的进出等实例，来引进相反意义的量．在数学教学中，引用直观事物说明某个概念是非常有利的，这是因为对具体、生动的事物的感知有利于理解和记忆抽象概念．但是个别事物总有它的特殊性和与概念的不一致性．因此，在使用直观说明概念时，一定要有语言加以指导、概括和说明．

(2)注意数学逐级抽象的特点，做好有关知识的复习工作

数学的逐级抽象性反映着数学的系统性．如果前面一些概念没有学好，就难以学好依赖于这些概念抽象出来的更高一个层次的概念．从这个意义上来说，要打好基础，一步一个脚

印地前进．因此，教师在讲授较高层次的数学知识时，必须做好有关知识的复习工作，这样就为新知识的抽象创造了必要的条件．这种方法既符合数学的发展规律，又符合学生认识的发展规律，容易取得好的教学效果．

(3)要注意培养学生抓住数学实质的能力

学生产生抽象与具体脱节的现象，解决实际问题的能力差，这与他们抓不住数学实质有关．有些学生尽管可以背诵某些概念或定理的条文，但并没有真正理解问题的实质，只是机械地记忆某些结论，从而不能使所学知识灵活运用．

抽象与具体相结合，就是为了使学生对抽象的理论理解得正确、认识得深刻．发展学生的抽象思维，使抽象理论的教学具体化，具体、直观仅仅是手段，而培养抽象思维能力才是根本的目的．因此，如果在教学中不注意培养抽象思维能力，学生就不可能学好数学．反之，如果不依赖于具体、直观，抽象思维也难以培养．只有在教学中不断地实施具体与抽象相结合，具体—抽象一具体，循环往复，才能不断将学习引向纵深，使认识逐步提高和深化．

二、严谨性与量力性相结合的原则

1.对数学严谨性和量力性含义的理解

(1)数学理论和逻辑的严谨性

严谨性是数学学科的基本特征之一．其涵义主要是指数学逻辑的严格性及结论的精确性．在中学数学的理论体系中，它主要表现在以下两个方面：其一，概念(除原始概念外)必须定义，命题(除公理外)必须证明；其二，在数学内容的安排上，要符合学科内在的逻辑结构．

每个数学分科所包含的数学概念都分为两类：原始概念和被定义过的概念．原始概念是这个学科中定义其他概念的基础，在该学科中，它们的本质属性无法用定义方式来表述，只能用公理来揭示．被定义的概念都必须有确切的、符合逻辑要求的定义．同样，每个数学分科所包含的真命题也分为两类：公理和定理．公理是证明其他真命题的正确性的原始依据，它们本身的正确性不加逻辑证明而被承认．公理体系必须满足相容性、独立性和完备性．而定理都必须经过逻辑证明．

在数学内容的安排上，要符合学科内在的逻辑结构，既严格又周密．每个数学分科的概念和真命题要按一定的逻辑顺序构成一个体系．在该体系中，每个被定义的概念必须用前面已知的概念来定义，每个定理必须由前面已知其正确性的命题推导出来．

随着概念和命题的陈述以及命题的论证过程日益符号化、形式化，数学学科的严谨性，还有日益加强的趋势．但是，数学的严谨性是相对的，是随着历史的发展而不断充实提高的．例如，函数概念达到当前的严谨程度，经历了七个发展阶段．又如，欧氏几何直到19世纪希尔伯特公理体系建立后，才得以严谨．数学的严谨性还有另一方面的相对性，侧重于理论的基础数学和侧重于应用的应用数学，二者对于严谨性的要求是不尽相同的．前者要求高，后者要求相对要低一些．相应地，数学专业工作者与一般工程技术人员所需要掌握的数学理论和方法，在严谨程度的要求上也有区别．

(2)数学教学的量力性

教学的量力性就是量力而行，要求教学内容能容易被学生接受，这是由青少年的生理与心理发展的阶段性所决定的．

数学的严谨性的要求，有一个随着人们认识能力的发展而逐步提高的过程．开始学习数学时，往往都是不够严谨的．理解上依赖于直观，解题中依赖于模仿．例如，将点理解为很小很小的球，相似理解为相像等，只有在系统学习这些概念，明确其真正含义，作深入探讨，进入理性认识阶段后，才能达到严谨的要求．

另外，中学生对数学严谨性的认识具有相对性．前面指出过，数学的严谨性本身具有相对性．人类认识数学的严谨性经历了相当长期的过程．中学生学习的数学是人类已经获得的认识成果，没有必要也不可能再重复人类原有的漫长认识过程．但是，学习本身是一种认识活动，必须遵循由低级到高级、由简单到复杂、由浅人深、逐步深化的一般认识规律．由于中学的学时以及中学生原有的知识和能力都有限，因此，中学阶段学生对数学严谨性的认识只是基本的和初步的．

严谨性与量力性相结合的原则的实质就是数学教学要兼顾严谨性与量力性这两方面的要求．一方面，对数学教学的各个阶段要提出恰当而又明确的目标和任务；另一方面，要循序渐进地培养学生的逻辑思维能力．