生产系统建模与仿真
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生产系统建模与仿真
Modeling and Simulation of Production System
第2章 生产系统仿真用的概率统计 Statistical Probability for Production Simulation
第2章 生产系统仿真用的概率统计
§2.1 随机变量、概率函数、随机数
i
D X E X i E X X i E X Pi 数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度
2 2 i 0 2 2 2 • 变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的 X i Pi E X E X 2 E X
随机变量、概率函数、随机数 连续型随机变量
概率密度函数
连续型随机变量的累积分布函数定义为随机变量小于或 等于x的概率。它用F(x)表示，即
F x
f x dx
F x1 F x2
x
由累积分布函数定义可知，0 F x 1
当 x1 x2
时，
。
随机变量、概率函数、随机数 离散型随机变量
定义：对于随机活动的不同结果我们可以用不同的数 值与其对应。这样，就可以用一个变量来描述随机活 动，变量按一定的概率取某个值对应于随机活动按一 定的概率取某个结果。这类变量称为随机变量。 离散型随机变量：若随机变量只取有限个数值或可 列无穷多个数值，则称此类随机变量为离散型随机 变量。 连续型随机变量：若随机变量可以取值于某个区间 中的任一数，我们称为连续型随机变量。
2 2 2
• 变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的
dx x E X = f x D X 变化程度。变化系数
2 2 x f x dx E X E X E X E X 2
积(图中阴影部分)必然<1。从图中也可
以看到累积分布函数F(x)的值随 x 值的 增加而增加，而且它最终趋向极限值1。
随机变量、概率函数、随机数 随机变量的数字特征
定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关的某些 数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了随机
变量某些方面的特征。
分类：根据随机变量的种类：分别介绍离散型随机变
变化程度。变化系数=
i 0
D X E X
随机变量、概率函数、随机数 连续型随机变量的数字特征
平均值：设X为随机变量，其概率密度函数为 f (x)，则该随机变 量的平均值m为：
m
x f x dx
平均值又称为数学期望。 2 数学方差 D X E X i E X 数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度 X E X i E X x E X f x dx D
§2.2 均匀的连续分布随机数及其生成 §2.3 各种离散分布随机数的产生 §2.4 非均匀的连续分布随机数及其产生
随机变量、概率函数、随机数
确定性活动与随机活动
确定性活动：是可以事先预言的，即在准确地重复一定的条件下， 其变化的结果总是确定的，或者根据其过去的状态，相同的条件下 可以预言将来的发展变化，我们把这一类活动称为确定性活动。确 对于随机性活动进行研究所利用的数学工具是概 定性活动的主要特征是活动的运动可以用一个确定的数学形式来描 述：f(t)，或是数学函数，或是数学图表等。 率论及数理统计对于实际系统中随机活动进行研 随机性活动：其变化的结果是事先不可预言的，即在相同的条件下 究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和 进行重复实验，每次结果未必相同，或者是知道其过去的状况，在 相同的条件、未来的发展事先都不能确定，这一类活动我们称为随 分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机 机性活动。随机性活动的主要特征是这类活动的描述可以通过数学 仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了 统计的方法描述。 一个方便有效的手段。
随机变量、概率函数、随机数 离散型随机变量
概率分布函数
离散型随机变量 X 的累积分布函数定义，当 X 小于或等于 某个给定值x的概率函数，记为P(X≤x) = F(x)。 设随机变量X可能取值x1，x2，…，xn，…，则X的累积分 布函数为
F x
xi
P X
Xi
xi
量的数字特征、连续型随机变量的数字特征
随机变量、概率函数、随机数Leabharlann Baidu离散型随机变量的数字特征
平均值：设X为离散随机变量，其概率函数由下表给出：
X P{X=Xi} x0 P0 x1 P1
x2 P2
… …
… …
xn Pn
… …
其中 Pn 0 , n 1,2,, Pn 1 n 1 记 ，称为X 的平均值。 E X X x Pi i 0 2 数学方差 DX EX EX
累积分布函数是单调递增函数。
随机变量、概率函数、随机数
概率密度函数/累积分布函数
随机变量X落入区间(a，b)内的概率 是
F b F a 。图中给出了一个连续随
机变量的密度函数曲线和累积分布函数
曲线。密度函数f(x)的值不能为负，要
注意的是f(x)的值可以大于1，但是在任 意区间(a，b)上由 f (x)曲线围出的面
P
i
Xi 其中 Pi 为X 取值 的概率。 由定义可见 当x<y时，F(x)≤F(y)，即F(x)是个单调增加的函数。
随机变量、概率函数、随机数 连续型随机变量 定义：若存在非负函数 f (x)，使得随 机变量X取值于任一区间(a，b)的概率为 b f ( x )dx P(a<x≤b)= ， a 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的 f x 0 密度函数。 对于密度函数 f (x)有 f x d x 1
Modeling and Simulation of Production System
第2章 生产系统仿真用的概率统计 Statistical Probability for Production Simulation
第2章 生产系统仿真用的概率统计
§2.1 随机变量、概率函数、随机数
i
D X E X i E X X i E X Pi 数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度
2 2 i 0 2 2 2 • 变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的 X i Pi E X E X 2 E X
随机变量、概率函数、随机数 连续型随机变量
概率密度函数
连续型随机变量的累积分布函数定义为随机变量小于或 等于x的概率。它用F(x)表示，即
F x
f x dx
F x1 F x2
x
由累积分布函数定义可知，0 F x 1
当 x1 x2
时，
。
随机变量、概率函数、随机数 离散型随机变量
定义：对于随机活动的不同结果我们可以用不同的数 值与其对应。这样，就可以用一个变量来描述随机活 动，变量按一定的概率取某个值对应于随机活动按一 定的概率取某个结果。这类变量称为随机变量。 离散型随机变量：若随机变量只取有限个数值或可 列无穷多个数值，则称此类随机变量为离散型随机 变量。 连续型随机变量：若随机变量可以取值于某个区间 中的任一数，我们称为连续型随机变量。
2 2 2
• 变化系数：标准差与平均值的比值，反映了随机数偏离平均值的
dx x E X = f x D X 变化程度。变化系数
2 2 x f x dx E X E X E X E X 2
积(图中阴影部分)必然<1。从图中也可
以看到累积分布函数F(x)的值随 x 值的 增加而增加，而且它最终趋向极限值1。
随机变量、概率函数、随机数 随机变量的数字特征
定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关的某些 数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了随机
变量某些方面的特征。
分类：根据随机变量的种类：分别介绍离散型随机变
变化程度。变化系数=
i 0
D X E X
随机变量、概率函数、随机数 连续型随机变量的数字特征
平均值：设X为随机变量，其概率密度函数为 f (x)，则该随机变 量的平均值m为：
m
x f x dx
平均值又称为数学期望。 2 数学方差 D X E X i E X 数学方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度 X E X i E X x E X f x dx D
§2.2 均匀的连续分布随机数及其生成 §2.3 各种离散分布随机数的产生 §2.4 非均匀的连续分布随机数及其产生
随机变量、概率函数、随机数
确定性活动与随机活动
确定性活动：是可以事先预言的，即在准确地重复一定的条件下， 其变化的结果总是确定的，或者根据其过去的状态，相同的条件下 可以预言将来的发展变化，我们把这一类活动称为确定性活动。确 对于随机性活动进行研究所利用的数学工具是概 定性活动的主要特征是活动的运动可以用一个确定的数学形式来描 述：f(t)，或是数学函数，或是数学图表等。 率论及数理统计对于实际系统中随机活动进行研 随机性活动：其变化的结果是事先不可预言的，即在相同的条件下 究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和 进行重复实验，每次结果未必相同，或者是知道其过去的状况，在 相同的条件、未来的发展事先都不能确定，这一类活动我们称为随 分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机 机性活动。随机性活动的主要特征是这类活动的描述可以通过数学 仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了 统计的方法描述。 一个方便有效的手段。
随机变量、概率函数、随机数 离散型随机变量
概率分布函数
离散型随机变量 X 的累积分布函数定义，当 X 小于或等于 某个给定值x的概率函数，记为P(X≤x) = F(x)。 设随机变量X可能取值x1，x2，…，xn，…，则X的累积分 布函数为
F x
xi
P X
Xi
xi
量的数字特征、连续型随机变量的数字特征
随机变量、概率函数、随机数Leabharlann Baidu离散型随机变量的数字特征
平均值：设X为离散随机变量，其概率函数由下表给出：
X P{X=Xi} x0 P0 x1 P1
x2 P2
… …
… …
xn Pn
… …
其中 Pn 0 , n 1,2,, Pn 1 n 1 记 ，称为X 的平均值。 E X X x Pi i 0 2 数学方差 DX EX EX
累积分布函数是单调递增函数。
随机变量、概率函数、随机数
概率密度函数/累积分布函数
随机变量X落入区间(a，b)内的概率 是
F b F a 。图中给出了一个连续随
机变量的密度函数曲线和累积分布函数
曲线。密度函数f(x)的值不能为负，要
注意的是f(x)的值可以大于1，但是在任 意区间(a，b)上由 f (x)曲线围出的面
P
i
Xi 其中 Pi 为X 取值 的概率。 由定义可见 当x<y时，F(x)≤F(y)，即F(x)是个单调增加的函数。
随机变量、概率函数、随机数 连续型随机变量 定义：若存在非负函数 f (x)，使得随 机变量X取值于任一区间(a，b)的概率为 b f ( x )dx P(a<x≤b)= ， a 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的 f x 0 密度函数。 对于密度函数 f (x)有 f x d x 1