相似三角形的九大模型

相似三角形的九大模型
模型一：A 字型
1．如图，在ABC △中，:2:3AF FB =，延长BC 至点D ，使得2BC CD =，求
AE
EC
的值．
2．如图，在ABC △中，已知CD 为边AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在ABC △上，求证：
111AB CD EF
+=．
3．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF HG AC ∥∥，EH FG BD ∥∥，则四边形EFGH 的周长是_________．
4．如图，ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且3BE AE =，求
BC
CD
的值．
模型二：反A 字型
5．如图，D 、E 分别为ABC △的边AB 、AC 上的点，且ADE ACB ∠=∠． （1）求证：AD AB AE AC ⋅=⋅；
（2）如果ABC △的面积为m ，3DE =，5BC =，求ADE △的面积．
6．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅． （1）求证：AD AB AE AC ⋅=⋅；
（2）当12AB =，9AC =，8AE =时，求BD 的长与
ADE
ECF
S S △△的值．
7．将三角形纸片()ABC △按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为
EF ．已知3AB AC ==，4BC =，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，那么
CF 的长度是（ ）
A ．2
B ．
12
7
或2 C ．
127
D ．
12
5
或2 8．将ABC △纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF ．已知6AB AC ==，8BC =． （1）求ABC △的周长；
（2）若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC △相似，求BF 的长．
9．如图，在ABC △中，6AB =，8BC =．点D 以每秒1个单位长度的速度由B 向A 运动，同时点E 以每秒2个单位长度的速度由C 向B 运动，当点E 停止运动时，点D 也随之停止．设运动时间为t 秒，当以B ，D ，E 为顶点的三角形与ABC △相似时，求t 的值．
10．如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠． （1）求证：ADE ABC △∽△； （2）若3AD =，5AB =，求
AF
AG
的值．
模型三：8字型
11．如图，E 是ABCD □的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．
12．如图，平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG BC ∥，交AB 于G ，则图中相似三角形有（ ）
A ．7对
B ．6对
C ．5对
D ．4对
13．已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．
14．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B ，D ，4m AO =， 1.6m AB =，1m CO =，则栏杆C 端应下降的垂
直距离CD 为（ ）
A ．0.2m
B ．0.3m
C ．0.4m
D ．0.5m
15．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，1
4
AE CF AC ==．连接DE ，DF 并延长，分别交AB 、BC 于点G 、H ，连接GH ，则
ADG
BGH
S S ∆∆的值为（ ）
A ．
12
B ．
23
C ．
34
D ．1
16．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则:DF FC =（ ）
A ．1:4
B ．1:3
C ．2:3
D ．1:2
17．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为 ．
18．如图，直线a b ∥，:3:5AF FB =，:3:1BC CD =，则:AE EC 为（ ）
A ．5:12
B ．9:5
C ．12:5
D ．3:2
19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，
F ．下列结论：①
EG AG GC GD =②EF BF FC FD =；③FC BF
GF FD
=；④2CF GF EF =⋅，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
模型四：蝴蝶型
20．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若::OA OC OB OD =，则下列结论中一定正确的是（ ）
A ．①与②相似
B ．①与③相似
C ．①与④相似
D ．③与④相似
21．如图，AB CD ∥，线段BC 、AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点，且满足BEF C ∠=∠，其中9AF =，3DF =，2CF =，则AE =_________．
F
E
D
C
B
A
22．如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥，DE AC ⊥，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，AD 与BE 相交于点F ．求证： （1）
DE AD
CE CD
=；（2）BCE ADM △∽△；（3）猜想AM 与BE 的位置关系，并说明理由．
23．点D 为Rt ABC △的斜边AB 上一点，点E 在AC 上，连接DE ，CD ，且ADE BCD ∠=∠，CF CD ⊥交DE 的延长线于点F ，连接AF
（1）如图1，若AC BC =，求证：AF AB ⊥；
（2）如图2，若AC BC ≠，当点D 在AB 上运动时，求证：AF AB ⊥．
N F
M
E
D
C
B
A
模型五：共边共角型
24．如图，在ABC △中，点D 是边AB 上的一点，ADC ACB ∠=∠，2AD =，6BD =，则边AC 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
25．已知：如图，ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ．求证： （1）2FD FB FC =⋅； （2）22::AB AC BF CF =．
26．如图，在ABC △中，AB AC a ==，()BC b a b =>．在ABC △内依次作CBD A ∠=∠，DCE CBD ∠=∠，EDF DCE ∠=∠．则EF 等于（ ）
A ．3
2b a
B ．3
2a b
C ．4
3b a
D ．4
3a b
27．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形：①BEA △与ACD △；②FED △与
DEB △；③CFD △与ABG △；④ADF △与CFB △．其中相似的为（ ）
A ．①④
B ．①②
C ．②③④
D ．①②③
28．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．试问：
（1）图中APD △与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．
模型六：射影定理
29．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于D ，下列等式中错误的是（ ） A ．2AD BD CD ⋅= B ．AC BD CB AD ⋅=⋅
C ．2AC A
D AB =⋅ D ．222AB AC BC =+
30．在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高． （1）求证：2CD AD DB =⋅； （2）求证：2CB DB AB =⋅．
31．如图，在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，30B ∠=︒，AD CB ⊥于D ，3CD =，则CB = ．
32．如图，90ADC ACB ∠=∠=︒，ACD B ∠=∠，5AC =，6AB =，则AD = ．
33．如图，在Rt ABC △中，CD 为斜边AB 上的高，如果3AC =，6AB =，求BD 的值．
34．在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高线，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：
33
BC BF
AC AE
=．
35．在ABC △中，90ACB ∠=︒，CE AB ⊥于点E ，D 在AB 延长线上， 且DCB A ∠=∠，
:1:2BD CD =，AE =
BCD S △．
36．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG CD ⊥，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论： ①
AG FG
AB FB
=； ②点F 是GE 的中点；
③AF AB =
； ④5ABC BDF S S =△△，其中正确的结论序号是 ．
模型七：三垂直模型
37．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AE
⊥交DC于点F，
连接AF．设AB
k
AD
=，下列结论：（1）ABE ECF
△∽△，（2）AE平分BAF
∠，（3）当
1
k=时，ABE ADF
△∽△，其中结论正确的是（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）C．（1）（2）D．（2）（3）38．如图，一个长方形的ABCD长为8cm，宽为6cm，E为边CD上的一点，现把Rt ADE
△沿AE对折使得D点恰好落在边BC上的中点D'处．
（1）请说明Rt ABD'
△与Rt ECD'
△相似；
（2）求CE的长．
39．(1) 如图1 ，已知AB l
∠=︒，
ACD
⊥，垂足分别为B、E，且C是l上一点，90
⊥，DE l
△∽△；
求证：ABC CED
(2) 如图2 ，在四边形ABCD中，已知90
BC=，10
CD=，
∠=︒，3
ABC
AB=，4
DA=BD的长．
40．如图，在直角梯形ABCD中，//
∠=︒，
AD BC，90
BC=，CD=
B
AD=，3 P在线段AB上．若PCD
△是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP=．
模型八：一线三等角
41．如图，ABC △中，8AB AC ==，D 为BC 上一点，3BD =，30ADE B ∠=∠=︒，则AE 的长为_________．
42．如图，D 是等边ABC △边AB 上的一点，且:1:2AD DB =，现将ABC △折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则:CE CF =（ ）
A ．34
B ．
45
C ．
56
D ．
67
43．已知： 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，点D 是BC 边上的一个动点 （不 与B ，C 点重合） ，45ADE ∠=︒． （1） 求证：ABD DCE △∽△；
（2） 设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3） 当ADE △是等腰三角形时， 求AE 的长 ．
44．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，3cm AD =，7cm BC =，60B ∠=︒，
P 为BC 边上一点（不与B ，C 重合）
，连接AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得APE B ∠=∠．
（1）求证：ABP PCE △∽△； （2）求AB 的长；
（3）在边BC 上是否存在一点P ，使得:5:3DE EC =？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由．
45．如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交
AE 于点F ，ME 交BD 于点G ．
（1）写出图中的三对相似三角形；
（2）连接FG ，当AM MB =时，求证：MFG BMG △∽△；
（3）在（2）条件下，若45α=︒，AB =，3AF =，求FG 的长．
模型九：手拉手
46．如图，12∠=∠，要使ABC ADE △∽△，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A ．
B D ∠=∠ B ．
C E ∠=∠ C ．
AD AB
AE AC
= D ．
AC BC
AE DE
= 47．如图，把ABC △绕点A 旋转到ADE △，当点D 刚好落在BC 上时，连结CE ，设AC ，
DE ，相交于点F ，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
48．如图，在ABC △中，ABC C ∠=∠，将ABC △绕点B 逆时针旋转得DBE △，点E 在AC 上，若3ED =，1EC =，则EB =（ ）
A
B ．
32
C D ．2
49．将一幅三角尺（Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，在Rt EDF △中，90EDF ∠=︒，
45E ∠=︒）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ，将EDF △绕
点D 顺时针方向旋转角(060)αα︒<<︒，DE '交AC 于点M ，DF '交BC 于点N ，则PM
CN
的值为（ ）
A
B C ．
12
D 50．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作30︒角的直角三角形ABC 和30︒角的直角三角形AD
E ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M ，连接PA 对于下列结论：①BAE CAD △∽△；②M P M D M A M E ⋅=⋅；③图中有5对相似三角形；④AP CD ⊥其中结论正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．4个
D ．3个
51．如图，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，1BC =，E 为直角边AB 上任意一点，以线段CE 为斜边作等腰Rt CDE △，连接AD ，下列说法：①AC ED ⊥；②BCE ACD ∠=∠；③AED ECB △∽△；④AD BC ∥；⑤四边形ABCD 面积的最大值为3
8
，其中正确的是
__________．
52．如图，ABC △中，45BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC △绕点A 顺时针旋转得到11AB C △，当点1C 、1B 、C 三点共线时，旋转角为α，连接1BB ，交AC 于点D ，下面结论：①1AC C △为等腰三角形；②1AB D BCD △∽△；③135α=︒；④1CA CB =；
⑤1AB B C =中，正确结论的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
53．如图，在正方形ABCD 中，AEF △的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，下列说法： ①45EAF ∠=︒；
②连接MG ，NG ，则MGN △为直角三角形； ③AMN AFE △∽△；
④若2BE =，3FD =，则MN
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
54．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，
BC a
AC b
=，CD AB ⊥于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ED ⊥，交直线BC 于点F ． （1）探究发现：如图①，若a b =，点E 在线段AC 上，则DE
DF
= ． （2）数学思考
①如图②，若点在线段AC 上，则
DE
DF
= ，（用含a ，b 的代数式表示）； ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC BC =DF =CF 的长．。