《对数函数及其性质》教学设计(精品)

对数函数及其性质（一）
（一）教学目标
1．知识技能
（1）理解对数函数的概念.
（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
2．过程与方法
（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.
（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.
3．情感、态度与价值观
（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.
（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
（二）教学重点、难点
1、重点：
（1）对数函数的定义、图象和性质；
（2）对数函数性质的初步应用.
2、难点：底数a对图象的影响.
（三）教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.
（四）教学过程
组织学生充分讨论、交流，使
≠1．
．
师：用多媒体演示函数图象，
对数函数图象有以下特征
相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.
不同点：y=log3x的图象是上升的，y=log x的图象是下降的
备选例题
例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.
【解析】由⎪⎩
⎪
⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，
得⎪⎩
⎪⎨⎧≠-><012x x x . ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.
【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.
例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }. 函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨
⎧<->)
0()
(log )0(log 22x x x x ，
其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.
对数函数及其性质（二）
（一）教学目标 1．知识技能
（1）掌握对数函数的单调性.
x
（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.
2．过程与方法
（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.
（2）培养学生的数学应用的意识.
3．情感、态度与价值观
（1）用联系的观点分析、解决问题.
（2）认识事物之间的相互转化.
（二）教学重点、难点
1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.
2、难点：不同底数的对数比较大小.
（三）教学方法
启发式教学
利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1
a>和
a
<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有01
字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.
对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.
（四）教学过程
备选例题
例1 比较下列各组数的大小：
（1）log
0.7 1.3和log
0.7
1.8；
（2）log
35和log
6
4.
（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；
【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log
0.7
1.8.
（2）log
35和log
6
4的底数和真数
都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.
因为log
35＞log
3
3 = 1 = log
6
6＞log
6
4，所以log
3
5＞log
6
4.
（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.
若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，
所以(lg n)1.7＞(lg n)2；
若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，
所以(lg n)1.7＜(lg n)2.
若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.
【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较.
在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a ＞1时是增函数，0＜a ＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.
例2 求证：函数f (x ) =x
x
-1log 2
在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212
221
log log 11x x
x x --- 212
21
(1)
log (1)x x x x -=-
=.11log 2
1
122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴
1
2x x ＞1，21
11x x --＞1.
则2
1
122
11log x x x x --⋅
＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.
对数函数及其性质（三）
（一）教学目标 1．知识与技能
（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质. 2．过程与方法
（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习. （2）综合提高指数、对数的演算能力.
（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.
3.情感、态度、价值观
（1）用联系的观点分析、解决问题.
（2）认识事物之间的相互转化.
（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.
（二）教学重点、难点
重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.
难点：反函数概念的理解.
（三）教学方法
通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.
（四）教学过程
设计
课堂练习答案
备选例题
例1 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数
log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1），
∴1log 3a =， ∴3a =.
【小结】若函数()y f x =的图象经过点
(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a .
例2 求函数y = log 4 (7 + 6 x – x 2)的单调区间和值域.
【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.
【解析】由7 + 6 x – x 2＞0，得(x – 7) (x + 1)＜0，解得–1＜x ＜7. ∴函数的定义域为{x |–1＜x ＜7}.
设g (x ) = 7 + 6x – x 2 = – (x – 3)2 + 16. 可知，x ＜3时g (x )为增函数，x ＞3时，g (x )为减函数.
因此，若–1＜x 1＜x 2＜3. 则g (x 1)＜g (x 2) 即7 + 6x 1 – x 12＜7 + 6x 2 – x 22， 而y = log 4x 为增函数.
∴log
(7 + 6 x1–x12)＜log4 (7 + 6x2–x22)，
4
即y1＜y2.
故函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调增区间
为(–1, 3)，
同理可知函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调减区
间为(3, 7).
又g (x) = – (x– 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为
(0, 16].
所以函数y = log4(7 + 6x–x2)的值域为
(–∞, 2].
【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.。