【B407】 正余弦的和角与差角公式

高一同步之每日一题【B407】

正余弦的和角与差角公式

B4071.若,(0,)αβπ∈,且cos αcos β=， (1)求cos()αβ-的值；

(2)求角αβ+的大小.

解:(1)∵,(0,)αβπ∈,cos αcos β

∴sin α=sin β=. ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

==(2)∵,(0,)αβπ∈,cos 0α>,cos 0β>, ∴(0,)2πα∈,(0,)2

πβ∈. 从而,可得(0,)αβπ+∈.

∵cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-

==. ∴34

παβ+=

.

B4072.已知,αβ均为锐角,且满足3sin 5α=,cos β=

(1)求sin()αβ-的值；

(2)求角αβ+的大小.

解:(1)∵,(0,)2παβ∈,3sin 5α=,cos 10β=

∴4cos 5

α=,sin β=. ∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-

3455=(2)∵,(0,)2

παβ∈,∴(0,)αβπ+∈. ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-

4355==

∴4παβ+=

.

B4073.已知324π

πβα<<<,3sin()5αβ+=-,且12cos()13

αβ-=, (1)求sin 2α的值；

(2)求cos2β的值.

解:∵324π

πβα<<<,∴32ππαβ<+<,04

παβ<-<. 又由于3sin()5αβ+=-,且12cos()13

αβ-= ∴4cos()5αβ+=-,5sin()13

αβ-= (1)sin 2sin(()())ααβαβ=++-

sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=+-++-

3124556()()51351365

=-⨯+-⨯=-. (2)cos2cos(()())βαβαβ=+--

cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ=+--+-

4123563()()51351365

=-⨯--⨯=-.

B4074.已知

32ππα<<,且12cos()313πα-=,求cos α. 解:∵32π

π

α<<,∴036π

π

α<-<. 由12cos()313πα-=得5sin()313

πα-=. 故cos cos()33ππ

αα=-+ cos()cos sin()sin 3333

ππππ

αα=---

121513213=⨯-=.

B4075.已知锐角,αβ满足4cos 5α=,且3cos()5

αβ+=,求sin β的值. 解:∵02π

α<<,02π

β<<,∴0αβπ<+<. ∵4cos 5α=,3cos()5αβ+=,∴3sin 5α=,12sin()13

αβ+=.

∴sin sin()βαβα=+-

sin()cos cos()sin αβααβα=+-+ 44337555525

=⨯-⨯=.

B4076.已知(,)2παπ∈,(0,)2πβ∈,2sin()23αβ-=,且1cos()29

βα-=-, 求cos 2

αβ+的值. 解:由(,)2

παπ∈,(0,)2πβ∈可得(,)24βπαπ-∈,(,)242αππβ-∈-.

故由1cos()29

βα-=-可得sin()2βα-=,

由2sin()23

αβ-=可得cos()2αβ-=故cos cos(()())222

αββααβ+=--- cos()cos()sin()sin()2222

βαβααβαβ=--+--

12()93=-=.

B4077.已知(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,且4||1313a b -=

. (1)求cos()αβ-的值；

(2)若02π

α<<,02π

β-<<,且4sin 5

β=-,求sin α的值. 解:(1)∵(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=

∴(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--. ∴222()(cos cos )(sin sin )a b αβαβ-=-+-

22(cos cos sin sin )αβαβ=-+ 1622cos()13

αβ=--=. ∴5cos()13αβ-=

. (2)∵02π

β-<<,且4sin 5β=-,∴3cos 5

β=. ∵02π

α<<,02π

β-<<,∴0αβπ<-<,5cos()13αβ-=

,

∴12sin()13

αβ-=. ∴sin sin()ααββ=-+

sin()cos cos()sin αββαββ=-+- 1235416()13513565=⨯+⨯-=.