多元函数微分法及其应用 ppt课件

U (P0 , ) ={(x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } ．
在几何上，U (P0 , ) 就是 xOy 平面上以 P0 为中心， 为半径
的圆的内部点 P(x, y) 的全体．
若在U (P0 , ) 中去掉中心 P0 ，则该点集
0
称为点 P0 的去心邻域，记为U (P0, ) ，即
P0 (x0 , y0 ) 处可以无定义），如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点
P0 (x0 , y0 ) 时，相应的函数值 f (x, y) 无限接近于一个确定的常数 A ，
则称当 (x, y) (x0, y0 ) （或 P P0 ）时，函数 f (x, y) 以 A 为极
限，记作
或 也记作
有界闭区域
y 无界开区域．
y
{x ,( y )|x y 0 }
o
x
o
x
二、多元函数的概念
1.二元函数的定义
V r2h．
设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于 D 内的任一点 (x, y) ，
变量 z 按照一定法则 f ，总有唯一确定的值与之对应，则称 z 是变量
x, y 的二元函数，记为 z f (x, y) ，其中 x, y 称为自变量，z 称为因变
例4
证明
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在．
y0
证 取 ykx3,
lim
x0
x3 y x6 y2
xl im0 xx63kk2xx36
k 1 k2 ,
y0
ykx3
其值随k的不同而变化，
故极限不存在．
确定极限不存在的方法：
（ 1 ） 令 P ( x ,y ) 沿 y k 趋 向 x 于 P 0 ( x 0 ,y 0 ) ， 若 极 限 值 与 k 有 关 ， 则 可 断 言 极 限 不 存 在 ；
连通的开集称为区域或开区域．开区域连同它的边界
一起称为闭区域．
如果存在正数 K ，使某区域 E 包含于以原点为 中心以 K 为半径的圆内，则称 E 是有界区域．否则
为无界区域．
开区域．{x ,(y )|1 x 2 y 2 4 }.
y
闭区域. {x ,(y )|1 x 2 y 2 4 }. o
x
例如， E1 ={(x, y) |1 x2 y2 4} ． 如果点 P 的任何一个邻域内既有属于 E 的
•P
E
点又有不属于 E 的点，则称 P 为 E 的边界
点． E 的边界点的全体，称为 E 的边界， 记为 E
例如， E1 的边界是圆周 x2 y2 1和 x2 y2 4 ．
设 D 是开集，如果对于 D 内的任意两点，都可 以用折线连接起来，且该折线上的点都属于 D ，则 称 D 是连通的．
•P0
0
U (P0, ) ={(x, y) | 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 } ．
2．区域
设 E 是平面上的一个点集，点 P E ．如 果存在 P 的一个邻域U (P, ) ，使U (P, ) E ， 则称 P 为 E 的内点．显然, 的内点属于 ．
如果点集 E 每一个点都是内点，则称 E 为开集．
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
2．二元函数 zf(x,y)的几何意义
设函数z f (x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P(x, y)D，对应的函数值为 z f (x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x, y,z)， 当x取遍D上一切点时，得一个空间点集 {(x, y,z)| z f (x, y),(x, y)D}，这个点集称
【例 1】 f (x, y) 2x 3y 2 , 求 f (1, 1) , 解： f ( 1 , 1 ) =2 1-3 (-1)2 1；
f (1, y )． x
f(1,
y x
)
2 1 3(
y )2 x
2x2 3y2 x2
．
【例 2】设 f (x y, x y) x2 y y2 ,求f (x, y)
量．点集 D 称为该函数的定义域，数集{z | z f (x, y),(x, y) D}称为 该函数的值域．
类似地，可定义三元及三元以上函数. 当 n 2 时, n 元函数统称为多
元函数．
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、 值 域 、 自 变 量 、 因 变 量 等 概 念 .
f (x, y)
解： 设 x y u, x y v 解出 x 1 (u v), y 1 (u v)
2
2
代入所给函数化简
f (u,v) 1 (u v)2 (u v) 1 (u v)2
8
4
故 f (x, y) 1 (x y)2 (x y) 1 (x y)2
8
4
例3 求 f(x,y)arc3six2 ny (2)的定义域． xy2
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右图.
例如, x2y2z2a2
z
左图球面.
D {x (,y)x 2y2a 2}.
o
y
单值分支: za2x2y2
x
za2x2y2.
三、多元函数的极限
设函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义（在点
第八章 多元函数微分法及其应用
1
多元函数的基本概念
2
偏导数Βιβλιοθήκη 34多元复合函数微分法
5
微分法在几何上的应用
6
多元函数的极值
第一节 多元函数的基本概念
1
平面区域的概念
2
多元函数的概念
3
多元函数的极限
4
多元函数的连续性
5
小结
§8-1 多元函数的基本概念
一、平面区域的概念
1.邻域
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xOy 平面上的一个点， 是某一正数．与点 P0 ( x0 , y0 ) 的距离小于 的点 P(x, y) 的全体，称为点 P0 的 邻域， 记做：U (P0 , ) ．即
lim f (x, y) A
xx0 y y0
f (x, y) A （ (x, y) (x0, y0 ) ）
l i mf P( ) A
PP0
或
f (P) A (P P0 )
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf(x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．