相似三角形的九大模型

模型一：A 字型

1．如图，在ABC △中，:2:3AF FB =，延长BC 至点D ，使得2BC CD =，求

的值．

2．如图，在ABC △中，已知CD 为边AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在ABC △上，求证：

111AB CD EF

+=．

3．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF HG AC ∥∥，EH FG BD ∥∥，则四边形EFGH 的周长是_________．

4．如图，ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且3BE AE =，求

的值．

模型二：反A 字型

5．如图，D 、E 分别为ABC △的边AB 、AC 上的点，且ADE ACB ∠=∠．（1）求证：AD AB AE AC ?=?；

（2）如果ABC △的面积为m ，3DE =，5BC =，求ADE △的面积．

6．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ?=?．（1）求证：AD AB AE AC ?=?；

（2）当12AB =，9AC =，8AE =时，求BD 的长与

ADE

ECF

S S △△的值．

7．将三角形纸片()ABC △按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为

EF ．已知3AB AC ==，4BC =，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，那么

CF 的长度是（）

A ．2

B ．

或2 C ．

127

D ．

或2 8．将ABC △纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF ．已知6AB AC ==，8BC =．（1）求ABC △的周长；

（2）若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC △相似，求BF 的长．

9．如图，在ABC △中，6AB =，8BC =．点D 以每秒1个单位长度的速度由B 向A 运动，同时点E 以每秒2个单位长度的速度由C 向B 运动，当点E 停止运动时，点D 也随之停止．设运动时间为t 秒，当以B ，D ，E 为顶点的三角形与ABC △相似时，求t 的值．

10．如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠．（1）求证：ADE ABC △∽△；（2）若3AD =，5AB =，求

的值．

模型三：8字型

11．如图，E 是ABCD □的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．

12．如图，平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG BC ∥，交AB 于G ，则图中相似三角形有（）

A ．7对

B ．6对

C ．5对

D ．4对

13．已知DE AB ∥，2OA OC OE =?，求证：AD BC ∥．

14．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B ，D ，4m AO =， 1.6m AB =，1m CO =，则栏杆C 端应下降的垂

直距离CD 为（）

A ．0.2m

B ．0.3m

C ．0.4m

D ．0.5m

15．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，1

AE CF AC ==．连接DE ，DF 并延长，分别交AB 、BC 于点G 、H ，连接GH ，则

ADG

BGH

S S ??的值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．1

16．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则:DF FC =（）

A ．1:4

B ．1:3

C ．2:3

D ．1:2

17．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为．

18．如图，直线a b ∥，:3:5AF FB =，:3:1BC CD =，则:AE EC 为（）

A ．5:12

B ．9:5

C ．12:5

D ．3:2

19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，

F ．下列结论：①

EG AG GC GD =②EF BF FC FD =；③FC BF

GF FD

=；④2CF GF EF =?，其中正确的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

模型四：蝴蝶型

20．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若::OA OC OB OD =，则下列结论中一定正确的是（）

A ．①与②相似

B ．①与③相似

C ．①与④相似

D ．③与④相似

21．如图，AB CD ∥，线段BC 、AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点，且满足BEF C ∠=∠，其中9AF =，3DF =，2CF =，则AE =_________．

22．如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥，DE AC ⊥，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，AD 与BE 相交于点F ．求证：（1）

DE AD

CE CD

=；（2）BCE ADM △∽△；（3）猜想AM 与BE 的位置关系，并说明理由．

23．点D 为Rt ABC △的斜边AB 上一点，点E 在AC 上，连接DE ，CD ，且ADE BCD ∠=∠，CF CD ⊥交DE 的延长线于点F ，连接AF

（1）如图1，若AC BC =，求证：AF AB ⊥；

（2）如图2，若AC BC ≠，当点D 在AB 上运动时，求证：AF AB ⊥．

N F

模型五：共边共角型

24．如图，在ABC △中，点D 是边AB 上的一点，ADC ACB ∠=∠，2AD =，6BD =，则边AC 的长为（）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

25．已知：如图，ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ．求证：（1）2FD FB FC =?；（2）22::AB AC BF CF =．

26．如图，在ABC △中，AB AC a ==，()BC b a b =>．在ABC △内依次作CBD A ∠=∠，DCE CBD ∠=∠，EDF DCE ∠=∠．则EF 等于（）

A ．3

2b a

B ．3

2a b

C ．4

3b a

D ．4

3a b

27．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若90BFA ∠=?，则下列四对三角形：①BEA △与ACD △；②FED △与

DEB △；③CFD △与ABG △；④ADF △与CFB △．其中相似的为（）

A ．①④

B ．①②

C ．②③④

D ．①②③

28．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．试问：

（1）图中APD △与哪个三角形全等？并说明理由．

（2）猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．

模型六：射影定理

29．在Rt ABC △中，90C ∠=?，CD AB ⊥于D ，下列等式中错误的是（） A ．2AD BD CD ?= B ．AC BD CB AD ?=?

C ．2AC A

D AB =? D ．222AB AC BC =+

30．在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高．（1）求证：2CD AD DB =?；（2）求证：2CB DB AB =?．

31．如图，在Rt ABC △中，90CAB ∠=?，30B ∠=?，AD CB ⊥于D ，3CD =，则CB = ．

32．如图，90ADC ACB ∠=∠=?，ACD B ∠=∠，5AC =，6AB =，则AD = ．

33．如图，在Rt ABC △中，CD 为斜边AB 上的高，如果3AC =，6AB =，求BD 的值．

34．在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高线，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：

BC BF

AC AE

=．

35．在ABC △中，90ACB ∠=?，CE AB ⊥于点E ，D 在AB 延长线上，且DCB A ∠=∠，

:1:2BD CD =，AE =

BCD S △．

36．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，BA BC =．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG CD ⊥，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论： ①

AG FG

AB FB

=； ②点F 是GE 的中点；

③AF AB =

； ④5ABC BDF S S =△△，其中正确的结论序号是．

模型七：三垂直模型

37．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AE

⊥交DC于点F，

连接AF．设AB

=，下列结论：（1）ABE ECF

△∽△，（2）AE平分BAF

∠，（3）当

k=时，ABE ADF

△∽△，其中结论正确的是（）

A．（1）（2）（3）B．（1）（3）C．（1）（2）D．（2）（3）38．如图，一个长方形的ABCD长为8cm，宽为6cm，E为边CD上的一点，现把Rt ADE

△沿AE对折使得D点恰好落在边BC上的中点D'处．

（1）请说明Rt ABD'

△与Rt ECD'

△相似；

（2）求CE的长．

39．(1) 如图1 ，已知AB l

∠=?，

ACD

⊥，垂足分别为B、E，且C是l上一点，90

⊥，DE l

△∽△；

求证：ABC CED

(2) 如图2 ，在四边形ABCD中，已知90

BC=，10

CD=，

∠=?，3

ABC

AB=，4

DA=BD的长．

40．如图，在直角梯形ABCD中，//

∠=?，

AD BC，90

BC=，CD=

AD=，3 P在线段AB上．若PCD

△是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP=．

模型八：一线三等角

41．如图，ABC △中，8AB AC ==，D 为BC 上一点，3BD =，30ADE B ∠=∠=?，则AE 的长为_________．

42．如图，D 是等边ABC △边AB 上的一点，且:1:2AD DB =，现将ABC △折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则:CE CF =（）

A ．34

B ．

C ．

D ．

43．已知：如图，ABC △中，90BAC ∠=?，1AB AC ==，点D 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 点重合），45ADE ∠=?．（1）求证：ABD DCE △∽△；

（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式；（3）当ADE △是等腰三角形时，求AE 的长．

44．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，3cm AD =，7cm BC =，60B ∠=?，

P 为BC 边上一点（不与B ，C 重合）

，连接AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得APE B ∠=∠．

（1）求证：ABP PCE △∽△；（2）求AB 的长；

（3）在边BC 上是否存在一点P ，使得:5:3DE EC =？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由．

45．如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交

AE 于点F ，ME 交BD 于点G ．

（1）写出图中的三对相似三角形；

（2）连接FG ，当AM MB =时，求证：MFG BMG △∽△；

（3）在（2）条件下，若45α=?，AB =，3AF =，求FG 的长．

模型九：手拉手

46．如图，12∠=∠，要使ABC ADE △∽△，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）

A ．

B D ∠=∠ B ．

C E ∠=∠ C ．

AD AB

AE AC

= D ．

AC BC

AE DE

= 47．如图，把ABC △绕点A 旋转到ADE △，当点D 刚好落在BC 上时，连结CE ，设AC ，

DE ，相交于点F ，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

48．如图，在ABC △中，ABC C ∠=∠，将ABC △绕点B 逆时针旋转得DBE △，点E 在AC 上，若3ED =，1EC =，则EB =（）

B ．

C D ．2

49．将一幅三角尺（Rt ACB △中，90ACB ∠=?，60B ∠=?，在Rt EDF △中，90EDF ∠=?，

45E ∠=?）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ，将EDF △绕

点D 顺时针方向旋转角(060)αα?<

的值为（）

B C ．

D 50．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作30?角的直角三角形ABC 和30?角的直角三角形AD

E ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M ，连接PA 对于下列结论：①BAE CAD △∽△；②M P M D M A M E ?=?；③图中有5对相似三角形；④AP CD ⊥其中结论正确的个数是（）

A ．1个

B ．2个

C ．4个

D ．3个

51．如图，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=?，1BC =，E 为直角边AB 上任意一点，以线段CE 为斜边作等腰Rt CDE △，连接AD ，下列说法：①AC ED ⊥；②BCE ACD ∠=∠；③AED ECB △∽△；④AD BC ∥；⑤四边形ABCD 面积的最大值为3

，其中正确的是

__________．

52．如图，ABC △中，45BAC ∠=?，30ACB ∠=?，将ABC △绕点A 顺时针旋转得到11AB C △，当点1C 、1B 、C 三点共线时，旋转角为α，连接1BB ，交AC 于点D ，下面结论：①1AC C △为等腰三角形；②1AB D BCD △∽△；③135α=?；④1CA CB =；

⑤1AB B C =中，正确结论的个数是（）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

53．如图，在正方形ABCD 中，AEF △的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，下列说法： ①45EAF ∠=?；

②连接MG ，NG ，则MGN △为直角三角形； ③AMN AFE △∽△；

④若2BE =，3FD =，则MN

（）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

54．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，

BC a

AC b

=，CD AB ⊥于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ED ⊥，交直线BC 于点F ．（1）探究发现：如图①，若a b =，点E 在线段AC 上，则DE

= ．（2）数学思考

①如图②，若点在线段AC 上，则

= ，（用含a ，b 的代数式表示）； ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形给出证明；

（3）拓展应用：若AC BC =DF =CF 的长．

相似三角形基本模型及证明

相似三角形基本模型与证明一、基本图形回顾经典模型

构造相似辅助线——双垂直模型 1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 2.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长． 3.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 4.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.

5.已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。构造相似辅助线——A、X字型 6.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证： 7.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证： 8.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。求BN：NQ：QM．

9.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

相似三角形经典模型总结

相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】 “平行型” 【例1】如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 M 1F 1E 1M E F A B C

【例2】如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = M N A B C D E F 【例3】已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = P H G F E D C B A 【例4】已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ，求 BF EF 的值【例5】已知：在ABC ?中，AB=3AD ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC = ,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE =F E D C B A

B C D F E 【例6】已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ， ::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形 F E D C B A 【例7】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【例8】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD +=

相似三角形典型模型及例题

:相似三角形判定的基本模型（三）母子型（四）一线三等角型: 1:相似三角形模型（一）A字型、 A字型（斜A字型） C （二）8字型、 8字型（平行）（蝴蝶型）三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型: 三直角相似可以看着是"一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型: :相似三角形判定的变化模型

/ B E C 一线三直角的变形 2:相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1:如图，梯形ABCDK AD// BC对角线AC BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于E. 例3 :已知：如图，等腰△ ABC中, AB= AC ADL BC于D, CG/ AB BG分别交AD AC于E、F. 求证：BE2 EF EG . 1、如图，已知AD^^ ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2 FB FC . DEB DAC . ABC . A

2、已知：AD 是Rt △ ABC 中/A 的平分线，/ C=90 , EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于M, EF 、 BC 的延长线交于一点 M 求证：⑴△ AME^A NMD; (2)ND 2 =NC- NB 5已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, B(=2, AC=4, P 是斜边 AB 上的一个动点，PD 丄AB 交边 AC 于点D (点D 与点A C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EP[=Z A.设A 、P 两点的距离为 x , △ BEP 的面积为y . (1)求证：AE=2PE (2) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当厶BEP-与^ABC 相似时，求△ BEP 的面积. 3、已知：如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , 求证：EB- DF=AE DB CDL AB 于D, E 是AC 上一点，CF 丄BE 于F 。 4.在 ABC 中，AB=AC 高 AD 与 BE 交于 H, EF BC ，垂足为F ,延长AD 到G,使DG=EF M 是AH 的中点。证：GBM 90 G

相似三角形常用模型及应用

相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型 A 字形图①A 字型，结论： AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DE AC AB BC == 图③双A 字型，结论： DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a a AH BC -=（a 为正方形边长） I H G F E D C B A G F E D C B A E D C B A E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 8字型图①8字型，结论： AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111 AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ?=?△△△△ E F D C B A F E D C B A O D C B A O D C B A G F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 一线三等角型结论：出现两个相似三角形

H E D C B A E D C B A E D C B A C 60°F E D C B A F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论： AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BD AC CD = 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =?，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =?，2、2CD AD BD =?，3、2BC BD BA =? D C B D B A C A E D C B A D C B A 梅涅劳斯型常用辅助线 G F E D C B A G F E D C B A G F E D C B A D E F C B A 考点一相似三角形【例1】如图，D 、E 是ABC ?的边AC 、AB 上的点，且AD AC ?=AE AB ?，求证：ADE B ∠=∠. E D C B A 中考满分必做题

相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B

（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B E F 一线三等角的变形一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠．求证：（1）DA DE DB? = 2；（2）DAC DCE∠ = ∠． C D E B

例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ．相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB

相似三角形”A“字模型含详细答案经典

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1 ?平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2 ?如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似?可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似. 3 ?如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似. 5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6 ?直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7 ?如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似. 三、相似证明中的基本模型 A字形图①A字型，DE//BC ;结论: AD AE AB AC DE BC ，【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ ABC中，点D, E, 求证：△ ADE s^ DBF. 证明：①又??? DF// AC, ②??? DE/ BC, ③???/ A=Z BDF, ④???/ ADE=Z B, F分另【J在边AB, AC, BC上，且DE / BC, DF/ AC, ? △ADE s^ DBF. A.③②④① B.②④①③ C.③①④② D.②③④① 【解答】证明：②I DE / BC, ④ADE=Z B, ①又??? DF/ AC, ③A=Z BDF, ? △ ADE s^ DBF.故选：B. 国① 【练1】如图，在△ ABC中，/ ACB=90 , BC=16cm, AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8 秒时,△ CPQ 与厶ABC相似. 【解答】解：CP和CB是对应边时，△ CPC SA CBA 所以, 16-2t t 16_12, 即解得t=4.8; CP和CA是对应边时，△ CPC S^ CAB, 厂1口厂1门

初三数学的相似三角形的常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】【典例剖析】知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）

（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=，求AC AB 的值。变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F

::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E C B A D E （平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延 A C D E B

相似三角形模型分析大全

. 第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

. （五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠．

例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于 E 、 F ．求证：EG EF BE ?=2 ．点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习： 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．

求证：OE OA OC ?=2 ． 2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．

专题：相似三角形的几种基本模型及练习

专题：相似三角形的几种基本模型（1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形. “A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （3） “母子” （双垂直）型射影定理：由_____________ ，得____________ __，即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _。 “母子” （双垂直）型 “旋转型” （4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型 “K ” 字（三垂直）型（6）“半角”型图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN= 1 2∠BAC ，结论：△ABN ∽△MAN ∽△MCA ； 1 A E B C B E A C D 1 2B D 图2 图1 旋转 N M 60° 120° B A 45° D C B A

应用 1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在图3 图4 图5 3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对 4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③ AD AE ＝AB AC .其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________．图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( ) A ．∠BAD ＝∠CAE B ．∠B ＝∠D C.B C DE ＝AC AE D.AB A D ＝AC AE 9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1 4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°， ②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为个。图10 图11 A B C D E

相似三角形常见模型及经典型例题讲解

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一） A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：（六）双垂型： C A D 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G B E F

一线三等角的变形一线三直角的变形

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是 AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠ A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型A B P D E （第25题图） G M F E H D C B A

相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似

课题：相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似教学目标： 1、通过习题引入，了解“A字型、旋转型”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质； 2、利用“A字型、旋转型”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题； 3、在“A字型、旋转型”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“A字型、旋转型”相似解题的特点与经验。教学重点难点： 1、在已知图形中观察关键特征——“A字型、旋转型”； 2、在“A字型、旋转型”图的两个三角形中，探索其相似条件。教学过程：一、复习与回顾：相似三角形的性质和判定定理；二、引入相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。而识别（或构造）A字型、8字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。三、新课讲解：（一）、模型分析有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC与∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B. （二）、基础巩固 1、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论（图1） 2、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。（图2）（三）、例题探究：

（四）课堂练习：三、课堂小结：我们今天这堂课收获了什么呢（1）学习了A型相似；（2）学会从复杂图形中分解出基本图形。（3）数学思想：方程思想，转化思想，分类讨论思想四、作业布置：中考新航线251页

相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)

相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】“平行型” 【例1】如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形【例2】如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A

【例4】已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ，求BF EF 的值【例5】已知：在ABC ?中，12AD AB = ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形【例7】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A

初三数学：相似三角形常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】【典例剖析】知识点一：A 字型的相似三角形 A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行）（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△

（2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接 DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21= ，AE AD 3 2 =，求AC AB 的值。变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， ::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 F E D C B A C B D E M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F

知识点二：8字型相似三角形 B C C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（1）如图，若CD AB∥，则DOC AOB∽△ △ （2）如图，若C A∠ = ∠，则CDJ ABJ∽△ △ 1、已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H 求证： PE PH PF PG = 2、如图，设 AB BC CA AD DE EA ==，求证：12 ∠=∠ 变式练习： 1、（2010?威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1． P H G F E D C B A E

相似三角形常见模型与型例题讲解

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） B C D E （平行） C B D E （不平行）（二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G B E F

一线三等角的变形一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2） DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ．相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各 5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为 y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型 1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED 2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3， A C D E B D E A B C A B P D E （第25题图） G M F E H D C B A

相似三角形几种基本模型

相似三角形基本模型经典模型 “平行旋转型” 图形梳理： AEF 旋转到AE‘F’ C B A AEF 旋转到AE‘F’ F'C B B C AEF 旋转到 AE‘F’ A B C AEF 旋转到AE‘F’ 特殊情况：B 、'E 、'F 共线

AEF 旋转到AE‘F’C B A A B C E F E' F'AEF 旋转到AE‘F’ C ，'E ，'F 共线 AEF 旋转到AE‘F’ C B A AEF 旋转到AE‘F’ C B A 母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形 1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） (2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”） A E A D E 4 1 B (3) D B (2) D

（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”） (4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。（5）母子型已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC （2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB ；（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当AD AE AC 或AD·AB=AC·AE时，△ ADE∽△ACB． B E A C D 1 2 B B C(D )

(完整版)相似三角形经典模型总结及例题分类.doc

WORD 格式可编辑相似三角形经典模型总结经典模型平移旋转 180° ∽ 平行型平行型翻折 180° 翻折 180° 一般特殊翻折 180° 斜交型斜交型特殊一边平移一般平移特殊双垂直斜交型双垂直一般【精选例题】 “平行型” 【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ，则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FF M M : S四边形 MM C B _________ 1 1 1 1 1 1 A E E1 F F 1 M M1 B C

WORD 格式可编辑【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____ A D E F M N B C 【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H 求证： PE PH PF PG G D C E P F A B H 【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且 AE 2, BE、 CD相交于点 F ，求BF 的值 EC EF A D F E B C 【例 5】已知：在ABC 中， AD 1 AB，延长 BC到F ,使CF 1 BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3 求证：① DE EF ② AE 2CE A D E B

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【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC 求证：CEF 为等腰三角形 A C D E B F 【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：1 1 1 . c a b A C E B F D 【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论. C A E B F D 【例 9】如图，四边形ABCD 中， B D90M 是 AC 上一点， ME AD 于点 EMF BC ，，于点 F 求证：MF ME 1 AB CD D E M A C F B

相似三角形判定的基本模型 good

相似三角形判定模型相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型【例1】已知：在△ABC中，AD是角平分线。求证：BD AB D C AC _D _C _B _A

思考：已知在△ABC 中，外角平分线AD 交BC 延长线于D 。求证：【例2】如图，在△ABC 中， D ，E 为BC 的三等分点，F 为AC 中点，BF 分别交AD ，AE 于M ，N 两点。求证： BM ∶MN ∶NF 【例3】已知：如图，△AOC 中，∠AOC ＝120°，∠AOC 的平分线交AC 边于B 。求证：【例4】如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，BC 边上，且BM ＝BN ，又BP ⊥MC ，垂足为P 。求证：PD ⊥PN 【例5】已知如图正△ABC 和正△DEF ，BC 和EF 的中点均为M 。 111 O A O C O B += O C B A C BD AB D C AC = A B C D 1 2 M P N D C B A

求证：AD ⊥CF 【例6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CF ∥AB 。BP 的延长线交AC 于E 交CF 于F 。求证：【例7】如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，M 为AC 的中点，MD 与CB 的延长线交于N 。求证：BD ·CN ＝CD ·DN A 【例8】如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，BC 边上一点F ，使得EF ＝3，DF ＝4， DE ＝5。那么，正方形ABCD 的面积是__________。 2BP PE PF =?M E D C B A

相似三角形常用模型及应用

相似证明中的基本模型 A 字形图①A 字型，结论： AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DE AC AB BC == 图③双A 字型，结论： DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a a AH BC -=（a 为正方形边长） I H G F E D C B A G F E D C B A E D C B A E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 8字型图①8字型，结论： AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111 AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ?=?△△△△ E F D C B A F E D C B A O D C B A O D C B A G F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 一线三等角型结论：出现两个相似三角形