2015年高考北京理科数学试题及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一测试（北京卷）

数学（理科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2015年北京，理1】复数()i 2i -=（ ） （A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】A

【分析】()2i 2i 2i i 12i -=-=+，故选A ．

（2）【2015年北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，，，则2z x y =+的最大值为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）

3

2

（D ）2 【答案】D

【分析】如图，当 01x y ==，max 2z =，故选D ． （3）【2015年北京，理3】执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

（A ）()22-， （B ）()40-， （C ）()44--， （D ）()08-，

【答案】B

【分析】02021

2222240403

s t x y k s t x y k s t x y k ======-==-===-==-==，结束，输出(4,0)-，故选B ．

（4）【2015年北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”

的（ ）

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】B

【分析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选B ． （5）【2015年北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

（A ）25+ （B ）45+ （C ）225+ （D ）5 【答案】C

【分析】由三视图知，PA ⊥面ABC ，1

2222

ABC S =⨯⨯=，5AB AC ==，

15512PAB PCA S S ==⨯⨯=

,6PC PB ==，1

2552

PBC S =⨯⨯=，∴225S =+， 故选C ．

（6）【2015年北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）

（A ）若120a a +>，则230a a +> （B ）若130a a +<，则120a a +< （C ）若120a a <<，则213a a a > （D ）若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C

【分析】210a a >>，0d ⇒>，所以30a >，13

2132

a a a a a +=

>，故选C ． （7）【2015年北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）

（A ）{}|10x x -<≤ （B ）{}|11x x -≤≤ （C ）{}|11x x -<≤ （D ）{}|12x x -<≤ 【答案】C

【分析】由题可知：22-10

()202x x f x x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩

，当(]1,0x ∈-时，2log (1)022x x +<<+．(]0,2x ∈时，()f x 单调

递减，2()log (1)g x x =+单调递增，2log (1)2x x +=-+1x ⇒=∴当01x <≤时，2log (1)2x x +≤-+，

∴2()log (1)f x x ≥+的解集为(]1,1-，故选C ．

（8）【2015年北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，

下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是（ ）

（A ）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

（B ）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 （C ）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 （D ）某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车

更省油

【答案】D

【分析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，∴A 错；由图知，当以40/km h 的速度行驶时，

甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B 错；甲车以80/km h 行驶1小时耗油8升，故C 错在限速80/km h ，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选D ．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

（9）【2015年北京，理9】在()5

2x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答） 【答案】40

【分析】5152r r r r T C x -+=，当3r =时，系数为32554

24402

C ⨯=⨯

=．

（10）【2015年北京，理10】已知双曲线()2

2210x y a a

-=>的一条渐近线为30x y +=，则a = ．

【答案】3

【分析】令22200x x y y a a

-=⇒+=，所以13

3a a =⇒=．

（11）【2015年北京，理11】在极坐标系中，点π23⎛

⎫ ⎪⎝

⎭‚到直线()

cos 3sin 6ρθθ+=的距离为______．

【答案】1

【分析】直线方程为36360x y x y +=⇒+-=，点为(1,3)，所以点到直线方程的距离为1362

1213

d +-=

==+． （12）【2015年北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A

C

= ．

【答案】1

【分析】222sin 22sin cos 2425361690

1sin sin 263090

A A A a b c a C C c bc +-+-==⋅=⨯==．

（13）【2015年北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若

MN xAB y AC =+，则x =

；y =_______． 【答案】12

x =，1

6y =-

【分析】111111()323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-，所以11

,26

x y ==-．